北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.3-推荐下载

习题1.3

1.(1,2,),lim 1,

0,

,

2

|-1|,:

n n n n n

x n x N n n N x εε→∞===>+>< 设证明即对于任意求出正整数使得当时有 并填下表

2

2

0,1,|-1||

1|,2,

22

22,,|-1|.

2.lim ,lim ||||.

0,,,||,

||||||||,

lim ||||.

3.{},

(1),n n n n n n n n n n n n n x n n n N n N x a l a l N n N a l a l a l a l a l N εεεε

εεεεε→∞

→∞

→∞

∀><=-=<>

-++⎡⎤

=-><⎢⎥⎣⎦==∀>∃>-<-≤-<=不妨设要使只需取则当时就有设证明使得当时此时故设有极限证明存在一个自然数证证1||||1;

(2){},,

||(12,).

(1)1,,,||1,

|||||||||| 1.

(2)max{||1,||,,||},

||(12,).

-313(1)lim 23n

n n n n n n N n n n N a l a M a M n N n N a l a a l l a l l l M l a a a M n N n n εε→∞<<+≤==∃>-<=-+≤-+<+=+≤=+=- 是一个有界数列即存在一个常数使得对于使得当时此时令则 4.用说法证明下列各极限式:

证23/23/2; (2)0;2!

(3)lim 0(||1); (4)lim

0;

111(5)lim 1;1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)31311

(1),

2322(23)

n

n n

n n n n

n n q q

n n n n n

n n n n εεε→∞→∞→∞→∞==<=⎛⎫+++= ⎪-⎝⎭

⎛⎫++= ⎪+⎝⎭

+∀-=<-- A A A 不妨设要使只需证>0,<1,3

11

3,211313

313

3,

,

,lim

.

2232

232

1

(2),

,,

n n n N n N n n n ε

εεεεεε→∞>

+++⎡⎤=+>-<=⎢⎥--⎣⎦

∀<>

取当时故>0,ε

0.1

0.010.001

0.0001N

18

198

1998

19998

32222333331,

.

1

(3)||(0).41||(1)(1)(2)(1)126

6242424,,max{4,}.(1)(2)!111(4)

,,.11(5)1223n

n

n

n N n N

q n n

n n q n n n n n n n n N n n n n n N n n εεαααααααεααεαεαεεε⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦

=

>>+==---++++++⎡⎤

<<<>=⎢⎥--⎣⎦

⎡⎤≤<>=⎢⎥⎣⎦+++ A A

取当时3/23/23/22211

(1)1111111111,,.

1223(1)1111(6)

,,.(1)(2)(1)5.lim 0,{},,||(1,2,

),

lim n n n

n n n n

n N n n n n n N n n n a b M b M n εεεεεε→∞

⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-+-++--=<>= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭

⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎡⎤++≤<<>=⎢⎥++⎣⎦

=<=A 设是有界数列即存在常数使得证明22

22220.

0,,

||,||||||,

lim 0.

6. 1.

0,11,

1.

(1)24444,1,,.(1)(1)(1)12

7.

:

(1)l n

n n n n n n n n n n

n

n a b N a a b a b M M

M a b n

n n n N n n n n n n ε

ε

εεεεεεεεεεεεε→∞

→∞=∀>∃<

=≤

===∀>-<<+⎡⎤

=<<<>=⎢⎥-+-⎣⎦

++A 正整数使得故证明要使而只需求下列各极限的值证 证32232244

432

220.310013/100/1(2)lim lim .4241/2/4(210)(210/)(3)lim lim 16.11/11(4)lim 1lim 1.n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n e n n →∞→∞→∞→∞→∞---→∞

→∞==+-+-==-+-+++==++⎡⎤

⎛⎫⎛⎫+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎢⎥⎣⎦