8基本平面立体及其切割体投影
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机械识图与公差配合课件-平面立体切割体的投影
截断体：形体被平面截断后分成两部分，每部分均称为截断体。
∙ 截平面 —— 用来截断形体的平面。
∙ 截交线 —— 截平面与立体表面的交线。
∙ 截断面 —— 由交线围成的平面图形。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
平面立体切割体截交线截断体截断面封闭性：平面立体的截交线一定是一个封闭的平面多边形，多边形的各顶点是截平面与被截棱线的交点，即立体被截断几条棱，那么截交线就是几边形。
共有性： 截交线是截平面与立体表面的共有线。
求截平面与立体上被截各棱的交点或截平面与立体表面的交线，然后依次连接而得。
★ 求平面体截交线的实质：★ 平面体截交线的性质：其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。
★截交线的形状：确定截交线的投影特性 ☜分析截平面与体的相对位置☜分析截平面与投影面的相对位置1. 空间及投影分析2. 画出截交线的投影☜求出截平面与被截棱线的交点，并判断可见性。
☜依次连接各顶点成多边形，注意可见性。
3. 完善轮廓。
确定截交线的形状★ 求截交线的步骤：★平面立体(棱柱和棱锥）上截交线的求法：(1) 找到截平面与平面立体(棱柱和棱锥）(2) 依次各点连线；(3) 判断可见性；(4) 整理加深轮廓线。
作图方法:(1) 求棱线与截平面的交点(2) 依次各点连线 (3) 根据可见性处理轮廓线1 2(1) 2 7 7(5) 6 5 61234567(3) 4 3 4ⅦⅠⅡ(Ⅲ)ⅣⅤⅥ 例：求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影。
例：在六棱柱表面取点、取线。
例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例 : 求做立体被截切后的投影。
基本体投影及表面交线概述
1.棱锥
s
(1) 棱锥的三视图
s
s
s
b c a
b
c S
a (d) d( c)
b
a
(d) D
d
C
d a (c) a
s
c
A
b
d
Bc
b
s
b a
s
a 1
⑵ 棱柱的面上取点
s
s
a s
a
S
1
A
Ⅰ
s 1a
a s
1 1 a
⑵ 棱锥的面上取点的思路
已知影 面上作辅助线 第三影
第二影
点三规
(3) 棱锥的截切
截交线 截平面
⑴ 棱锥的截切
Ⅲ
Ⅳ
Ⅱ
Ⅰ
A
s
s
3
2
1
（4）
4
3 2
1
a
b
(d)
a c d ( c)
b
d
14
a
s 3c
2
⑴ 棱锥的截切
1 4 2 3
1（ 4） 2 3
14
2
3
⑴ 棱锥的截切
小结
1、 棱柱面上取点的思路
已知影 面的积聚性 第二影
点三规
第三影
2、 棱锥的面上取点的思路
已知影 面上作辅助线 第二影
点三规
积聚性法 五、求两回转体相贯线的投影的方法 辅助平面法。
（一） 积聚性法 (1)积聚性法 当两回转体相交，如果其中有一个是轴线 垂直于投影面的圆 柱，则相贯线在该投影面上的投影就在圆柱面的积聚性投 影 上。这样就可以在相贯线的积聚性投影上取一些点， 按回 转 体表面上取点的方法作出相贯线的其他投影。这就是积聚性法. (2)思路 求相贯线→求点→在积聚性投影（已知投影）上确定点 →用 表面上取点的方法确定第二投影→根据点的两面投影及点的 三面投影规律确定第三投影→连接各点的同面投影→相贯线
基本体的投影—平面体的投影(建筑构造)
正棱柱的画法
• 画积聚的水平投影—多边形。
高
• 画其他两投影，先画上下两平行面，再求出
平
顶点，连棱线。
齐
画图规律：
长对正
6
5
宽相等△y
可不画投影轴，但各点的三面投影仍遵守点的 三个投影规律。
• 长对正
1 2
4
宽 相
等
△y
3
• 高平齐 • 宽相等
注意: 当图形对称时，应用细点画线画出其对称中心线。
平面体的投影
C
？？
a′ b′
m
d′
c′
(a) 直观图
a(d) m b(c)
(b) 投影图
m
点的可见性判别：
若点所在平面的投影可
见，点的投影可见；若平
面的投影积聚成直线，点
的投影也可见。
棱锥体的投影
(1)棱锥表面的组成
棱锥表面组成: 底面为多边形 若干个棱面为三角形 所有的侧棱线都交于一点
在三面投影体系中，棱锥一般按如下位置放置： 底面为投影面平行面。其它的棱面则为投影面垂直面或一般位置的平面。
平面体的投影
s
s
(2)正棱锥的投
影分析及画法
b
c
a
b (c)
b
c
s
a
a
图中正三棱锥底面△ABC为水平面， △SAB、△SAC 为一般位置平面， △SBC 为侧垂面。
(1) 由于前棱面的水平投影和侧面投影均具有积聚性,故可直接求出a和a”。
(2) 由于左前棱面只有水平投影有积聚性,故只能利用积聚性求出b,再根 据YH=YW,由b和b`求出b``。
平面体的投影
例1：已知六棱柱ABCD侧表面上点M 的V 面投影m’，求该点的H 面投影m 和W 面投影m″。
第七讲：平面立体的投影及其截切
例5: 求立体切割后的投影。
4 5 1
（3）
3 6
4 5
（6）
2 1
单一平面截 切平面立体
（2）
Ⅲ
2 3
Ⅳ Ⅵ
1
Ⅱ
6
Ⅴ Ⅰ
5
4
例5: 求立体切割后的投影。
5 1
4 3） （
3
6 2 1
4
5
（6）
类似形
（2）
2
3
Ⅲ
Ⅳ
1
Ⅵ
6
Ⅱ Ⅰ
4
类似形
5
Ⅴ
例:
求立体切割后的投影。 五个平面截切平面立体
一、棱柱
1、 棱柱的三面投影图的绘制 2、 棱柱面上取点、取线
在图示位置时，六棱柱的两 底面为水平面，在水平投影中反 点的可见性规定： 映实形。前后两棱面是正平面， 由于棱柱的表面都是平 若点所在的平面的投影 其余四个棱面是铅垂面，它们的 a (b) 面，所以在棱柱的表面上取 水平投影都积聚成直线，与六边 可见，点的投影也可见；若 点、取线与在平面上取点、 形的边重合。 平面的投影积聚成直线，点 取线的方法相同。 b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
b
棱柱或棱锥面上取点的步骤:
1、由点的已知投影及其可见性确定点 所在位置; 2、利用积聚性或平面上取点的方法求 另一投影; 3、根据两已知投影求第三投影，并判 断可见性。
三、棱台
特点： 底面——多边形，且对应边互相平行； 棱线——互不平行， 但延长后交于一点； 棱面——梯形。
四棱台的投影如下图示
5.2 平面立体的截切
基本概念 截切： 是指用一个或多个平面与立体 相交。 截平面 —— 用以截切 立体的平面。
机械制图课件——基本体、立体的投影
平面立体截交线上的点可以分为： ⑴ 棱线的断点，如图中的1、2、3、4点，作图时 此类点比较容易确定 ⑵ 截平面与立体表面交线的两个端点，如图中的 5、6点。作图时一般要根据视图确定点的位置。
⑶ 两截平面交线在立体表面上的两 个端点，如三棱锥上的A、B点。
例1：补出切割六棱柱左视图中 的漏线并画出其俯视图。
二、回转体的投影及其表面取点
1.圆柱体
视图分析：
俯视图 —— 上下底面的投影重合为一圆，圆柱面则被积聚于圆周上。 主视图 —— 上下底积聚为两条线，圆柱表面上最左和最右的两条素 线为圆柱的外形轮廓线。 左视图 —— 上下底投影仍为直线，圆柱表面上最前和最后两条素线为 外形轮廓线。
例：画出圆柱的三视图。 绘图步骤：
例：画出圆球的三视图。
绘图步骤：
⑵圆球表面取点
例：求出圆球表面上A点的另两投影。 A点的位置分析如图所示。
判断A点在球体表面上的位置 A点在 上 半球 在 后 半球
在 左 半球
在圆球表面上求作点的方法：
由于球面的投影没有积聚性，因此 要借助于球体表面上的辅助圆找点。
辅助圆法—过点在球面上作一辅助 圆，作出该圆的各投影后再将点对应到 圆的投影上。
⑴圆锥体的投影 例：画出圆锥的三视图。
绘图步骤：
⑵圆锥表面取点
例：求出圆锥表面上A点的另两投影。 A点的位置分析如图所示。
在圆锥表面上求作点的方法：
由于锥面的投影没有积聚性，因此要借助 于圆锥面上的辅助线或辅助圆找点。
⑴辅助素线法
过点在锥面上作一素线（过锥顶）作出素线的各投影后再将点对 应到素线的投影上。
1.利用点的投影规律 2.借助于圆柱表面的积聚性投影 作图步骤：
2.圆锥体 ⑴圆锥体的投影
⑶ 两截平面交线在立体表面上的两 个端点，如三棱锥上的A、B点。
例1：补出切割六棱柱左视图中 的漏线并画出其俯视图。
二、回转体的投影及其表面取点
1.圆柱体
视图分析：
俯视图 —— 上下底面的投影重合为一圆，圆柱面则被积聚于圆周上。 主视图 —— 上下底积聚为两条线，圆柱表面上最左和最右的两条素 线为圆柱的外形轮廓线。 左视图 —— 上下底投影仍为直线，圆柱表面上最前和最后两条素线为 外形轮廓线。
例：画出圆柱的三视图。 绘图步骤：
例：画出圆球的三视图。
绘图步骤：
⑵圆球表面取点
例：求出圆球表面上A点的另两投影。 A点的位置分析如图所示。
判断A点在球体表面上的位置 A点在 上 半球 在 后 半球
在 左 半球
在圆球表面上求作点的方法：
由于球面的投影没有积聚性，因此 要借助于球体表面上的辅助圆找点。
辅助圆法—过点在球面上作一辅助 圆，作出该圆的各投影后再将点对应到 圆的投影上。
⑴圆锥体的投影 例：画出圆锥的三视图。
绘图步骤：
⑵圆锥表面取点
例：求出圆锥表面上A点的另两投影。 A点的位置分析如图所示。
在圆锥表面上求作点的方法：
由于锥面的投影没有积聚性，因此要借助 于圆锥面上的辅助线或辅助圆找点。
⑴辅助素线法
过点在锥面上作一素线（过锥顶）作出素线的各投影后再将点对 应到素线的投影上。
1.利用点的投影规律 2.借助于圆柱表面的积聚性投影 作图步骤：
2.圆锥体 ⑴圆锥体的投影
任务3-平面立体及平面截断体的投影
求平面体截交线的实质：
求截平面与立体上被截各棱的交点或截平面与立体表面 的交线，然后依次连接而得。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析
确定截交 线的形状
☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 确定截交线 ★ 画出截交线的投影 的投影特性 分别求出截平面与棱面的交线，并连接 成多边形。
2.2平面立体的投影
棱柱、棱锥都是常见的平面立体。绘制平面立体的投 影图，就是按照投影规律绘出立体表面上的所有轮廓线。 可见的轮廓线用粗实线表示，而不可见轮廓线应画成虚线。 前面所学的点、线、面的内容是我们学习立体投影的 基础。 画平面立体投影的实质： 画出所有棱线（或表面）的投影，并判别可见性。
任务1 棱柱的投影及表面取点
课堂练习1：
休息休息
【 课 堂 练 习 3 】
【 课 堂 练 习 4 】
【 课 堂 练 习 5 】
2.2.1.3平面立体切割体的投影
截断体：形体被平面截断后分成两部分， 每部分均称为截断体。 截平面 —— 用来截断形体的平面。 截交线 —— 截平面与立体表面的交线。 截交线具有以下性质： 1.截交线位于立体表面上，是截平面 与立体表面的交线 2.截交线为一封闭的平面图形
1(2)
2
●
1
●
2 1
注意： 三面共点： 要逐个截平面分析和 Ⅰ、Ⅱ两点分别 绘制截交线。当平面体只 同时位于三个面 有局部被截切时，先假想 上。 为整体被截切，求出截交
线后再取局部。
【练习3】两面视图补画第三视图
【练习4】两面视图补画第三视图
【练习5】两面视图补画第三视图
项目八形体投影图的绘制
学习情境1 组合体的尺寸标注
任务2 组合体的尺寸标注
学习情境1 组合体的尺寸标注
【学习目标】 了解组合体尺寸标注要求，掌握组合体尺寸标注的方法和步骤。 【情境描述】 画出如图8-13所示盥洗台的三面投影，并标注尺寸。
【任务实施】 绘制盥洗台的三面投影，如图8-12所示 。 标注尺寸 标注组合体的尺寸的基本方法同样是形体分析法。具体步骤为： （1）形体分析 将组合体分解为若干基本形体及其切割体。本例中形体分析及尺寸情况如图8-13所示。
根据三部分的前后、左右、上下位置关系及表面连接关系，想象出组合体的整体形状。初学者可将想象出的组合体化成立体草图，有助于三面投影图与整体形状的对应。
将想象出的组合体整体形状（或绘制出的草图）与图8-17所示的形体三面投影进行比对，验证无误，完成识读。 如图8-18d所示为该形体的立体图。
整体联想
学习情境2 切割型组合体三面投影图的绘制
【学习目标】 运用形体分析法 绘制切割型组合体三面投影图 【情境描述】 绘制如图 8-18 a所示切割型组合体的三面投影图。 【任务实施】 画切割型组合体的三面投影图时，应先画出切割前完整基本体的三面投影图，然后按照切割过程逐个画出被切部分的投影，从而得到切割体的三面投影图。同画叠加型组合体类似，对于被切去的形体也应从反映形状特征的投影图入手，然后通过三等关系，画出其它两面投影。 ⑴ 形体分析 该组合体的原始形体是四棱柱，在此基础上用不同位置的截平面分别切去形体1（四棱柱）、形体2（三棱柱）、形体3（四棱柱），最后形成切割型组合体，如图8-8 b所示。
学习情境1 叠加型组合体三面投影图的绘制
【学习目标】 运用形体分析法 绘制叠加型组合体三面投影图 【情境描述】 画出图 8-7a叠加型组合体的三面投影图。 【任务实施】 （1）形体分析 图8-7a所示的组合体由一个水平放置的长方体（即形体 1与右上方直立的一长方体（即形体 2右面平齐，两形体中间平放一个三棱柱（即形体3）共同组合而成。 (2）确定正立面图 如图8-7a所示，选择箭头方向作为正立面图的投影方向画投影图。 (3) 绘制三面投影图 选比例、定图幅、进行图面布置，按相对位置分别画出各组成部分的三面投影图，绘图过程如图8-7b所示。画底稿线，先画形体 1 的三面投影，再画直立的形体 2 的三面投影， 最后画形体3的三面投影。
任务2 组合体的尺寸标注
学习情境1 组合体的尺寸标注
【学习目标】 了解组合体尺寸标注要求，掌握组合体尺寸标注的方法和步骤。 【情境描述】 画出如图8-13所示盥洗台的三面投影，并标注尺寸。
【任务实施】 绘制盥洗台的三面投影，如图8-12所示 。 标注尺寸 标注组合体的尺寸的基本方法同样是形体分析法。具体步骤为： （1）形体分析 将组合体分解为若干基本形体及其切割体。本例中形体分析及尺寸情况如图8-13所示。
根据三部分的前后、左右、上下位置关系及表面连接关系，想象出组合体的整体形状。初学者可将想象出的组合体化成立体草图，有助于三面投影图与整体形状的对应。
将想象出的组合体整体形状（或绘制出的草图）与图8-17所示的形体三面投影进行比对，验证无误，完成识读。 如图8-18d所示为该形体的立体图。
整体联想
学习情境2 切割型组合体三面投影图的绘制
【学习目标】 运用形体分析法 绘制切割型组合体三面投影图 【情境描述】 绘制如图 8-18 a所示切割型组合体的三面投影图。 【任务实施】 画切割型组合体的三面投影图时，应先画出切割前完整基本体的三面投影图，然后按照切割过程逐个画出被切部分的投影，从而得到切割体的三面投影图。同画叠加型组合体类似，对于被切去的形体也应从反映形状特征的投影图入手，然后通过三等关系，画出其它两面投影。 ⑴ 形体分析 该组合体的原始形体是四棱柱，在此基础上用不同位置的截平面分别切去形体1（四棱柱）、形体2（三棱柱）、形体3（四棱柱），最后形成切割型组合体，如图8-8 b所示。
学习情境1 叠加型组合体三面投影图的绘制
【学习目标】 运用形体分析法 绘制叠加型组合体三面投影图 【情境描述】 画出图 8-7a叠加型组合体的三面投影图。 【任务实施】 （1）形体分析 图8-7a所示的组合体由一个水平放置的长方体（即形体 1与右上方直立的一长方体（即形体 2右面平齐，两形体中间平放一个三棱柱（即形体3）共同组合而成。 (2）确定正立面图 如图8-7a所示，选择箭头方向作为正立面图的投影方向画投影图。 (3) 绘制三面投影图 选比例、定图幅、进行图面布置，按相对位置分别画出各组成部分的三面投影图，绘图过程如图8-7b所示。画底稿线，先画形体 1 的三面投影，再画直立的形体 2 的三面投影， 最后画形体3的三面投影。
8基本平面立体及其切割体投影
高平齐
长对正
宽相等
宽相等
三视图的形成
二、三视图的位置关系和投影规律
三面视图的投影对应关系是： 保持“三等”关系，即 主视图、左视图高度相等； 主视图、俯视图长度相等； 左视图、俯视图宽度相等。
长对正；高平齐；宽相等。
§7-2
平面立体
平面立体
棱柱
棱锥 （由多个平面围成的立体）
主要研究立体的投影，立 体表面取点、取线，平面与 立体相交（切割体），两立 体相交（相贯）.
第七章
一、三视图的形成
立体
由点、线、面等几何元素组成的空间图形。 §7-1 立体的投影——三视图
用正投影法在三个投影面（V、H、W） 上获得形体的三面投影图，在工程上叫作 三视图。其中：正面投影叫做主视图，水 平投影叫做俯视图，侧面投影叫做左视图。 从投影原理上讲，形体的形状一般用三面 投影均可表示。三视图的排列位置以及它 们之间的“三等关系”如图。
截交线的形状：封闭的、平面的多边形。
截交线的求法 ： 交点法-平面立体的棱与 截平面的交点。 交线法-平面立体的平面 与截平面的交线。 即求解截平面与立体表面的 共有点。
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
例8-15 八棱柱被一正垂面P截切，已知其 主视图和左视图，求作俯视图。
3d动画
例 四棱锥切割体的投影
投影规律：长对正、高平齐、宽相等 作图： Pv—水平面,Qv—正垂面 正面投影是两 条直线 有积聚性 （定位） 水平投影取点连线 侧面投影取点连线 将切割体投影补齐 Pv Qv
1、分析（补全立体投影，弄清截平面性质）； 2、求解（逐一求解截交线投影，用交点法方便）； 3、连线并判别可见性； 4、整理轮廓线，完成做图。
3、掌握平面立体切割体投影的连线原则：
基本体和切割体
交点是两直
V c
a
A
X
a
b k
C d
B
KD O
d
线的共有点
b c k
a
d
X
O
k c
判别方法：
b H
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
例 过点C作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
X
b d
先作正面投影
直角（正）投影法
斜角投影法
投影特性：
投影大小与物体和投影面之间的距离无关; 度量性较好。
工程图样多数采用正投影法绘制。
2.1.1 点的投影
1. 点在一个投影面上的投影
过空间点A的投射线与投影面P 的交点即为点A在P 面上的投影。
P
● a A●
点在一个投影面上的投影不能 确定点的空间位置。
解决方法：采用三面投影。
①
a
X
a
b
d
对于一般位置直线，
只要有两个同面投影互相
c
平行，空间两直线就平行。
O
c bd
AB//CD
例2 判断图中两条直线是否平行
② c
a d
b
X
c b
da
Z c
a
对于特殊位置直线，只有
O
b
d
YW
两个同面投影互相平行，空间 直线不一定平行。
YH
求出侧面投影后可知：
AB与CD不平行。
（2） 两直线相交
两点的相对位置指两点在空
b●
● b
间的上下、前后、左右位置关系。X
平面立体的投影与截切
a′
c′ c
b″ (c″)
a″
C B
A
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a
棱锥表面取点的方法
棱锥表面取点——辅助线法 辅助线法 棱锥表面取点 依据点的从属性：点在线上，线在面上⇒ 依据点的从属性：点在线上，线在面上⇒ 点在面上。 点在面上。 要点：作图时首先判别点在哪个面上， 要点：作图时首先判别点在哪个面上，然 后在该平面内取线。 后在该平面内取线。
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s′
三棱锥的投影
s″
侧垂面
S b′ b s a′ c ′ c (c″) b″
a″ C B A
实形
a
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三棱锥的投影
s′ s″
三棱锥相对于投影面 的位置： 的位置： 底面ABC为水平面； 为水平面； 底面 为水平面 侧棱面SBC为侧垂面。 为侧垂面。 侧棱面 为侧垂面
S
b′ b s
s″
取平面内直线的平行线 过锥顶取辅助线
r′ b′ b t' r 1s t a
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1′ a′ c ′ c (c″) b″
1″ a″ R B
S
Ⅰ C
T
A
完成三棱锥被截切后的水平和侧面投影
侧垂面
c' b' a' a” C A a c B c” b”
b
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完成三棱锥被截切后的水平和侧面投影
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三棱锥表面上取点
s′
s″ 2″
2----在棱线 上 在棱线SA上 在棱线 1----在侧垂面 在侧垂面SBC上 在侧垂面 上
S
2′ (1’) b′ b s 2 a
工程制图-基本体的投影_平面立体
些平面又可看作是由一些直线(棱线)构成.
平面立体
棱柱（三棱柱、四棱柱等） 棱锥（三棱锥、四棱锥等）
棱柱体和棱锥体都是由棱面和底面所围成.
棱线---相邻两棱面的交线;
(底面)边---底面和棱面的交线;
主 讲
顶点---棱线与边或棱线与棱
董 线的交点.
敏
钦
工 程
一、棱柱
制
图
1.正六棱柱
几何位置如图所示 正面投影为
制
图
2“
1“
c’(d’) b(e’) a’
d’’ e’’
c’’ b’’
a’’
e d
2
主
a
讲
1
董
敏
c
钦
b
作图步骤：
1）认识初形想整体 2）分析切口 3）检查多余线和虚实性 4）加粗图线
华中科技大学CAD中心
工 程
2、平面截棱锥
制
图
1)截平面过锥顶
2)截平面垂直于底面
PV
S”
S’
GV s’
e’
s”
e”
截平面 截切立体的平面称为截平面；
截交线 截平面与立体表面的交线称为截交线；
截断面 截交线所围成的平面图形称为截断面。
由于平面立体的表面是由若干平面围成的，因
此截平面与平面立体表面的截交线必定是一个封闭 多边形。这个多边形的各边就是截平面与平面立体 主 各表面的交线，而多边形的各顶点就是截平面与平 讲 面立体各棱线的交点。
例4：已知三棱锥的主视图，求俯、左视图
制
图
作图：
1.分析切口。
S’
S”
2.求水平截平面的截交线。 3’4’ 1’2’
02-8基本几何体投影
一 平面基本体
平面立体的表面是由点、直线、平面等几何元素构成，因 此平面体的投影就是绘制平面体表面各点、直线、平面的投影， 并判断可见性。在投影图中，当多种图线发生重叠时，应以粗 实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。
Z
(一)棱柱 1、 棱柱的组成
由两个底面和几个侧棱面 组成。侧棱面与侧棱面的交线 叫侧棱线，侧棱线相互平行。
转向轮廓线
转向轮廓线
(一) 圆柱
圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是 由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。
1、圆柱的投影
如图所示，圆柱的轴线垂直于 H面，其上下底圆为水平面，水平 投影反映实形，其正面和侧面投影 重影为一直线。而圆柱面则用曲面 投影的转向轮廓线表示。 V a’
c’d’ A c’d’ A d b’
棱锥处于图示位置时， 其底面ABC是水平面，在 Y 俯视图上反映实形。侧棱 面SAC为侧垂面，另两个 侧棱面为一般位置平面。
A
a
b
正三棱锥的投影
2、 棱锥的投影特点
Z V s' S a' X A s" W b' Ca" c" s Bc b" Y
底边AB、BC 为水平线，AC为 侧垂线，棱线SB为 侧平线，SA、SC为 一般位置直线，它 们的投影可根据不 同位置直线的投影 特性进行分析。
Z
a'
d'
e' a" d" e" c"
b'
c'
A
D
E b"
X a
B
C e Y
b
dc
正六棱柱的投影
3、 作六棱柱的三视图
机械制图——平面体及其切割的投影作图
课后小作业
请根据棱柱体表面上点M和点N的三面投影判断一 下两点在空间当中的方位关系？
讲授完毕 感谢聆听
Ν
Μ
4、平面切割六棱柱 绘制正六棱柱被正垂面切割后的三视图
P
分析 六棱柱被正垂面切割，截平 面P与六棱柱的六条棱线都相交， 所以截交线是一个六边形。六 边形的顶点为各棱线与P平面的 交点。截交线的正面投影积聚 在p′上，由于六棱柱的六条棱 线在俯视图上的投影具有积聚 性，所以截交线的水平投影为 已知的正六边形，根据截交线 的正面和水平面投影可作出侧 面投影。
棱柱
1、投影分析
俯视图 俯视图为正六边形，是顶边和底边的重合投影， 反映实形；六条边是六个棱面的积聚投影。
主视图 主视图为三个矩形线框，中间的矩形是前、后 棱面的重合投影，反映实形；左、右两个矩形是其余四 个棱面的重合投影，为缩小的类似形；顶面和底面为水 平面，其正投影积聚为上、下两条水平线。
左视图 左视图为两个相同的矩形线框，是左右四个棱 面的重合投影，均为缩小的类似形；顶面和底面仍为两 条水平线。
2、作图步骤
1）作正六棱柱的对称 中心线和底面基线，先 画出具有轮廓特征的俯 视图----正六边形。 2）按长对正的投影关 系，并量取正六棱柱的 高度画出主视图，再按 高平齐、宽相等的投影 画出左视图。
3、棱柱体表面上的点的投影
已知正六棱柱侧棱面上点 M的正面投影m′,求作m 和m″; 已知正六棱柱顶面上点N的 水平投影n,求作n′和n″。
平面体及其切割的投影作图
基本体
分两类：
1、平面体 每个表面都是平面，如棱柱、为回转体，
如圆柱、圆锥、圆球等。
截切 • 用平面与立体相交，截去立体的一部分——截切。
• 用以截切立体的平面——截平面。 • 截平面与立体表面的交线——截交线。
工图第二章基本体和切割体详解
交点是两直
V c
a
A
X
a
b k
C d
B
KD O
d
线的共有点
b c k
a
d
X
O
k c
判别方法：
b H
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
例 过点C作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
X
b d
先作正面投影
f YH
② 另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。
（3） 一般位置直线
Z
b
b 投影特性：
a
X
三个投影都缩短。即:
a
O
都不反映空间线段的实长
YW 及与三个投影面夹角的实
a
大，且与三根投影轴都倾
b YH
斜。
2. 直线与点的相对位置
V
判别方法：
◆ 若点在直线上, 则点 a
的投影必在直线的同面投影上。 并将线段的同面投影分割成与 X 空间相同的比例。即：
（2）点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ 轴，反映空间 点的z坐标；
（3）点的H 面投影到OX 轴的距离等于点的W 面投 影到OZ 轴的距离，反映空间点的y坐标。
例2 已知点A 的两面投影和点B 的坐标为 （25，20，30），求点A 的第三面投影及点B
的三面投影。
3. 两点的相对位置
a●
Z ●a
B3
B2 ●
●
P
B1 ● b ●
2. 点的三面投影 1) 投影面
Z V
正立投影面（V 面）
X
平面体及截切
3．求相贯线的方法 求两平面立体相贯线的方法通常有两种 ：一种是求各侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于 甲形体同一侧面又位于乙形体同一侧面上的两点，依次 连接起来。另一种是求一形体各侧面与另一形体各侧面 的交线。
4．判别相贯线可见性的原则 只有位于两形体都可见的侧 面上的交线，是可见的。只要有一个侧面不可见，面上 的交线就不可见。
因此在看图或画图时，一般应先从反映平面立体特 征视图的多边形线框出发，想象出完整的平面立体 形状并画出其投影，然后再根据截平面的空间位置， 想象出截断面的形状并画出其投影。 平面立体上切口（截交线）的画法，常利用平面特 性中“类似形”这一投影特征来作图。
1 棱柱上截交线的求法
（1）求出截平面与棱线上若干条棱线的交点；如立体 被多个平面截割，应求出截平面间的交线。 （2）依次连线各点。 （3）判断可见性。
平面立体的投影
根据立体表面的几何性质，可以分为平面立体和曲面立体。 表面都是平面的立体，称为平面立体，如棱柱、棱锥等； 表面是曲面或曲面和平面的立体，称为曲面立体。 若曲面立体的表面是回转曲面称为回转体，如圆柱、圆锥、 球、环等。
平面立体的投影
平面立体的投影就是将组成它的平面和 棱线的投影画出，并判别可见性，不可 见的棱线投影用虚线画出。
（2）由于平面立体的表面都具有一定的范围，所以截交线通 常是封闭的平面多边形。 （3）多边形的各顶点是平面立体的各棱线或边与截平面的交 点，多边形的各边是平面立体的棱面与截平面的交线，或是 截平面与截平面的交线。
三、平面立体截交线的求法
平面立体被单个或多个平面切割后，既具有平面立 体的形状特征，又具有截平面的平面特征。
一、棱柱表面上取点 二、棱锥表面上取点
第八章切割体的视图
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’
7’
6‘ （8'）
(9)’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
二、 平面与圆锥相交
根据截平面的不同位置有五种情况：
P
P P
圆 P
椭圆 P
两条素线
P平行于圆锥上一 条素线——抛物线
8' • 6'(7 ') 4 ' (9 ') • (5') • 7
•
8"
5" • 7"
•
•
9 5
•
4" 6"
•
b •3 • 1
6
•
4
•
8
•
a
•
•2
完成后的投影图
例4：求开槽圆柱的左视图
5'（6'） 6" • • 1'（2'） 2" •• • • 3'（4'） 4"
•
5"
• • 1" 3"
2
6 • •4
截平面为垂直面，在所垂直的 投影面上，截交线的投影为直线。 在其它投影面上截交线的投影为椭 圆。
例13：求半球体截切后的俯视图和左视图
两个侧平面截圆球的截交 线的投影，在侧视图上为部 分圆弧，在俯视图上积聚为 直线。
例14：
求圆球截交线
解题步骤 1 分析 截交线的 水平投影和侧面投 影均为圆弧和直线 的组合；
6'（7'） 4' （5'） 5"
1’
1’’
7’
6‘ （8'）
(9)’
8’’
9’’
7’’
5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
二、 平面与圆锥相交
根据截平面的不同位置有五种情况：
P
P P
圆 P
椭圆 P
两条素线
P平行于圆锥上一 条素线——抛物线
8' • 6'(7 ') 4 ' (9 ') • (5') • 7
•
8"
5" • 7"
•
•
9 5
•
4" 6"
•
b •3 • 1
6
•
4
•
8
•
a
•
•2
完成后的投影图
例4：求开槽圆柱的左视图
5'（6'） 6" • • 1'（2'） 2" •• • • 3'（4'） 4"
•
5"
• • 1" 3"
2
6 • •4
截平面为垂直面，在所垂直的 投影面上，截交线的投影为直线。 在其它投影面上截交线的投影为椭 圆。
例13：求半球体截切后的俯视图和左视图
两个侧平面截圆球的截交 线的投影，在侧视图上为部 分圆弧，在俯视图上积聚为 直线。
例14：
求圆球截交线
解题步骤 1 分析 截交线的 水平投影和侧面投 影均为圆弧和直线 的组合；
6'（7'） 4' （5'） 5"
06平面立体及其截切体的投影
如图所示 , 四棱柱中间的切槽是由两个侧平面和 一个水平面切割而成。 一个水平面切割而成。 平面Ⅰ为侧平面 它与四棱 平面Ⅰ为侧平面,它与四棱 柱侧面的交线为两条铅垂线 AA1,BB1。 。 平面Ⅱ为一水平面,它与 平面Ⅱ为一水平面 它与 四棱柱侧面和侧平面的交线共 同围成一六边形。 同围成一六边形。 作图时 , 先作反映切口特 征且具有积聚性的正面投影 , 然后补画其它两面投影。 然后补画其它两面投影。
作图: 作图
1
a) 直观图
b) 投影图
(2) 棱柱表面上点的投影
由于棱柱的表面都是平面， 由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在 表面都是平面 平面上取点的方法相同 的方法相同。 平面上取点的方法相同。
A M D
B
C
a) 直观图 图 正六棱柱表面取点
已知六棱柱表面上点M的正面投影 的正面投影m'，求其另两面投影， 例1 已知六棱柱表面上点 的正面投影 ，求其另两面投影， 并判别可见性。 并判别可见性。
采用什么 方法？ 方法？ 平面上作辅助线
作图方法1 作图方法
n″ N a' n′
s' m″ a" (c")
s"
n′
(m′) ′ b' c'
n″ b"
a n
m s n b
c
a) 直观图
b) 投影图 图 三棱锥表面取点
作图方法2: 作图方法
s' n′ n′ n″ N a' b' c' a" (c") n″ b" s"
四棱锥被正垂面切割， 四棱锥被正垂面切割， 截交线也应是平面多边 形，其正面投影积聚为 一条线， 一条线，水平投影侧面 投影小于实形的类似形 四棱锥被水平面切割， 四棱锥被水平面切割，截 交线应是平面多边形， 交线应是平面多边形，其 水平投影反映实形。 水平投影反映实形。侧面 投影是一条线。 投影是一条线。
基本体和切割体-wu
类似性
直线倾斜于投 影面投影比空 间线段短
2.4.2
直线对投影面的相对位置
1.投影面平行线 平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线
(1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线
2.投影面垂直线 垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
[Profile
H∩V ---- OX
V∩W ---- OZ H∩W ---- OY
[Horizontal projection plane] [Vertical projection plane] projection plane]
2.2.2 基本视图的形成
六个基本视图的配置关系
仰视图 右视图 主视图 左视图 后视图
Z a b 实长 ab X A O a B a b Z
a(b)
X
实长
O
YW
b YH
a
b
Y
投影特性： 侧面投影ab 积聚成一点(积聚性) abOYH ; a b OZ ab= a b = AB (不变性)
一般位置直线
Z b B X a b a X a Y b Z
2.5 平面的投影 2.5.1 平面对投影面的相对位置
1.投影面平行面 平行于某一投影面，垂直于另外两个投影面。
(1) 水平面 (2) 正平面 (3) 侧平面
2.投影面垂直面 垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面。
(1) 铅垂面 (2) 正垂面 (3) 侧垂面
3.一般位置平面 与三个投影面都倾斜。
正垂线— 垂直于正面投影面的直线
Z ab A B O
a(b) a
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2、当几个平面截切立体时，属于立体同一棱面， 又属于同一截平面的两点，方能相连，但截平 面与截平面间的交线除外。
例8-17 试求正四棱锥被一正垂面截 切后的三视图。
3d动画
例8-18 完成三棱锥被截切后的三视图。
3d动画
S
Ⅴ Ⅵ
Ⅰ A
Ⅳ ⅢC
Ⅱ
B
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（1）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
一、棱柱的投影
投影规律：长对正、高平齐、宽相等
a′
b′
c′
a″(c″)
b″
c°′
a”(c”)
b′
C°
V °a′ °
°b” W
A
B
f°′
d”(f”)
F°
d°′ °e′
c(f)
°e”
°
D
E
a(d)°
b(e°)
d′
e′
a(d) b(e)
f′
d″(f″)
e″
c(f)
二、棱锥的投影
投影规律：长对正、高平齐、宽相等
第七章 立体
由点、线、面等几何元素组成的空间图形。
§7-1 立体的投影——三视图
一、三视图的形成
用正投影法在三个投影面（V、H、W） 上获得形体的三面投影图，在工程上叫作 三视图。其中：正面投影叫做主视图，水 平投影叫做俯视图，侧面投影叫做左视图。 从投影原理上讲，形体的形状一般用三面 投影均可表示。三视图的排列位置以及它 们之间的“三等关系”如图。
高平齐
长对正
宽相等
宽相等
三视图的形成
二、三视图的位置关系和投影规律
三面视图的投影对应关系是： 保持“三等”关系，即 主视图、左视图高度相等； 主视图、俯视图长度相等； 左视图、俯视图宽度相等。
长对正；高平齐；宽相等。
§7-2 平面立体
棱柱
平面立体 棱锥
（由多个平面围成的立体）
主要研究立体的投影，立 体表面取点、取线，平面与 立体相交（切割体），两立 体相交（相贯）.
s′
s″
s°′
s”°
S
V
W
° c′
° b′
C
a°”(c”)
a°′
°c
A
a°
s°
B
°
°b
° b”
a′
b′ c′
a
c
s
b
a″(c″)
b″
平面立体的投影及表面取点
例题1 :棱柱
a′ (b′ )
a″
b″
①.投影分析： 线、面分析
②.表面取点： 利用积聚性求
已知a′求a及a″
b
长对正 高平齐宽相等
a
已知b′求b及b″
8-6 完成平面立体截切后的三面投影。
（1）
8-6 完成平面立体截切后的三面投影。
（2）
8-6 完成平面立体截切后的三面投影。
（3）
3、掌握平面立体切割体投影的连线原则：
§8-2 平面与立体之间的关系
贯穿点
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
截交线
截平面
切割体
一、平面立体的截切
平面与立体相交，就是立体被平面截切，所 用的平面称截平面，所得的交线称截交线。
截交线的形状：封闭的、平面的多边形。
截交线的求法 ：
交点法-平面立体的棱与 Ⅱ 截平面的交点。
Ⅰ
Ⅲ
侧面投影取点连线
将切割体投影补齐
例8-16 四棱柱被二平面截切，已知主视图 和俯视图，求作左视图。
3d动画
切割体投影的求解步骤：
1、分析（补全立体投影，弄清截平面性质）； 2、求解（逐一求解截交线投影，用交点法方便）； 3、连线并判别可见性； 4、整理轮廓线，完成做图。
连线原则：
1、一个平面完全截断立体时，属于立体同一棱 面上的点才能相连；
交线法-平面立体的平面
与截平面的交线。
即求解截平面与立体表面的 共有点。
例8-15 八棱柱被一正垂面P截切，已知其 主视图和左视图，求作俯视图。
3d动画
例 四棱锥切割体的投影
投影规律：长对正、高平齐、宽相等
作图：
Pv—水平面,Qv—正垂
Qv
正面投影是两面
Pv
条直线
有积聚性 （定位） 水平投影取点连线 3d动画
（2）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（3）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（4）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（5）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（6）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（7）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（8）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（9）
例2:棱锥
n′ m′
m″ m″
①.投影分析： 线、面分析 ②.表面取点：
利用辅助线求
mn
§8-2 平面与立体之间的关系
重点、难点： 1、掌握平面立体切割体的投影作法：
交点法-平面立体的棱与截平面的交点。 交线法-平面、分析（补全立体投影，弄清截平面性质）； 2、求解（逐一求解截交线投影，用交点法方便）； 3、连线并判别可见性； 4、整理轮廓线，完成做图。
例8-17 试求正四棱锥被一正垂面截 切后的三视图。
3d动画
例8-18 完成三棱锥被截切后的三视图。
3d动画
S
Ⅴ Ⅵ
Ⅰ A
Ⅳ ⅢC
Ⅱ
B
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（1）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
一、棱柱的投影
投影规律：长对正、高平齐、宽相等
a′
b′
c′
a″(c″)
b″
c°′
a”(c”)
b′
C°
V °a′ °
°b” W
A
B
f°′
d”(f”)
F°
d°′ °e′
c(f)
°e”
°
D
E
a(d)°
b(e°)
d′
e′
a(d) b(e)
f′
d″(f″)
e″
c(f)
二、棱锥的投影
投影规律：长对正、高平齐、宽相等
第七章 立体
由点、线、面等几何元素组成的空间图形。
§7-1 立体的投影——三视图
一、三视图的形成
用正投影法在三个投影面（V、H、W） 上获得形体的三面投影图，在工程上叫作 三视图。其中：正面投影叫做主视图，水 平投影叫做俯视图，侧面投影叫做左视图。 从投影原理上讲，形体的形状一般用三面 投影均可表示。三视图的排列位置以及它 们之间的“三等关系”如图。
高平齐
长对正
宽相等
宽相等
三视图的形成
二、三视图的位置关系和投影规律
三面视图的投影对应关系是： 保持“三等”关系，即 主视图、左视图高度相等； 主视图、俯视图长度相等； 左视图、俯视图宽度相等。
长对正；高平齐；宽相等。
§7-2 平面立体
棱柱
平面立体 棱锥
（由多个平面围成的立体）
主要研究立体的投影，立 体表面取点、取线，平面与 立体相交（切割体），两立 体相交（相贯）.
s′
s″
s°′
s”°
S
V
W
° c′
° b′
C
a°”(c”)
a°′
°c
A
a°
s°
B
°
°b
° b”
a′
b′ c′
a
c
s
b
a″(c″)
b″
平面立体的投影及表面取点
例题1 :棱柱
a′ (b′ )
a″
b″
①.投影分析： 线、面分析
②.表面取点： 利用积聚性求
已知a′求a及a″
b
长对正 高平齐宽相等
a
已知b′求b及b″
8-6 完成平面立体截切后的三面投影。
（1）
8-6 完成平面立体截切后的三面投影。
（2）
8-6 完成平面立体截切后的三面投影。
（3）
3、掌握平面立体切割体投影的连线原则：
§8-2 平面与立体之间的关系
贯穿点
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
截交线
截平面
切割体
一、平面立体的截切
平面与立体相交，就是立体被平面截切，所 用的平面称截平面，所得的交线称截交线。
截交线的形状：封闭的、平面的多边形。
截交线的求法 ：
交点法-平面立体的棱与 Ⅱ 截平面的交点。
Ⅰ
Ⅲ
侧面投影取点连线
将切割体投影补齐
例8-16 四棱柱被二平面截切，已知主视图 和俯视图，求作左视图。
3d动画
切割体投影的求解步骤：
1、分析（补全立体投影，弄清截平面性质）； 2、求解（逐一求解截交线投影，用交点法方便）； 3、连线并判别可见性； 4、整理轮廓线，完成做图。
连线原则：
1、一个平面完全截断立体时，属于立体同一棱 面上的点才能相连；
交线法-平面立体的平面
与截平面的交线。
即求解截平面与立体表面的 共有点。
例8-15 八棱柱被一正垂面P截切，已知其 主视图和左视图，求作俯视图。
3d动画
例 四棱锥切割体的投影
投影规律：长对正、高平齐、宽相等
作图：
Pv—水平面,Qv—正垂
Qv
正面投影是两面
Pv
条直线
有积聚性 （定位） 水平投影取点连线 3d动画
（2）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（3）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（4）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（5）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（6）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（7）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（8）
8-5 完成平面切割体第三面投影。
（9）
例2:棱锥
n′ m′
m″ m″
①.投影分析： 线、面分析 ②.表面取点：
利用辅助线求
mn
§8-2 平面与立体之间的关系
重点、难点： 1、掌握平面立体切割体的投影作法：
交点法-平面立体的棱与截平面的交点。 交线法-平面、分析（补全立体投影，弄清截平面性质）； 2、求解（逐一求解截交线投影，用交点法方便）； 3、连线并判别可见性； 4、整理轮廓线，完成做图。