轴向拉伸与压缩课件

≤
A，然后确定许可载荷。
4.21
§4.6 轴向拉压杆的强度计算 例4.7 某机构的连杆直径 d 240mm ，承受最大轴向外力 F 3780 kN ，连杆材
料的许用应力 [σ ] 90MPa 。试校核连杆由圆形改为矩形截面，高宽之比 h 1.4，
b
试设计连杆的尺寸 h和b 。 解:1）求活塞杆的轴力。由题意知连杆为二力杆属于拉压变形；画出受力图
变形特点是：杆件沿轴线方向伸长
或缩短。这种变形形式称轴向拉伸与压 缩。
4.3
4.2.1
§4.2 内力的概念
截面法、轴力与轴力图
☆内力：为保持物体的形状寸，物体内部各质点间必定存在着 相互作用的力，该力称为内力。 ☆材料力学中的内力是指在外力作用下，构件内部各质点之间相 互作用力的改变量，称为“附加内力”，简称“内力”---其大 小及分布随外载荷的变化而变化，外力消失，内力也消失。 内力与构件的尺寸形状材料无关。 ☆感受手拉弹簧，将有助于理解内力概念的本质仅取决于外力
ΔA 上的平均应力。用pm表示,
FR pm A
4.10
§4.3
横截面上的应力
FR 一般情况下内力并非均匀分布的，故将比值 A 在所
取的 A 无限地趋近于零的极限值。用p表示
p
lim A0 A
FR
☆p称为点处的应力，它是一个矢量，通常可分解为与截 面垂直的分量称为正应力 和与截面相切的分量称为剪
FN表示对应横截面上的轴力，所绘出的轴力随横截面位置变化的函数图线称 为轴力图。 F F ( x)
N N
例4.1 直杆AD受力如图所示。已知F1=16kN， F2=10kN， F3=20kN，画轴力图 解：1）计算D端支座反力。整体为对象，受力图，建立平衡方程得
F2
Fx 0
FD F1 F2 F3 0
截面上的应力称为最大工作应力。为保证构件能正
常工作，应使最大工作应力小于材料的极限应力， 并使构件留有必要的强度储备。一般把极限应力除 以大于1的安全因数n，作为强度设计时的最大许可 值，称为许用应力，用 [ ] 表示。 塑性材料： [ ] 4.19
u
ns

s
ns
；脆性材料： [ ]
则杆件内的最大正应力 max 为
σ max
FN 20 10 3 6 66 . 7 10 Pa 66.7MPa 6 A 300 10
负号表示最大应力为压应力。
4.13
§4.3 横截面上的应力 例4.4 阶梯杆自重不计，受外力如图a所示，试求杆内的最大正应力。已知截面 积分别 。
切 应力

。
应力单位：1Pa=1N/m2；1MPa=106 Pa；1GPa=109 Pa。
4.11
§ห้องสมุดไป่ตู้.3
横截面上的应力
☆根据研究观察分析，可作如下假设：横截面在杆件拉压变形后仍 保持为垂直于轴线的平面，仅沿轴线产生了相对平移。
☆拉压时的只有正应力：横截面上各点均布， pm= p，其方向与 横截面上的轴力FN一致。其计算公式为
可见AB段内横截面上的正应力最大，其值为40MPa。 4.14
§4.4
4.4.1
轴向拉压杆的变形
胡克定律
纵向线应变和横向线应变
杆件受拉作用时的变形 设原长为l，直径为d的圆截面直杆，受轴向拉力F后变形，其杆 纵向长度由l变为l1，横向尺寸由d变为d1，则 绝对纵向变形为 绝对横向变形为
l l1 l d d1 d
3）画内力图e图
将杆件分为三段。用截面法截取如图b，c，d所示的研究对象，分别用
FN1、FN2、FN3替代另一段对研究对象的作用，一般可先假设为拉力，由平
衡方程分别求得： 4.7
§4.2 截面法、轴力与轴力图 总结： ① ☆内力是由外力引起的，是原有相互作用力的“改变量”；可 见内力的大小应完全取决于外力；外力解除，内力也随之消失。 ☆杆件横截面上内力的大小及其在杆件内部的分布规律随外力的改 变而变化，若内力的大小超过某一限度，则杆件将不能正常工作。内力
☆杆件横截面上若某处内力的大小超过某一限度，则杆件将不能正常工作。 内力分析与计算是解决杆件强度、刚度和稳定性计算的基础。
4.4
4.2.2 内力的求法 直接利用外力计算内力（轴力、扭矩、弯矩剪力）的方法— ---截面法。规则—内力与外力平衡
。
☆内力有正负号的规定。轴力向外拉为正。 ＊用截面法求算内力的步骤：
截面法求得连杆的轴力为 FN 3780kN
2）校核圆截面连杆的强度。连杆横截面上的正应力为
σ FN 3780 103 83.6MPa 2 A (0.24) / 4
相对变形 纵向线应变 线应变 横向线应变
4.15
l l

d d
§4.4
轴向拉压杆的变形
胡克定律
当应力不超过某一限度时， 存在正比关系，且负号 相反。
v
4.16
§4.4
4.4.2 胡克定律
轴向拉压杆的变形 胡克定律
E
☆胡克定律的另一表达式为
常数
FN l l EA
u
nb

b
nb
§4.6 轴向拉压杆的强度计算 4.6.2 拉（压）杆的强度条件
过材料的许用应力 [ ] ， 即,
为保证拉压杆安全正常工作，必须使杆横截面上的最大工作应力 max 不超
FN ,max 对等直杆可写成 max A
上式称为拉压杆的强度条件。式中
max
≤
[ ]
F N max 和
E
称为材料的弹性模量
上式表明：1）弹性模量E表征了材料抵抗弹性拉伸压缩变形的 性能，是材料的刚性指标。2）乘积EA反映杆件抵抗弹性拉伸 压缩变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。
☆ 上式的适用条件为：1）杆件的变形应在线弹性范围内；
（2）在长为l 的杆段内，E、A均为常量。
4.17
4.4 轴向拉压杆的变形 胡克定律
例4.5 阶梯状直杆受力如图所示，试求杆的总变形量。已知其横截面面积 分别为ACD=300mm2, AAB= ABC 500mm2,E=200GPa。 解: 1）作轴力图。用截面法求得CD和
CD BC BC段轴力 FN FN 10 kN，AB段
的轴力为 FNAB 20 kN。
2）计算各段杆的变形量。
第 4章
轴向拉伸和压缩
☆分析轴向拉（压）时杆件的受力特点和变形情况，介 绍材料力学分析内力的基本方法——截面法。
☆通过对拉（压）杆的应力和变形分析，解决拉（压） 杆的强度和刚度计算问题。
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5
4.1
轴向拉伸与压缩的概念和实例 截面法、轴力与轴力图 横截面上的应力 轴向拉压杆的变形 胡克定律
1）一截为二，在想求内力的截面，将整个构件截为2段 2）留一弃另一，扔掉一段，留下一段(研究对象)。 2）内力替代，以内力按规定的正号方向替代弃去部分对研究对 象的作用，
3）求算 画研究对象的受力图，用平衡方程由已知外力求算内力
4.5
§4.2
截面法、轴力与轴力图
4.2.3轴力图 用x坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆件轴线的纵坐标
轴；将杆件从位置坐标为x的C截面处截开。 由BC受力图建立平衡方程：
FN
Fx 0
FN F qx 0
（0≤x≤2）
FN F qx 4 2 x
由轴力FN的表达式可知，轴力FN与横截面位置坐标x成线性关系，轴力图为 一斜直线。当x＝0时，FN＝4 kN；当x＝2m时，FN＝8 kN。画出轴力图如图 所示，FN.max＝8 kN，发生在截面A上。 . 4.9
≤
[ ]
§4.6 轴向拉压杆的强度计算
（2）截面设计 已知外载荷及材料的许用应力值，根据强度条件设计杆件横截面 尺寸。 即满足
FN ,max [ ]
≥ A。
（3）确定许可载荷 已知杆件的横截面尺寸以及材料的许用应力值，确定杆件或
整个结构所能承受的最大载荷。既确定杆件最大许用轴力 FN ,max [ ]
Δl BC
BC FN l BC 10 10 3 0.1 1 10 5 m 9 6 EABC 200 10 500 10
AB FN l AB 20 10 3 0.1 5 Δl AB 2 10 m 9 6 EAAB 200 10 500 10 CD FN l CD 10 10 3 0.1 5 Δl CD 1 . 67 10 m 9 6 EACD 200 10 300 10
材料在轴向拉压时的力学性能 轴向拉压杆的强度计算
§4.6
§4.1
轴向拉伸与压缩的概念与实例
工程中的许多二力直杆构件
4.2
§4.1 轴向拉伸与压缩的概念与实例 ☆轴向拉伸与压缩的概念 以汽缸的活塞杆为例。观察活 塞杆在工作时受什么样的外力作用？ 它可能发生什么样的变形？ 通过观察分析可知，杆件的受力特 点是：作用在杆端的外力或其合力的作 用线沿杆件轴线。
A 分别为危险截面上的轴力
及其横截面面积。
利用强度条件，可解决下列三类强度计算问题，现以拉压杆为例加以说明1） 强度校核 已知外载荷、杆件的各部分尺寸以及材料的许用应力，检验危险截面 的应力是否满足强度条件。 计算步骤一般是：确定危险截面，计算其工作应力，检验是否满足强度条件，
4.20
= F /A 。 max N, max σ
4.3.1
应力的概念
§4.3
横截面上的应力
杆件强度与内力的（大小、截面积有关）与截面上每一点处的 内力集度有关。
＊应力：内力在截面上某一点处的集度称为应力
为确定杆件某一截面m-m（上任意一点K处）的应力，在截面上任 一点K周围取微小面积,设 ΔA 面积上分布内力的合力为 F ,则 R 比值
即
FR 称为面积 A
FD F2 F3 F1 14kN
4.6
§4.2
截面法、轴力与轴力图
F2
2）截面法分3段求内力
AB段b图：∑Fx＝0 BC段c图 ∑Fx＝0
FN 1 F1 16 kN
FN 2 F1 F2 16 10 6 kN
DC段d图 ∑Fx＝0 FN 3 FD 14 kN
AAB ABC 500mm 2 , ACD 300mm 2
解：1.作轴力图 用截面法分段求轴力， 并作轴力图如图b所示。 2.计算最大正应力 经过分析可知，
AB和CD段内横截面上可能产生最大正
应力（绝对值）。
AB CD
FNAB 20 103 MPa 40MPa AAB 500 FNCD 10 103 MPa 33.3MPa ACD 300
(3)计算杆的总变形量。
4.18
Δl Δl AB Δl BC ΔlCD (2 1 1.67) 105 0.0067mm
§4.6 轴向拉压杆的强度计算 4.6.1 极限应力 许用应力 安全因数 ＊构件在载荷作用下出现的断裂和屈服都是因强度不足而引起的失效，如右 图零件。引起构件丧失正常工作能力的应力称为极限应力，用 u 表示。塑性材 料和脆性材料的失效原因各不相同。对于塑性材料，取 u s ；对于脆性材 料，取 u b 。 ＊构件在工作时产生的应力称为工作应力。最 先发生强度失效的那些横截面称为危险截面，危险
分析与计算是解决杆件强度、刚度和稳定性计算的基础。
②内力随外力增大而增大外力消失，内力也消失。 直接利用外力计算轴力的规则 杆件承受拉伸（或压缩）时，杆件任一横截面上的轴力等于截面一侧
（左侧或右侧）所有轴向外力的代数和。外力背离截面时取正号，外力指向截面 时取负号。
4.8
例4.2 钢杆上端固定，下端自由，受力如 图所示。已知l = 2m，F = 4 kN, q = 2 kN/m，试画出杆件的轴力图。 解 以B点为坐标原点，BA为正方向建立x
FN A
4.12
§4.3 横截面上的应力
例4.3 如图所示，一中段正中开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN的作用。已 知h＝25mm，h0=10mm，b=20mm。求杆内最大正应力。
解: 1）计算轴力。用截面法求得各
截面上的轴力均为 （画出轴力图）
FN F 20
kN
2) 计算最大正应力。开槽部分的横 截面面积为 A (h h0 )b (25 10) 20 300mm