勾股定理典型练习题

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勾股定理典型练习题(含答案)

勾股定理典型练习题(含答案)1.勾股定理典型练题勾股定理是几何中的一个重要定理。

在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。

如图1所示，由边长相等的小正方形和直角三角形构成，可以用其面积关系验证勾股定理。

图2是由图1放入矩形内，已知AC = 4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？已知AB = 3，得到∠BAC = 90°。

根据勾股定理，BC = 5.所以矩形KLMJ的面积为 4 × 5 + 3 × 4 = 32.因此，答案为C。

2.勾股定理典型练题XXX所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。

若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是多少？根据图中所示，正方形E的边长为2，所以面积为2 × 2 = 4.因此，答案为C。

3.勾股定理典型练题如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点。

则图中阴影部分的面积是多少？首先，根据勾股定理，AC = 4，BC = 4，AB = 4√2.因此，三角形ABC的面积为4√2 × 4 / 2 = 8√2.由于三角形ADE和三角形ABF相似，所以ADE的面积是ABF的面积的一半。

同理，三角形BDF和三角形BCE相似，所以BDF的面积是BCE的面积的一半。

因此，阴影部分的面积为8√2 - 2 × 2 - 2 ×1 = 8√2 - 6.因此，答案为C。

4.勾股定理典型练题如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为多少？根据图中所示，正方形a和正方形c的边长分别为√5和√11.因此，正方形b的边长为√11 - √5，所以面积为(√11 - √5)² = 6.因此，答案为C。

5.勾股定理典型练题如图所示，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则S1和S2的大小关系是什么？首先，根据勾股定理，AB = √(BC² + AC²) = 2√2.因此，半圆的面积为π × (2√2 / 2)² = 2π。

勾股定理典型模型归纳训练

1 / 3勾股定理【知识梳理】 1.勾股定理：股勾b a2.勾股定理的证明：方法一：以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形方法二：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形.方法三：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形3.基本训练：（1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB 的长．（2）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，求AB 的长．（3）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，求AB 的长．（4）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，求BC 的长．（5）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=12，AB=13，求BC 的长．3.常见的勾股数：【探究】与勾股定理相关的问题探究1.已知直角三角形的两边求第三边，或已知直角三角形的两边比和一边长求两边. （1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，求BC 的长．（2）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC ：BC=3:4，AB=10，求AC 、BC 的长.2.求直角三角形斜边上的高. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=3，BC=4，求CD 的长．3.求直角三角形三边的中线的长.（1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，E 是BC 的中点，求AE 的长．（2）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AB=5，E 是AC 的中点，求BE 的长．（3）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，F 是AB 的中点，求CF的长．4.求直角三角形角平分线的长.（1）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，AD平分∠CAB，求CD和AD的长．（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，求CD和BD的长．5.含特殊角的直角三角形（1）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，求AB和BC的长．（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，求AC和BC的长．（3）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=3，求AC和AB的长．（4）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，BC=2，求AC和AB的长．（5）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AB=2，求AC和BC的长．6.等边三角形与直角三角形如图，△ABC是等边三角形，AB=6，AD⊥BC，求AD的长和△ABC的面积．7.含120°角的等腰三角形与直角三角形（1）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB=3，AD⊥BC，求AD、BC的长和△ABC的面积．（2）如图，AB=AC，∠BAC=120°，BC=6，AD⊥BC，求AD、AB的长和△ABC的面积．8.等腰三角形与直角三角形（1）如图，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，求AD的长和△ABC的面积．（2）如图，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，求AD的长和△ABC的面积．9.含特殊角的三角形与直角三角形（1）如图，AB=2，BC=3，求AC的长和△ABC的面积．DB CDBB2 / 33 / 360°ABC（2）如图，AB=1，BC=2，求AC 的长和△ABC 的面积．120°ABC10.折叠与直角三角形（1如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿AD 折叠，使点C 落在斜边AB 上，若AC=3，BC=4，则CD= ．DCAB第（1）题第（2）题第（3）题第（4）题第（5）题（2））如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是．（3）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE ，则DE 的长为．（4）如图.在Rt △ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 式垂足，连接CD ，若BD=1，则AC 的长是．（5）如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3， AB =6，∠BCA =90°，在AC 上取一点E ，以BE为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为．（6）如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F处．若AE=5，BF=3，则CD 的长是．第（6）题第（7）题第（8）题第（9）题（7）如图，矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB=6，△ABF 的面积是24，则FC 等于．（8）如图所示，矩形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为．（9）如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm. （10）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．（11）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为．第（10）题第（11）题第（12）题第（13）题（12）如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为．（13）如图，从点()02A ，发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为．（14）矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________.。

勾股定理常见练习试题

（一）情境引入如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？（二）合作探究（1）观察下面两幅图并填表：A 的面积（单位面积）B 的面积（单位面积）C 的面积（单位面积）左图右图（2）问：①、图形A 、B 、C 的面积有何关系？②、图形A 、B 、C 的面积与三角形的边长有何关系？ ③、由①、②可得出直角三角形三边长有什么结论？１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：AB CC BAcba HG FEDCBA方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５..勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）题型一：已知两边求第三边【例1】直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_____15____2cm ．【例2】已知直角三角形的两边长为5、12，则另一条边长是____13或____________．【例3】作出长度为10的线段。

勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）丄）題宜分斬’本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理.心2）解題思路：可利用勾股定理直接求出各边快，再进行判斷."在段AEAF 中，AF=1, AE-2,根据勾股走理，得』EF = J 血 + 血==75P同理AR 二2晶GH 二届CD = 24计算发现（昉尸+（戈旋尸=（晅-即卫新+超戸=G0 ,根据勾股定理的逆定理得到以AB 、EF. GH 为边的三角形是直角三角形.故选解题后的慝考’心1.勾股定理只适用于直甫三角形，而不适用于锐角三角形和純角三珀形.因此，解题时一定裝认真分析题目所给条件*看是否可用勾股定理来解-■2在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认海化”就是斜边而“固执般地运用公式X 二’ +* 其实，同样是△朋0\ 三。

不一定就等于9叭亡不一定就是斜边，A ABC 不一定就是直角三甫形.aA.CD C.AB CD EF 、GHGH B.AB 、EF 、GHD.AB CD EF3.直第三角形的判定条件2勾般定理是互逆的，区别在于勾股定理的运用是一个从水形"（一个三甫形是直甫三甫形）至I）噱（川=/ +护）的过程，而直第三角形的判定是一个从“数（一个三角形的三边満足八二卅+酹的条件）到“形”（这个三角形是直角三角形）的过程.松4.在应用勾股定理解题时，裝全面地若虑间题，注意问题中存在的多种可能性，瞳免漏解.初+>例2：如图，有一块直角三角形纸板肋C,两直角辺AC-6cm t BC=8cm, 现将直角边AC沿直竝AD折養，使它落在斜边虫迟上,且点<7落到点遐处, 则仞等于（）祕A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. Scm+J1）題意分析：本题肴查勾股走理的应用叙2）解題思路’本题若直接在△力仞中运用勾股定理是无法求得CD的长的，因为只知道一条边,卫<7册扶，由题意可知，△上仞和心劝关于直线对称，因而AACD^^AED.进一歩则W AE=AC=6cm> CD=ED, ED 丄AB.设dgg 则在Rt A-4BC中.由勾股定理可得J4^=40^8（^=^8^100,得AB=10cm,在取△乃DE 中，有应+ （1Q-6）》=（8—x）%解得—3.心解答逸BP解题諭朋= _____________________________________________________勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。

勾股定理典型分类练习题

勾股定理典型分类练习题题型一：直接考查勾股定理例１.在ABCC∠=︒．∆中，90⑴已知6BC=．求AB的长AC=，8⑵已知17AC=，求BC的长AB=，15变式1：已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC是等腰三角形。

变式2：已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？题型二：利用勾股定理测量长度例1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例2如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.题型三：勾股定理和逆定理并用例3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41那么 △DEF 是直角三角形吗？为什么题型四：旋转中的勾股定理的运用：例4、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。

变式：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.分析：利用旋转变换，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.题型五：翻折问题例5：如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.PAPCBCA BD E 1015题型6：勾股定理在实际中的应用：例6、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？变式：如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA=10km,CB=15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处？关于最短性问题例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）选择题1.在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（） A.5，12，13 B.4，5，7 C.2，3，5 D.1，2，32.在Rt △ABC 中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A.5、4、3B.13、12、5C.10、8、6D.26、24、103.下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（） A 、5组； B 、4组； C 、3组； D 、2组 4.下列结论错误的是（）A 、三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；B 、三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；C 、三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形；D 、三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形。

《勾股定理》专题复习(含答案)

第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180—60=120，由勾股定理得: AB 2=902+1202=22500,所以AB=150（mm ）（2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边,求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理,得:4532C E C E ===，4532A E A E ===,44332A C A C ==,445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠图1 图21A2A3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A 2A 3A4A 5A 5E2E 1E1D 1C 1B 4C 3C 2C图3122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=．即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2:1：1,a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =; （C)222c a =； (D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4,x,则x 的可能值有（）（A ）1个；（B ）2个； (C ）3个； (D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（）（A ）10.5米；（B ）7。

[数学]-专题11 勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题(原版)

专题11 勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题（原卷版）第一部分典例剖析类型一方程思想（1）单勾股列方程1．（2022秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）2．（2021春•全南县期中）小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD＝3，求AC的长．3．（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？二、双勾股方程4．（2022秋•仪征市期中）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）．（1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝；（2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝；（3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值．5．（2020秋•金台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE 翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．6．如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合．（1）填空：△ADC是三角形；（2）若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求BC边上的高AE的长；（3）如图②，若∠DAC＝90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明．类型二数形结合思想7．（2022•锡山区）如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A．4√2B．2√5C．5D．3√28．（2022春•雁塔区校级期末）为比较√13+√6与√13+6的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直角边的长分别为√13与√6，则由勾股定理可求得其斜边长为√(√13)2+(√6)2=√13+6．根据“三角形三边关系”，可得√13+√6＞√13+6．小亮的这一做法体现的数学思想是（）A．分类讨论思想B．方程思想C．类比思想D．数形结合思想9．（2019秋•海州区校级月考）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．（1）探究√x2+y2的几何意义：如图①，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），即OP＝|x|，OQ＝|y|，在△OPM中，PM＝OQ＝|y|，则MO=√OP2+PM2=√|x|2+|y|2=√x2+y2，因此，√x2+y2的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离OM．①√(−2)2+32的几何意义可以理解为点N1（填写坐标）与点O（0，0）之间的距离N1O；②点N2（5，﹣1）与点O（0，0）之间的距离ON2为．（2）探究√(x−1)2+(y−5)2的几何意义：如图②，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究（1）可知，A′O=√(x−1)2+(y−5)2，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB＝A′O，所以AB=√(x−1)2+(y−5)2，因此√(x−1)2+(y−5)2的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离．（3）探究√(x+2)2+(y−3)2的几何意义：请仿照探究二（2）的方法，在图③中画出图形，那么√(x+2)2+(y−3)2的几何意义可以理解为点C（填写坐标）与点D（x，y）之间的距离．（4）拓展应用：①√(x−1)2+(y+4)2+√(x+2)2+(y+3)2的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（1，﹣4）的距离与点A（x，y）与点F（填写坐标）的距离之和．②√(x−1)2+(y+4)2+√(x+2)2+(y+3)2的最小值为（直接写出结果）类型三分类讨论思想10．（2019春•自贡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2√2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC的距离为√3，这样的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．（如皋市期末）已知∠MAN＝30°，点B在射线AN上，点C在射线AM上，且AB＝12．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；（2）若BC＝8，求AC的长；（3）要使满足条件的△ABC唯一确定，直接写出BC的长度x的取值范围．12．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为；②当t＝3时，PQ的长为；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．类型四转化思想13．（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．14．（2019•柯桥区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=13AB，AF=13AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2 D．S2=13（S1+S3）第二部分专题提升训练1．（2020春•长春期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为．2．（2021春•东昌府区期末）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′D＝6，则BN的长是．3．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝25cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝24cm，BD＝7cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求AB的长．4．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2√6，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点．（1）求证：DF＝GF；（2）求DF的长度．5．（2022•岳池县模拟）在劳技课上，老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上）．请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的面积．（求出所有可能的情况）6．设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值．7．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求BC的长．（2）斜边AB上的高是．（3）若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为．（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．。

初中数学勾股定理知识点-+典型题及解析

初中数学勾股定理知识点-+典型题及解析一、选择题1．如图，是一长、宽都是3 cm，高BC＝9 cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC＝23BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是()A．62cm B．33cm C．10 cm D．12 cm2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，若CE=1，AB=42，则下列结论一定正确的个数是（）①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等；A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）A．6 B．32C．2πD．125．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（）A ．杨辉B ．刘徽C ．祖冲之D ．赵爽 6．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )A ．3，4，5B ．1，1，2C ．8，12，13D ．2、3、5 7．已知一个三角形的两边长分别是5和13，要使这个三角形是直角三角形，则这个三角形的第三条边可以是（）A ．6B ．8C ．10D ．128．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A ．②B ．①②C ．①③D ．②③9．为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（）A ．0.6米B ．0.7米C ．0.8米D ．0.9米 10．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4 二、填空题11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．12．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．13．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．14．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.15．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．16．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°17．在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，过点C 作直线l AB ，F 是l 上的一点，且AB AF =，则FC =__________． 18．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．19．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM的值为______________．20．如图，直线423y x =+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，点C 是线段OA 上的一点，若将ABC ∆沿BC 折叠，点A 恰好落在x 轴上的'A 处，则点C 的坐标为______.三、解答题21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．22．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）24．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长；（2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=︒，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转90︒）；（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=︒，1AM =，求BM 的长．25．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB的值.26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.27．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.28．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．29．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+；勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、、37．30．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝3ABCD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】将图形展开，可得到安排AP较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可．【详解】解：(1)如图1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，在Rt△ADP中，AP=22+＝310cm39((2)如图2， AC=6cm，CP=6cm，Rt△ADP中，22+6266综上，蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是2cm．故选A．【点睛】题考查了平面展开--最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．2．D解析：D【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.解析：D【分析】利用等腰直角三角形的相关性质运用勾股定理以及对应角度的关系来推导对应选项的结论即可.【详解】解：由AB=42可得AC=BC=4，则AE=3=DE，由勾股定理可得CD=22，①正确；BD=4-221，②正确；由∠A=∠EDF=45°，则2∠EDF=90°，∠CED=90°-∠CDE=90°-（∠CDF-45°）= 135°-∠CDF=135°-（∠DFB+45°）= 90°-∠DFB，故∠CED+∠DFB=90°=2∠EDF，③正确；△DCE的周长=CD+CE+DE=22+4，△BDF的周长=BD+BF+DF=BD+AB=42+4-22=4+22，④正确；故正确的选项有4个，故选：D.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的相关性质以及勾股定理的运用,本题涉及的等腰直角三角形、翻折、勾股定理以及边角关系，需要熟练地掌握对应性质以及灵活的运用.4．A解析：A【分析】分别求出以AB、AC、BC为直径的半圆及△ABC的面积，再根据S阴影=S1+S2+S△ABC-S3即可得出结论．【详解】解：如图所示：∵∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm，∴以AB为直径的半圆的面积S1=2π（cm2）；以AC为直径的半圆的面积S2=98π（cm2）；以BC为直径的半圆的面积S3=258π（cm2）；S△ABC=6（cm2）；∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=6（cm2）；故选A．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．解析：D【分析】3世纪，汉代赵爽在注解《周髀算经》时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【详解】由题意，可知这位伟大的数学家是赵爽．故选D．【点睛】考查了数学常识，勾股定理的证明．3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理．6．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．【详解】A. 32+42=52，能构成直角三角形，故不符合题意；B. 12+12=）2，能构成直角三角形，故不符合题意；C. 82+122≠132，不能构成直角三角形，故符合题意；D.）2+2=2，能构成直角三角形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．7．D解析：D【分析】此题要分两种情况：当5和13都是直角边时；当13是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可求解．【详解】当5和13当1312=；故这个三角形的第三条边可以是12．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．8．D解析：D【分析】根据三角形勾股定理的逆定理符合222a b c +=即为直角三角形，所以将数据分别代入，符合即为能构成直角三角形．【详解】由题意得：①2222+3=134≠ ；②2223+4=25=5 ；③2221+2=5=，所以能构成直角三角形的是②③．故选D ．【点睛】考查直角三角形的构成，学生熟悉掌握勾股定理的逆定理是本题解题的关键，利用勾股定理的逆定理判断是否能够成直角三角形． 9．B解析：B【解析】试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定（米）．故选B ．10．C解析：C【分析】根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，当3和45，当斜边为4，故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解答．二、填空题11．【分析】在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算,,DF DE CE ''，可得CD ．【详解】∵90ACB ︒∠=，4,2AC BC ==， ∴25AB =，情况一：当25AD AB ==时，作AE CE ⊥于E∴ 1122BC AC AB AE ⋅=⋅，即455AE =，1455DE = ∴22855CE AC AE =-= ∴22213CD CE DE =+=情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ，∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅，即455BE =，1455DE = ∴22255CE BC BE =-= ∴22210CD CE DE =+=情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅， ∴455BE =35CE ∴= ∵ABD △为等腰直角三角形∴152BF DF AB === ∴955DE DF E F DF BE ''=+=+= 2535555CE EE CE BF CE ''=-=-=-= ∴2232CD CE E D ''=+=故答案为：1021332【点睛】本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键．12．163【分析】延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出43AE =．同理，在Rt DEC ∆中求出283CE CD ==2212DE CE CD =-=，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．【详解】解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，∴60C ∠=°，∴30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，∴28BE AB ==， 2243AE BE AB ∴=-=．在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，43CD =，283CE CD ∴==，2212DE CE CD ∴=-=，∴1443832ABE S ∆=⨯⨯=， 143122432CDE S ∆=⨯⨯=， 24383=163CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=-四边形．故答案为：163．【点睛】本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．15厘米【分析】要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A 和C 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB =39π=厘米，矩形的宽BC =12厘米． ∴蚂蚁需要爬行最短路程222212915AC BC AB =+=+=厘米．故答案为：15厘米【点睛】求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．14．12【分析】延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.【详解】如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.因为三角形COA 是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180° 所以∠BCO=∠OAE所以∆BCO ≅∠EAO所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE 是等腰直角三角形所以()()222210210220BO EO +=+= 所以AB=BE-AE=20-8=12 故答案为：12【点睛】考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键. 15．5【分析】由“SAS”可证ABD ≌ACE ，DAF ≌EAF 可得BD CE =，4B ∠∠=，DF EF =，由勾股定理可求EF 的长，即可求BC 的长，由勾股定理可求AD 的长．【详解】解：如图，连接EF ，过点A 作AG BC ⊥于点G ，AE AD ⊥，DAE DAC 290∠∠∠∴=+=，又BAC DAC 190∠∠∠=+=，12∠∠∴=，在ABD 和ACE 中 12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ∴≌()ACE SAS ．BD CE ∴=，4B ∠∠=BAC 90∠=，AB AC =，∴B 345∠∠==4B 45∠∠∴==，ECF 3490∠∠∠∴=+=，222CE CF EF ∴+=，222BD FC EF ∴+=， AF 平分DAE ∠，DAF EAF ∠∠∴=，在DAF 和EAF 中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAF ∴≌()EAF SAS ．DF EF ∴=．222BD FC DF ∴+=．22222DF BD FC 68100∴=+=+=，∴DF 10=BC BD DF FC 610824∴=++=++=，AB AC =，AG BC ⊥，1BG AG BC 122∴===， DG BG BD 1266∴=-=-=，∴AD =故答案为【点睛】考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．16．①②③【解析】【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，60ABC ∴∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，∴△BPQ 是等边三角形，①正确.∴PQ =BP =4，2222224325,525PQ QC PC +=+===，222PQ QC PC ∴+=，90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.∵△BPQ 是等边三角形，60PBQ BQP ∴∠=∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠APB =∠B QC ，6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，90PQC PQ QC ∠=≠，，45QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.1711【解析】如图，l AB ，AC =，作AD l ⊥于点D ，∴1AD =， ∵222AF AB ==⋅=，且F 有2个， ∴2212213DF DF ==-=，∵1DC AD ==，∴1113CF CD DF =+=+， 2231CF DF CD =-=-．点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力．18．355【详解】四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：12×1×1=12．则△ABC 的面积是：4﹣1﹣1﹣12=32．在直角△ADC 中根据勾股定理得到：AC=222+1=5．设AC 边上的高线长是x ．则12AC•x=5x=32，解得：x=355．355. 19．12【解析】如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，由勾股定理可得()22322x x x -=，所以MN 2=()()2222312x x x x +-=，BM 2=()()22232x x x -=.所以222212MN x BM x==12. 枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解.20．（0，34）. 【分析】由423y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122OA '=-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】在423y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2）当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=32,∴52AB ===, ∴53122OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）由翻折得ABC A BC '≌，∴2A C AC m '==-，在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,∴222(2)1m m -=+，解得m=34， ∴点C 的坐标为（0，34）. 故答案为：（0，34）. 【点睛】此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC 与A’C 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标. 三、解答题21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(2y x =【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM BM ，进而可得BE +CF （BE ﹣CF ），代入x 、y 后整理即得结果．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4．∵点D 是线段BC 的中点，∴BD ＝DC ＝12BC ＝2． ∵DF ⊥AC ，即∠AFD ＝90°，∴∠AED ＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝12BD＝1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝12BC＝12AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．∵DN＝FN，∴DM＝DN＝FN＝EM，∴BE+CF＝BM+EM+FN－CN＝NF+EM＝2DM=x+y，BE﹣CF＝BM+EM﹣（FN－CN）＝BM+NC＝2BM=x－y，在Rt△BMD中，∵∠BDM=30°，∴BD=2BM，∴DM ＝22=3BD BM BM -，∴()3x y x y +=-，整理，得()23y x =-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．22．（1）132）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可；（2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒，222246213()PQ BQ BP cm +=+=；（2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =；即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒，90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B 点作BE AC ⊥于点E ，则68 4.8()10AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=，27.2CQ CE cm ∴==，13.2BC CQ cm ∴+=，13.22 6.6t ∴=÷=秒．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．23．（1）见解析；（2）CD＝2AD+BD，理由见解析；（3）CD＝3AD+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE＝2AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝3AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD＝2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH ＝12AD ， ∴DH2AD ， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD+BD ，故答案为：CD+BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.24．（12）见解析；（3）2【分析】（1）分两种分割法利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，过点A 作AD ⊥AB ，且AD=BN ．只要证明△ADC ≌△BNC ，推出CD=CN ，∠ACD=∠BCN ，再证明△MDC ≌△MNC ，可得MD=MN ，由此即可解决问题；（3）过点B 作BP ⊥AB ，使得BP=AM=1，根据题意可得△CPB ≌△CMA ，△CMN ≌△CPN ，利用全等性质推出∠BNP=30°，从而得到NB 和NP 的长，即得BM.【详解】解：（1）当MN 最长时，，当BN 最长时，（2）证明：如图，过点A 作AD ⊥AB ，且AD=BN ，在△ADC 和△BNC 中，AD BN DAC B AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△BNC （SAS ），∴CD=CN ，∠ACD=∠BCN ，∵∠MCN=45°，∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，∴∠MCD=∠MCN ，在△MDC 和△MNC 中，CD CN MCD MCN CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDC ≌△MNC （SAS ），∴MD=MN在Rt △MDA 中，AD 2+AM 2=DM 2，∴BN 2+AM 2=MN 2，∴点M ，N 是线段AB 的勾股分割点；（3）过点B 作BP ⊥AB ，使得BP=AM=1，根据（2）中过程可得：△CPB ≌△CMA ，△CMN ≌△CPN ，∴∠AMC=∠BPC=120°，AM=PB=1，∠CMN=∠CPN=∠A+∠ACM=45°+15°=60°，∴∠BPN=120°-60°=60°，∴∠BNP=30°，∴NP=2BP=2=MN ，∴BN=22213-=，∴BM=MN+BN=23+.【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．（1）详见解析；（241；（33【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB .【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以222AB AC AC +因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠=所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB 所以33AD AB AB AB==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.26．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.【分析】（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.【详解】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×12ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，即 a 2+b 2= c 2．（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,∴ 2ab=12.∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.【点睛】本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.27．（1）①详见解析；（2）2222CD n =+-1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+= ∴22CD =222222n n =+-（1n >）（2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ，AD=BF又∵∠DCF=90° ∴由勾股定理得222DF CD CF CD =+=又DF=BF-BD=AD-BD ∴2AD BD CD -=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.28．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333．理由见解析.【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，∴135CEF FGH ∠=∠=︒，∵点D 是AC 的中点，∴132CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =；（2）依然成立理由：设AH ，DF 交于点G ，由题意可得出：DF=DE ，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC ，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF ∥BC ，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ，∴DG=12BC,DC=12AC ， ∴DG=DC ，∴EC=GF ，∵∠DFC=∠FCB ，∴∠GFH=∠FCE ，在△FCE 和△HFG 中CEF FGH EC GFECF GFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FCE ≌△HFG(ASA)，∴HF=FC.由（1）可知ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==． ∴2233DE DF CF CD ==-= ∴333CE DE DC =-=-∴点E 与点C 之间的距离为333-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.29．（1）1(491)2-；1(491)2+；（2）21(1)2n -；21(1)2n +；（3）21m -；21m +；（4）10；26； 12；35；【解析】【分析】（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=1(491)2-，弦25=1(491)2+；（2）如果勾用n （n≥3，且n 为奇数）表示时，则股=21(1)2n -，弦=21(1)2n +；（3）根据规律可得，如果a ，b ，c 是符合同样规律的一组勾股数，a=2m （m 表示大于1的整数），则b=m 2-1，c=m 2+1；。

勾股定理知识点-+典型题及解析

形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是 25，小正方形的面积是 1，
直角三角形的两直角边分别是 a 和 b，那么 ab 的值为（）
A．49
B．25
C．12
D．10
3．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大
正方形．已知大正方形的面积是 l3，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边长为
A．9
B． 2 10
C． 3 2 6
中， AD∥BC ， D 90 ， AD 4 ， BC 3．分别以点 A，
C 为圆心，大于 1 AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 2
O．若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（）
16．如图，正方体的底面边长分别为 2cm 和 3cm，高为 5cm．若一只蚂蚁从 P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm．
17．如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的边长分别为 5 和 12，则 b 的面积为 _________________.
__________．
20．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知 AB 25 ， AC 24 其中
阴影部分面积是_____________平方单位．
三、解答题
21．（1）计算： 3 12 2
1 3
48 2 3 ；
（2）已知 a、b、c 满足| a 2 3 | 3 2 b (c 30)2 0 ．判断以 a、b、c 为边能否
A． 2 2
B．4
C．3
D． 10
9．长度分别为 9cm、12cm、15cm、36cm、39cm 五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三

(完整版)勾股定理经典题目及答案

勾股定理1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a 2＋b 2=c 2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a 2＋b 2=c 2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC 中　∠C ＝Rt ∠a 2＋b 2=c 2⇔3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17；⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn,　m 2+n 2是一组勾股数。

②如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。

212-k 212+k ③如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。

122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K 122+⎪⎭⎫⎝⎛K ④如果a,b,c 是勾股数，那么na,　nb,　nc (n 是正整数)也是勾股数。

典型例题分析例1 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=____　依据这个图形的基本结构，可设S 1、S 2、S 3、S 4的边长为a 、b 、c 、d 则有a 2+b 2=1，c 2+d 2=3，S 1=b 2，S 2=a 2，S 3=c 2，S 4=d 2 S 1+S 2+S 3+S 4=b 2+a 2+c 2+d 2=1+3=4例2 已知线段a ，求作线段 a5分析一：a ＝＝525a 224a a +∴a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。

勾股定理典型例题【含答案】免费

勾股定理复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。

它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。

它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、知识结构：三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边例如图2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为．2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。

勾股定理典型例题

第一章勾股定理一、勾股定理与数学思想方法1.勾股定理中方程思想的运用例1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）2.勾股定理中分类讨论思想的运用例2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。

3.勾股定理中类比思想的运用例3．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明4.勾股定理中整体思想的运用例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．5.勾股定理中数型结合思想的运用例题5．在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？二、勾股定理典型例题题型一：勾股定理的综合应用例1、如图1，︒=∠90ACB，BC=8,AB=10,CD是斜边的高，求CD的长？（面积法应用）2、在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求CD的长BDCA图1例2、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。

（添加辅助线构造直角三角形）3、如图，求该四边形的面积题型二：折叠问题（图形与方程的综合）例1、如图4，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。

勾股定理题型(很全面)

1典型例题：一、利用勾股定理解决实际问题例题：水中芦苇梯子滑动1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？2、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？3、如图，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 在线巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私A 艇通知反走私艇B 时，A 和C 两艇的距离是20海里，A 、B 两艇的距离是12海里，反走私艇B 测得距离C 是16海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？二、与勾股定理有关的图形问题1．已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是．2．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是____ _____．A BC DEFG2FE DAB C3．在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______ ___．4．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S 1＋S 2与S 3的关系；(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S 1＋S 2与S 3的关系；(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S 2与S 3的关系．图① 图② 图③5．如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去…，记正方形ABCD 的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，an ，根据上述规律，则第n 个正方形的边长an ＝___ _____记正方形AB －CD 的面积S 1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S 2，S 3，……，S n (n 为正整数)，那么S n ＝____ ____．6、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．三、关于翻折问题1、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG.2、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.3、如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．G A 1D ABC DA3A B C D E G FF4、如图，一张矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝。

勾股定理专题(附问题详解,全面、精选)

勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解〔1〕直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，如此如下关于a,b,c的关系不成立的是〔〕A、c²- a²=b²B、c²- b²=a²C、a²- c²=b²D、 a²+b²= c²〔2〕在直角三角形中，∠A=90°，如此如下各式中不成立的是〔〕A、BC²- AB²=AC²B、BC²- AC²=AB ²C、AB²+AC²= BC²D、AC²+BC²= AB ²2、应用勾股定理求边长〔3〕在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.〔4〕在直角△中，假如两直角边长为a、b，且满足，如此该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积〔5〕以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

〔6〕如图〔1〕，图中的数字代表正方形的面积，如此正方形A的面积为。

〔7〕如图〔2〕，三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y=。

〔8〕在Rt△ABC中，∠C＝90°，假如AC＝6，BC＝8，如此AB的长为〔〕A、6B、8C、10D、12〔9〕在直线l上依次摆放着七个正方形〔如图4所示〕。

斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。

【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进展推导。

《勾股定理》典型练习题

《勾股定理》典型例题分析二、考点剖析考点一:利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:（１)阴影部分是正方形;（2）阴影部分是长方形；(3）阴影部分是半圆.2。

如图，以Rｔ△ABＣ的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是Ｓ1、S 2、Ｓ3，则它们之间的关系是( ）Ａ.S1—S2= S３ B.S1+ Ｓ2= S3Ｃ．S2+Ｓ3〈S1 D。

S2—S3＝Ｓ14、四边形ABCD中，∠B＝９0°,AB＝3，BC=４,CD=12,AD＝13,求四边形ABCＤ的面积。

5、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=__＿___＿＿__＿__。

考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边1.在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，２cm ,则斜边长为. 2．(易错题、注意分类的思想)已知直角三角形的两边长为3、２，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和１2, 求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（)A．２倍ﻩﻩB．４倍ﻩＣ. ６倍ﻩﻩﻩＤ．８倍5、在Rt△AＢC中，∠C=９0°①若ａ=5，b=１2,则c=___________;②若a＝１５,ｃ＝25,则b=__＿____＿＿__；③若c=61，ｂ=６0，则a＝_______＿__；④若ａ∶b=3∶4,c=１0则Rt△ＡBC的面积是=__＿_＿_＿_。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-,２n（n〉１）,那么它的斜边长是( ）Ａ、2ｎﻩﻩB、n+１ﻩ C、n２－１ﻩＤ、1n2+7、在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是( )Ａ。

勾股定理典型应用例题

1.基础应用题目：在一个直角三角形中，已知直角边a为3，直角边b为4，求斜边c的长度。

答案：根据勾股定理，c² = a² + b²，所以c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，从而c = 5。

2.逆应用题目：已知直角三角形的斜边c为5，一条直角边a为3，求另一条直角边b的长度。

答案：根据勾股定理，b² = c² - a²，所以b² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16，从而b = 4。

3.实际应用题目：一个直角三角形的两条直角边分别是6米和8米，一个正方形的一边与这个直角三角形的斜边重合，求这个正方形的面积。

答案：首先，根据勾股定理求出斜边长度c，c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100，所以c = 10。

正方形的面积为边长的平方，即10² = 100平方米。

4.比较大小题目：比较两个数的大小：√17和4。

答案：考虑直角边为1和4的直角三角形，斜边c满足c² = 1² + 4² = 17，所以c = √17。

显然，斜边c（即√17）大于直角边4。

5.多解问题题目：一个直角三角形的周长为12，其中一条直角边长为3，求另外两边的长。

答案：设另一条直角边为a，斜边为b。

根据勾股定理，a² + 3² = b²。

同时，根据周长信息，a + 3 + b = 12，即a + b = 9。

解这两个方程，得到两组解：a = 4, b = 5 和a = 5, b = 4。

6.非整数边长问题题目：在直角三角形中，已知直角边a为√3，直角边b为√4，求斜边c的长度。

答案：根据勾股定理，c² = a² + b²，所以c² = (√3)² + (√4)² = 3 + 4 = 7，从而c = √7。

勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典范【2 】例题常识点一.直策应用勾股定理或勾股定理逆定理例1：如图,在单位正方形构成的网格图中标有AB.CD.EF.GH四条线段,个中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A. CD.EF.GHB. AB.EF.GHC. AB.CD.GH D. AB.CD.EF勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程.所以,在应用勾股定理求线段的长时常经由过程解方程来解决.勾股定理表达式中有三个量,假如前提中只有一个已知量,必须设法求出另一个量或求出别的两个量之间的关系,这一点是应用勾股定理求线段长时须要明白的思绪.方程的思惟：经由过程列方程（组）解决问题,如：应用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决现实问题时,经常应用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等.例3：一场罕有的大风事后,黉舍那棵老杨树折断在地,此刻,张先生正和占明.清华.绣亚.冠华在楼上凭栏远眺.清华启齿说道：“先生,那棵树看起来挺高的.”“是啊,有10米高呢,如今被风拦腰刮断,惋惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮,有四五米高吧.”冠华兴趣勃勃地说.张先生心有所动,他说：“适才我跑过时用脚步量了一下,发明树尖距离树根正好3米,你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根.树尖.折断处三点依次相连后构成一个直角三角形.”“勾股定理必定是要用的,并且不动笔墨生怕是不行的.”绣亚补充说.几位男孩子走进教室,绘图.盘算,不一会就得出了答案.同窗们,你算出来了吗？思绪剖析：1）题意剖析：本题考核勾股定理的应用2）解题思绪：本题症结是卖力审题抓住问题的本质进行剖析才能得出准确的解答常经由过程作帮助线结构直角三角形将它们转化为直角三角形问题等.解题后的思虑：分类评论辩论思惟是解题时常用的一种思惟办法,同窗们假如控制了这种办法,可以使思维的层次性.周密性.灵巧性得到造就,才能在解题中真正做到不重不漏.常识点三.勾股定理及其逆定理的正逆混用例6：（1）图甲是由四个雷同的直角三角形与中央的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是5,求中央小正方形的面积.（2）现有一张长为6.5cm.宽为2cm的纸片,如图乙,请你将它朋分成6块,再拼合成一个正方形.（请求：先在图乙中画出朋分线,再画出拼成的正方形并标明响应数据）。

八年级勾股定理十道典型题

1、直角三角形中，一直角边长为3，斜边长为5，则另一直角边长为：A. 2B. 3C. 4D. 6（答案）C2、若等腰直角三角形的腰长为a，则其斜边长为：A. a2B. 2aC. a√2D. a/√2（答案）C3、在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为：A. 3+4B. 5C. 7D. √(32+42)（答案）D（但实际计算结果为5，与B相同，此处考察的是勾股定理的应用过程）4、一个直角三角形的两条直角边分别增加20%和30%，那么斜边增加的百分比最接近：A. 20%B. 25%C. 30%D. 50%（答案）B（实际增加百分比需通过计算得出，但接近25%）5、已知直角三角形的一直角边长为5，斜边与另一直角边之差为2，则斜边长为：A. 6B. 7C. 8D. 9（答案）D6、设直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，若a+b=10，c=8，则ab的值为：A. 18B. 36C. 50D. 64（答案）B（利用勾股定理a2+b2=c2和(a+b)2=a2+2ab+b2求解）7、一个直角三角形的斜边长为10，一直角边与斜边之比为3:5，则另一直角边长为：A. 4B. 5C. 6D. 8（答案）A（利用比例关系和勾股定理求解）8、直角三角形中，若斜边长为斜边上的高的5倍，则较小的锐角为：A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°（答案）B（利用三角函数和勾股定理求解）9、在直角三角形中，若一直角边长为6，斜边上的高为4，则斜边长为：A. 8B. 9C. 10D. 12（答案）C（利用直角三角形的面积公式和勾股定理求解）10、已知直角三角形的两直角边a和b满足a+2b=10，且斜边c为整数，则c的可能取值为：A. 4或5B. 5或6C. 6或7D. 7或8（答案）B（通过枚举和勾股定理验证）。

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勾股定理典型练习题 Prepared on 24 November 2020《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b ，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要5、运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S3S2S14、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

5、(难）在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A． 2倍B． 4倍C． 6倍D． 8倍5、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、n2+17、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222c b a+= D.以上都有可能+= C. 222a c b+= B. 222a b c8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c mc m D、602c m C、482c m B、36 29、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、1510、已知在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm，求△ABC的周长。

（提示：两种情况）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4，5，6B. 2，3，4C. 11，12，13D. 8，15，172、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶73、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4、若三角形的三边之比为222，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A．钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若△ABC的三边长a,b,c满足222a b c20012a16b20c+++=++，试判断△ABC的形状。

8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。

例3：求（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。

（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。

考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗2、一架长m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑m，那么梯子底端将向左滑动米3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）4、在一棵树10 m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；•另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 .6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．xzx7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走6012140B6AC第5题图78米2米8米第6题图861532BABC3km ，再折向北方走到5km 处往东一拐，仅1km •就找到了宝藏，问：登陆点（A 处）到宝藏埋藏点（B 处）的直线距离是多少考点七：折叠问题（较难的一类）1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CE 等于（）A. 425B. 322C. 47D. 352、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC •于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．3、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM ,求CF 和EC 。

4、如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积5、如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少6、如图，在长方形ABCD 中，将∆ABC 沿AC 对折至∆AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。

（1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长7、如图2所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 正好落在BC 边上F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分面积为_______．8、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD 的面积为________． 9、（难）如图5，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G 。

如果M 为CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM=3：4：5。

10、如图2-5，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C 点与A 点重合，•则折叠后痕迹EF 的长为（）A ．B ．C ．D ．2-511、（稍难）如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合），在AD 上适当移动三角板顶点P ：图18-15A B C E D①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.（提示：根据勾股定理，列出一元二次方程，超初二范围）12、（难）如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

（提示：连接AD，证△AED≌△CFD, 可得AE=CF=5，AF=BE=12，即可求）13、（好）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为2、（好，稍难）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是（ 2 ）n．考点九、图形问题1、如图1，求该四边形的面积2、已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为．3、（好，稍难）某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为ｍ,宽为ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门并说明你的理由 .4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围。