轮轨碰撞系统的分岔与混沌研究_郭树卓

１ 建立轨道具有弹性的轮轨碰撞系统模型
１． １ 模型的基本假定 ）列车轮对与轨道的接触一般考虑为点接触 ， １ 并且点接触可以发生在轨道和轮对接触面的任意位 置． ）列车轮对沿着轨距不变 、 刚性路基上的平直 ２ 钢轨作等速运动 ． ）车 体 与 转 向 架 、 转 向 架 与 轮 对 均 为 弱 耦 合， ３ 即认为车体与转向 架 是 处 于 相 对 稳 定 的 静 止 状 态 ，
图 ４ 全局分岔以及局部分岔图 Ｆ ｉ ． ４ Ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ ａ ｎ ｄ ｌ ｏ ｃ ａ ｌ ｂ ｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｉ ａ ｒ ａ ｍ ｇ ｇ
（ 取 列车运行速度Ｖ 为控制参数 ， 选择σ ｙ， ０ ＝ ｛ ４ ） ｝ ， 为系统的 Ｐ ｔ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ é ｙ， ｙ ＝０， ｙ ＞０ ∈ Ｒ ×Ｔ， φ， ， 截面 ， 建立轮对的 Ｐ 映射 分析轮轨碰撞系统 ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ é 为了研究碰撞问题的方便 ， 规定 ｎ －ｐ 的全局分岔 ． ｎ 表示周期数 ， －ｑ 表示轮对的蛇行碰撞运动 ， ｐ 和ｑ 分别表示轮对与左右钢轨的碰撞次数 ． 例如 ： １－１－
２ ， 滚动圆半径ｒ 轮对两滚动圆横 ． ４ ５ ７ ５ｍ， ｋ ｍ ｇ ０ ＝０ ， 横 向 弹 簧刚度ｋ 向间 距 之 半 ｂ ＝ ０． ７ ４ ６ ５ｍ １ ｙ ＝ １ － ， 取 轨 道 钢 轨 弹 性 刚 度 系 数 ２ ０ ０ ０ ０． ０Ｎｍ ｋ ｒ ＝
１ ４． ６ ＭＮｍ－１ ．
图 ２ 轮轨碰撞系统的力学模型 ｉ ． ２ Ｍ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｗ ｈ ｅ ｅ ｌ ｒ ａ ｉ ｌ ｃ ｏ ｌ ｌ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ ｇ ｙ ?
图 ３ 轮轨碰撞系统受力示意图 Ｆ ｉ ． ３ Ｗ ｈ ｅ ｅ ｌ ｒ ａ ｉ ｌ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｃ ｏ ｌ ｌ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ ｄ ｉ ａ ｒ ａ ｍ ｇ ｇ ?
１ ５ ５
前进速度 ； ｃ ε 为接触角系数 ； σ 为侧 ｇ 为重力角钢度 ； 滚角系数 ； Ｗ 为轴重 ． δ ０ 为轮轨接触角 ；
２ 轨道具有弹性的轮轨碰撞系统的全局分 岔
轮轨碰 撞 系 统 的 基 本 参 数 具 体 数 值 为 ： 轮对质 ， 轮对摇头转动惯量Ｉ 量 Ｍ ＝１ ４ ０ ０ｋ １ ５ ｇ Ｂ ｚ ＝９ ２ ， ４ ０ ｋ ｍ 轮对绕车轴中心线回转的转动惯量Ｉ ｇ Ｂ ｙ ＝１
， 国内学者曾京和徐涛开展了轮轨摩擦碰
分析了轮对的横向冲击速度 、 摇头 撞及脱轨的研究 ， 角、 轮缘角 、 轮轨摩擦系数和垂向力等对脱轨的影 响 目前的车辆蛇行运动的轮轨碰撞动力学研究 ． 高速列车的蛇行运动轮轨碰撞非 尚处于初级阶段 ，
［ ２ － ７］
线性动力学分岔研 究 目 前 在 国 内 外 仍 是 一 难 题 ． 本 文针对高速列车轮 轨 碰 撞 系 统 ， 考虑该系统具有强 非线性和不连续性 ， 用现代非线性动力学的观点研 究该系统 ， 揭示轮轨碰撞系统的全局动力学特性 ．
［ １］
只传递垂直载荷给轮对 ． １． ２ 模型的坐标系建立 轮轨 系 统 的 坐 标 系 是 确 定 轮 轨 关 系 的 基 础 ， 首 先必须予以明确表示 ． 列出 ３ 种坐标系分述如下 ： 绝对坐标系ｘ－ｙ－ｚ： 取车辆前进方向为ｘ 轴 ， 水平向左的方向为ｙ 轴 ， 与ｘ 轴和ｙ 轴构成右手坐标 系的轴为 ｚ 轴 ， 初始时置于轨道中心线处 ， 不随轮对 运动而运动 ． 轮 对坐标系 Ｘ －Ｙ －Ｚ： Ｘ 轴为轮对沿轨道向前 滚动的方向 ， Ｙ 为水平向左的横向轴并垂直于轨道 中心线 ， 而 Ｚ 轴垂直于轨道平面指向上 ， 固定在轮对 随轮对一起运动 ． 质心上 ， 接触坐标系ｔ ｔ ｎ ｔ ｔ ｘ－ ｚ： ｘ、 ｚ 则分别为接 ｙ－ ｙ 和ｎ 触点沿轨道 Ｘ 方向的切向 、 垂直于 Ｘ 方向的切向和 碰撞点的法向 ， 固定在接触点处 ， 随轮对一起运动 ． １． ３ 模型的力学分析 轮轨碰撞系统的模型其轮轨间的相互作用力的 分析至关重要 ． 首先建立系统的力学模型 （ 如图 ２ 所 ， 示） 横向和垂向定 ｋ ｋ ｘ、 ｚ 分 别 为 轮 对 的 纵 向、 ｙ 和ｋ 位刚度 ． 然 后 对 其 进 行 力 学 分 析， 受力分析（ 见图 ） ， 假设左侧轮对 和 钢 轨 发 生 碰 撞 ， 力Ｆ ３ Ｆ ｚ ｌ 是定 ｌ， ｙ 义在轮对坐标系内的 左 侧 轮 轨 横 向 力 和 法 向 力 ， 力
Ｖ ｏ ｌ ． ３ １Ｎ ｏ ． １ Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０ １ ２
轮轨碰撞系统的分岔与混沌研究
郭树卓 ， 靳 玲
＊
（ ） 兰州交通大学 机电工程学院 ， 甘肃 兰州 ７ 兰州交通大学 数理与软件工程学院 ， 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０； ３ ０ ０ ７ ０
摘 要： 我国目前正处于高速铁路大发展的时期 ， 但 是， 高速列车发展受到了许多动力学问题的阻碍． 列车系统的 动力学性能直接影响到列车允许的最高运行速度 ， 其动力学性能的提高 ， 给铁路 工 作 者 提 出 了 一 系 列 的 研 究 课 题 ， 轮轨碰撞系统的研究就是其中重要的研究课题之一 ． 本文针对高速列车轮轨碰撞系统问题展开深入研究， 研究内 运用数值模拟方法 研 究 轮 轨 碰 撞 系 统 的 分 岔 及 混 沌 运 动 ． 本文的目的是通过分 容主要包括轮轨碰撞模型的建立 ， 为我国高速列车的开发研制提供理论基础 ． 析轮轨碰撞系统的动力学行为 ， 关键词 ： 碰撞 ； 非线性 ； 动力学 ； 分岔 ； 混沌 中图分类号 ： Ｕ ２ ７ ０． １ １ 文献标志码 ： Ａ
（ ／ ／ Ψ１） ＋ （ Φ）］ Ｒ ＝ ［ ｘ ｙ ξ ξ ξ
２ ／ ２ １ ２
（ ） １ （ ） ２
式中 ： Ｍ 为轮对质量 ； Ｉ Ｉ Ｂ ｚ， Ｂ ｙ 分别为轮对绕ｚ 轴和ｙ 轴的转动惯量 ； ｋ ｖ 为车辆的 １ Ψ 为 轮 对 摇 头 角 钢 度；
第１期
郭树卓等 ： 轮轨碰撞系统的分岔与混沌研究
大
学
学
报
第３ １卷
式中 ： ｙ ｗ 和ψ ｗ 分别 为 轮 对 的 横 向 位 移 和 摇 头 角 位 ； 移； 为车轮踏面等效斜度 Ｖ 公式重 λ Φ 和Ψ１ 为Ｊ－ ｅ 然 力系数 ； Ｖ 为车辆运 行 的 速 度 ； ｒ ０ 为 滚 动 圆 半 径． 后应用 Ｖ ｅ ｒ ｍ ｅ ｕ ｌ ｅ ｎ－ Ｊ ｏ ｈ ｎ ｓ ｏ ｎ蠕滑理论来进行非线性 蠕滑力的求解 ， 由Ｖ ｅ ｒ ｍ ｅ ｕ ｌ ｅ ｎ－Ｊ ｏ ｈ ｎ ｓ ｏ ｎ 蠕滑理论可 知： 轮轨间的纵向蠕滑力 Ｆ 横向蠕滑力 Ｆ ｘ、 ｙ 和 非线 性合成蠕滑力 ＦＲ 的计算公式分别为
理论研究有一定的 轮轨碰撞的机 理 比 较 复 杂 ， 在过去的 轮 轨 碰 撞 蛇 行 运 动 研 究 中 ，基 本 上 困难 ， 忽略了车辆轮轨碰 撞 对 车 辆 蛇 行 运 动 的 影 响 ． 但随 着高速铁路的兴起 ， 国内外学者的研究表明客车和 货车在运行速度较高时剧烈的蛇行运动将导致轮缘 与钢轨的接触和碰 撞 ， 钢轨对其动力学的影响已不 可忽 略
Ｆ Ｆ Ｆ ｔ ｘ、 ｔ ｎ ｚ 是定义 在 接 触 点 坐 标 系 内 左 侧 轮 轨 切 ｙ、
２］ 向力的纵向和横向分量及法向力 ［ ．
收稿日期 ： ２ ０ １ １ ＊ － ０ ６ － ２ ０ ， 作者简介 ： 郭树卓 （ 男， 甘肃白银人 ， 硕士生 ． １ ９ ８ ５－）
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州
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通
３ 结论
本文首先介绍了研究高速列车轮轨系统模型的 必要性 ， 其次着重说明了轮轨接触的非线性关系 （ 蠕 滑力和轨道的非线 性 ） 以及轮轨系统的动力学方程 的建立 ． 研究内容涉 及 到 弹 性 轨 道 上 列 车 轮 轨 碰 撞 动力学的全局分 岔 图 、 局 部 分 岔 图、 杈 式 分 岔， 倍化 找出列车轮轨碰撞振 分岔以及关键速度 下 的 相 图 ． 动运动不稳定的根 本 原 因 ， 即列车轮轨碰撞运动通 向混沌的一些方式 ． 列车轮轨碰撞映射动力学行为 的倍化序列是轮对 运 动 通 向 混 沌 运 动 的 一 种 方 式 ． 列车运行速度越高 轮 对 的 运 动 幅 度 越 大 ， 运动越激 越容易与钢轨发生碰撞 ． 列车在高速时同样存在 烈， 周期极限环运动 ， 只是其周期运动的幅度和轮轨碰 撞的次数会相应的 增 大 ， 这些大幅度的周期运动在
１． ４ 模型轮轨间的蠕滑力 系统进 行 运 动 微 分 方 程 的 建 立 时 ， 纵横向非线 性蠕滑力的计算是重 点 ． 首 先 应 用 Ｊ －Ｖ 理 论 分 别 计算轮轨间的纵向蠕滑率ξ 横向蠕滑率ξ ｘ、 ｙ 和合成 ［ １ ３］ ? 为 蠕滑率ξ Ｒ
α ｙｗ ， ｙ ｅ ｗ ψｗ ＋λ － ｗ ｘ ＝ ｙ ＝ ξ ξ Ｖ ｒ Ｖ ψ ０
２ ３ ／ ） ／ ） ， ｕ ｕ ｕ ＜ ３； ｕ－ （ ＋（ ３ ２ ７ （ ） ３ ｕ ≥ ３． １，
ＦＲ ＝ μ Ｎ
｛
图 １ 轮轨系统的坐标系 Ｆ ｉ ． １ Ｗ ｈ ｅ ｅ ｌ ｒ ａ ｉ ｌ ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ ｇ ｙ ?
（ ； （ ； （ ） Ｆ ＦＲ／ Ｆ ＦＲ／ Ψ１） Φ） ４ ｘ ＝ξ ｘ Ｒ Ｒ ｙ ＝ξ ｙ ξ ξ 式中 ： 利用 Ｈ ｅ ｒ ｚ理论来计算分析轮轨接触斑椭圆面 ／ 积ｕ＝ （ Ｇ ａ ｂ Ｎ） Ｎ 为接触椭圆面上的法向载 π ｅ ｅ Ｒ； μ ξ 荷； ａ ｂ ｅ， ｅ 分别为轮轨接触平面内接触 μ 为粘着系数 ； 椭圆沿滚动方 向 的 半 径 和 其 横 向 半 轴 ； Ｇ 为剪切弹 性模数 ． １． ５ 模型的轮缘力 文中的 模 型 考 虑 轨 道 是 具 有 弹 性 的 ， 与传统的 动力学模型相比 ， 碰撞发生时轮对的横向位移将不 而是轮对 仅 仅局限于δ ＝±０． ０ ０ ９ １ｍ 的范围之内 ， 在碰撞时以一定的横向速度贴靠轨道并且使其横向 位移 ｙ ｗ 继续增大直至其横向速度ｙｗ 衰减至 ０ 并开 始反向运行 ， 轮对将 逐 渐 离 开 一 边 轨 道 向 另 一 边 轨 道横向运行 ． 此轮缘力可表述如下 ： ， ； ｋ （ ｗ －δ） ｙ ｗ ＞δ 烄ｒ ｙ ； ＦＴ （ ０， ＝烅 －δ ≤ ｙ ｙ ｗ） ｗ ≤δ ， ｋ δ） ｙ δ． ｙ ｒ（ ｗ ＋ ｗ ＜－ 烆 （ ） ５ 式中 ： 为轮缘力 ． 由此式可以 ＦＴ （ δ 为轮轨间隙 ； ｙ ｗ） 看出 ， 轮缘力为一分段线性函数 ， 体现在运动微分方 程当中即成为此模型的一非线性因素 ． １． ６ 模型运动微分方程的建立 分析了 轮 轨 的 碰 撞 受 力 ， 蠕滑力以及轮缘力之 后， 下面将进行系统的运动微分方程的建立 ， 运动微 分方程考虑轮对的横移与摇头两个独立自由度 ． 根据模型受力分析 ， 利用牛顿定律 ， 建立轮对横
表 示 的 是 碰 撞 周 期 数 为 １， 轮对 １ 的周期碰撞运动 ， 轮轨碰撞系统 在一个周期内碰撞左 右 轮 轨 各 一 次 ． 图４ 全局分岔图如图４所示 ． ｂ， ｃ图为其局部分岔图 ．
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第３ １卷
（ ）ｍ ／ 当系统速度穿越Ｖ ＝３ ２ ５． １ ６ １， ３ ２． ２ ２ ｓ ． ２． ２ ２ 之后 ， 系统将又一次发生倍化分岔 ， 轮对将从非对称 的 周期１－１－１运动转迁进入非对称周期２－２－２ 运动 ， 轮对与轨道间呈现为两周期左右轨来回碰撞 ， 且一个周期内发生两 次 碰 撞 ， 系统最终经倍化分岔 进入混沌运动 ．
第３ １卷 第１期 ２ ０ １ ２年２月 （ ） １ ０ ０ １ 文章编号 ： － ４ ３ ７ ３ ２ ０ １ ２ ０ １ － ０ １ ５ ３ － ０ ４
兰 州 交 通 大 学 学 报 Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｊ ｉ ａ ｏ ｔ ｏ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｇ ｙ
５ ６］ ? ： 移和摇头的运动微分方程如下 ［ · · Ｗ ｖ ε） Ｉ σ ｗ ＋２ Ｍｙｗ ＋ （ ｋ Ｆ ＝０ ｙ ｙ １ ｗ－ Ｂ Ｔ（ ｗ） ｙ＋ ｙ ｙ ＋Ｆ φ ｂ ｒ ｂ ０ （ ） ６ · · ｖ σ Ｉ Ｉ ｋ ｃ ｂ Ｆｘ ＝ ０ ｙｗ ＋ （ Ｂ ｚφｗ ＋ Ｂ １ ｗ ＋２ Ψ － ｙ ｇ） φ ｒ ｂ ０ （ ） ７