[精品]新高三数学第二轮专题复习数形结合思想优质课教案
高三数学二轮复习专题辅导(1)数形结合精品教学案
专题一】数形结合思想考情分析】在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2020 年可能有所加强。
因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微” ，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查” ，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数” ，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形” ，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休” 。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数” 。
3(数形结合)高三数学第二轮专题复习课堂资料.doc
高三数学第二轮专题复习一数形结合思想一、例题解析［例1］若关于卅J方程F+2d + 3"0的两根都在-1和3之间，求R的取值范亂［分析］^f（x）= x2+2loc +3k,其图象与兀轴交点的横坐标就是方nj\x） = 0 的解，由）=/（兀）的图象可知，要使一根都在-1,3Z间，只需f（一1）>0,/⑶>0，/（丄）=：/（一灯<0同时成立，解得-1<£<0,故展（-1,0）2a［例2］解不等式Q X +2>X［解］法-、常规解'法：原不等式等价于（/山十2$0或（〃）严°°x + 2$0兀+2>0解（/）,得0Wxv2；解（〃），得一2W兀<0综上可知，原不等式的解集为{兀|-2W兀v0或0^x<2} = {x\-2^x<2}法二、数形结合解法：令）［=5/兀+ 2, y2 = x f则不等式V^+2>^J解，就是使必=眉石的图象在力=兀的上方的那段对应的横坐标，如卞图，不等式的解集为{x\x A^x<x R} 而勺可由Vx + 2 = x,解得,x B =2, x A = -2,故不等式的解集为{兀|-2Wxv2}。
［例3］已知0VQV1,则方程d"=|10ga兀|的实根个数为（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）l个或2个或3个［分析］判断方程的根的个数就是判断图象尸亦与=|log“月的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只冇两个交点，故方程冇2个实根，选（B）。
［例4］如果实数心y满足匕-2）2 +），2=3,则丄的最大值为（）X（硝（B）f （C）£（D 朋乙J 乙［分析］等式（X-2）2+.V2=3有明显的几何总义，它表坐标平而上的一个圆,圆心为（2, 0）,半径r = V3,（如图），而丄=口则表示圆上的点（兀，刃与坐x x-0标原点（0, 0）的连线的斜率。
高中数学高考二轮复习数形结合思想教案
第二讲数形结合思想对应学生用书P1291数形结合的含义(1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2数形结合的途径(1)通过坐标系“形题数解”借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化．这一方法在解析几何中体现得相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x －2)2＋(y －1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，2为半径的圆．(2)通过转化构造“数题形解”许多代数结构都有着相对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a (a >0)与距离互化；将a 2与面积互化，将a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通；将a ≥b ≥c >0且b ＋c >a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径．例1 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎭⎪⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )A.k ≤12B ．－1≤k <－12 C.－12<k ≤12 D ．－12<k ≤12或k ＝－1解析 因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4.又T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. 将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以方程为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0. 令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6. 若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根， 即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6有且只有一个交点. 如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1，即－12<k ≤12或k ＝－1.利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．模拟演练1 已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 答案 D解析方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根等价于方程f (x )＝m (x ＋1)有两个不同的实根，等价于直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图象有两个不同的交点．因为当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，所以f (x )＋1＝1f (x ＋1)＝1x ＋1，所以f (x )＝1x ＋1－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ∈[0，1]1x ＋1－1，x ∈(－1，0).在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝m (x＋1)与函数f (x )，x ∈(－1,1]的图象，由图象可知，当直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图象在区间(－1,1]上有两个不同的公共点时，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.例2 (1)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．。
高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料 教案
word 高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料一、基础知识整合中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法,包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规X严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化,充分利用这种转化，寻找解题思路，可使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.华罗庚先生说得好：“数形本是相依倚,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉，形缺数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事休;几何代数统一体,永远联系莫分离。
数形结合思想是一种重要的解题思想，是高考命题中主要考查的一个内容．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数,向量等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y-+-=21422纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
高三数学二轮复习：数形结合的思想方法名师课件
由 f 2 (x) bf (x) 0得 f x 0或 f x b 结合 f x 的图象易知
f x 0 有3个不同的实数根, f x bb 0 有4个不同的实数根,
则 f x2 bf x 0 方程有7个不同实数解.故选(C).
如图，当B(直4,0)线与半a 圆 4相切时；
A(-4,0)
B(4,0)
当直线过
点时；
,4 (4 2,)
-4
当直线过
点时。
由图-1可知：实数的取值范围是
变式1、若M N 则实a数 的取值范(围4,是4 2 ]
变式2、若集合M N 中只有一个元素，则a 实
M N
a
o
A(-4,0)
4
o B(4,0)
分析：（如图-1）集合M表示的图形x是2 半y2 圆 16
-4
(0 y 4)图-1（例1）
且不含端点；
集合N表示M的 N图 形是：斜率为1的一组平行直线，在 轴上
的截距为A(a4,0。)
a 4表示直线与半圆没有公共点。4
设 AT切 半圆于T，由图3-8可知，斜率应满足 kAB a kAT kAB 1 因为 AT 为圆的切线，所以，圆心2,0到直线 y ax 4ax 4 0
的距离等于半径2， 即
2a 4 a2 1
所 2以，，解实得数的kAT取值 34范，围为
1
a
数形结合的思想方法
规律总结
以形助数常用的有：借 助数轴；借助函数图象；借助单位圆； 借助直线的有关概念；借助三角形等. 总之，无论是解析几何、立体几何、 函数问题，无法入手时尽量与“形” 联系.
专题复习：数形结合思想课件-2024届高三数学二轮复习
运用数形结合的思想解决问题时，要注意以下两个方面：（1） 一
定要准确把握有关函数与图象、方程与曲线、几何图形，否则极易导致
错误的结果；（2） 既要关注数，也要关注形，还要关注性，即数学问
题的本质特征.
1. （2023·四省适应性考试）已知平面向量 a 与 b 互相垂直， a ＝（6，－
专题七 核心思想方法
第29讲 数形结合
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相
互转化来解决数学问题的思想.“数缺形时少直观，形少数时难入
微”，因此，数形结合思想的应用包括以观化、生动化，能够变抽象思维为形象
思维，揭示数学问题的本质；（2） “以数定形”，把直观图形数量
（ x ）＞0，画出函数 f （ x ）的图象如图②所示.由图可知， b ＞ a ＞0，
所以 ab ＞ a 2.综上所述， ab ＞ a 2一定成立.故选D.
热点3 几何意义
[典例设计]
例3 （1） 已知实数 m ， n 满足（ m ＋5）2＋ n 2＝1，则对于任意实数
a ， （2 − ）2 ＋（ a － n ）2的最小值为（ B ）
则下列各式正确的是（ D ）
A. a＜b
B. a＞b
C. ab＜a2
D. ab＞a2
解：若 a ＝ b ，则 f （ x ）＝ a （ x － a ）3为单调函数，无极值点，不符
合题意，故 a ≠ b .所以 f （ x ）有 x ＝ a 和 x ＝ b 两个不同的零点，且 f
（ x ）在 x ＝ a 左右不变号，在 x ＝ b 左右变号.因为 x ＝ a 为函数 f （ x ）
4
率为（ C ）
A.
1
2019届高考数学二轮复习“数形结合”思想在高中数学中的应用教案(全国通用)
教案：数形结合思想在数学中的应用时间：2018年月日星期第节授课人：班级高班课题：数形结合思想在数学中的应用一、教学目标:1、知识目标：充分领悟数形结合思想的特点，并能灵活的应用数形结合思想解决数学问题。
2、能力目标：应用数形结合思想寻求合理简洁的解题思路，培养学生独立思考问题、灵活处理问题、快捷解决问题的能力。
3、情感目标：(1)在探究过程中，鼓励学生大胆猜测，大胆尝试，培养学生勇于创新、敢于实践的个性品质；(2)通过对问题的探究，理解事物间普遍联系与辩证统一观点，体验成功的喜悦。
二、教学重点：领悟数形结合的思想方法，培养学生灵活运用数形结合思想方法解决数学问题的能力。
三、教学难点：深入理解“数”与“形”之间相辅相成的关系，巧妙的通过“以形助数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维。
四、教学方法：讲授法五、教学准备：教案、PPT课件六、教学过程（内容）：教学环节教学内容学生活动设计意图（一）新课导入1、著名数学家华罗庚先生曾经这样说到：“数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直觉,形少数时难入微。
”这句话充分揭示了“数”与“形”的关系。
在解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。
2、数形结合思想是一种很重要的数学思想纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些数学问题，可起到事半功倍的效果。
学生通过数学家的诗句感悟数形结合思想，明晰该思想的重要性。
感悟数学思想和文化，渗透今天的教学重点（二）数形结合思想的具体应用（一）问题探究一当k为何值时，方程2220x x k+-+=（1）有两个不同的解；（2）有两个相同的解。
答案：（1）当3k<时，有两个不同的解；（2）当=3k时，有两个相同的解。
回顾：方程的根与函数图象的关系以及与函数零点的关系，过度到利用函数222y x x-=-+图象和直线y k=的交点来解决以上问题。
提问学生：如何画二次函数图象的简图？（二）问题探究二当k为何值时，方程2|22|x x k--+=有两个解？有三个解?有四个解？答案：（1）当03k k=>或时，有两个解；（2）当=3k时，有三个解；（3）当03k<<时，有四个解；利用判别式解决问题回顾已经学过的知识，解决问题学生画出二次函数图象，根据图象解决问题旧引新，加强知识的联系初步感知数形结合在解决与方程的根有关的问题中的作用进一步感知数形结合思想在解决问题中的作用（二）数形结合思想的具体应用（三）课堂练习（三）问题探究三函数()sin2sin,[0,2]f x x x xπ=+∈的图象与直线y k=有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是。
高三数学二轮复习 第二篇 数学思想 2.2 数形结合思想
A. 3 B．－ 3 C． 3 D．－ 3
3
3
3
【解析】选B.由于y= 1 x2 ,即x2+y2=1(y≥0),直线l 与x2+y2=1(y≥0)交于A,B两点,如图所示
S△AOB= 1·sin∠AOB≤ 1 ,且当∠AOB=90°时,S△AOB取得
2
2
最大值,此时AB= 2 ,点O到直线l的距离为 2 ,则
[1
与y=ax在区间
,1)，
3
[
1，3] 3
内有
作函数f(x)= 图象如图,
ln x, 2ln
x ［1,3］,
x,
x
[
1
与y=ax在区间
,1)，
3
[ 1，3] 3
内的
结合图象可知,
当直线y=ax与f(x)=lnx相切时, ln x 1 ,
xx
解得,x=e;此时a= 1 ;
e
(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键, 数形结合应以快和准为原则,不要刻意去用数形结合.
【变式训练】(2016·洛阳一模)已知函数f(x)满足
f(x)=2f ( 1 ),当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间 [1，3]
x
3
内,函数g(x)=f(x)-ax与x轴有三个不同的交点,则实数
第二讲 数形结合思想
【思想解读】 数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学 问题的思想.其应用包括以下两个方面: (1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生 动化,能够变抽象思维为形象思维. (2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.
热点1 利用数形结合思想研究零点、方程的根
备战2025年高考二轮复习数学课件-数学思想方法-数形结合思想
(2)(2024浙江嘉兴二模)已知圆C:(x-5)2+(y+2)2=r2(r>0),A(-6,0),B(0,8),若圆
C上存在点P使得PA⊥PB,则r的取值范围为( B )
A.(0,5]
B.[5,15]
C.[10,15]
D.[15,+∞)
解析 如图,由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆,设为圆M,因为
应用一
利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
1
例 1(1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x),且当 x∈[0,1)时,f(x)=1-|2x-1|,
当 x∈
A.
1
,1
2
C.
1
,1
16
1 13
,
4 4
时,y=f(x)的值域为( B )
B.[0,1]
D.
1
0,
16
解析 由函数 f(x)满足
∴|MN|-|MF1|的最小值为 3 2-5.
例3(1)已知直线l:x-y+2=0与圆O:x2+y2=1,过直线l上的任意一点P作圆O的
切线PA,PB,切点分别为A,B,则∠AOB的最小值为(
3π
A.
4
2π
B.
3
π
C.
2
C)
π
D.
6
解析 如图,由题意可知,圆 O:x2+y2=1 的圆心为 O(0,0),半径为 1,则圆心 O 到
直线 l
|2|
3
=- ,画出
2
1 3
f(3)=2,则
4
1
1
上海高三数学高考二轮复习教案思想专题之数形结合(3)含答案
沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习思想专题之数形结合思想③教学目标认识一些常见的数形结合题目的类型，并能熟练掌握用数形结合思想解决有关函数、方程、不等式、数列及解析几何问题【解读：数形结合题型往往更多的出现在选择、填空题中，要求学生掌握一些常见的数形结合的题型，并且掌握用数形结合的方法去解决这些有关函数、方程、不等式、数列及解析几何的问题】知识梳理1、数形结合思想：所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
2、数形结合思想常用来解决的一些问题有哪些？答：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。
【解读：在讲解此块内容时，可以让学生自己回忆一些曾经做过的数形结合类的题目，并且询问学生是如何解决的，同时一起回顾在用数形结合思想中所要用到的一些数学公式和定理，巩固学生的数学基础知识；对于这部分内容学生一般是回答不完整的，对于学生没有想到的可以在讲解完本专题之后，再由老师和学生一起把它补充完整】典例精讲例1. （★★★） 已知函数()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时()f x 的图像如下图所示，那么不等式()cos 0f x x ⋅<的解集是（ ）.(3,)(0,1)(,3)22A ππ--.(,1)(0,1)(,3)22B ππ-- .(3,1)(0,1)(1,3)C --.(3,)(0,1)(1,3)2D π--分析：函数()f x 定义在(3,3)-上，并且是奇函数，根据奇函数图像性质可知()f x 在(3,0)-上的图像如图所示，若使()cos 0f x x ⋅<，只需()f x 与cos x 异号，即图像应分别分布在x 轴上下两侧，由图可知，有三个部分符合条件，即(,1)(0,1)(,3)22ππ--【这个问题充分考察了函数的性质与数形结合思想的完美结合，注意作图的正确性】例2. （★★★★）已知函数()f x 满足下面关系：(1)(1)(1);(2)f x f x +=-当[ 1.1]x ∈-时，2(),f x x =则方程()lg f x x =解的个数为（ ）.5A 个 .7B 个 .9C 个 .10D 个分析：判断方程的根的个数就是判断函数图像()y f x =与lg y x =的交点个数，画出两个函数的图像，由题意知()y f x =是以2为周期，值域为[0,1]的函数，又()lg f x x =，则(0,10]x ∈易知两图像有九个交点，故方程有九个实数根【求根的个数问题也是高考常考的一种题目类型，在讲解这个问题时，一定要帮助学生回顾常见的函数图像的画法，只有把函数图像画对了才能继续往下做】例3. （★★★★）当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x ++=的最小值为（ ）.2A .23B .4C .3D分析：21cos 28sin 53cos 2()sin 2sin 2x x xy f x x x++-===，则y 为点(0,5)A 与点(sin 2,3cos3)B x x -两点连线的斜率，又点(sin 2,3cos3)B x x -的轨迹方程为sin 2(0)3cos 22x y απαα=-⎧<<⎨=⎩,即221(0)9y x x +=<，如图，当过点(0,5)A 的直线:5l y kx =+与椭圆221(0)9y x x +=<相切时，k 有最小值4【此题是一个典型的数形结合思想在解析几何问题中的应用，如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常用的有：(1)(,),(,)b na b m n a m-↔-两点连线的斜率； 22(2)()()(,),(,)a m b n a b m n -+-↔两点之间的距离；222(3),,a b c a b c +=↔为直角三角形的三边对于这类问题一定要帮助学生回顾这些公式，并掌握如何使用】例4. （★★★★）设方程112+=-k x ，试讨论k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况．分析：我们可把这个问题转化为确定函数211y x =-与21y k =+图像交点个数的情况，因函数21y k =+表示平行于x 轴的所有直线，从图像可以直观看出 ：①当1k <-时， 1y 与2y 没有交点，这时原方程无解;－1－10 X11②当1k =-时， 1y 与2y 有两个交点,原方程有两个不同的解;③当10k -<<时， 1y 与2y 有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；④当0k =时， 1y 与2y 有三个交点，原方程不同解的个数有三个； ⑤当0k >时1y 与2y 有两个交点，原方程不同解的个数有三个．【根的个数和参数的范围问题一直是考试喜欢考的问题之一，在讲解这题过程中要让学生体会到因为参数范围不同而产生的变化的过程】例5. （★★★）方程223,log 3xx x x +=+=的实根分别为12,x x ，则12x x +=分析：本题直接求解不好求，观察题目，联想原函数和反函数的图像性质进行数形结合，令12232,log ,3x y y x y x===-12,y y 互为反函数，其图像关于y x =对称，设1122(,3),(,3)A x x B x x --123x x ∴=-即123x x +=【本题利用了原函数与反函数的图像和性质，在讲解过程中要帮助学生复习与之相关的一些性质】 例6. （★★★★）设12125,2,13z z z z ==-=，求12z z 的值。
专题复习课《数形结合思想》教学设计
专题复习课---《数形结合思想》教学设计一、课型：复习课二、授课教师：王宗岳授课对象：高三（7）班三、授课时间：2013年4月18日授课地点：多媒体教室四、教学目标（1）知识与技能①从不同角度探索数形结合思想在解题中的运用，理解数与形的相互转化；②理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图象的性质.（2）过程与方法①通过典型例子和变式迁移，让学生体会如何把代数问题通过数形结合进行转化。
②渗透“数形结合”与“化归”思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.（3）情感、态度与价值观培养学生积极参与、大胆探索的精神和勤于思考、善于思考的学习习惯, 激发对数学的积极情感,培养创新意识和严谨的科学精神.五、教学重点：理解“数形结合”思想的实质，有效掌握该类问题的基本技能.六、教学难点：利用“数形结合”思想，通过“以形助数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维.七、教学过程板书设计一、数形结合的概念：代数问题可以几何化（借形辅数），几何问题可以代数化（以数促形）二、例题分析：例1 例2 ……教学反思：1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程． 2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性。
高三数学二轮复习(1)数形结合精品教学案
【专题一】数形结合思想【考情分析】在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2013年可能有所加强。
因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
高考数学二轮复习数学思想领航二数形结合思想课件文
所
√
有实数解之和为 A.－7 C.－3
B.－6 D.－1
解析 答案
方法二 几何意义数形沟通法
模型解法 几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几 何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到 解决代数问题的目的.此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图 形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题.破解此类题的关键点： ①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义. ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题. ③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论.
左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转
化法与函数解析式的关系.
思维升华 解析 答案
跟踪演练1 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，
当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在－52，12 上的
解析 答案
方法三 圆锥曲线数形沟通法
模型解法 圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有 一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快 速解决某些相应的问题.破解此类题的关键点： ①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、 直线等. ②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥 曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解. ③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论.
二、数形结合思想
方法一 函数图象数形沟通法 方法二 几何意义数形沟通法 方法三 圆锥曲线数形沟通法
以形助数(数题形解)
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高三数学第二轮专题复习：数形结合思想
高考要求
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征
重难点归纳
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化
（1）集合的运算及韦恩图
（2）函数及其图象
（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象
（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线
以形助数常用的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法
以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合
典型题例示范讲解
例1设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，
且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围
命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目
知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值
域求法确定集合C 进而将C ⊆B 用不等式这一数学语言加以转化
错解分析 考生在确定z =x 2，x ∈［–2,a ］的值域是易出错，不
能分类而论 巧妙观察图象将是上策 不能漏掉a ＜–2这一种特殊
情形
技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把
集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决
解 ∵y =2x +3在［–2, a ］上是增函数
∴–1≤y ≤2a +3，即B ={y ｜–1≤y ≤2a +3}
作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下
①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜a 2≤z ≤4} 要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥2
1与–2≤a ＜0矛盾
②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图可知
必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+2
0432a a 解得21
≤a ≤2
③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}，
要使C ⊆B 必须且只需
⎩⎨
⎧>+≤2
3
22a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，则C ⊆B 成立
综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［2
1,3］
例2已知a cos α+b sin α=c , a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠
k π, k ∈Z )求证 222
2
2
cos
b
a c +=-β
α 命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力
知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方
程 进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上
错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一
如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二
技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分
析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题
证明:在平面直角坐标系中，点A （cos α,sin α）与点B （cos
β,
sin β）是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点
如图
从而 ｜AB ｜2
=(cos α–cos β)2
+(sin α–sin
β)2
=2–2cos(α–β)
又∵单位圆的圆心到直线l 的距离2
2
||b
a c d +=
由平面几何知识知｜OA ｜2–(2
1｜AB ｜)2=d 2即
b a
c
d +==---2224)cos(221βα∴2
2222cos b a +=-βα
例3曲线y =1+24x - (–2≤x ≤
2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 解析 方程y =1+24x -的曲线为半圆，
y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线
答案 （
4
3,125］ 例4设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围
解法一 由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立
⇔x 2
–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)
上恒成立
考查函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方 如图
两种情况
不等式的成立条件是
(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)
(2)⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]，
综上所述a ∈(–3,1)
解法二 由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)
令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象
如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值（即直线的斜率）分别为1，–3， 故直线l 对应的a ∈(–3,1)
学生巩固练习
1 方程sin(x –4π)=4
1x 的实数解的个数是( )
A 2
B 3
C 4
D 以上均不对
2 已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程
f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )
A α＜a ＜b ＜β
B α＜a ＜β＜b
C a ＜α＜b ＜β
D a ＜α＜β＜b
3(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值
4 已知集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当
A B 时，则a
5 设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、
β
（1）求a 的取值范围； （2）求tan(α+β)的值
6 设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –
3)2=a 2
,a ＞0},且A ∩B ≠∅，求a 的最大值与最小值
参考答案
1 解析 在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=4
1x 的图象
如图
答案 B
2 解析 a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐
标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如图所示 答案 A
3 解析 联想到距离公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t
–3,1–2t )点A 的几何图形是椭圆，点B 表示直线 考虑用点到直线
的距离公式求解 答案
2
2
7 4 解析 解得A ={x ｜x ≥9或x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，
画数轴可得 答a ＞3
5 解 ①作出y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2
a 的图象，知
当｜–2a ｜＜1且–2a ≠
2
3
时，曲线与直线有两个交点， 故a ∈(–2,–3)∪(–3,2)
②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a 相减得tan
3
3
2
=+β
α， 故tan(α+β)=3
6 解 ∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a
为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1,3)为圆心，a为半径的圆如图所示
∵A∩B≠ ，∴半圆O和圆O′有公共点
显然当半圆O和圆O′外切时，a最小
2a+a=｜OO′｜=2,∴a min=22–2
当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即2a最大
此时2a–a=｜OO′｜=2,∴a max=22+2。