第二章扩散的机制扩散方程及其解演示文稿
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热传导方程与扩散方程
2 ∂u 2 ∂ u 初始问题： ∂t = a ∂x 2 , −∞ < x < +∞, t > 0 u ( x, 0) = ϕ ( x), −∞ < x < +∞
∂u 2 ∂2u 0 < x < l, t > 0 ∂t = a ∂x2 , 混合问题： ux (0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x,0) = ϕ(x) 0≤ x ≤l
ut − a 2u xx = 0, 0 < x < L u x | x =0 = 0, u x | x = L = 0 u | = ϕ ( x) t =0
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
T ' /( a 2T ) = X " / X = −λ
X ' ( 0) = X ' ( L ) = 0
t2
交换积分次序 ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∫t1 ∫∫∫ cρ ∂t − ∂x k ∂x − ∂y k ∂y − ∂z k ∂z dxdydzdt = 0 Ω
t2
注意到t1 , t 2 及Ω均是任意的, 则有热传导的齐次方程
分离结果的求解 空间方程解出 非零解条件 非零解 时间方程解出
X "+ω 2 X = 0 X ( 0) = X ( L) = 0
T '+ a 2ω 2T = 0
X ( x ) = C cos ω x + D sin ω x X ( 0) = C = 0 X ( L) = D sin ω L = 0
X = cos(wx), w = kπ / L, k = 0,1,2,L, λ = w2
∂u 2 ∂2u 0 < x < l, t > 0 ∂t = a ∂x2 , 混合问题： ux (0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x,0) = ϕ(x) 0≤ x ≤l
ut − a 2u xx = 0, 0 < x < L u x | x =0 = 0, u x | x = L = 0 u | = ϕ ( x) t =0
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
T ' /( a 2T ) = X " / X = −λ
X ' ( 0) = X ' ( L ) = 0
t2
交换积分次序 ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∫t1 ∫∫∫ cρ ∂t − ∂x k ∂x − ∂y k ∂y − ∂z k ∂z dxdydzdt = 0 Ω
t2
注意到t1 , t 2 及Ω均是任意的, 则有热传导的齐次方程
分离结果的求解 空间方程解出 非零解条件 非零解 时间方程解出
X "+ω 2 X = 0 X ( 0) = X ( L) = 0
T '+ a 2ω 2T = 0
X ( x ) = C cos ω x + D sin ω x X ( 0) = C = 0 X ( L) = D sin ω L = 0
X = cos(wx), w = kπ / L, k = 0,1,2,L, λ = w2
4扩散 PPT课件
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6
1、 扩散方程的通解：（数学部分自学） 可得到
无限大物体扩散方程的通解式（3-11） －∞≤x≤∞ 半无限大的物体扩散方程通解，式（3-13）
0≤x≤∞ 2、 扩散方程的特解：（数学部分自学） 限定源：书P70（3-20）（3-21）式浓度分布 恒定源：（3-32）浓度分布
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x
2Dt
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四、两步扩散
由上述分析可见，恒定表面浓度的扩散，难于制作出低表 面浓度的深结；有限源扩散不能任意控制杂质总量，因而难于 制作出高表面浓度的浅结。为了同时满足对表面浓度、杂质总 量以及结深等的要求，实际生产中常采用两步扩散工艺：第一 步称为 预扩散 或 预淀积，在较低的温度下，采用恒定表面浓度 扩散方式在硅片表面扩散一层杂质原子，其分布为余误差函数， 目的在于控制扩散杂质总量；第二步称为 主扩散 或 再分布，将 表面已沉积杂质的硅片在较高温度下进行有限源扩散，以控制 扩散深度和表面浓度。
40
The End
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3
Wi
4
1
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2
3
1
2
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2、 替位式扩散机构
B、P、As、Sb、Al、Ga、Ge等杂质。替 位杂质：占据晶格位置的外来杂质。如 果替位杂质周围无空位，它必须要互相 换位（与晶格上的原子，如B、Si等）才 能实现往邻近晶格上运动
12 3
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替位模式
Ws
1
2
3
45
填隙模式
4.2 扩散方程
例2、制造npn大功率管，功率为50-100W，频率 1 5 0 KHz， 击 穿 电 压 VB 为 8 0 0 V， 最 大 电 流 Imax为20A，电流放大系数β≥10-20，表面 电阻R 为100-150Ω/ □
热传导方程(扩散方程)ppt课件
( x ,t0) ( x )
波方程的Cauchy问题
由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为 边值问题。
u0, (x,y),
u f (x, y).
Laplace方程的边值问题
由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为混合问题。
uutt0a2(u(xxx,y,uzy)yuzz)0
kn|x0k(x) qnq0
u x
|xl
q0 k
u x |x0
q0 k
xl
若端点是绝热的，则
u u x|xl x x0 0
三、定解问题
定义1 在区域 G[0,) 上，由偏微分方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题。
u ut x,a 02 u xx (x 0),,
注 1、热传导方程不仅仅描述热传导现象，也可以
刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；
2、上述边界条件形式上与波动方程的边界条件 一样，但表示的物理意义不一样；
3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方 程有两个初始条件。
4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分 布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导方
gk1 k
u1.
注意第三边界条件的推导：
研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题
把一个温度变化规律为 u(x, y, z, t)的物体放入 空
气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度
为 u1(x, y, z, t)，它与物体表面的温度u(x, y, z, t)并不
相同。这给出了第三边界条件的提法。
或
u knk1(uu1).
即得到（1.10）： ( u nu)|(x,y,z) g(x,y,z,t).
材料化学 第二章 缺陷与扩散
第二章 缺陷与扩散§2。
1 扩散的基本知识扩散系数与温度的关系可以用)exp()exp(00kThD kT g D D ∆-•=∆-•= 式2-1-1 来描述。
其中的h ∆为晶格中的原子从一个稳定位置移动到另一个相邻的稳定位置之间要克服的能垒。
扩散系数的单位是sec /2cm ，它反映了某物质在一定情况下扩散的难易程度。
反映扩散规律的基本公式为菲克第一和第二定律：菲克第一定律：C D J →→→∇•-=，式中的→J 是扩散通量，单位为sec)/(2•cm g 或sec)/(2•cm mol ；C 是扩散物质的浓度；负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反。
第一定律适用于稳态扩散的情况，对三维扩散，)(zCD y C D x C D J z y x∂∂+∂∂+∂∂-=→；对一维扩散，xCD J x∂∂-=→。
菲克第二定律：A R C V C D tC +•∇•-••∇=∂∂→→)(2，描述了浓度随时间的变化规律。
式中右边的第一项表示直接和物质的扩散性质有关的影响；第二项表示体系运动的影响；第三项表示体系中化学反应的影响。
晶体中的扩散路径为： 1）表面扩散 2）晶界扩散 3）位错扩散 4）晶格扩散若用l d g s Q Q Q Q ,,,分别代表单独通过这四种路径扩散所需能量，用l d g s D D D D ,,,分别代表这四种扩散途径的扩散系数，则有：l d g s Q Q Q Q <<<，l d g s D D D D >>>。
可见扩散由1）到4）是由易到难的，故一般情况下晶体内的扩散以晶格扩散为控速环节。
§2。
2 扩散驱动力扩散的驱动力是体系中存在的化学位梯度。
从微观角度考虑：体系中的A 物质沿x 方向扩散时，作用在每一个原子上的力为：xG N F Aa ∂∂•-=1 式2-2-1 其中的A G 是体系中某位置A 原子的摩尔化学位，a N 是阿佛加德罗常数。
扩散原理PPT课件
LnN i
扩散系数热力学 因子
对于理想混合体系，活度系数
D
* i
自扩散系数
i 1 D i D i*RT i B
；
Di组分i的分扩散系数，或本征扩散系数
.
16
讨论：
(1)扩散 外界条件：u/ x的存在
Di 代表了质点的性质，如 半径 、电荷数、极化性能等
基质结构：缺陷的多少；杂质的多少
1 Ln i
Jx＝－DCx
J x d xJ x ( J x ) d x D C x x ( D C x ) dx
x x+dx
x
净 增 JJ x ＋ 量 d xJ x x(DC x)dx
J(DC) x x x
又JCC(DC)D2C x t t x x x2
三维表C 达 D (式 2C为 .2C ： 2C)
缺陷的多少
(3) 稳定扩散(恒源扩散)
不稳定扩散
C
C
C
J
C/ x=常数
C/ t0
J/ x 0
t
x
.
t
8
x
三维表达式：
J＝ iJx
jJy
kJz
D(iC j CkC) x y z
用途：
可直接用于求解扩散质点浓度分布不随 时间变化的稳定扩散问题。
.
9
二、 Fick第II定律
推导：取一体积元，分析x→x＋dx间质点数 在单位时间内 x 方向的改变，即考虑两个相距为 dx 的平行平面。
散， 质点所受的力
推导D：
高u
Fi
ui x
Vi 低u Fi
对象：一体积元中 多组分中i 组分质点的扩散
i质点所受的力：
Fi
扩散系数热力学 因子
对于理想混合体系，活度系数
D
* i
自扩散系数
i 1 D i D i*RT i B
；
Di组分i的分扩散系数，或本征扩散系数
.
16
讨论：
(1)扩散 外界条件：u/ x的存在
Di 代表了质点的性质，如 半径 、电荷数、极化性能等
基质结构：缺陷的多少；杂质的多少
1 Ln i
Jx＝－DCx
J x d xJ x ( J x ) d x D C x x ( D C x ) dx
x x+dx
x
净 增 JJ x ＋ 量 d xJ x x(DC x)dx
J(DC) x x x
又JCC(DC)D2C x t t x x x2
三维表C 达 D (式 2C为 .2C ： 2C)
缺陷的多少
(3) 稳定扩散(恒源扩散)
不稳定扩散
C
C
C
J
C/ x=常数
C/ t0
J/ x 0
t
x
.
t
8
x
三维表达式：
J＝ iJx
jJy
kJz
D(iC j CkC) x y z
用途：
可直接用于求解扩散质点浓度分布不随 时间变化的稳定扩散问题。
.
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二、 Fick第II定律
推导：取一体积元，分析x→x＋dx间质点数 在单位时间内 x 方向的改变，即考虑两个相距为 dx 的平行平面。
散， 质点所受的力
推导D：
高u
Fi
ui x
Vi 低u Fi
对象：一体积元中 多组分中i 组分质点的扩散
i质点所受的力：
Fi
扩散3.2
这种由于置换互溶原子因相对扩散速度不 同而引起的标记移动的不均衡扩散现象， 被称为柯肯达尔效应。
§3.3 达肯方程
3.3.1柯肯达尔效应
这种由于置换互溶原子因相对扩散速度不 同而引起的标记移动的不均衡扩散现象， 被称为柯肯达尔（Kirkendall ）效应。
2
Q Ev E
空位扩散激活能Q是由空位形成能ΔEV和空位 迁移能（即原子的激活内能）ΔE组成 原子以空位机制扩散要比间隙扩散困难得多， 主要原因是每个原子周围出现空位的几率较小， 原子在每次跳动之前必须等待新的空位移动 到它的近邻位置。
四、扩散激活能的测量
在物理冶金中，许多重要过程都与温度相关， 如晶粒长大、蠕变速率、腐蚀速度等。如 果在不同温度下测定扩散系数，发现扩散 系数D与温度T之间的关系也可用Arrhenius 方程表达： D=D0e-Q/RT 式中D0和Q取决于物质的成分和结构，但与 温度无关。D0称为扩散常数或频率因子。Q 为扩散激活能(J/mol)
第三章 固体中的扩散
当某些原子具有足够高的能量时，便会离开原 来的位置，跳向邻近的位置，这种由于物质中 原子（或者其他微观粒子）的微观热运动所引 起的宏观迁移现象称为扩散。
物质传输的方式： 1、对流--由内部压力或密度差引起的 2、扩散--由原子热运动引起的 气态和液态物质传输/原子迁移可以通过对流 和扩散两种方式进行，对流要比扩散快得多。
扩散激活能一般靠实验测量，首先将式两边取对数
Q ln D ln D0 kT
(1)由实验测定在不同 温度下的扩散系数，并 以1/T为横轴，lnD为纵 轴绘图。 (2)如所绘的是一条直线， 根据上式，直线的斜率为 －Q/k，与纵轴的截距为 lnD0
第二章扩散
本体原子
杂质原子
不需要自填隙本体原子来推动扩散过程的进行
3、Fair空位模型：
建立在空位扩散机制的基础上
1）“空位电荷"：中性空位俘获电子，使其带负电；中性空位 的邻位原子失去电子，可使空位带正电。 2）空位模型：总扩散率是所有荷电状态的空位的扩散率的加权 总和，加权系数是这些空位存在的概率。 带电空位的数量 总扩散率表达式：
■
硅中杂质的扩散率曲线(低浓度本征扩散)：
■ 中性空位的扩散率：
其中，E0a是中性空位的激活能(eV)；
D00是一个与温度无关的系数，取决于晶格结构和振动频率。(cm2/s)
■
如果必须考虑带电空位的扩散率，则扩散率就是位置的函
数，因而费克第二定律方程必须采用数值方法来求解。
4、费克第二定律的分析解
1、横向扩散：杂质在纵向扩散的同时，也进行横向的扩散
■
一般横向扩散长度是纵向扩散深度的0.75 - 0.85；
横向扩散的存在影响IC集成度，也影响PN结电容。
■
2、内建电场的影响
高温下杂质处于离化状态，杂质离子与电子(空穴)同时向低浓 度方向扩散。电子(空穴)扩散速度快，形成空间电荷层，建立 一自建电场，使离子运动形式为扩散+漂移。 有效扩散系数Deff
费克简单扩散方程 1） 第一种边界条件：(预淀积扩散) 在任何大于零的时刻，表面的杂质浓度固定
此时扩散方程的解为： 被称为特征扩散长度(pm)； Cs是固定的表面杂质浓度(/cm3) 预淀积扩散又被称为恒定表面源(浓度)扩散；在实际工艺中， Cs的值一般都是杂质在硅中的高浓度，与温度有关。
2、杂质扩散机制
(3) 空位扩散(vacancy-assisted Diffusion Mechanism)
分子扩散基本定律详解演示文稿
例3-1
计算温度为25C，压力为105Pa的干空气中O2和N2的质量分数及干空
气的平均分子量。
解： 取1Kmol干空气作为基准，则其中有 O2：10.21=0.21kmol或0.2132=6.72kg
N2：10.79=0.79kmol或0.7928=22.12kg
故1Kmol干空气的质量为6.72+22.12=28.84kg
第21页，共25页。
例3-2 温度为25C，总压力为105Pa的甲烷-氦(CH4-He)混合物盛于一容器中， 其中某点的甲烷分压为0.6105Pa，距离该点2.0cm处的甲烷分压降低为
0.2105Pa。设容器中总压恒定，扩散系数为0.675cm2/s，试计算甲烷在稳
态时分子扩散的摩尔通量。
解： 容器中的系统为二元扩散系统，设甲烷为A组分，氦为B组分
T为混合气体的绝对温度。
第9页，共25页。
§3-1 分子扩散基本定律
成分表示法
质量百分数和摩尔百分数
质量百分数：混合物中某一组分i的质量浓度与混合物总质量浓度 之比，用wi 表示。
w i
i
i
n
i
i1
根据质量分数的定义，则
(3-6)
n
wi 1
i1
(3-7)
第10页，共25页。
§3-1 分子扩散基本定律
对流传质。
第6页，共25页。
§3-1 分子扩散基本定律
一、基本概念
1、浓度
定 义：在多元混合物中，各组分在混合物中所占分量的多少。表示法： 质量浓度和物质的量浓度。
质量浓度：在单位体积混合物中某一组分 i的质量称为该组分的质量 浓度，用i 表示，单位为Kg/m3。
i
扩散(课件)PPT幻灯片课件
q Q － T
At
x
J dG D(ｃ)
Adt
x
热通量——是单位时间，单位面 积传递的热量。
扩散通量——单位时间内通过单位横截面的粒
子数。用J表示，为矢量。
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扩散具有方向性，且是各个方向的，故J 用矢量表示：
J iJ x jJ y kJ z D(i c j c k c )
有关，令c kP ，而且通常在金属膜两测
的气体压力容易测出。因此上述扩散过程 可方便地用通过金属膜的气体量F表示：
F
JxA
Dk(P2 l
P1) A
31
（二）不稳态扩散
非稳态扩散，求解菲克第二定律方程，可得c(x,t), 偏微分方程的解只能根据所讨论的初始条件和边 界条件而定，过程的条件不同，方程的解也不同。 一般情况下，Ｄ为常数时，解符合以下两种形式： （１）若扩散路程相对初始不均匀性的尺度来说 是短小的，则浓度分布作为路程和时间的函数， 可用误差函数很简单的表示出来。所谓短时解。 （２）扩散接近于完全均匀时，c(x,t)可用无穷三 角级数的第一项表示。所谓长时解。
即菲克第二定律。
26
菲克第一定律和菲克第二定律本质相同，均表明扩散的 结果是使不均匀达到均匀，非平衡逐渐达到平衡。
J D(ｃ) x
C t
D
2C x 2
27
2.2.3 扩散方程的应用
对于扩散的实际问题，一般要求算出 穿过某一曲面（如平面、柱面、球面等）的 通量J，单位时间通过该面的物质量 dm/dt=AJ，以及浓度分布c(x,t)，为此需要 分别求解菲克第一定律及菲克第二定律。
15
讨论：
根据迁移所需要的能量，在以上各种 扩散中： 1.易位扩散所需的活化能最大。
材料科学概论 1.6 扩散PPT课件
（2）Fick第二定律（Fick’s Second Law）
Fick第二定律解决溶质浓度随时间变化的情 况，即 dc/dt≠0。
两个相距dx垂直x轴的平面 组成的微体积，J1、J2为进入、 流出两平面间的扩散通量。 单位时间内物质流入体积元的速率应为： 在dx距离内，物质流动速 率的变化应为：
所以在平面2物质流出的速率应为：
x
式中：“-”号表示驱动力与化学位下降的 方向一致，也就是扩散总是向化学位减少的方向 进行的。
扩散的热力学因子 组元i的扩散系数可表示为
Di=KTBi(1+ lni/ lnCi)
其中，(1+ lni / lnCi) 称为热力学因子。 当(1+ lni / lnCi)<0时，Di<0,发生上坡扩散。
中的原子结合方式不同，这就导致了三种类型 固体中原子或分子扩散的方式不同。
扩散现象(Diffusion)
当外界提供能量时，固体金属中原子或分子偏离平衡
位置的周期性振动，作或长或短距离的跃迁的现象。
(原子或离子迁移的微观过程以及由此引起的宏观现象。)
(热激活的原子通过自身的热振动克服束缚而迁移它处的
图4.14 间隙机制 示意图
3. 空位机制 晶体中存在着空位。这些空位的存在使
原子迁移更容易，故大多数情况下，原子扩 散是借助空位机制，如图4.15，图4.16a以及 图4.17。
图4.15 空位机制 示意图
图4.16 （a）（b）
Diffusion by Vacancy Mechanism
Motion of atom
Motion of vacancy
Cu
Ni
图4.17 Diffusion by Vacancy Mechanism
环境流体力学第二章分子扩散..
M x F( , )0 c Dt Dt
M x c( x, t ) f( ) 4 Dt 4 Dt
c ( x, t ) x =f ( ) M 4 Dt 4 Dt
式中:f为待定函数，在上式中写上4π和4，目的是使最终的 解较为简明; M是全部污染物的质量，量纲是[M]
确定待定函数f
第五节 一维扩散方程的基本解
Q ( x, t ) [Q ( x, t ) Q ( x, t ) c( x, t ) x ] x x t
Q c 0 x t
Fick定律：
Q D c x
c 2c D 2 t x
二阶线性抛物 型偏微分方程
如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以 热扩散系数a（或导温系数）代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。 分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。
进一步令 (h ) df ，有 2h f:
dh
d 0 dh
df dh f 2h ln f ln h
1 2
df 2h f k1 即θ =常数k1,因此有： 。 dh
ln A
以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为:
2 df h 2h f 0 它的通解为： f k0e dh
令染液投入点为坐标原点
0
x
第五节 一维扩散方程的基本解
1.定解条件 一维分子扩散方程：
c 2c D t x 2
瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的 解析解。定解条件在数学上表达为： （1）初始条件： c(x,0)=M(x)
( x)
x 0 0 x 0
2
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大， 分布曲线愈平坦。
金属物理之扩散
2.1
概述
一、扩散的定义
◆ 扩散就是物质中原子或分子的迁移现象，是物质传输的一种方式。 实践经验告诉我们，除了一些特殊情况外，一个成分不均匀的单 相体系会趋于变成成分均匀的体系。这一均匀化的过程就是原子或分 子扩散的过程。其实质是原子无规则布朗运动。 人们对气体和液体中的扩散现象并不陌生，如气味飘散，向静水 中滴加墨水等，虽然扩散现象在固态物质中不易察觉，但确实存在。 金属晶体中的扩散是指原子在晶体中的迁移过程，它与缺陷运动 密切相关。与液体或气体一样，金属中扩散的本质也是在热激活缺陷 的不断产生和复合过程中，原子不断由一处向另一处作无规则运动。 许多材料加工过程就是利用扩散来实现工艺目的的，比如铸件的 均匀化退火、金属扩散焊连接、金属表面渗碳、粉末合金烧结、高温 蠕变、金属凝固、相变等，都与扩散有密切联系。
一、稳态扩散
所谓稳态扩散，就是扩散的浓度场各处的浓度保持不变时，即浓 度场不随时间而变。
稳态扩散通常是在恒边界条件，即在边界浓度保持不变的情况下， 有限尺寸的试样经历比较长的时间扩散后达到的一种平衡状态。
当D为常数时：
c 0 2c 0 t
A和B是常数，根据边 界条件来确定
1、 一维扩散
如果在扩散系统内存在物质的 源和阱，那么系统内就有物质 的产生和湮灭。根据物质守恒 原理，在一个体积元内△v 内， 单位时间内流入这体积的物质 与流出这体积的物质的差值就 等于个体积单元在这一时间段 的物质积聚或消失的速度。 单位时间内的物质变化量：
J x,y,z J x i J y j J z k
2、按扩散方向与浓度梯度的方向的关系分为
① 下坡扩散 下坡扩散是沿着浓度降低的方向扩散，使浓度趋于均 匀化（如渗碳）。 ② 上坡扩散 沿着浓度提高的方向扩散即为上坡扩散，使浓度发生 两极分化 。上坡扩散的驱动力也可以是弹性应力梯度、电位梯度或温 度梯度。
数学物理方程的扩散方程
数学物理方程的扩散方程扩散方程是数学物理中的重要方程之一，它描述了物质或能量在空间中的传播过程。
扩散方程的一般形式可以表示为：∂u/∂t = D∇²u其中，u是待求函数，通常表示物质或能量的浓度或温度；t是时间；D是扩散系数；∇²是拉普拉斯算符，表示二阶偏导数的空间算子。
扩散方程的形式非常简洁，但却可以描述许多重要的自然现象。
比如，它可以用来描述液体或气体中的物质扩散过程、传热过程中的温度分布以及化学反应中的物质传递等。
在生物学中，扩散方程被广泛应用于描述生物分子在细胞内的传输过程。
细胞内的分子可以通过扩散来传递信息或执行特定的生理功能。
扩散方程可以用来模拟细胞内分子的浓度分布，并预测分子传输的速率和方向。
这对于理解细胞内生物化学过程的机制非常重要。
在地理学中，扩散方程也被用来研究大气和水体中的物质传输过程。
比如，通过扩散方程可以模拟大气中的污染物的扩散和传播，预测其对环境和人体健康的影响。
扩散方程还可以用来研究海洋中的盐度和温度分布，以及海流的形成和演变。
在工程学中，扩散方程被广泛应用于热传导、质量传输和动量传输等方面。
比如，在工业生产中，通过扩散方程可以模拟材料中的热传导过程，用于设计和改进热交换器、燃烧器等设备。
扩散方程还可以用来研究流体中的动量传输，例如在水力学和空气动力学中的应用。
除了上述应用外，扩散方程还在许多其他领域发挥着重要作用。
比如在金融学中，扩散方程被用来模拟股票价格的变动和金融市场的波动。
在环境科学中，扩散方程可以用来研究土壤中的污染物扩散和地下水的流动。
扩散方程是数学物理中的重要方程，具有广泛的应用价值。
通过研究扩散方程，我们可以深入理解物质或能量传播的机制，并在实际问题中进行预测和优化。
扩散方程的研究对于推动科学技术的发展和解决社会问题具有重要意义。
第二章扩散的机制扩散方程及其解
2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
扩散通量为：
J dm 1
dt 4r2
由菲克第一定律得：
稳态扩散的空心球体
第二十页，课件共有135页
dmD4r2 dC
dt
dr
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
根据已知的边界条件有：
r2 r1
dmdr C2
dtr2
C1
4DdC
由稳态扩散条件
J
a
H
J
g
H
JH aD aCgaalaC 1D laafaH a i faH 1 a
JH g Dg C2 lgCggaD lgg a fH gg a fH ig
C 1 C 2 分别为H在两相中的浓度;
a a 分别为H在两相中的活度; ag
f a f g 分别为H在两相中的活度系数;
第二十第五二十页五页，，课课件件共共有13有5页135页
x2 x1
ddm t dxCC12
DAdC
扩散物质的流量
d dm tx2x1D AC2C1
dmD AC 2C 1D AC 2C 1
dt
x2x1
l
l ：x1与x2两点间距离
第十第六十六页页，，课课件件共共有有1315页35页
2.1.1 菲克第一定律及其应用
例 8.1 推导欧姆定律
ΔC 引起的电位差 U C K
例如一层可以是纯铁，另一层可以是奥氏体不锈钢
两相层的厚度
a相的厚度为
la
g相的厚度为
lg
设扩散物质为氢 (H)，由于它在
a相与g相中具有一定的溶解度
aa
aa faC1
ag fg C2
固体扩散机制及扩散动力学方程-PPT精品.ppt
（1） 一维扩散
如图3所示，在扩散方向上取体积元 Ax,Jx和 J xx 分
别表示流入体积元及从体积元流出的扩散通量，则在Δt时 间内，体积元中扩散物质的积累量为
m (JxA Jx xA ) t
m JxJx x
xA t
x
C J
t
x
C (DC) t x x
图5 扩散流通过微小体积的情况来自2.稳定扩散和不稳定扩散
1）稳定扩散 稳定扩散是指在垂直扩散方向的任一平面上，单位时间内
通过该平面单位面积的粒子数一定，即任一点的浓度不随
时间而变化，
J=const。
2）不稳定扩散
C 0 t
不稳定扩散是指扩散物质在扩散介质中浓度随时间发生变
化。扩散通量与位置有关。
二、 菲克第一定律
1858年，菲克（Fick）参照了傅里叶（Fourier）于 1822年建立的导热方程，获得了描述物质从高浓度区 向低浓度区迁移的定量公式。 假设有一单相固溶体， 横截面积为A，浓度C不均匀，在dt时间内，沿方向通 过处截面所迁移的物质的量与处的浓度梯度成正比：
（一） 一维稳态扩散 作为一个应用的实例，我们来讨论气体通过金
属膜的渗透过程。设金属膜两侧气压不变，是一个 稳定扩散过程。根据积分得：
x
J x dx
x0
Jx D
c s1
Ddc c s2
s 2 s1
氢对金属膜的一维稳态扩散
因为气体在金属膜中的溶解度与气体压力 有关，令S=kP，而且通常在金属膜两测的 气体压力容易测出。因此上述扩散过程可 方便地用通过金属膜的气体量F表示：
FJxAD(kP2lP 1)A
引入金属的透气率表示单位厚度金属在单位压
差（以为单位）下、单位面积透过的气体流量
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考虑到r=r1时,C=C1;r=r2时,C=C2将上式积分得：
dm ln dt
r2 r1
2lDC2
C1
或
dm 2lD C2 C1
dt
ln r2 / r1
2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
扩散通量为：
J
dm dt
1
4r 2
由菲克第一定律得：
稳态扩散的空心球体
dm D4r 2 dC
dt
dr
第二章扩散的机制扩散 方程及其解演示文稿
优选第二章扩散的机制 扩散方程及其解
第二章 扩散动力学
动力学
本课程的参考教材
徐 瑞 荆天辅 《材料热力学与动力学》
哈尔滨工业大学出版社
孙振岩，刘春明 编著 《合金中的扩散与相变》
东北大学出版社，2002
1. 扩散动力学主要内容
（1） 扩散动力学 （2） 相变动力学
扩散：无数个原子的无规则热运动的统计结果
12
10
Net Displacement=8.2
8
227-step random walk in two dimensions
DisDtisatanncce,e,ynyn
6
4
nn=2=27
2 227
227
0
-2
n=0n =0
This random walk has 360 degrees of freedom per step!
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
根据已知的边界条件有：
r2 dm dr C2 4DdC
体系各向同性 扩散沿 x 方向
J D C x
其中，负号表示扩散方向与浓度 梯度增长方向相反; J 为扩散物质 通量，D为扩散率或称扩散系数
三维表达式 体系各向异性
C C C
J
D
x
i
y
j
z
k D C
C
C
C J Dx Βιβλιοθήκη xi Dyy
j Dz
z
k
适用范围：稳态扩散 (C 0)
1827年 Brown (英植物学家) 水面上花粉的无规则运动
-4
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
DisDtisatanncec, xen , xn
扩散理论研究的两个方面
唯象模型 微观机制
扩散物质浓度分 原子无规则运动与 布与时间的关系 宏观物质流的关系
由德国生理学家菲克（1829-1901） 于1855年提出。
x1
A dt
dx
C2 A
x2
dm dx DAdC dt
x2 x1
dm dt
dx
C2 C1
DAdC
扩散物质的流量
dm dt
x2
x1
DAC2
C1
dm dt
DA
C2 x2
C1 x1
DA
C2
C1 l
l ：x1与x2两点间距离
2.1.1 菲克第一定律及其应用
例 8.1 推导欧姆定律
dm dt
一段时间后，C原子扩 散达到稳定，C / t 0 若圆柱体长度为l, C 原子经过半径为r,由 内向外扩散通量为：
纯铁制成的空心圆柱置于恒温炉中
由菲克第一定律得：
J dm 1
dt 2rl
dm 2lD C2 C1 或
dt
ln r2 / r1
dm dr 2lDdC
dt r
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心圆柱体情况）
2.1 扩散基本定律
菲克第一定律 (Fick’s first law) 稳态扩散 (C 0)
t
扩散过程中各点浓度不随时间改变
菲克第二定律 (Fick’s second law)
非稳态扩散
C (
0)
t
扩散过程中各点浓度随时间而变化
2.1.1 菲克第一定律及其应用
单位时间内通过垂直于扩散方向的单位面积截面的扩散物质 量，即所谓的扩散通量J，与扩散物质的浓度梯度成正比。
以通过对菲克 (Fick) 扩散第一定律积分求得扩散物质的流量。
J 1 dm D dC
A dt
dx
m为扩散组元通过截面A的量
dm 1 . 单位时间，单位面积上的流量 (kg / m2.s)
dt A
2.1.1 菲克第一定律及其应用
单相系统中的稳态扩散 C1 1 一维稳态扩散
J 1 dm D dC
单相系统中的稳态扩散 C1
C2 A
1 一维稳态扩散
x1
x
2
设想一种最简单的扩散：物质沿一个方向扩散且浓度不变，那
么此时的扩散方程是怎样的呢？
扩散过程中通过与周围环境进行有效的物质交换，使物体长度两端 X1 与 X2处的浓度C1和C2保持不变。这样就建立起一种沿物体长度上每一点浓度 都保持不变的稳态扩散。由于在此种扩散条件下扩散通量为常数，因此可
DA
C2 x2
C1 x1
DA
C2
l
C1
ΔC 引起的电位差 U C K
电子浓度差 导线材料单位体积的电容
dQ DA dC DA C DAK U 一维电子稳流状态
dt
dx
x
l
电流强度 I dQ I DAK V V
dt
l
R
电压V=ΔU
其中
l R 1 电阻率
DAK
DK
欧姆定律
2.1.1 菲克第一定律及其应用 单相系统中的稳态扩散
溶体中的扩散 扩散: 大量原子的热运动引起的物质的宏观迁移
水 加入染料
部分混合 时间
完全混合
溶体中的扩散
碳的扩散方向
Fe-C合金
非均匀的单相合金试样
高碳含量区域
低碳含量区域
T=25时，C的浓度分布
扩散驱动力
浓度梯度（化学势梯度） 应力场梯度 电场梯度
分子，原子或离子等的定向，宏观迁移 体系自由能降低
2 多维系统中的扩散
在实际的生产应用中，我们需要解决的不仅仅是一维系统中的 稳态扩散，更多的是多维系统的情况，那么在多维系统中稳态 扩散是个什么样的形式呢？
多维 系统 中的 稳态 扩散
一般较为复杂 两种简单的情况
空心圆柱体 空心球体
2.1.1 菲克第一定律及其应用
2 多维系统中的扩散（空心圆柱体情况）
t
2.1.1 菲克第一定律及其应用 稳态扩散：经过一定时间后，扩散组元B离开某
一体积
单元的速率等于进入该体积单元的速率。 J为一恒定值。
近似稳态扩散条件下 可以用菲克第一定律作定量或半定量的解析
1. 估算扩散型相变传质过程中扩散组元 的扩散通量
2. 估算由扩散控制的相界移动速度
2.1.1 菲克第一定律及其应用
热力学与动力学
热力学研究的问题是过程的可能性，即预言在给定条 件下某一过程的方向和限度； 动力学研究的是过程的现实性，即动力学是解决一个 过程是如何进行的问题。
热力学上可能的过程：通过动力学的研究来解决反应 速度问题；
热力学上不可能的过程：没有动力学研究价值
热力学研究的目标：提高过程的驱动力；
动力学研究的目标：如何降低过程的阻力；