2.3组合与组合数公式教案
组合与组合数教案
组合与组合数教案一、教学目标1. 让学生理解组合的概念，掌握组合数的计算方法。
2. 培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现生活中的组合现象，培养学生的观察力和想象力。
二、教学内容1. 组合的概念：组合是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有可能排列的集合。
2. 组合数的计算：组合数用C(n,m)表示，计算公式为C(n,m) = n! / [m! (n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。
三、教学重点与难点1. 教学重点：组合的概念，组合数的计算方法。
2. 教学难点：组合数的计算公式的推导与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索组合数的计算方法。
2. 利用实例分析，让学生体验组合知识在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作与交流能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，如排列组合的抽奖活动，引导学生思考组合的概念。
2. 讲解组合的概念：详细解释组合的定义，让学生理解组合的本质。
3. 推导组合数的计算公式：引导学生利用阶乘的概念，推导组合数的计算公式。
4. 讲解组合数的计算方法：讲解组合数的计算公式，让学生掌握组合数的计算方法。
5. 应用实例：通过实际问题，让学生运用组合知识解决问题，巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调组合的概念和组合数的计算方法。
7. 课后作业：布置相关练习题，让学生巩固组合知识。
六、教学活动1. 设计意图：通过小组合作活动，让学生更深入理解组合概念，并锻炼动手动脑能力。
活动内容：让学生分组，每组使用卡片或骰子等物品，创造出不同的组合。
每组需要记录下他们创建的组合，并计算出组合数。
2. 分组活动：学生自由分组，每组4-6人。
每组选择一种物品，如卡片、骰子等，进行组合创造。
3. 分享与讨论：每组向全班展示他们的组合创造，并分享他们的组合数计算过程。
其他组的学生可以提问或提出不同看法。
4. 教师点评：教师对每组的展示进行点评，强调组合的概念和组合数的计算方法。
组合与组合数公式教案
!
激发学生兴趣
列举
}
北京——上海（上海——北京)
北京——广州（广州——北京)
上海——广州（广州——上海）
学生思考举例
一般地，从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个
元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
元素的一个组合
、
从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有
组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元
课题
组合与组合数公式
知识目标：
1.理解组合的意义，弄清组合与排列的区别与联系。
2.掌握组合数公式， 弄清组合数和排列数的区别与联系。
3.会应用组合及组合数公式解决简单的组合问题。 教案目标 能力目标：
培养学生的抽象能力和逻辑学生团结、合作精神。
教案重点 组合的应用
教案难点 课型
组合的概念、组合数公式的推导
新授 教案方法
问题情境 …
教案法，启
发
教具
多媒体
课后反思
再有了排列部分的学习之 后，组合与组合数定义、公式 学起来就比较好理解了，定义 通过相比较，找出相同点与不 同点，识记、理解效果较好。
授课时 间
2014 年 10 月 21 日
第 7 周星期一 第 1、2 节
组合与组合数公式
素的组合数 用符号 表示
引导学生
想一想：从 4 个不同元素 a，b，c，d 中取出 3 个 理解记忆
)
元素的排列与组合有何关系
abcabc ]
bac cab
一、组合与组合数 二、组合数公式
板书设计 】 三、排列与组合的区别
四、应用
教案环 ：
节
教学内 容
人教B版数学选修23课件1221组合及组合数公式
应一个三角形,不共面的四点确定一个四面体等,解题时可借图形
来帮助思考,并善于利用几何性质.
③对于有多个约束条件的问题,可以先分析每个约束条件,再综
合考虑是分类、分步或交替使用两个基本原理;也可以先不考虑约
束条件,再去除不符合条件的情况获得结果.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 应用组合的定义解题
【例1】 判断下列问题是排列问题,还是组合问题.
(1)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,有多少种不同的取法?
(2)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位
数共有多少个?
分析取出元素之后,在安排这些元素时,与顺序有关的则为排列问
题型二
题型三
题型四
正解由题意可知m的取值范围是{m|0≤m≤5,m∈N}.
!(5-)! !(6-)!
− 6!
5!
由已知得
7(7-)!!
= 10×7! ,
整理得m2-23m+42=0,
解得m=21或m=2.
∵m∈{m|0≤m≤5,m∈N},∴m=2.
1
2
3
4
5
1.给出下面几个问题:
①由1,2,3,4构成的含两个元素的集合;
≤
,
2
2
解:由题意可知 3 ≤ + 21, 即
∈N+,
∈N+,
∴n=10.
28
∴原式=C30
+
30
C31
=
30!
31!
+
2!×28! 1!×30!
2.3分解与组合教案5篇
2.3的分解与组合教案5篇教案是关心我们的课堂更加好玩的文件，，教案是需要结合实际的教学进度和内容的，范文社我今日就为您带来了2.3的分解与组合教案5篇，信任肯定会对你有所关心。
2.3的分解与组合教案篇1活动目标：1、进展幼儿观看力、分析力培育幼儿对数学的爱好。
2、学习数组成的递增、递减规律、相互交换的规律。
3、幼儿通过自主探究动手操作，把握5的4种分法。
活动重难点：活动重点：学习数组成的递增、递减规律、相互交换的规律。
活动难点：把握5的4种分法。
活动预备：物质预备：ppt课件，3种动物卡片、记号笔、记录纸。
阅历预备：会数到5，了解5的含义。
活动过程：一、开头部分(幼儿与幼儿，幼儿与老师间隔一米以上)1、师：秋天来了，大树妈妈写信忙，写给这写给那，红叶黄叶都写光。
问：都有谁收到了树妈妈的信?(引导小伴侣回答都有哪些小动物们收到了树妈妈的信)。
问：树妈妈的信上写了些什么?(告知小动物们要预备过冬)师：小动物们收到了树妈妈的信，盖了很多新居子，预备在新居子里暖温和和的过冬天。
2、出示ppt引出"5的分解组成"。
师：熊猫家分到了两座房子，熊猫家一共有几只熊猫(和幼儿一同点数共5只)出示"5"的数字卡。
师：5只熊猫两座房子怎样分，熊猫们犯了愁，不知该怎样分，有几种分法。
请小伴侣们说一说。
二、基本部分(幼儿与幼儿，幼儿与老师间隔一米以上)1、幼儿关心自己的小动物来分房子。
(1)幼儿观看自己的学具，说说自己分是什么小动物，点数小动物的数量(5只)(2)幼儿将5只小动物分在两座房子里，每分一次将分的结果记录下来。
(3)请幼儿分别到前面说一说自己分的结果。
老师在记录纸上记录幼儿的分法。
1、幼儿每人选择一个数字卡(1-4)戴上，伴随找伴侣的音乐找到和自己的数，和在一起是"5"的幼儿做伴侣。
小结：聪慧的领头人在变动作时要快速、不被发觉，遵守规章的重要性。
幼：我观察许多小伴侣都在看他。
人教课标版高中数学选修2-3《组合(第2课时)》教案-新版
1.2.2 组合（第2课时）一、教学目标 【核心素养】通过学习组合与组合数公式，更进一步的提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力． 【学习目标】（1）掌握组合数的性质（2）解答涉及到组合问题的应用题 【学习重点】通过实例，理解组合数的性质并能解决简单的实际问题 【学习难点】组合数性质的推导，组合数公式的简单应用.二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1 默写组合数公式的具体内容任务2 回忆组合数的推导过程 整理组合的应用方法 2．预习自测1.计算：69584737C C C C +++； 【知识点：组合数的性质】解：原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；2.求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．【知识点：组合数的性质】解：（2）右边1121112()()n n n n n n nm m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+=左边（二）课堂设计问题探究一 ●活动一 组合数的性质推导 1：m n nm n C C -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=-又)!(!!m n m n C m n -=，∴mn n m n C C -=说明：①规定：10=n C ； ②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2nm >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化.例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002； ④yn x n C C =y x =⇒或n y x =+． 2．m n C 1+＝m n C +1-m n C ．一般地，从121,,,+n a a a 这n+1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m个元素组成的，共有mn C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n)!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+=∴m n C 1+＝m n C +1-m n C ．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算 例1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：（1）5638=C ,或=38C +27C 37C ，；（2）2127=C ；（3）3537=C ． 点拨：区分排列与组合 例2．解方程：（1）3213113-+=x x CC；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ．【知识点：组合数的性质】解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x ≤≤且x N *∈，∴原方程的解为4x =或5x =点拨：上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为2333110x x x C A -++=，即5333110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅，∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-，∴2120x x --=，解得4x =或3x =-，经检验：4x =是原方程的解 点拨：组合数中含参数，要注意参数范围问题探究二1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算其结果时，使用分类加法计数原理．2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复．计算每一类相应的结果时，使用分步乘法计数原理． 3．考查顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题属于排列问题．4．辩证地看待“元素”与“位置”．排列组合问题中的元素与位置，要视具体情况而定，有时“定元素选位置”，有时“定位置选元素”．例3．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件. (1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有31001009998123C⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）.(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3）解法 1 从100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种）解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 点拨：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解. 3．课堂总结 【知识梳理】1掌握组合数性质m n n m n C C -=和m n C 1+＝m n C +1-m n C ，为解题提供方便2区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关． 【重难点突破】写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，这样做直观、明了、清楚，可防重复和遗漏．当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗. 4．随堂检测1．若266x C C =，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．4或2D ．3 【知识点：组合数的性质】 解：C2从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45【知识点：排列组合，古典概型】解：C 如图，基本事件共有25C ＝10个，小于正方形边长的事件有OA 、OB 、OC 、OD 共4个，∴P ＝1－410＝35. 3．222223416C C C C ++++…等于( )A ．215CB ．316C C ．317CD ．417C【知识点：组合数的性质】解：C 原式＝222223416C C C C ++++…＝3224416C C C +++…＝3225516C C C +++…＝…＝321616C C +＝317C .4.从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的有多少个？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：方法一：（直接法）满足条件的五位数有两类：第一类：万位数大于1，这样的五位数共有498A ⨯个；第二类：万位数为1，千位数不小于3，这样的五位数共有387A ⨯个． 根据分类计数原理，大于13000的五位数共有498A ⨯+38726544A ⨯=个． 方法二：（间接法）由0，1，2，…，9这10个数字中不同的5个数字组成的五位数共有499A 个，其中不大于13000的五位数的万位数都是1，且千位数小于3，这样的数共有382A 个，所以，满足条件的五位数共有43989226544A A -=个． 5.有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有________种(用数字作答)． 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：法一：先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出1人去承担任务丙．根据乘法原理，不同的选法共有2111087C C C ＝2 520种． 法二：先从10人中选出2人承担任务甲，再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙．根据乘法原理，不同的选法共有22108C A ＝2 520种． 【易错剖析】本题易出现如下错解：错解一：分3步完成：第一步，从10人中选出4人，有410C 种方法．第二步，从这4人中选出2人承担任务甲，有24A 种方法． 第三步，剩下的2人分别承担任务乙、丙，有22A 种方法．根据乘法原理，不同的选法共有4221042C A A ＝5 040 种． 错解二：分3步完成，不同的选法共有4221042C C C ＝1 260 种． 错解一的错因是：“排列”“组合” 概念混淆不清．承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A 应改为24C .错解二的错因是：剩下的2人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即22C 应改为22A . （三）课后作业 基础型 自主突破1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )A ．40B ．50C ．60D ．70 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：B 先分组再排列，一组2人一组4人有26C ＝15种不同的分法；两组各3人共有3622C A ＝10种不同的分法，所以乘车方法数为(15＋10)×2＝50，故选B ．2．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有( )A ．60种B ．72种C ．84种D ．96种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：B 解法1：根据题意，分两种情形讨论：①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有13132333C C C A ＝36种选派方案． ②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有222332C A A ＝36种选派方案，综上可得，共有36＋36＝72种不同的选派方案，解法2：从甲、乙以外的三人中选一人从事A 工作，再从剩余四人中选三人从事其余三项工作共有1334C A ＝72种选法． 3．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A ．16B ．13C ．12 D ．38【知识点：排列组合，古典概型】解：C 由这两张卡片排成的两位数共有6个，其中奇数有3个，∴P ＝36＝12.4．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A ．2人或3人B ．3人或4人C ．3人D ．4人 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：A 设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得218n n C C ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人． 能力型 师生共研5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )A ．45种B ．36种C ．28种D ．25种 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：C 因为10级台阶走8步，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么只需从8步中选取2步，这两步中每一步上两个台阶即可，共有28C ＝28种选法．6．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A 、B 、C 、D 中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A ．72种B ．48种 D ．12种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】 解：A 解法1：(1)4种颜色全用时，有44A ＝24种不同涂色方法．(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A 、B 、C 中，有34A 种涂法，然后涂D ，D 可以与A (或B )同色，有2种涂法，∴共有234A ＝48种，∴共有不同涂色方法，24＋48＝72种．解法2：涂A 有4种方法，涂B 有3种方法，涂C 有2种方法，涂D 有3种方法，故共有4×3×2×3＝72种涂法．7．用1、2、3、4、5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1、3、5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是________(注：用数字作答)． 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：48 按2的位置分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则第1位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有122322C A A ＝12个；②当2出现在第3位时，即00200，则第1位、第2位为1、3、5中的两个数字或第4位、第5位为1、3、5中的两个数字，所以满足条件的五位数有22232A A ＝24个；③当2出现在第4位时，即00020，则第5位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有122322C A A ＝12个．综上，共有12＋24＋12＝48个． 8．高三某学生计划报名参加某7所高校中的4所学校的自主招生考试，其中仅甲、乙两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，那么该学生不同的报考方法有________种．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：25 报考学校甲的方法有35C ，报考学校乙的方法有35C ，甲、乙都不报的方法有45C ，∴共有352C ＋45C ＝25种．9．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：1080 先将6名志愿者分为4组，共有226422C C A 种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有44A 种分法，故所有分配方案有：22464422C C A A ＝1 080种10．已知集合A ＝{5}，B ＝{1,2}，C ＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A ．33B ．34C ．35D ．36【知识点：排列组合，分步计数原理，分类计数原理数学思想：分类讨论】解：A ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有1323C A ＝12个； ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有1323C A ＋33A ＝18个； ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有13C ＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A ． 探究型 多维突破11．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( )A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种 【知识点：分步计数原理】解：D 按第二天到第七天选择持平次数分类得642222033662642663C C A C C C C C C +++＝141种． 12．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )A ．50种B ．60种C ．120种D ．210种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：C 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为16C ，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有25A 种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法1265C A ＝120种，故选C ． 13. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为( )A ．360B ．520C ．600D ．720 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：C 当甲、乙两人中只有一人参加时，有134254C C A ＝480种方法； 当甲、乙两人都参加时，有2242225423()C C A A A -＝120种方法． 由分类加法计数原理知，不同的发言顺序共有480＋120＝600种，故选C ．14. 要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_____种不同的种法(用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：72 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种． 自助餐1．将标号为1，2，，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有44C ＝1种，取2奇数2偶数的取法有2245C C ＝60种，取4个数均为奇数的取法有45C ＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种． 2．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有44C ＝1种，取2奇数2偶数的取法有2245C C ＝60种，取4个数均为奇数的取法有45C ＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种． 3．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种 【知识点：排列组合】 解：C4 .5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )A ．45A 种B ．45种C ．54种D ．45C 种 【知识点：排列组合】解：D 由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C 45种．5．将标号为A 、B 、C 、D 、E 、F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A 、B 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种 【知识点：排列组合，分步计数原理】解：B 由题意，不同的放法共有1234C C ＝4332⨯⨯＝18种． 6.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：B 依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为3433A A ＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为332222A A A ＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.7．A ，B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有________种(用数字作答)．【知识点：排列组合】解：根据题意，要求从A 地到B 地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次， 从5次中选3次向右，剩下2次向上即可， 则有35C ＝10种不同的走法， 故答案为10.8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A ，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B ，若213B A =，则这组学生共有________人． 【知识点：排列组合】解：15 设有学生n 人，则24213n n A C =，解之得n ＝15.9．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：140 第一步安排周六有37C 种方法，第二步安排周日有34C 种方法，所以不同的安排方案共有3374C C ＝140种． 10．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有多少种？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：当最左端排甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有4414A C 种.故不同的排法共有55A ＋4414A C ＝120＋96＝216(种).11．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lga －lgb 的不同值的个数是多少？【知识点：对数运算，基本事件，排列组合，分类计数原理，数学思想：分类讨论】解：记基本事件为(a ，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lga －lgb ＝lg a b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg ab的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)12．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(列出算式即可) (1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？ 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：(1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有6467A A 种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有99A 种排法，若甲不在末位，则甲有18A 种排法，乙有18A 种排法，其余有88A 种排法，综上共有(99A ＋18A 18A 88A )种排法． 方法二：甲在首位的共有99A 种，乙在末位的共有99A 种，甲在首位且乙在末位的有88A 种，因此共有(1010A －299A ＋88A )种排法．(3)10人的所有排列方法有1010A 种，其中甲、乙、丙的排序有33A 种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有101033A A 种．男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10.。
人教版高中数学选修2-31.2.2《组合与组合数公式》教学设计
1．2．2组合第一课时 组合与组合数公式教学目标：1.理解组合与组合数的定义，明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题2．会用公式和性质处理简单的计算问题。
教学重点：理解组合与组合数的定义教学难点：会用选择恰当的公式计算和证明 授课类型：新授课 教学过程：一、复习引入：复习排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示探究：问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 师引导学生观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．． 二、讲解新课：类比排列给出组合定义1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合学生活动：在课本划出定义并找出关键点说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶()m n ≤ 学生活动：小组讨论1.比较排列和组合定义找出两者的区别与联系2.什么是相同的排列与组合 例1．判断下列问题是组合还是排列(1)一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动； (2)从5名同学中选4名组成代表团参加对外交流；(3)从5名同学中选4名组成代表团去4个单位参加对外交流；2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）回顾引例问题找到排列数与组合数的关系（2）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ． （2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步： ① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅． （3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且学生活动：记忆公式规定: 01n C =.三、讲解范例：例2．计算710C ．解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 师板书两个公式计算，比较难易度，引导学生选择恰当的公式学生活动：熟记公式，完成针对练习课堂练习1：计算师由特殊例子引导学生总结性质1组合数的性质1：mn nm n C C -=． 课堂练习2：完成市本112页自我测评A 组1、6（1） 师提问学生口答并强调易错点组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 学生活动：学生板演证明性质2成立证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算 学生活动：熟记性质完成针对练习 四、课堂小结：学生思考总结：1、本节课重点和难点分别是什么？2、本节课讲解了几类题型 五、课后作业：完成市本第一课时C37)1(C)2(25C C 24362)3(-。
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）第一章：组合概念的引入1.1 组合的定义教学目标：了解组合的定义，理解组合是一种从多个不同元素中选取一部分元素的方法，不考虑元素的顺序。
教学内容：引导学生回顾排列的概念，引出组合的概念。
通过具体的例子，让学生理解组合的意义。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合的定义。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合定义的理解程度。
1.2 组合的表示方法教学目标：学习组合的表示方法，如排列号和组合号。
教学内容：介绍排列号和组合号的表示方法，以及它们之间的关系。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合的表示方法。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合表示方法的掌握程度。
第二章：组合数的计算2.1 组合数的计算公式教学目标：学习组合数的计算公式，理解组合数与排列数的关系。
教学内容：介绍组合数的计算公式，以及组合数与排列数的关系。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的计算公式。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合数计算公式的掌握程度。
2.2 组合数的计算方法教学目标：学习组合数的计算方法，如递推法、倍数法等。
教学内容：介绍组合数的计算方法，以及它们的适用场景。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的计算方法。
教学评价：通过课堂练习，检查学生对组合数计算方法的掌握程度。
第三章：组合数的性质3.1 组合数的性质教学目标：学习组合数的性质，如组合数的对称性、组合数的单调性等。
教学内容：介绍组合数的性质，以及它们的证明方法。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的性质。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合数性质的掌握程度。
3.2 组合数的应用教学目标：学习组合数的应用，如组合数的在概率论中的应用、组合数在图论中的应用等。
教学内容：介绍组合数在概率论中的应用，以及组合数在图论中的应用。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的应用。
组合与组合数教案
组合与组合数教案一、教学目标：1. 让学生理解组合的概念，掌握组合的计算方法。
2. 培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和创新意识。
二、教学内容：1. 组合的定义及表示方法。
2. 组合数的计算公式。
3. 组合数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：组合的定义，组合数的计算方法。
2. 难点：组合数的推导过程，组合数在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解组合的基本概念和计算方法。
2. 运用案例分析法，让学生通过实际问题理解组合数的应用。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和创新意识。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如抽奖、排列组合等问题，引导学生思考组合的概念。
2. 讲解组合的定义及表示方法，如组合数公式C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)。
3. 讲解组合数的计算方法，并通过例题演示。
4. 开展小组讨论，让学生运用组合数解决实际问题，如人员安排、物品搭配等。
6. 布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问的方式检查学生对组合概念和组合数计算公式的理解程度。
2. 练习题：布置一些组合数的计算题目，检查学生运用组合知识解决问题的能力。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与度和创新思维能力。
七、教学资源：1. 教材：提供相关的数学教材，以便学生课后复习和自学。
2. 网络资源：提供一些在线数学教育资源，帮助学生深入了解组合与组合数的相关知识。
3. 教具：使用图表、幻灯片等教具，帮助学生更直观地理解组合与组合数的概念。
八、教学拓展：1. 组合与排列的对比：引导学生思考组合与排列的区别和联系。
2. 组合数的推广：介绍组合数在其他数学领域中的应用，如图论、概率论等。
3. 组合数与现实生活的联系：引导学生发现组合数在日常生活和工作中的应用，提高学生的数学素养。
九、教学反思：2. 反思教学方法的有效性，看是否需要调整教学策略以提高教学效果。
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）教学目标：1. 理解组合的概念和性质。
2. 掌握组合数的计算方法。
3. 能够应用组合数解决实际问题。
教学重点：1. 组合的概念和性质。
2. 组合数的计算方法。
教学难点：1. 理解组合的性质和计算方法。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入组合的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的组合问题。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解组合的定义和性质，通过示例解释组合的概念。
2. 介绍组合数的计算方法，包括排列组合公式和递推公式。
3. 通过PPT展示组合数的计算过程和应用实例。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固组合的概念和计算方法。
2. 引导学生思考如何应用组合数解决实际问题。
四、总结与拓展（5分钟）1. 总结组合的概念和计算方法，强调组合在实际生活中的应用。
2. 提出拓展问题，引导学生进一步思考组合数的性质和应用。
五、作业布置（5分钟）1. 布置练习题，要求学生巩固组合的概念和计算方法。
2. 鼓励学生思考生活中的组合问题，培养学生的应用能力。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、总结与拓展等环节，使学生理解组合的概念和性质，掌握组合数的计算方法，并能够应用组合数解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣和主动性。
通过练习题和实际问题的解决，巩固学生的知识，提高学生的应用能力。
六、组合与组合数在几何中的应用（15分钟）教学目标：1. 理解组合数在几何中的应用。
2. 学会使用组合数解决几何问题。
教学重点：1. 组合数在几何中的应用。
教学难点：1. 如何将几何问题转化为组合问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 几何问题示例。
教学过程：1. 通过PPT展示组合数在几何中的应用实例，如平面几何中的区域划分、线段组合等。
2. 引导学生思考如何将几何问题转化为组合问题，并利用组合数解决。
3. 分析几何问题中的组合规律，引导学生总结解决几何问题的方法。
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）一、教学目标1. 让学生理解组合的概念，掌握组合的计算方法。
2. 培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。
二、教学内容1. 组合的定义及计算方法。
2. 组合数的计算公式。
3. 组合在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：组合的概念，组合的计算方法，组合数的计算公式。
2. 难点：组合在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究组合的概念和计算方法。
2. 用实例讲解组合在实际问题中的应用，提高学生的实践能力。
3. 利用多媒体辅助教学，直观展示组合的图形和计算过程。
五、教学准备1. 课件：组合的定义、计算方法、组合数的计算公式及相关实例。
2. 教学素材：相关实际问题，用于引导学生运用组合知识解决。
3. 学生作业：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入：通过一个简单的实际问题引入组合的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课导入：讲解组合的定义，引导学生理解组合的意义。
3. 组合的计算方法：讲解组合的计算方法，让学生通过实例体会组合的计算过程。
4. 组合数的计算公式：推导组合数的计算公式，让学生理解组合数与排列数的关系。
5. 练习与讨论：让学生分组讨论，互相解答疑惑，巩固所学知识。
七、课堂练习1. 布置适量的课堂练习题，让学生运用组合知识解决问题。
2. 引导学生互相批改，讨论解题思路，提高解题能力。
3. 对学生的练习情况进行点评，指出优点和不足，给予鼓励和建议。
八、组合在实际问题中的应用1. 通过实例讲解组合在实际问题中的应用，让学生体会数学的价值。
2. 引导学生运用组合知识解决实际问题，培养学生的实践能力。
3. 让学生分组讨论，分享各自的解题过程和心得，互相学习。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结组合的概念、计算方法和组合数的计算公式。
2. 强调组合在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
人教A版高中数学选修2-3.3组合与组合数公式教学课件
问题一：垃圾分类共分为几种？剩饭跟塑料餐盒分别是什么垃
圾？
四种。厨余垃圾，可回收垃圾
问题二：若这位同学要从4个垃圾桶选2个，有几种情况？
1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4 共6种
对
问题三：若这位同学要从4个垃圾桶选2个扔不同的垃圾，比有
几种情况？
数学建模
24 4312
人教A版高中数学选修2-3.3组合与组 合数公 式教学 课件
1.2.3组合与组 合数公式
风采展示
温故知新
一般地，从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一
个_排__列__.
排列数公式：
Anm n ( n 1 ) ( n 2 ) ( n m 1 )
创设情境
某同学定外卖，吃完后剩余的食物和塑 料盒子准备扔掉。
人教A版高中数学选修2-3.3组合与组 合数公 式教学 课件
总结与评价
组合定义
知识 .
组合数公式 Cn mA A m n m mn(n m (1 m ) 1)( n 2 m 1 1)
思想 方法
反思
组合数性质
C
1 n
n
Cn0 Cnn 1
Cnm Cnnm
数学建模，简化思维，抽象能力 归纳总结，特殊到一般
第二步：再扔不同的垃圾，即对这
两个进行排列，结果为：
A
2 2
1.通过以上推导，可以得到怎样的等式？ A24 C24 A22
2.将以上等式变形，即
C
2 4
A
2 4
A
2 2
3.类比猜想：从n个不同元素中，任取m个元素的组合，
公式为？
Cm n
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）一、教学目标1. 让学生理解组合的概念，掌握组合的计算方法。
2. 培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。
二、教学内容1. 组合的定义及计算方法。
2. 组合数的性质及应用。
三、教学重点与难点1. 重点：组合的概念，组合的计算方法。
2. 难点：组合数的性质及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究组合的知识。
2. 利用实例讲解，让学生感受组合在生活中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如抽奖、排列座位等，引导学生思考组合的概念。
2. 新课讲解：讲解组合的定义，介绍组合的计算方法。
3. 例题解析：分析实际问题，运用组合知识解决问题。
4. 课堂练习：设计练习题，让学生巩固组合的知识。
5. 拓展延伸：介绍组合数的性质及应用，引导学生发现数学与生活的联系。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 通过课堂表现、作业完成情况、练习题的正确率等方面评价学生对组合知识的理解和掌握程度。
2. 注重培养学生运用组合知识解决实际问题的能力，鼓励学生积极参与课堂讨论和小组活动。
七、教学资源1. 教材：组合与组合数相关章节。
2. 课件：用于展示组合的知识点和实例。
3. 练习题：用于课堂练习和学生课后巩固。
4. 小组讨论报告模板：用于评估学生在团队合作中的表现。
八、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解组合的定义及计算方法。
2. 第3-4课时：介绍组合数的性质及应用。
3. 第5-6课时：例题解析，运用组合知识解决问题。
4. 第7-8课时：课堂练习，巩固组合知识。
5. 第9-10课时：拓展延伸，发现数学与生活的联系。
九、教学反思1. 课后收集学生反馈，了解学生对组合知识的理解程度和掌握情况。
2. 分析课堂讨论和练习题的解答过程，发现学生存在的问题，及时进行教学调整。
组合数公式教案(1)
第2课时 组合数公式(一)教学内容：组合数的定义和表示，组合数公式(二)教学目标1.能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合与组合数.2.通过利用计数原理分析和解决具体本的组合问题，利用组合数与排列数的关系， 数公式，并能利用公式求具体问题的组合数。
(三)教学重点与难点重点:组合数公式.难点:推导和应用组合数公式.(四)教学过程设计一．公式的引入问题1:在6.2.3节中，我们通过列举数数的广方式得到各问题的组合个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了。
是否能像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷地求出组合个数?师生活动: (1) 为了便于表达和计算组合个数，类比排列数，教师同样可以先引人组合数的定义和表示:把从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，并用符号C;表示.(2)用组合数符号表示6. 2.3节问题1的组合数，并说明组合数与组合有何区别.设计意图:结合已解决的具体问题，类比排列数给出组合数的定义和表示，并与相似的组合概念作对比，引入组合数公式.二.公式的推导问题2:前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A n m 来求组合数C n m 呢?追问(1): (1)我们知道，可以利用排列数公式求出6.2. 1节问题1的排列数，那么能否在此基础上求出与之有关的6.2.3节问题1的组合数呢?(2)能否用与(1) 同样的方法，求从4个不同元素中取出3个元素的组合数C 43?师生活动:我们已经知道，6.2.1 节问题1中相同元素的排列有3组，每组的排列数是2， 即排列数A 32=3×2=6;而6. 2.3节问题1中的每一一组都对应着6.2.1节问题1中相同元素的一 组排列，且组合数C 32=3. 这样，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数C 32，并且C 32=A 32A 22=3追问(2):依据求组合数C32和C43的方法，如何求组合数C n m?师生活动:求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数入”，可以看作由以下两个步骤得到:第1步.从n个不同元素中取出m个元素，共有C n m种不同的取低，第2步，将取出的m个元素作全排列，共有A m m种不同的排法，根据分步乘法计数原理，A n m=C n m A m m,问题3:上述组合数公式有什么特点?使用公式需要注意什么?师生活动:在解决问题3的过程中，教师可向学生提出以下问题:(1)与排列数公式比较，二者有什么相似和不同?(2)在求组合数时，应该如何选择两个公式?设计意图:通过辨析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解，并规定C0n＝1.4.公式的应用师生活动:在完成例1的过程中，可以向学生提出下列问题:设计意图:通过利用公式求组合数，以把握公式的结构，加深对公式的理解.三．课堂练习例1求值：(1)3C38－2C25；＋C3n21＋n.(2)C38－n3n例2在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这1000件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种师生活动:在完成例2的过程中，可以向学生提出下列问题:(1) 这是一个排列问题还是组合问题?(2)应该根据什么计数原理解决问题?(3)能否对同一问题给出不同的方法?(4)能否归纳求组合问题的一般方法?设计意图:通过应用公式解决问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法、课堂练习：有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩.(1)共有多少种不同的选法?(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法?(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法?设计意图:通过应用，进一步巩固公式，熟悉解决组合问题的一般方法，提高分析和解决间题的能力，发展数学运算和数学建模的素养.例4课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．课堂练习：某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有()A．210种B．420种C．56种D．22种四．课堂小结教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题:(1)提出一个组合问题，并结合问题说明组合与组合数的区别.(2)组合数公式是如何推导的?(3)如何解决组合问题?应用组合数公式时需要注意什么?设计意图:通过问题形式，明确组合数的概念，回顾组合数公式的推导，总结解决组合问题的一般方法.五.课后反思。
组合与组合数公式-教学教案
写出从 , , , 四个元素中任取三 个元素的所有组合。
c b
d
c
d
bc
d
， ，， .
写出从 , , , 四个元素中任取三 个元素的所有排列.
c d b d b c c d a d a cb d a d a b b c a c a b
bcd acdabd abc
a
b
c
d
所有的排列为：
组合
排列
想一想
什麽是两个相同的排列？ 什麽是两个相同的组合？
从 , , 三个不同的元素中取出 两个元素的所有组合分别是
,,
已知个元素 , , , ,写出每次取出 两个元素的所有组合.
a
b
c
bcd c d
d
,,,, ,
练习
中国、美国、古巴、俄罗斯四 国女排邀请赛，通过单循环决出冠 亚军．
（）列出所有各场比赛的双方；
（）列出所有冠亚军的可能情况。
（） 中国—美国 中国—古巴 中国—俄罗斯 美国—古巴 美国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（）
冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
组合数公式
从 个不同元素中取出 (≤) 个 元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合 数，用符号 表示。
组合与组合数公式
复习回顾
. 有本不同的书，把其中的本排在书 架上，有多少种不同的排法？
. 甲站与乙站的铁路线上，中间还有 个站，共需要准备多少种普通客票？
组合与组合数公式教案
组合与组合数公式教案【教学目标】1、正确理解组合与组合数的的概念；2、弄清组合数与排列数之间的关系；3、理解组合数与排列数之间的关系；4、能运用组合数公式能解决简单的计算、化简问题。
【教学过程】一、复习引入：排列的概念及排列数公式。
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的一项活动，有多少种不同的选法？分析：这一问题与排列中的问题1有什么不同？问题2：从1，2，3三个数字中选两个数字，能构成多少个不同的集合？二、新授：组合的概念：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。
注：①排列与组合的区别；②相同的组合的含义。
思考：1，2，3和1，3，2是相同的组合吗？练习：写出从4个不同元素a、b、c、d中取出2个的所有不同组合。
三、组合数公式1、组合数公式的概念及表示从n 个不同的元素中取出m （m≤n）个元素的所有组合的个数，叫作从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数。
记作mn C练习：求18C ，67C ，23C 。
2、组合数公式的推导⑴排列数与组合数的关系考察：从4个不同元素a 、b 、c 、d 中取出3个元素的排列数与组合数的关系。
① 3个元素的排列与组合的关系；每一个组合都对应着6个不同的排列；② 求34A 的步骤⒈ 选3个元素34C ；⒉ 排3个元素33A 。
∴333434A C A ⋅=，⇒333434A A C =推广：求从n 个不同的元素中取出m （m≤n）个元素的排列数mn A 的步骤：第一步：先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；第二步：求每一个组合中m 个元素的全排列数mm A ；根据分步计数原理，得到mm m n m n A C A ⋅=因此，我们得到组合数公式：!m )1m n ()2n )(1n (n A A C m m m n m n +---== （m 、n∈+N ，m≤n）-----⑴⑴还可写成：)!m n (!m !n C m n -=----------------------------------------⑵四、例题选讲1、 计算(1)29C (2)58C （3）735C2、 求证组合数的两个重要性质： ⑴m n mn n C C -=⑵11m m m n n n C C C -+=+3、求证：⑴1m 1n 1m n m n C 1n 1m C m n 1m C +++++=-+=⑵1k 1n k n nC kC --=3、 已知15:56C :C n)1n (21n n 2=--，求n.小结：1、组合的概念；2、组合数及组合数公式。
组合及组合数公式教案设计
组合及组合数公式授课设计
授课目标
1、感情目标：欢喜本质的学习环境，体验到数学的应用价值。
2、能力目标：培养数学的本质应用能力。
3、知识目标：理解掌握组合问题和组合数公式。
授课难点排列问题与组合问题的差异与联系，实责问题的解决。
授课重点
1、组合问题的特色；
2、组合数公式。
研究点合作研究在中职数学课堂授课中的应用。
预习大纲
1、排列与组合的看法，有什么共同点、不相同点？
2、什么叫做相同的组合？
3、组合与组合数有什么差异？
4、组合数与排列数有什么关系？
5、会推导组合数公式
排列和组合的共同点于不相同点
共同点 :都要“从 n 个不相同元素中任取 m 个元素”不
相同点 :对于所取出的元素，排列要“依照必然的序次排
成一列”，而组合倒是“无论怎样的序次并成一
组”．排列与元素的序次有关，而组合则与元素的序次
没关
预习问题点拨
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点
拨
判断以下问题是组合问题还是排列问题?
(1)设会集 A ={ a,b ,c,d ,e} ，则会集 A 的含有 3 个元素的子集有多少个 ?
(2)某铁路线上有 5 个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票 ?
有多少种不相同的火车票价？
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?
(5)从 4 个风景点中选出 2 个安排旅游 ,有多少种不相同的方法 ?
(6)从 4 个风景点中选出 2 个,并确定这 2 个风景点的旅游序次 ,有多少种不相同的
方法 ?
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最新人教版高中数学选修2-3《组合》示范教案(第1课时)
1．2.2组合整体设计教材分析排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序．教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通．学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列．在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题．排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述．也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程．据笔者观察，有些同学之所以在学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法)．要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题．久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．过程与方法通过具体实例，体会组合数的意义，总结排列数A m n与组合数C m n之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合的概念和组合数公式．教学难点：组合的概念和组合数公式．教学过程引入新课提出问题1：回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列的概念和排列数公式．活动设计：教师提问．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．5．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N ，m≤n)．6．阶乘：n！表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘．规定0！＝1.7．排列数的另一个计算公式：A m n＝n！(n－m)！.设计意图：检查学生的掌握情况，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：分析下列两个问题是不是排列问题，为什么？问题(1)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题(2)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？活动设计：学生自己分析，教师提问．活动成果：问题(1)中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而问题(2)只要求选出2名同学，是与顺序无关的，不是排列．我们把这样的问题称为组合问题．设计意图：引导学生通过具体实例找出排列与组合问题的不同，引出组合的概念．探索新知提出问题1：结合上述问题(2)，试总结组合和组合数的概念．活动设计：学生小组讨论，总结概念．活动成果：1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C m n表示．设计意图：培养学生的类比和概括能力．理解新知提出问题1：判断下列问题是组合问题还是排列问题？(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？(5)10个人互通电话一次，共打了多少个电话？活动设计：小组交流，共同分析．活动成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是组合．设计意图：通过具体实例比较排列和组合，加深对组合的理解．提出问题2：试找出排列和组合的区别和联系．活动设计：小组交流，教师提问，学生补充．活动成果：1．区别：(1)排列有顺序，组合无顺序．(2)相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．2．联系：(1)都是从n 个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；(2)排列可以看成先组合再全排列．设计意图：加深对排列组合的理解，为推导组合数公式奠定基础．提出问题2：你能类比排列数的推导过程和排列与组合的联系推导出从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数C 34是多少吗？活动设计：小组交流，共同推导．活动成果：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34可以求得，故我们可以考察一下C 34和A 34的关系，如下：组合 排列abc→abc ，bac ，cab ，acb ，bca ，cbaabd→abd ，bad ，dab ，adb ，bda ，dbaacd→acd ，cad ，dac ，adc ，cda ，dcabcd→bcd ，cbd ，dbc ，bdc ，cdb ，dcb由此可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C 34个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A 33种方法．由分步乘法计数原理得：A 34＝C 34·A 33，所以，C 34＝A 34A 33. 设计意图：从具体实例出发，探索组合数的求法．提出问题3：你能想出求C m n 的方法吗？活动设计：小组交流，共同推导．活动成果：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C m n ，可以分如下两步：①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数A m n ；②求每一个组合中m 个元素的全排列数A m m ，根据分步乘法计数原理得：A m n ＝C m n ·A m m .得到组合数的公式：C m n ＝A m n A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C m n ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m ∈N ，且m≤n)． 规定：C 0n ＝1.设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出组合数公式．运用新知类型一：组合数公式的应用1计算：(1)C 47； (2)C 710.解：(1)C 47＝7×6×5×44！＝35； (2)解法1：C 710＝10×9×8×7×6×5×47！＝120.解法2：C 710＝10！7！3！＝10×9×83！＝120. 【巩固练习】求证：C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n. 证明：∵C m n ＝n ！m ！(n －m)！， m ＋1n －m ·C m ＋1n ＝m ＋1n －m ·n ！(m ＋1)！(n －m －1)！＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m)(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m)！， ∴C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n. 【变练演编】设x ∈N *，求C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值．解：由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x≤4， ∵x ∈N *，∴x ＝2或x ＝3或x ＝4.当x ＝2时原式的值为4；当x ＝3时原式的值为7；当x ＝4时原式的值为11.∴所求的值为4或7或11.类型二：简单的组合问题例2一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？思路分析：对于(1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于(2)，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C 1117＝12 376.(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1117种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C 111种选法．所以教练员做这件事情的方式种数为C 1117×C 111＝136 136.【巩固练习】(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段条数为C 210＝10×91×2＝45.(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A 210＝10×9＝90. 【变练演编】(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n(n>3)边形有多少条对角线？解答：(1)凸五边形的五个顶点中，任意两个顶点的连线是凸五边形的一条对角线或是一条边，所以，凸五边形的对角线条数为C 25－5＝5.(2)凸n 边形的n 个顶点中，任意两个顶点的连线是凸n 边形的一条对角线或是一条边，所以，凸n 边形的对角线条数为C 2n －n ＝n(n －3)2. 【达标检测】1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：(1)从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？(2)从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为( )A ．42B ．21C ．7D ．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有( )A ．15对B ．25对C ．30对D ．20对 答案：1.(1)是组合问题 (2)是排列问题 2.B 3.A课堂小结1．知识收获：组合概念、组合数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．A ，B ，C ，D ，E 5个足球队进行单循环比赛，(1)共需比赛多少场？(2)若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？2．空间有10个点，其中任何4点不共面，(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？3．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？4．写出从a ，b ，c ，d ，e 这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合．答案：1.(1)10 (2)20 2.(1)C 310＝120 (2)C 410＝210 3.C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝24－1＝15.4．a ，b ，c ，d a ，b ，c ，e a ，b ，d ，e a ，c ，d ，e b ，c ，d ，e.【拓展练习】5．第19届世界杯足球赛于2010年夏季在南非举办，共32支球队有幸参加，他们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，共有8C24＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．设计说明本节课是组合的第一课时，主要目标是学习组合的概念，探究组合数公式，并利用组合数公式解决简单的计数问题．主要特点是：类比排列数公式的推导方法，抓住排列和组合的区别和联系，利用排列数公式推导出组合数公式．本节课的设计充分体现教师所提问题的主导作用和学生根据问题自主探究的主体地位，学生在与教师和与同学的思维碰撞中自主学习、自主探究．备课资料在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合．有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有A88种方法．错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法．正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题．这样共有：C38＝56种排法．(设计者：殷贺)。
【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修2-3教学案 第一课时 组合与组合数公式及组合数的两个性质(Word)
【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修2-3教学案第一课时组合与组合数公式及组合数的两个性质（Word）[例1](1) 10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？[思路点拨] 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．[精解详析] (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．[一点通]要区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．1．求从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，得到的对数的个数有多少，是________问题；若把两个数相乘得到的积有几种，则是________问题．(用“排列”“组合”填空)解析：从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，交换a，b的位置后所得对数值不同，应为排列问题；取两个数相乘，如2×3与3×2的积是相等的，没有顺序，故为组合问题．答案：排列组合2．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.[例2](2)证明：mC＝nC；(3)已知－＝，求C＋C.[思路点拨] (1)(2)运用公式进行化简即可，(3)先求出m的值，再进行计算．[精解详析] (1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.(2)证明：mC＝m·＝错误!＝n·＝nC.(3)∵－＝－，7＝，10Cm7∴－错误!＝，∴1－＝，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.而0≤m≤5，∴m＝2.∴C＋C＝C＋C＝C＝84.[一点通]1．组合数公式C＝错误!体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．2．组合数公式C＝的主要作用：一是计算m，n较大时的组合数；二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．另外，当m>时，计算C可用性质C＝C转化，减少运算量．3．C－C·A＝________.解析：原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.答案：04．若A＝12C，则n＝________.解析：∵A＝n(n－1)·(n－2)，C＝n(n－1)，∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)．又n∈N＋，且n≥3，∴n＝8.答案：85．解不等式－＜.解：n的取值范围是{n|n≥5，n∈N＋}．∵－＜，∴－错误!＜.又∵n(n－1)(n－2)＞0.∴原不等式化简得n2－11n－12＜0，解得－1＜n＜12.结合n的取值范围，得n＝5,6,7,8,9,10,11，∴原不等式的解集为{5,6,7,8,9,10,11}.[例3] (10人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断．[精解详析] (1)从中任取5人是组合问题，共有C＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．[一点通]解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．6．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A的含有3个元素的子集共有________个．解析：从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的含有3个元素的子集，则共有C＝10个．答案：107．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选出2名去参加会议的选法数就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45种．(2)从6名男教师中选2名，有C种选法，从4名女教师中选2名，有C种选法．根据分步乘法计数原理可知，共有不同的选法CC ＝90种．1．排列与组合的异同：A．210种B．42种C．35种 D．6种解析：参加座谈会与顺序无关，是组合问题，共有C＝35种不同的选法．答案：C2．若A＝6C，则m的值为( )A．6 B．7C．8 D．9解析：由A＝6×C得＝6·，即＝，解得m＝7.答案：B3．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是( ) A．CC B．CC25C．C D．AA25解析：按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC种抽法．答案：B4．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )A．20 B．9C．C D．CC＋CC14解析：分两类：第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C个平面；第二类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C个平面．故可确定C＋C＝9个不同的平面．答案：B5．若C＝C，则C＝________.解析：∵C＝C，∴13＝n－7，∴n＝20.∴C＝C＝190.答案：1906．10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：先给甲组选4人，有C种选法，余下的6人为乙组，故共有C＝210种选法．答案：2107．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3人去参观展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，求该科技小组中男生的人数．解：由题意得C·C＝20.解得x＝5.故该科技小组有5名男生．8．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)甲当选且乙不当选；(2)至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有C＝70种选法．(2)至多有3男当选时，应分三类：第一类是3男2女，有CC种选法；第二类是2男3女，有CC种选法；第三类是1男4女，有CC种选法．由分类加法计数原理知，共有CC＋CC＋CC＝186种选法．。
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2.3组合与组合数公式教案
课题 2.3组合与组合数公式
教学目标知识目标：
1.理解组合的意义，弄清组合与排列的区别与联系。
2.掌握组合数公式，弄清组合数和排列数的区别与联系。
3.会应用组合及组合数公式解决简单的组合问题。
能力目标：
培养学生的抽象能力和逻辑思维能力。
职业素养目标：
培养学生团结、合作精神。
教学重点组合的应用
教学难点组合的概念、组合数公式的推导
课型新授教学方法问题情境教
学法，启发
教具多媒体
课后反思
再有了排列部分的学习之后，组
合与组合数定义、公式学起来就比
较好理解了，定义通过相比较，找
出相同点与不同点，识记、理解效
果较好。
授课时
间
2014年 10 月 21 日
第7 周星期一第1、2 节
板书设计
2.3组合与组合数公式
一、组合与组合数
二、组合数公式
三、排列与组合的区别
四、应用
教学环节教学内容教学互动
导入新课讲授新课一、引例导入
在北京、上海、广州民航站的直达航线之间，有多少种不
同的飞机票价？(假定两地间的往返票价和仓位票价是相
同的）
二、新知探究
列举
北京——上海（上海——北京)
北京——广州（广州——北京)
上海——广州（广州——上海）
一般地，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成
一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符
号表示
想一想：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的
排列与组合有何关系？
abc abc bac cab
acb bca cba
abd abd bad dab
adb bda dba
acd acd cad dac
adc cda dca
adc bcd cbd dbc
bdc cdb dcb
A3
4
=C3
4
×A3
3
从而探究得到：
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数A m
n
，可
以分如下两步完成，
第一步，求从这n个元素中取出m个元素的组合数C m
n
出示生活实例
激发学生兴趣
学生思考举例
引导学生
理解记忆
学生分组讨论
小组回答
成员补充
给予课堂评价
理解
第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数A m
m
根据分步计数原理，得 A m
n =C m
n
×A m
m
由组合数公式得
C m
n =
)!
(!
!
m
n
m
n
-
例1计算C4
10及C3
7
解C4
10=
1
2
3
4
7
8
9
10
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
=210；
C3
7=
1
2
3
5
6
7
⨯
⨯
⨯
⨯
=35
例2 从10名运动员中，选出3名参加比赛，问有多少种选法？
解：实际上这是从10个不同元素中取出3个元素的组合问题，即
C3
10=
1
2
3
8
9
10
⨯
⨯
⨯
⨯
=120（种）
例3 平面内有12点中任意3点都不在同一直线上，以任意3点为顶点画三角形，一共可画多少个三角形？
解: 因为平面内的12个点中任意3点都不在同一直线上，所以，任意3个点都可构成一个三角形顶点，那么以平面内12个不同元素中取出3个元素的组合数
C3
12=
1
2
3
10
11
12
⨯
⨯
⨯
⨯
=220(个)
想一想：排列与组合的区别
排列问题与组合问题的根本区别在于取出元素后是否要按一定顺序排列。
元素需要按一定顺序排列属排列问题；不需要考虑元素顺序属组合问题。
引导学生观察公式特点
记忆公式
学生单独思考
口答
学生分析并解答教师引导分析
小组讨论
教师强调
巩固应用专业链接课堂小结例4 （1）从全班50人中选班委7人，共有多少种不同的
选法？
（2）从全班50人中选班长、副班长、学习委员、
体育委员、宣传委员、生活委员、文娱委员各一人，共有
多少种不同的选法？
解:（1）C7
50
=
)!
7
50
(!7
!
50
=99884400（种）；
（2）A7
50
=50×49×48×47×46×45×
44=503417376000(种).
三、巩固应用
1.计算；；+；-.
2.写出a、b、c、d、e从这5个元素中取出2个和3
个元素的所有组合。
3.平面内有4点中，任意3点不共线，那么它们可连
成多少条线段？
引例分析与解决
==3
某产品共100件，其中有5件次品，从中抽取2件进行检
验：
（1）一共有多少件不同的抽法？
（2）不含次品的抽法有有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法共有多少
种？
（4）抽出的3件中至多有1件次品的抽法共有多少
种？
四、课堂小结
1、组合的定义
2、组合数公式
3、组合数公式应用：与顺序无关则属于组合问题
引导学生
分析解决
黑板展示
学生练习
师生共同解决
给学生时间纠错
学生梳理归纳
教师强调
布置作业对于较复杂的排列和组合的综合应用，解题思路是
学生练习先分类后分步，先分组后排列。
4、5、6
上交作业：P
36
预习作业：随机事件和样本空间。