必修五解三角形题型大全

解三角形

知识回顾：1. 正弦定理

sin sin sin a b c

A B C

===______ 正弦定理的变形：

❶2sin 2sin 2sin a R A

b R B

c R C

=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

； ❷sin sin a B A b =； ❸::sin :sin :sin a b c A B C =

❹sin sin sin a b c A B C ++++

===2sin sin sin a b a

R A B A

++

2. 余弦定理：

2222cos a b c bc A =+-

2_______________b =

2_______________c =

3.三角形面积公式：

❶ 1

sin 2S ab C =

=L

❷ ()42

a b c r

abc S R ++=

=（R r /为外接圆/内切圆半径） 4. 判断三角形形状：

锐角/直角/钝角三角形 等腰/等边/等腰直角三角形

变形

cos cos cos A B C ⎧

=⎪⎪

⎪

=⎨⎪

⎪

=⎪⎩

❶正余弦定理−−−

→转化边边关系−−−→通过因式分解/配方−−−→得结论

❷正余弦定理−−−

→转化

角的三角函数关系−−−→通过

三角恒等变换−−−→得结论

❸常用结论:)sin(sin C B A +=； )cos(cos C B A +-=； 2

cos

2sin

C

B A += 若sin 2sin 2A B =，则A B =或90A B +=︒

射影定理余弦式：B c C b a cos cos +=

考点一：正余弦定理公式应用（求边、角）

例1、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =

2c =，2

cos 3

A =

，则b=

A B

C 、2

D 、3

变式1、在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）

A 、006030或

B 、006045或

C 、0060120或

D 、0015030或

变式2、在ABC V 中 ，4

π

=

B ,B

C 边上的高等于

BC 3

1

，则=A sin

A 、

310 B 、10

C D 、10 变式3、 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =

，5

cos 13

C =，a =1，则b =____________.

变式4、已知等腰三角形ABC 满足AC AB =，AB BC 23=，点D 为BC 上的一点 且

BD AD =，则ADB ∠tan = .

变式5、在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20

_________.

变式6、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5

3

cos =

A ，55sin =

B ，2=a ，

则=c .

变式7、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22,32==c a 且

b

c

B A 2tan tan 1=

+

，则角=C .

考点二：三角形判定及图形

例2、在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ）

A ．直角三角形

B ．等边三角形

C ．不能确定

D ．等腰三角形

例3、如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，

436===CD BC AB ，，边形ABCD 的面积为 .

变式1、在△ABC 中,若三边长a ,b ,c 满足a 3+b 3=c 3,则△ABC 的形状为（ ）

A.锐角三角形 B .钝角三角形 C.直角三角形 D.以上均有可能

变式2、（射影定理余弦式应用）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不确定

变式3、如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为m

25的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡A处测得

DAC=

∠

m

50到达B处，又测得o

DBC45

=

∠，根据以上数据可得θ

cos

变式4、如图，在平面四边形ABCD中，已知

2

π

=

A，

3

π

=

B，6

=

AB.在AB边上取点E，使得1

=

BE，连接ED

EC,.若

3

2π

=

∠CED，7

=

EC.

（1）求BCE

∠

sin的值；

（2）求CD的长.

考点三：三角形综合大题

例3、已知函数()sin(0)

f x m x x m

=>的最大值为2.

（1）求函数()

f x在[0,]

π上的单调递减区间；

（2)△ABC中,()()sin

44

f A f B A B

ππ

-+-=,角A、B、C所对的边分别是a、b、