时域离散相似法
连续系统模型的离散化处理方法

在离散化后,模型精度变差,可能不稳定。
S域到Z域的最基本映射关系是:Z=e (T— TS 数值积分法:将微分方程转换成差分方程,这中间是一步步离散,每一步离散都用到连续系统的原模型,这样的速度就慢了。
TeAT
m T
T eATA Bd
0
xKTTTxKTmTUKT
x(k1) TxkmTUk
B 当输入函数u(KT)在两采样 点间线性变化时(一阶保持)
uuKTukT
p
T
TeATABd
0
xkTTTxkTmTUkTpTUkT
xk1TxkmTUkpTUk
当连续系统状态方程系数A、B已知时,
可求出……
此法相比于数值积分法;只要T不变,三个系 数均不变,可以在仿真前预先计算好,这样 就减少了以后的计算工作量。
2 典型环节的离散状态方程
A 积分环节:G(S)=K/S f1=x2 ; f2=x3 ;
依据各环节的连接关系及外部作用函数 稳定性不及双线性替换法,Ts或信号重构器选择不当,离散模型的稳定性变差
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
G z
y z u z
z G h s G s
1
z
s a
z exp( aT )
e TS 1 z
1 z
s
z 1
1
Tz
s* s
( z 1 )( z 1 )
Gz
yz uz
zGh
sGs
Gs k
sa
Gh
s
1
离散互相关公式范文

离散互相关公式范文离散信号的互相关是一种常用的信号处理方法,用于衡量两个信号之间的相似性和相关性。
离散互相关运算可以用于许多应用中,如图像处理、音频处理和通信系统中。
下面将介绍离散互相关的公式以及相关的概念。
首先,我们先来定义一下离散信号的相关性。
给定两个离散信号序列x[n]和y[n],它们的相关性可以通过互相关函数来计算。
互相关函数可以用离散卷积的形式来表示,它的公式如下:Rxy[m] = ∑(x[n]*y[n-m])其中,Rxy[m]表示x[n]和y[n]之间的互相关函数,*表示离散卷积运算,m表示相关函数的延迟。
互相关函数可以用来衡量输入信号和参考信号之间的相似性,从而判断它们是否存在相关关系。
当相关函数的值接近于1时,表示输入信号和参考信号之间的相关性较高;当相关函数的值接近于0时,表示输入信号和参考信号之间的相关性较低。
在离散互相关的计算中,需要注意输入信号的长度和延迟的选择。
一般情况下,输入信号的长度应当相等,并且延迟的选择应当满足延迟范围的要求。
在实际应用中,计算离散互相关函数可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。
离散互相关函数的计算可以分为以下几个步骤:1.对输入信号x[n]和y[n]进行零填充,使它们的长度相等。
零填充可以用于扩展信号的长度,从而得到更精确的相关函数计算结果。
2.对输入信号进行DFT变换,得到它们的频谱表示。
DFT变换可以将信号从时域转换到频域,从而方便计算相关函数。
3.将x[n]和y[n]的频谱相乘,得到它们的互相关频谱。
4.对互相关频谱进行IDFT反变换,得到互相关函数。
IDFT变换可以将信号从频域转换回时域,从而得到相关函数。
需要注意的是,信号的长度和延迟的选择会对相关函数的计算结果产生影响。
如果信号长度过长或延迟范围过大,可能会导致计算时间过长或计算结果不准确。
因此,在实际应用中需要根据具体情况选择合适的信号长度和延迟范围。
离散互相关公式的推导可以通过离散卷积公式和傅里叶变换公式进行推导。
4.3离散相似法

x( n
1)
e aT
x( n
)
k a
(1
e aT
)u( n )
k a2
( eaT
1)
k a
T u( n
)
y(n 1) (b a)x(n1) ku( n 1)
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33
第33页,共40页。
三、状态转移矩阵的计算
(1)解析计算(拉氏逆变换)
利用定义 (T ) eAT L1[(sI A)1] 进行求解
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12
第12页,共40页。
h0(t)
h0(t)
1
1
0
Tt
0
Tt
-1
a
b
零阶保持器的特性:
g0 (t) 1(t) 1(t T )
➢ 对采样值既不放大, 也不衰减
➢只能不增不减地保 持一个采样周期
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保持器的传递函数:
1 eTs 1 eTs G0 (s) s s s
b
k
/
s
系统模拟结构图: u
s
y
b
状态空间模型: X kU Y X bU
A 0, B k
离散状态空间模型:x(n 1) x(n) kTu(n) 0.5kT2u(n)
y(n 1) x(n 1) bku(n 1)
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31
第31页,共40页。
(3)惯性环节
传递函数: G( s ) Y ( s ) k k 1 / s U(s) s a 1 a / s
0 1
0 0
1 1
s 0
1 s 1
(sI
A)1
1 s(s 1)
自动控制理论课件第七章离散系统的时域分析

已知起始状态y(1) 2,试求零输入响应。
解:在无外加输入时系统的零输入响应通常
是指n 0以后的响应起始状态是值y(1),
y(2), 各值。
y(n) y(n 1)
故有 y(n) y(1) y(2)
y(n 1) y(0) y(1)
y(n)是公比为的等比级数,故零输入响应有如下形式
是一阶非齐次差分方程。
梯形电阻网络,设各点 对地电压为 u(n), n 0,1,2,...为各节点
序号,为常数,则求其差分方程。
根据KCL, 有
u(n 1) u(n) u(n) u(n) u(n 1)
R
R
R
整理可得
u(n 1) u(n 1) (2a 1)u(n) 0
是关于节点电压的齐次差分方程。
u(n) (2a 1)u(n 1) u(n 2) 0
差分方程的阶数为未知 序列(响应序列)的最大序号与
最小序号之差。上式为 二阶差分方程。
对于一个线性是不变离散系统,若响应信号为y(n),
输入信号为f (n),则描述系统输入- 输出关系的
N阶差分方程为
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) aN-1y(n N 1) aN y(n N )
an n 1 a 0
1 1 O 1
23
4n
5.正弦序列
xn sinnω0
余弦序列:xn cosn0
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
=2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
MATLAB求解传递函数

系统仿真课时作业学院名称:机械与汽车工程学院专业班级:机械设计制造及其自动化11 -5班姓名:陈飞学号:20110538教师:翟华一、离散相似法1、设计思想是将系统的连续时间状态方程化为离散时间状态方程进行数值计算,它的优点是状态转移矩阵可一次求出,因而计算量较小。
2、在实际系统中,通常由多环节多回路组成,若还用类似上述简单系统的处理方法,只对系统整体进行一次离散化处理,则存在下列问题:①需要给出复杂系统的整体传递函数,高阶微分方程或状态空间表达式,非常烦琐;②系统环节数目越多,系统阶次越高,其状态方程A,B矩阵维数越大,其的计算更加复杂。
③不易分析系统中某个环节的参数变化对系统动态响应的影响,也不能观察系统内部变量的变化情况。
4、为克服系统整体一次离散化给复杂系统仿真带来的问题,可以采取这样一种方法,即对构成系统所有典型环节分别进行一次离散化处理,并用离散状态空间表达式表示出来。
所以,只要预先一次计算出各典型环节的离散状态方程系数矩阵,并用描述各环节间和各环节与控制作用间连接关系的连接矩阵求得各环节的输入量,就可将系统所有环节的动态响应都一一求出,这就是面向结构图的离散相似法数字仿真的基本思想。
5、离散相似法是按环节离散化的,每计算一个步长、每个环节都独立的依次输入计算出输出结果,因而非线性环节很容易包含进去,故此种方法可用来对带有非线性环节的连续系统进行仿真。
6、离散相似法的主要思想:离散相似法是指将一个连续系统进行离散化处理,然后求得与它等价的离散模型(差分方程)的方法。
主要应用于连续系统建模与仿真领域中。
从连续系统离散化的角度出发,建立连续系统模型的等价离散化模型,并用采样系统的理论和方法介绍另一种常用的仿真算法。
这种算法使得连续系统在进行(虚拟的)离散化处理后仍保持与原系统“相似”,故称之为离散相似算法。
二、用MATLAB 中的simulink 工具求解以下传递函数,并画出相关时域图形。
matlab 时域运算

在MATLAB中进行时域运算,主要涉及对时间序列数据的处理和操作。
以下是一些常见的时域运算:
1. 卷积运算:对两个函数在时间上逐点相乘,得到的结果就是这两个函数的卷积。
卷积运算在信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
2. 相关运算:两个信号的互相关函数描述了这两个信号之间的相似性。
在时间序列分析中,相关函数可以用于检测两个信号之间的关联性。
3. 滤波器:滤波器是一种对信号进行处理的系统,能够改变信号的频率成分。
在时域中,滤波器可以看作是一个线性时不变系统,它对输入信号进行线性变换,得到输出信号。
4. 傅里叶变换:傅里叶变换是一种将时间序列信号转换为频域信号的方法。
通过傅里叶变换,我们可以得到信号的频谱,从而更好地分析信号的频率成分。
5. 差分运算:差分运算是一种求取时间序列数据变化率的方法。
通过计算相邻数据点之间的差值,可以得到时间序列的变化趋势。
6. 累加和:累加和是一种求取时间序列数据总和的方法。
通过将所有数据点相加,可以得到时间序列的总和。
7. 均值:均值是一种求取时间序列数据平均值的方法。
通过将所有数据点相加并除以数据点的数量,可以得到时间序列的平均值。
8. 方差和标准差:方差和标准差是衡量时间序列数据离散程度的指标。
方差是每个数据点与平均值之差的平方的平均值,标准差是
方差的平方根。
9. 峰度和偏度:峰度和偏度是描述时间序列数据分布形态的指标。
峰度衡量了分布的尖锐程度,偏度衡量了分布的不对称性。
以上是一些常见的时域运算,根据具体应用场景和问题,可以选择合适的运算方法进行处理和分析。
信号处理中的时域分析方法及其应用

信号处理中的时域分析方法及其应用在信号处理领域中,时域分析是一种基本的分析方法。
时域分析是指对信号在时间轴上的特性进行分析,它是从时间域的角度,对信号本身进行的分析和处理。
时域分析方法包括时域波形分析、自相关分析、互相关分析、谱分析等,本文将对这些方法进行介绍,同时介绍它们在实际应用中的表现。
一、时域波形分析时域波形分析指的是对信号波形形态的分析。
通过时域波形分析,可以对信号的震动、周期、幅值、偏移等特征进行分析和处理。
时域波形分析适用于振动信号、机械振动、声音信号、脑电信号等领域。
时域波形分析的方法有很多种,其中最常见的方法是傅里叶级数展开。
傅里叶级数展开是利用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示周期函数的方法。
通过傅里叶级数展开,可以将不规则的波形化为一系列正弦信号的叠加,从而分析信号的频率成分和幅度。
另外,还有小波变换、离散余弦变换等方法也可以进行时域波形分析。
二、自相关分析自相关分析是指将同一信号在时间上进行平移,再进行相关分析的一种方法。
通过自相关分析,可以得到信号的自相关函数,从而得到信号的时间延迟、周期、相关性等信息。
在自相关分析中,自相关函数可以用以下公式来表示:R_{xx}[m]=\sum_{n=0}^{N-m-1}x[n]x[n+m]其中,x[n]表示原始信号,R_{xx}[m]表示信号在时间上平移m 个单位后的自相关函数。
通过自相关函数的分析,可以得到信号的自相似性和周期,同时对于极化信号、超声检测、遥感图像的分析中也有广泛的应用。
三、互相关分析互相关分析是指对两个不同信号进行相关分析的方法。
通过互相关分析,可以计算出两个信号之间的相似度。
对于两个信号之间具有强相关性的情况,可以使用互相关分析来分析它们之间的关系。
在互相关分析中,互相关函数可以用以下公式来表示:R_{yx}[m]=\sum_{n=0}^{N-m-1}x[n]y[n+m]其中,x[n]表示第一个信号,y[n]表示第二个信号,R_{yx}[m]表示两个信号相位不同后的互相关函数。
离散系统的时域分析法

第五章离散系统的时域分析法目录5.1 引言5.2 离散时间信号5.3 离散系统的数学模型-差分方程 5.4 线性常系数差分方程的求解5.5 单位样值响应5.6 卷积和§5.1引言连续时间信号、连续时间系统连续时间信号:f(t)是连续变化的t的函数,除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。
函数的波形都是具有平滑曲线的形状,一般也称模拟信号。
模拟信号抽样信号量化信号连续时间系统:系统的输入、输出都是连续的时间信号。
离散时间信号、离散时间系统离散时间信号:时间变量是离散的,函数只在某些规定的时刻有确定的值,在其他时间没有定义。
离散时间系统:系统的输入、输出都是离散的时间信号。
如数字计算机。
o k t ()k t f 2t 1−t 1t 3t 2−t 离散信号可以由模拟信号抽样而得,也可以由实际系统生成。
量化幅值量化——幅值只能分级变化。
采样过程就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程——得到离散信号。
数字信号:离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
ot ()t f T T 2T 31.32.45.19.0o T T 2T 3()t f q t3421离散时间系统的优点•便于实现大规模集成,从而在重量和体积方面显示其优越性;•容易作到精度高,模拟元件精度低,而数字系统的精度取决于位数;•可靠性好;•存储器的合理运用使系统具有灵活的功能;•易消除噪声干扰;•数字系统容易利用可编程技术,借助于软件控制,大大改善了系统的灵活性和通用性;•易处理速率很低的信号。
离散时间系统的困难和缺点高速时实现困难,设备复杂,成本高,通信系统由模拟转化为数字要牺牲带宽。
应用前景由于数字系统的优点,使许多模拟系统逐步被淘汰,被数字(更多是模/数混合)系统所代替;人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数字化生存”等概念,数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落。
数字信号处理技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新境界。
信号与系统的分析方法有时域,变换域两种

3.幂级数展开法(长除法)
因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数,即
X ( z)
n
x ( n) z
n
x(2) z x(1) z
2
x(0) z 0 x(1) z 1 x(2) z 2
所以在给定的收敛域内,把X(z)展为幂级数,其系数 就是序列x(n)。 如收敛域为|z|>Rx+, x(n)为因果序列,则X(z)展 成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列,主要展成 Z的正幂级数。
[例2-5]利用部分分式法,求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , 的z反变换。 解:
2
z 2
1 z X ( z) 1 1 (1 2 z )(1 0.5 z ) ( z 2)( z 0.5) X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
j Im[ z ]
Re[ z ]
z
同样,对于级数
x ( n) z n ,满足 z z
n 0
的z, 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[ z ]
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x (n)
.
x(n), n1 n n2 x ( n) 其他n 0,
X ( z) 4 A [( z 2) ]z 2 1 z 3 X ( z) 1 A2 [( z 0.5) ] z 0.5 z 3 4 z 1 z X ( z) 3 z2 3 z 0.5
又 z 2, 查p54表2.1得 4 n 1 n 2 (0.5) , n 0 x ( n) 3 3 0 ,n 0
离散时间信号与离散时间系统

§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号:只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统:处理离散时间信号的系统。
混合时间系统:既处理离散时间信号,又处理连续时间信号的系统。
二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号,从而可以用离散时间系统(或数字信号处理系统)进行处理:三、 离散信号的表示方法:1、 时间函数:f(k)<——f(kT),其中k 为序号,相当于时间。
例如:)1.0sin()(k k f =2、 (有序)数列:将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如:f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长(可能是无限长)的离散信号,可以表达单边或双边信号,但是在很多情况下难于得到;数列的方法表示比较简单,直观,但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数:⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。
连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似,也有着与其相似的性质。
例如:)()0()()(k f k k f δδ=, )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数:⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生(或表示)单边信号(这里称为单边序列)。
3、 单边指数序列:)(k a k ε比较:单边连续指数信号:)()()(t e t e t a at εε=,其底一定大于零,不会出现负数。
4、 单边正弦序列:)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列:)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法:)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
有限元各种时域计算方法

有限元各种时域计算方法有限元方法(FEM)是数值分析中一种常用的工程计算方法,用于求解连续介质的力学问题。
在时域情况下,FEM可以用于求解动力学问题,其中物体的响应随时间变化。
下面介绍几种常用的有限元时域计算方法:1. 爆炸分析方法(Explosion Analysis Method):用于模拟爆炸、冲击等快速载荷作用下的结构动力响应。
该方法将爆炸过程分解为多个离散时间步骤,并使用显式时间积分方法求解结构动力方程。
通过该方法可以得到结构的位移、速度、加速度等动态响应结果。
2. 频率域响应谱(Frequency Domain Response Spectrum):将时域问题转化为频域问题进行求解。
根据结构的固有频率和阻尼比,可以建立系统的频率响应函数,进而得到结构在特定载荷下的响应。
这种方法适用于大规模结构问题,可以有效地简化计算的复杂性。
3. 时间有限差分法(Time Finite Difference Method):该方法将时域问题转化为差分格式,用一系列离散时间步骤来近似连续时间。
通过在空间和时间上进行网格划分,可以利用差分格式求解结构动力方程。
这种方法对于线性和非线性问题都适用,并且可以实现高精度的模拟结果。
4. 显式时间积分法(Explicit Time Integration Method):该方法使用显式格式对结构动力方程进行时间积分,通过预测和修正的过程求解结构的动态响应。
显式时间积分法具有计算效率高的优点,适用于稳定性良好的问题,但在处理非线性和不稳定问题时可能出现数值耗散和不稳定现象。
5. 隐式时间积分法(Implicit Time Integration Method):与显式时间积分法相反,隐式时间积分法使用隐式格式进行时间积分,从而提高数值稳定性。
通过迭代求解非线性方程组,可以得到结构的准确动态响应。
隐式时间积分法对于非线性和不稳定问题的求解较为稳定,但计算效率较低。
以上是几种常用的有限元时域计算方法,每种方法都有各自的特点和适用范围。
离散fréchet(弗雷歇) 距离评价曲线相似度

离散fréchet(弗雷歇) 距离评价曲线相似度离散Fréchet距离是一种用于评估曲线相似度的度量方法。
它可以帮助我们确定两条曲线之间的相似程度,无论曲线是连续的还是离散的。
Fréchet距离最初是由法国数学家Maurice René Fréchet在20世纪初提出的。
他以弗雷歇的名字命名这一概念,以表彰他在函数分析和拓扑学领域的杰出贡献。
为了更好地理解离散Fréchet距离,我们可以将其想象成两条曲线之间的最短距离。
这个距离可以被理解为一个连续路径,从一条曲线上的一个点转移到另一条曲线上的相应点,且该路径长度最短。
不同的路径长度代表着曲线之间的相似程度,较短的路径长度表示两条曲线越相似。
离散Fréchet距离的计算方法比较复杂,但它主要涉及在两条曲线上选择相应的离散点,并使用动态规划算法计算最短路径。
在这个过程中,我们需要考虑到每个离散点的顺序和相互之间的距离。
这个度量方法的优势在于它考虑到了曲线的形状和拓扑结构。
相比于其他常见的曲线相似度度量方法,离散Fréchet距离更能反映曲线之间的整体相似度,而不仅仅是局部特征。
离散Fréchet距离在很多领域都有广泛的应用。
例如,在地理信息系统中,它可以用于比较地图路径的相似程度。
在生物信息学领域,它可以用于比较DNA或蛋白质序列的相似性。
而在计算机图形学中,它则可用于比较曲线或轮廓的相似度。
了解离散Fréchet距离的概念和应用,在实践中具有重要意义。
通过掌握这个度量方法,我们可以更好地理解和评估曲线之间的相似度。
这将有助于我们在各个领域中进行更精确的曲线分析和比较,从而提高我们对数据和信息的理解与利用能力。
总之,离散Fréchet距离在曲线相似度评价中扮演着重要的角色。
它不仅能够全面地考虑曲线形状和拓扑结构,还具有广泛的应用领域。
深入理解和应用离散Fréchet距离,将有助于我们进行更准确和全面的曲线分析和比较。
离散fréchet(弗雷歇) 距离评价曲线相似度

离散fréchet(弗雷歇) 距离评价曲线相似度1.离散Fréchet (弗雷歇)距离是一种评价曲线相似度的方法。
2.它可以度量两条离散曲线之间的相似性。
3.弗雷歇距离考虑了曲线形状和顺序的一致性。
4.这种距离度量方法可以应用于很多领域,例如图形识别和时间序列分析。
5.利用离散Fréchet距离,我们可以比较两个曲线是否相似。
6.它可以帮助我们找到最相似的曲线或者确定曲线之间的差异。
7.在物体形状匹配中,离散Fréchet距离可以用于比较不同物体的形状相似度。
8.通过计算离散Fréchet距离,我们可以量化两个曲线的差异。
9.这种评价方法可以帮助我们识别图形或者模式之间的差异。
10.离散Fréchet距离的计算需要考虑路径的多样性和相互匹配的方式。
11.它可以通过考虑距离度量和路径优化来得到更准确的结果。
12.离散Fréchet距离的应用涉及到对曲线形状进行比较和匹配的问题。
13.在路径规划中,离散Fréchet距离可以用于衡量不同路径规划方案的相似性。
14.离散Fréchet距离的计算复杂度取决于曲线的长度和采样点的个数。
15.它可以在离散曲线处理中作为一个重要的工具和度量标准。
16.离散Fréchet距离可以用于评价曲线的相似度,以提供有关曲线形状的信息。
17.通过计算离散Fréchet距离,我们可以得到曲线之间的相似性分数,用以衡量它们的相似程度。
18.这种距离度量方法可以用于模式识别和数据挖掘领域中的曲线分析。
19.离散Fréchet距离可用于匹配不完全对齐的曲线,以提供更准确的比较结果。
20.利用离散Fréchet距离,我们可以根据曲线的形状特征来识别和分类不同的曲线。
21.离散Fréchet距离的研究为曲线相似度评价提供了一种有效的方法。
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法

1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Z反变换得差分方程:
y(n 1) y(n) Tu(n)
2)选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Z变换理论,S域到Z域的最基本的
映射关系是:
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中T是采样周期
若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将 会很复杂,不便于计算,实际应用中是利用Z变 换理论的基本映射关系进行简化处理,得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式:
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型, 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型,通过 具体的离散化方法,构造一个离散化模型,使之 与连续系统等效。
零阶保持器

从频域看是把由于采样离散化而产生的高频分量 滤去,而将采样函数的离散频谱恢复成连续函数的主 频谱分量。
连续系统离散化过程
信号重构器不是理想的滤波器会给信号带来幅 值的衰减和相位的延迟,故:
用Z变换方法求脉冲传递函数
Gz
Y U
z z
Z
Gh
s
Gs
若G(s)=k
s a
,采用零阶保持器,则Gh
s
1
eTs s
Gz
Z
1
esT s
s
k
a
z
1 z
Z
k
ss
a
z
1 z
Z
k a
1 s
s
1
a
k a
z
1 z
z
z 1
z
z eaT
Байду номын сангаас
k 1 eaT a z eaT
利用Z逆变换求得其差分方程模型:
t
X t tx0 t BU d
其中
0
t eAt L1 sI A 1
求通解的方法2:
通过展开 d eAtxt 求 xt 的通解: dt
d eAt xt AeAt xt eAt xt eAt Axt xt eAt But
dt
上式两边从 t0到 t 积分可得
t
eAt xt eAt0 xt0 eA Bu d
1 s2
eTs
由Z变换的线性性质和位移定理可得
Gz
Tz
z 12
1 z
时域分析方法总结

时域分析方法总结引言时域分析是信号处理领域中常用的一种方法,它的核心思想是对信号在时间上进行观察和分析,从而获取有关信号的时序特征和动态行为。
本文将对时域分析的基本概念和常用方法进行总结和介绍。
时域分析的基本概念时域分析主要依赖于时域信号,即信号在时间轴上的变化。
时域信号是连续的,可以通过采样来离散表示。
常见的时域信号包括周期信号、非周期信号以及随机信号等。
时域分析的目的是通过观察和分析信号在时间上的变化,揭示信号的特征和规律。
常用的时域分析方法1. 时域波形分析时域波形分析是最直观和基本的时域分析方法。
它通过观察信号的波形,分析信号的振幅、频率、周期和相位等特征。
常用的时域波形分析方法包括均方根(RMS) 分析、极值分析和傅里叶级数分析等。
这些方法适用于周期信号和非周期信号的分析。
2. 自相关函数分析自相关函数是用于描述信号与其自身之间的相关性的函数。
自相关函数分析能够揭示信号中的周期性成分和重复模式。
通过计算信号与其延迟后的版本之间的相关性,可以获得自相关函数。
自相关函数分析常用于随机信号的分析和模式识别任务。
3. 相位谱分析相位谱分析是用于分析信号的频率和相位关系的方法。
它通过将信号转换为频域表示,获得信号的频谱信息。
相位谱分析基于信号的频域特性,可以帮助人们理解信号的相位信息、频率成分以及相位偏移等。
常用的相位谱分析方法包括快速傅里叶变换 (FFT) 和功率谱密度分析。
4. 瞬态响应分析瞬态响应分析是用于分析信号对于外部激励的瞬时响应情况。
它通过分析信号在时域上的变化来了解系统的动态行为。
瞬态响应分析常用于分析系统的响应时间、准确性和稳定性等性能指标。
常用的瞬态响应分析方法包括阶跃响应分析和脉冲响应分析。
应用场景时域分析方法在多个领域中都有广泛的应用,包括信号处理、通信、控制系统、生物医学工程等。
时域分析方法可以帮助人们深入了解信号的特性和行为,并根据分析结果进行系统设计、故障诊断、模式识别等工作。
离散信号与系统的时域和频域分析

h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时, n 齐次差分方程解: k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
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结束
本章说明
与连续信号与系统相比较,离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程,其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析: 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算
④差分:离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分: f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分: ⑤反折:将离散信号以纵轴为对称轴反折(转) ⑥压扩:将离散信号中f(k)的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意:不存在非整数ak的值! ⑦求和:离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
信号与系统第五章 离散信号与系统的时域分析

f1(k) f (n)
6
n
3 2
1
1 1 2 3 k
3
1
1 1 2 3 4 k
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
返回
ZB
5.1.3 常用的离散信号
(k)
1. 单位函数 (k)
(k)
1 0
k0 k0
1
1 1 2 3 k
(k n)
(k
n)
1 0
k n kn
1
1 0 1 2 n k
整理,得 y(k 2) 3y(k 1)+2y(k)=0
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
例:每月存入银行 A 元,设月息为 ,试确定第 k 次存
款后应有的存款额 y(k) 的方程。
解:第 k+1 次存入后应有的存款额为
A y(k) y(k)
即 y(k 1) y(k) y(k) A
(1) 筛选特性 f (k) (k n) f (n)
k
(2) 加权特性 f (k) (k n) f (n) (k n)
应用此性质,可以把任意离散信号 f (k) 表示为一系 列延时单位函数的加权和,即
f (k) f (2) (k 2) f (1) (k 1)
返回《信号f与(0)系 (统k) 》fS(1IG) N(kAL1)SANDSnYSTfE(Mn)S
一阶后向差分
f (k) f (k) f (k 1)
二阶后向差分
f (k) 2 f (k) f (k) f (k 1)
《信号与系统》SIGf (Nk)AL2SfA(kND1)SYfS(TkEM2)S
返回
ZB
6. 序列的求和(累加) (对应于连续信号的积分)
8种相似度度量方式的原理及实现

8种相似度度量方式的原理及实现相似度度量是比较两个对象之间相似程度的一种方法。
在机器学习、数据挖掘和自然语言处理中,相似度度量广泛应用于聚类、分类、检索等任务。
本文将介绍8种常用的相似度度量方式的原理及实现。
1. 欧氏距离(Euclidean Distance):原理:欧氏距离是最常见的相似度度量方式之一,它衡量两个向量之间的直线距离。
对于给定的向量a和b,欧氏距离的计算公式为:sqrt(sum((a[i]-b[i])**2)),其中i为维度的索引。
实现:可以使用numpy库中的`numpy.linalg.norm`函数来计算欧氏距离。
2. 曼哈顿距离(Manhattan Distance):原理:曼哈顿距离是另一种常见的相似度度量方式,它衡量两个向量之间的曼哈顿距离或城市街区距离,即两点之间沿坐标轴的绝对距离之和。
对于给定的向量a和b,曼哈顿距离的计算公式为:sum(abs(a[i]-b[i])),其中i为维度的索引。
实现:可以使用numpy库中的`numpy.linalg.norm`函数,将参数`ord`设置为1来计算曼哈顿距离。
3. 余弦相似度(Cosine Similarity):原理:余弦相似度度量两个向量的夹角余弦值,而不是像欧氏距离一样衡量向量的绝对距离。
余弦相似度的计算公式为:dot(a, b) /(norm(a) * norm(b)),其中dot为向量的点积,norm为向量的范数或长度。
实现:可以使用numpy库中的`numpy.dot`函数和`numpy.linalg.norm`函数来计算余弦相似度。
4. 皮尔逊相关系数(Pearson Correlation Coefficient):原理:皮尔逊相关系数度量两个变量之间的线性关系强度和方向,其取值范围为[-1, 1]。
与余弦相似度不同,皮尔逊相关系数考虑了向量的线性相关性。
皮尔逊相关系数的计算公式为:cov(a, b) / (std(a) * std(b)),其中cov为协方差,std为标准差。
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第三章 时域离散相似法用数字计算机对一个连续系统进行仿真时,必须将这个系统看作一个时间离散系统。
也就是说,我们只能计算到各状态量在各计算步距点上的数值,它们是一些时间离散点的数值。
在第二章中主要是从数值积分法的角度来讨论数字仿真问题,没有显式地涉及到“离散”这个概念。
史密斯从控制和工程的概念出发提出离散相似问题[1],并导出离散相似法。
所谓“离散相似法”就是将一个连续系统进行离散化处理,然后求得与它等价的离散模型。
由于连续系统的模型可以用传递函数来表示,也可以用状态空间模型来表示,因此,与连续系统等价的离散模型可以通过两个途径获得,其一是对传递函数作离散化处理得离散传递函数(或脉冲传递函数),称为频域离散相似模型。
其二是基于状态方程离散化,得到时域离散相似模型。
本章介绍时域离散相似法,第四章介绍频域离散相似法。
3.1 时域离散相似法基本原理3.1.1基本方法假设有一个连续系统,它由以下状态方程描述:xAx B =+u (3.1) 对于(3.1)式描述的连续系统进行离散化处理,如图3.1所示。
在系统的输入端加上虚拟采样开关和虚拟信号重构器,输出端加一个虚拟采样开关。
虚拟采样周期为T 且同步。
其中,u (t )是系统输入;u (k )是加虚拟采样开关后,在kT 时刻系统输入;x (k )是加虚拟采样开关后在kT 时刻系统输出;~()ut 、~()x t 是等价的连续信号。
只要~()ut 能足够精确地表示u (t ),那么~()x t 也就能足够精确地表示x t (),这样,就能获得与连续系统等价的时域离散相似模型。
对该连续系统进行离散化处理后可以得到系统离散相似模型如式3.2所示:x [(k +1)T )]=)(T Φ x (kT )+)(T m Φ u (kT )+ Φm (T) ()u kT (3.2) 其中:T 是采样时间间隔(或称采样周期);u (k )、x (k )为系统kT 时刻的输入及状态量;)(ˆ)()(T T T mm ΦΦΦ、、为离散化后与系统模型有关的系数。
下面将讨论怎样从(3.1)式经离散化处理获得(3.2)式所示的时域离散相似模型。
将方程两边取拉氏变换,经整理得到:x (s )=(s I -A )-1x (0)+(S I -A )-1x (0)+(s I -A )-1B u (s ) (3.3) 设 Φ(t)=L -1[(s I -A )-1 ] (3.4) 则Φ(t)=e At 称作状态转移矩阵。
将(3.4)式代入(3.3),可得到:x (s )=L [Φ(t )]x (0)+L [Φ(t)]B u (s ) (3.5)由卷积公式:L f g t d F s G s t[()()]()()τττ0⎰-=称作f 和g 的卷积,可以写作f *g ,其中,Lf (t) =F (s),Lg (t) = G (s ).(3.5)式取反拉氏变换,运用卷积公式得到:x t ex e AtA t t()()()=+-⎰00τB ~()ud ττ (3.6)图3.1连续系统的离散化处理对离散化处理后的系统,设kT 及(k +1)T 为两个依次相连的采样瞬时,则有:x (kT ) = eA kTx (0)+e A kT kT()-⎰τ0B ~()ud ττ (3.7) x [ (k +1)T )] = eA (k+1)Tx (0)+e A k T k T[()]()+-+⎰101τB ~()ud ττ (3.8) 将(3.8)式-(3.7)式*e A T,可得:x [ (k +1)T )] = e A Tx (kT )+e A k T kTk T[()]()+-+⎰11τB ~()ud ττ (3.9) 由于(3.9)式右端的积分与k 无关,故可令k =0,若信号重构器使kT 与(k+1)T 之间的~()u t 不变,即积分式中的~()uτ保持常数~()()u u kT τ=,那么,(3.9)式可改写为: x [ (k +1)T )] = e A Tx (kT )+e A T T()-⎰τ0B d u kT τ()=Φ(T )x (kT )+T⎰Φ(T -τ)Bd u kT τ() (3.10)若令T⎰Φ(T -τ)B d τ=Φm (T ),则有:x [ (k +1)T )] =Φ(T )x (kT )+Φm (T )u kT () (3.11)这就是一个离散状态方程。
(3.11)式是在假定信号重构器使输入量u (t )在两个采样时刻之间保持不变这样的前提下推导出来的,如图3.2中的矩形近似。
实际上,输入量在两个采样时刻之间是变化的,这样就会引起误差。
为了减小误差,可以假定在两个采样时刻之间,信号重构器使~()u τ为一斜坡函数,即用图3.2中的梯形近似。
此时,在kT 与(k +1)T 之间,相对矩形近似有一个∆u k ()τ存在∆u u k T u kT Tk ()[()][]ττ=+-1 ≅u kT ()τ (3.12)对应∆u k ()τ,对 x [ (k +1)T )]引起的变化量为:∆x [(k +1)T )]=⎰0TeA (T-τ)B ∆u k ()τd τ≅T T0⎰eA (T-τ)B d τ ()ukT (3.13) 若令ττ⎰e A (T-τ)B d τ = Φm (T), 则整个离散状态方程为: x [(k +1)T )]= Φ(T )x (kT )+ Φm (T )u (kT )+ Φm (T) ()u kT (3.14) 至此,我们得到式(3.2)中与系统模型有关的系数为:Φ(T )=e A T(状态转移矩阵)u (t 图3.2矩形近似与梯形近似Φm (T )=0T⎰Φ (T -τ)B dτ (输入信号采用零阶重构器引入的系数矩阵)Φm (T)=0T ⎰τ e A (T-τ)B d τ (输入信号采用三角形信号重构器后叠加的系数矩阵) 下面举一个例子来说明如何用离散相似法来进行数字仿真。
假设有一系统,如图3.3所示。
由图可知,该系统的开环部分是由一个非线性环节(饱和环节)及一个线性环节Ks s ()+1所组成。
今将线性部分化成时域离散相似模型。
已知线性部分状态方程为:x=Ax +B uy=Cx(3.15)其中:A =0011-⎡⎣⎢⎤⎦⎥,B =K 0⎡⎣⎢⎤⎦⎥,C =[]01,,根据前述,Φ( T )=e A T =L -1[(s I -A )-1] 因为 s I -A =ss 011-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥, 所以有: (s I -A )-1=101111s s s s ()++⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ Φ( T )= L -1[(s I -A )-1] =101-⎡⎣⎢⎤⎦⎥--ee TT Φm ( T )=T⎰Φ (T -τ)B d τ=10100-⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎤⎦⎥---⎰e e K d T T ()τττ =KK e d T T (()10-⎡⎣⎢⎤⎦⎥--⎰ττ=KT K T e T ()+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-1则由(3.14)式可得线性动态环节的离散状态方程x k x k e e x k x k KT K T e u k T T T 1212111011()()()()()()++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎤⎦⎥++-⎡⎣⎢⎤⎦⎥--- (3.16)式中(k +1)即表示[(k +1)T ],(k)即表示(kT ),以后为简单起见均如此表示。
利用(3.16)式即可进行数字仿真,仿真程序的框图如图3.4所示。
用此程序可研究放大倍数K 对系统输出响应之影响。
例如,设输入信号r (t )为阶跃函数,幅度为25,且c 1=20,图3.3 被仿真的系统结构图并选采样周期T=0.05,则可得K=1及K=2表3.1仿真结果t y(K=1) y(K=2)0 0 01 7.95649 15.17392 20.3824 30.59993 27.4777 30.1134 28.6091 24.57835 26.9278 23.08746 25.2142 24.51337 24.4764 25.548 24.5136 25.31119 24.8072 24.904110 25.0235 24.862711 25.0875 24.992112 25.06 25.045613 25.0155 25.016414 24.9906 24.98915 24.9871 24.9909图3.4用离散相似法进行数字仿真与第二章介绍的数值积分方法比较,方程系数ΦΦΦ、、可以一次求出,()() ()T T Tm m这样每做一步积分只要计算一次右端函数。
而四阶龙格-库塔数值积分方法,每做一步积分要计算4次右端函数。
显然,用离散相似方法做仿真运算比用数值积分法作仿真运算运算量小,对于同一系统作仿真时,离散相似方法运算速度快。
由本小节所介绍的离散相似法原理可知,离散相似法的基本问题是计算、、,而它们的计算主要归结为关于e A T的计算。
下面我们将进一步讨论T T TΦΦΦ()() ()m m这一问题。
3.1.2 状态转移矩阵的计算离散相似方法中的一个问题是状态转移矩阵e A T的计算。
一些常用的一阶、二阶环节,它们的ΦΦΦ、、可以很方便地通过直接解析的方法来求解。
对于高阶系统,若T T T()() ()m m要求列出系统的离散状态方程,那么e A T必须利用数值计算才能得到。
1.泰勒级数展开法e A T的算法很多[2],但是用得最多的还是泰勒级数展开方法,即将e A T展成泰勒级数形式,然后截取其中的前若干项。
这个方法首先是由(Lion)提出的。
状态转移矩阵e A T可以用无穷级数来表示,如(3.17)式所示。
e A T=A T i i ii !=∞∑0, A 0=I (3.17) 这个级数在有限的时间间隔内是均匀收敛的,因此可以在一定精度内计算e A T 。
若级数在i =L 处截断,则我们可以写成e A T=A T i i ii L!=∑+0A T i i ii L !=+∞∑1=M +R (3.18) 式(3.18)中的第一项为级数的近似值,而第二项为余数项。
要求: r E m ij ij ≤ E =10-d ,d 为正整数或 min max m E r ≤ (3.19) 其中r ij 和m ij 对应为R 与M 的元素, m ax r 为r ij 中最大元素。
式中m min 是容易求出的,但 r max 却无法求出,因为R 仍是一个无穷项的和。
下面来估计m ax r 。
令R 为矩阵R 的范数,根据矩阵范数的定义,R ∑==nj i ijr1,,有≤m ax r R ,由 ∑∑∞+=∞+=≤=11!!L i iiL i ii i T A i TA R))2)(3(21()!1(22!1+++++++=++L L T A L T A L T AL L))2(21()!1(22211++++++⋅≤++L T A L T A L T AL L令ε=+2L T A (3.20)则有 )1()!1(211++++⋅≤++εεL T AR L L如果1<ε,则 )11()!1(11ε-+⋅≤++L T AR L L因此,若E ≤-⋅+⋅++ε11111)!(L T A L L m min (3.21) 则满足(3.19)式,e A T 可以按照以下迭代过程来计算:(1) 选择初始L ; (2) 计算矩阵M 及m min ;(3) 用式(3.20)求ε;(4) 用式(3.21)判别是否满足精度的要求。