现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法
现代控制理论状态空间法
根据系统微分方程建立状态空间表达式.
1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态 表达式
• 系统描述为:
y (n ) a1 y (n1) an1 y an y u
(1)
讨论:状态如何选择
y(t) C (t)x(t) D(t)u(t)
2)线性时不变系统: x Ax Bu y Cx Du
在通常情况下，大多数还是研究线性时不变 系 统，即线性定常系统，因此本课程的主要研究对 象是线性定常系统。
4.状态空间描述的结构图(或称状态变量图)
• 例:根据上例画出结构图. • 解:先将例子写成下述形式
现代控制理论
第一章 状态空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，
时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才
能采用传递函数.
定义2.状态变量
状态变量是确定系统状态的最小一组变量,如果以最
少的n个变量 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 可以完全描述系
统的行为 (即当t≥ 时输入和
t0
在t= t0初始状态给定后,系统的状态完全可以确定),那 么
x1 (t ), x2 (t ), 是一, xn组(t )状态变量.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数 学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是 状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
现代控制理论(II)-讲稿课件ppt
03
通过具体例子说明最小值原理在最优控制问题中的应
用方法。
06 现代控制理论应用案例
倒立摆系统稳定控制
倒立摆系统模型建立
分析倒立摆系统的物理特性，建立数学模型，包括运动方程和状态 空间表达式。
控制器设计
基于现代控制理论，设计状态反馈控制器，使倒立摆系统实现稳定 控制。
系统仿真与实验
利用MATLAB/Simulink等工具进行系统仿真，验证控制器的有效性； 搭建实际实验平台，进行实时控制实验。
最优控制方法分类
根据性能指标的类型和求解方法， 最优控制可分为线性二次型最优控 制、最小时间控制、最小能量控制 等。
最优控制应用举例
介绍最优控制在航空航天、机器人、 经济管理等领域的应用实例。
05 最优控制理论与方法
最优控制问题描述
控制系统的性能指标
定义控制系统的性能评价标准，如时间最短、能量最小等。
随着网络技术的发展，分布式控制系统逐渐 成为现代控制理论的研究热点，如多智能体 系统、协同控制等。
下一步学习建议
01
02
03
04
深入学习现代控制理论相关知 识，掌握更多先进的控制方法
和技术。
关注现代控制理论在实际系统 中的应用，了解不同领域控制
系统的设计和实现方法。
加强实践环节，通过仿真或实 验验证所学理论知识的正确性
机器人运动学建模
分析机器人的运动学特性， 建立机器人运动学模型， 描述机器人末端执行器的 位置和姿态。
运动规划算法设计
基于现代控制理论，设计 运动规划算法，生成机器 人从起始点到目标点的平 滑运动轨迹。
控制器设计与实现
设计机器人运动控制器， 实现机器人对规划轨迹的 精确跟踪；在实际机器人 平台上进行实验验证。
现代控制理论课后题及答案
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。
也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。
这里采样机理分析法。
设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
1图P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。
令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dyx dt =。
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
第二章现代控制理论状态空间表达式
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
第二章 现代控制理论基础
微分方程组可以改写为
di (t ) R uC (t ) u (t ) = i (t ) + dt L L L
duC (t ) 1 = i (t ) dt C
并且写成矩阵形式： 并且写成矩阵形式：
di (t ) R dt L du (t ) = 1 C dt C 1 i (t ) 1 L + L u (t ) 0 uC (t ) 0
0 0 an 1 an 2
则式（2.4）可以写成
x = Ax + Bu
输出方程可写成
y = x1
写成矩阵方程形式为
x1 x y = [1 0 0] 2 = Cx xn
例2.1 设某控制系统的动态特性可用下述微分方程描述
y + 5 + 6 y + 12 y = u y
系统闭环传递函数为
Y ( s) 1 1 = = 3 U ( s ) s( s + 2)( s + 3) + 1 s + 5s 2 + 6s + 1
通过拉普拉斯逆变换,可求得系统运动微分方程为
（2.4）
记
x1 0 x 0 2 x = , A = xn 1 0 xn an 1 0 0 1 0 x1 0 x 0 0 2 , x = , B = 1 xn 1 0 xn 1 a1
输出方程为： 输出方程为：
x1 y = [1 0] x2
[例2] 机械平移系统. 如图为一加速度仪的原理结构图。它可以指示出其 例 壳体相对于惯性空间（如地球）的加速度。
设: xi 为壳体相对于惯性空间的位移; x0 为质量m相对于惯性空间的位移; y= xi - x0 为质量m相对于壳体的位移. 根据牛顿第二定律，系统的运动方程为: xi x0
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法
(2-181 1x2 n1xn
(2-20) (2-21)
其向量-矩阵形式为
式中
0 0 A 0 a0 1 0 0 0 1 0
x Ax bu，y cx
a1 a2
1 0 3 n 2 1 3n 1 0 3 0 h1 0 h 3 n 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 n1 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 3 1 I1 0 n h1 1 n 0 h3 0 0 0 0 0 u1 1 I 3 u2 0 1
例2-1的状态变量图见图2-3，图中 s 为拉普拉斯算子。
图2-3 状态变量图
二
由微分非常或传递函数建立动态方程
1 实现：
对于给定的系统微分方程或系统传递函数，寻求对应的动态 方程而不改变系统的输入-输出特性，称此动态方程是系统的一 个状态空间实现。 由于状态变量的选择不唯一，所以状态空间实现也不唯一， 最小实现也不唯一。
n 1
(2-12)
1. 能观测标准形实现
设
xn y xi xi 1 ai y i u i 1， , n 1
(2-13)
其展开式为
xn1 xn an 1 y n 1u y an 1 y n 1u xn2 xn1 an2 y n2u y an1 y n1u an2 y n2u x2 x3 a2 y 2u y
2 0 1 0 2 0 2 2 3n 2 0 0 2 1 I 2 u2 0 0 0 h 1 2 h2
第2章(2) 控制系统的状态空间表达式
2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。
要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s ）、比例器（k ）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。
第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s ）的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dtdx i。
第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。
根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。
例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。
解：该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。
对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。
图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。
我们取每个积分器的输出端信号为状态变量1x 和2x ，积分器的输入端即1x和2x 。
图2-6 系统方块图从图可得系统状态方程： ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-+-==uT K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 112111311311212222111 取y 为系统输出，输出方程为：1x y =写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式：[]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=x y u T K x K K T K x 010********例2-6 求如图2-7（a ）所示系统的动态方程。
解：图2-7(a)中第一个环节21++s s 可以分解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-211s ，即分解为两个通道。
现代控制理论-2-控制系统状态空间描述-第2、3讲[1]
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求系统的传递函数 G (s) 是输出。
Y(s) U(s)
，其中 U( s)是输入，Y( s)
解：根据求传递函数的公式 G (s)Y(s)C(sIA)1BD U(s)
s 00 0 1 0 s sIA 0s 0 0 0 1 0
00s 123 1
1 0 s 1 2 s3
d3y9d2y18 dy2y 72u 0 dt3 dt2 dt
Page: 14
(1) 选择状态变量
x1 y dy
x2 dt
(2) 对(1)中各式两边求导x ，3 并 代dd 2t入2y 微分方程，有
x1
dy dt
x2
d2y x2 dt2 x3
x3
27
y
18
dy dt
9
d2y dt2
20u
输出方程为 y x1 2 7 x1 1 8 x 2 9 x 3 2 0 u
为 (sI-A) 的 伴随矩阵
为 (sI-A) 的 行列式
系统状态空间表达式的特征方程: sIA 0
系统状态空间表达式的特征根或特征值: sIA 0 的根
Page: 4
y s C s A I 1 B D u s G s u s
其展开式为
mr
矩阵函数
y1s y2s
g11s g1rs
U2 (s)
G12 (s) G22 (s)
Y2 (s)
Page: 6
Y1(s)G 11(s)U1(s)G 12(s)U2(s) Y2(s)G21(s)U1(s)G22(s)U2(s)
用矩阵方程表示：
Y Y1 2((ss))G G1 21 1((ss))
G12(s)U1(s) G22(s)U2(s)
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
现代控制理论_第2章_状态空间分析法
(2-7)
其向量－矩阵形式为 式中
y1 y 2 y yq
y Cx Du
(2-8)
c11 c12 c11 c c c 21 22 2n C c c c qn q1 q 2
d11 d12 d1 p d d 22 d 2 p 21 D d d d q 1 q 11 qp
0 D0 1 m
例2-2 设空间飞行器如图 2-3所示。利用本体坐标系
和飞行器本地垂线参考坐
标系，试求空间飞行器的
动态方程。
图2－3 空间飞行器 点击观看
解：空间飞行器相对于参考坐标系进行姿态定向，用一组旋 转Euler角即俯仰角、偏航角和滚动角可以唯一的确定飞 行器的定向。 利用动力矩定理和动量定理，同时考虑姿态偏移小、速度 低、动量小及忽略惯量直积的情况下，可得俯仰轴方向的 线性化方程为 ：
若状态向量由n个分量组成，则称n维状态向量。一旦给 定 t t0 时的初始状态向量 x t0 及 t t0 的输入向量 u t ，则 t t0 的状态由状态向量 x t 唯一确定。
三 状态空间
以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间称状态空间。 系统在任一时刻的状态由状态空间中一点表示，例如 二阶系统的状态可由 x1 轴、x2 轴组成的状态平面（即相平面） 中一点表示； x2 轴、x3轴组成的三维状态空间中 三阶系统的状态可由 x1轴、 一点来表示； n阶系统的状态则由轴 x1 ，…， xn 轴组成的n维状态空间中 一点来表示。 初始时刻 t0 的状态 x t0 在状态空间中为一初始点；随着时 间推移，系统状态在变化，便在状态空间中描绘出一条轨迹， 称状态轨迹。
现代控制理论-第二章-控制系统的状态空间表达式的解
t
t2
2、状态转移矩阵的基本性质
(1) Φ(0) I (2) Φ (t) AΦ(t) Φ(t)A Φ (0) A (3) Φ(t1 t2 ) Φ(t1)Φ(t2 ) Φ(t2 )Φ(t1) (4) Φ1(t) Φ(t), Φ1(t) Φ(t) 证明： I Φ(0) Φ(t t) Φ(t)Φ(t) Φ(t)Φ(t) 推论： x(t) Φ(t)x(0) x(0) Φ1(t)x(t) Φ(t)x(t)
3、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设A diag[，1,即2 ,A为, 对n ]角阵且具有互异元素时，有
e1t
0
(t)
e2t
0
e
nt
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即 P-1AP Λ
Φ(t) PΦ(t)P1
e1t
x1
x2
0 0
1 x1
0
x2
x(t) eAtx(0) I At 1 A2t 2 1 Akt k x(0)
2!
k!
A2
0 0
10 00
1 0 0 0
0 0
A3
直接求解法：根据定义 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 拉氏反变换法
1）根据状态转移矩阵的定义求解：
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
例：求解系统状态方程的解 解：
现代控制理论课后习题及答案
《现代控制理论》课后习题及答案第一章控制系统的状态空间表达式1-1.试求图1-1系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图图1-1 系统结构方块图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图图1-2 双输入—双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211654321111111126543210000010000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2.有电路如图1-3所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图图1-3 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论(第二章)线性系统的状态空间描述
H[t0 ,)
yc
1
yc
u
t t0 0
容易得到其解
yc
(t )
e
1t
yc
(0)
t
e1
(t
)u(
)d
显然，若其初始条件
yc
0
(0)
不能确定，则不能
唯一地确定其输出。
1.非零初始条件与脉冲输入
零初始条件：系统的初始条件为零是指系统在初 始时刻没有能量储备。
注意：在建立线性系统的输入—输出描述时， 必须假设系统的初始条件为零。
单变量线性时变系统输入－输出关系： y L(u)
用符号 g(t,τ) 表示该系统的单位脉冲响应，即
g(t,τ)L( (t ))
注意： g(t,τ) 是双变量函数; τ— 代表δ函数作用于系统的时刻； t — 代表观测其输出响应的时刻。
结论1：对单变量线性时变系统，u(t)为其输 入变量，g(t,τ)为其单位脉冲响应，在初始
y
kp
u
s3 1s 2 2s 3
若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复 杂得多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。
系统的输入—输出描述仅在松弛的条件下才能采用。
若系统在t0时刻是非松弛的，输出 y[t0 ,) 并不能单
单由 u[t0 ,) 所决定，即关系式 不成立。考察简单的一阶系统：
y[t0 ,)
初始条件不为零时，可以将非零的初始条件等 效成在初始时刻的一个脉冲输入。
单位脉冲函数（δ函数 ）
令
0
(t
t1
)
1
0
t t1 t1 t t1 t t1
当Δ→0时， (t t1) 的极限函数，即
现代控制理论Part2 第二章 控制系统状态空间表达式的解 研究生课件——现代控制理论
的特征值为0和-2（λ1=0，λ2= -2），
故可求得所需的变换矩阵为
e At
1 0
1 eo
2
0
P
1 0
1 2
0 1
e2t
0
1 2
1 2
1 0
1 2
(1
e2t
)
e2t
方法二 由于
s sI A 0
0 0
s
0
1 s 2 0
因此
1
(sI
A)1
s
0
eAt
L1[(sI
A)1 ]
信号保持是指将离散信号 ——脉冲序列转换成连续信号
的过程。用于这种转换的元件为保持器。
H (t)
(t) tnT0 (nT0 ) *(nT0 ) n 0,1,2,
(t)
零阶保持器(zero order holder) t
(nTs ) (nTs )
GH
(S)
1-e-Tss s
一阶保持器
e2 t
•• •
••
•• •
••
0
•• •
••
1 m
IA
2m
A2
m1 m
A m 1
em t e At
§2.3线性定常系统非齐次方程的解
给定线性定常系统非齐次状态方程为
Σ： x(t) Ax(t) Bu(t)
其中， x(t) Rn ,u(t) Rr , A Rnn , B Rnr ，且初始条件为 x(t) x(0) 。 t 0 x(t) Ax(t) Bu(t)
三、状态转移矩阵的基本性质 与线性定常系统的转移矩阵（矩阵指数函数）的性质相似；
四、线性时变非齐次状态方程式的解
现代控制理论状态空间分析法
(2-3)
方程(2-3)的向量－矩阵形式为
x&t Axt bu
(2-4)
式中u为p维列向量，B为 n p 输入矩阵，或称控制系数矩阵，
有
a11 a12 L a1n
A a21 a22 L
a2
M M L M
an1 an2 L
ann
b11 b12 L b1p
B b21 b22 L
b2
M
yq
cq1 cq2 L
cqn
d11 d12 L D d21 d22 L
M M dq1 dq11 L
d1p
d
2
p
M
d
qp
u1
u
u2
M
up
C为 (q n) 输出矩阵，D为 (q p) 前馈矩阵。
六 状态空间表达式
状态方程、输出方程的组合称为状态空间表达式，简称动态 方程。状态空间法用状态方程、输出方程来表达输入－输出关 系，提示了系统内部状态对系统性能的影响。
y1 c11x1 L c1n xn d11u1 L d1pup
M
yq cq1x1 L
cqn xn dq1u1 L
d
qpu
p
(2-7)
其向量－矩阵形式为
y Cx Du
(2-8)
式中
y1
yHale Waihona Puke y2Mc11 c12 L C c21 c22 L
M M
c11
c2
n
利用状态分析法，对系统进 行一系列特性分析，来设计状态 反馈和输出反馈。
电机内部工作原理 点击观看
线性系统理论的主要内容： ➢状态空间分析法 ➢线性系统内部特性 ➢线性系统状态空间 的综合设计
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2.1 状态空间描述的基本概念系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。
经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。
因此传递函数不能包含系统的所有信息。
由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。
于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。
第一节基本概念状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）变量。
一个用阶微分方程描述含有个独立变量的系统，当求得个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。
若变量数目多于，必有变量不独立；若少于，又不足以描述系统状态。
因此，当系统能用最少的个变量完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量。
选取状态变量应满足以下条件：给定时刻的初始值，以及的输入值，可唯一确定系统将来的状态。
而时刻的状态表示时刻以前的系统运动的历史总结，故状态变量是对系统过去、现在和将来行为的描述。
状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。
状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。
状态向量把描述系统状态的个状态变量看作向量的分量，则称为状态向量，记以,上标为矩阵转置记号。
若状态向量由个分量组成，则称维状态向量。
一旦给定时的初始状态向量及的输入向量，则的状态由状态向量唯一确定。
状态空间以个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称状态空间。
系统在任一时刻的状态由状态空间中一点表示，例如二阶系统的状态可由轴、轴组成的状态平面（即相平面）中一点表示；三阶系统的状态可由轴、轴、轴组成的三维状态空间中一点来表示；阶系统的状态则由轴，…，轴组成的维状态空间中一点来表示。
初始时刻的状态在状态空间中为一初始点；随着时间推移，系统状态在变化，便在状态空间中描绘出一条轨迹，称状态轨迹。
状态方程状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学表达式称为状态方程。
由于阶系统有个独立状态变量，于是状态方程是个的一阶微分方程或差分方程。
当系统用高阶微（差）分方程或传递函数表示时，可以转化为状态方程。
状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。
由于状态变量的选取具有非唯一性，所选取的状态变量不同，状态方程也不同，故系统的状态方程也具有非唯一性。
在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量为阶跃函数，即u的导数为零。
单输入线性定常连续系统，其状态变量为，则一般形式的状态方程写作：(2-1)中常系数与系统特性有关。
方程（2－1）可写成向量矩阵形式：(2-2)式中; ;；称系统矩阵（系数矩阵，状态阵），称输入矩阵（在此为列矩阵）。
多输入（含个输入变量）线性定常连续系统的状态方程一般表达式为：(2-3)方程(2-3)的向量－矩阵形式为(2-4)式中为维列向量，为输入矩阵，或称控制系数矩阵，有输出方程系统输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式称输出方程，它是一个代数方程。
单输出定常连续系统的输出方程一般形式为：(2-5)式中常系数与系统特性有关。
可写成向量矩阵形式：(2-6)式中为输出矩阵（在此为行矩阵），为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。
多输入－多输出（含个输出变量）线性定常连续系统的输出方程一般表达形式为：(2-7) 式(2-7)中，省略符号。
其向量－矩阵形式为(2-8)式中为 输出矩阵， 为 前馈矩阵。
状态空间表达式 状态方程、输出方程的组合称为状态空间表达式，简称动态方程。
状态空间法用状态方程、输出方程来表达输入－输出关系，提示了系统内部状态对系统性能的影响。
单输入－单输出系统动态方程一般形式为(2-9)式中 为 维状态向量， 与 为标量，为 阶方阵， 为( )向量， 为 向量， 为标量。
多输入－多输出系统动态方程一般形式为(2-10)式中 为()向量， 为 向量， 为( )向量， 为 阶方阵， 为 矩阵， 为 矩阵， 为 矩阵。
由于完整地表征了系统动态特性，故有时把一个指定的系统简称为系统。
当采用向量－矩阵形式表示系统时，读者应注意根据矩阵相乘、相加的运算法则，熟练进行向量、矩阵的维数分析。
至于单输入－多输出以及多输入－单输出系统的动态方程及向量、矩阵的维数分析，读者应自行导出。
动态方程的结构图表示见图2－1，各方块的输入－输出关系规定为输出向量＝（方块所示矩阵）×（输入向量）注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
图2－1 动态方程的结构图表示状态空间分析法以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。
它具有下列优越之处：便于在数字机上求解；容易考虑初始条件；能了解并利用处于系统内部的状态信息；数学描述简化；适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离散等各类系统，例如倒立摆控制系统、航天器控制系统、导弹控制系统、机器人控制系统。
因此状态空间分析法是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。
倒立摆控制系统航天器控制系统机器人控制系统导弹控制系统2.2 线性定常连续系统动态方程的建立实际物理系统动态方程的建立，通常是根据所含元件遵循的物理、化学定律，列写其微分方程，选择可以量测的物理量作为状态变量来导出的，它能反映系统的真实结构特性，故动态方程可由诸元件的微分方程组或传递函数结构图演化而来。
不过据此建立的动态方程一般不具有典型形式。
由于系统微分方或传递函数也是一种线性定常连续系统的通用数学模型，当其已知时，可按规定方法导出典型形式的动态方程，便于建立统一的研究理论，并揭示系统内部固有的重要结构特性，下面来分别加以研究。
一、物理系统动态方程的建立结合举例来说明。
空间飞行器安装有控制力矩陀螺（control moment gyros,CMG）。
空间飞行器的非线性模型包括飞行器姿态运动模型、旋转动力学模型、和CMG动量方程。
空间飞行器的姿态是通过一组Eul角来定义的,而Euler角则是通过比较本体坐标系和飞行器本地垂线参考坐标系来定义的.假定在圆形轨道上运动的飞行器的轨道角速度为n.我们关心的坐标系有两个,即飞行器本体坐标系和本地垂线参考坐标系(Local-verticalLocal-horizontal Reference Frame,LVLH). 其原点位于飞行器的质心，平面瞬时与轨道平面重合，轴与地心到飞行器的连线重合，远离地心方向为负，轴与瞬时轨道转矩向量在同一条直线上，但方向相反，轴按右手法则确定。
空间飞行器的本地垂线参考坐标系（LVLH）空间飞行器相对于参考坐标系进行姿态定向，用一组旋转Euler角可以唯一的确定飞行器的定向。
常用的旋转变换是绕轴的旋转，空间飞行器因而选择了俯仰角、偏航角和滚动角为其定向Euler角（如下图）。
在向量中，我们用依次代表飞行器相对于LVLH参考坐标系的俯仰角、偏航角和滚动角，又记为本体坐标轴的绝对旋转角速度，则飞行器姿态运动方程为：其中，，而飞行器的转矩为：其中，表示本体坐标系内的动量向量，表示外部转矩向量（例如，引力梯度转矩、空气动力转矩和控制转矩等）。
由于所研究的是刚体飞行器，因此，其中，为飞行器的惯量矩阵：外部转矩包括引力梯度转矩和CMG控制转矩等。
在不存在外部干扰的（如空气动力转矩）的情况下，可得：其中，为引力梯度转矩向量，为CMG控制转矩向量。
引力梯度转矩是由于地球引力在空间飞行器上分布不均匀造成的。
利用地球的负二次方引力场原理，本体坐标系中的引力梯度转矩可以表示为：其中于是，在本体坐标系中表示飞行器旋转动力学特征的地转矩方程变为：类似的，可以得到CMG的动量方程为：其中，为CMG的动量向量，使CMG的控制转矩。
飞行器姿态和动量控制设计的一种简便方法，是对前面的是进行线性处理以便得到表示飞行器的姿态和CMG动量的变幻的规律的线性模型。
利用Taylor技术展开实现模型的线性化后，便可以直接运用线性系统的设计和分析方法。
在姿态偏移小、速度低、CMG动量小且可以忽略惯量直积的情况下，飞行器的非线性模型经线性后，可以实现对俯仰轴、偏航轴、滚动轴的解耦。
俯仰轴Y轴方向的线性化方程为：其中而滚动轴和偏航轴Z轴方向的线性化方程为：其中，值得注意的是，俯仰轴的控制问题是一个单输入问题，而滚动轴与偏航轴的控制问题是一个多输入问题。
空间站的典型参数为：和。
使用这些典型参数，俯仰轴方向的状态空间模型为：其中，，想一想：登月舱的软着陆过程如图所示的那样建模，定义状态变量为，，，控制为，假定使月球表面的重力加速度常数，求取系统的状态空间方程。
该系统是线性系统吗？例2-1 设机械位移系统如图2-2所示。
力及阻尼器汽缸速度为两种外作用，给定输出量为质量块的位移及其速度、加速度。
图中分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数。
试求该双输入-三输出系统的动态方程。
解据牛顿力学，外力由惯性力、阻尼力、弹簧恢复力平衡，故有图2－2 双输入-三输出机械位移系统显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选和作为状态变量。
设，三个输出量为，可由微分方程导出下列动态方程：其向量-矩阵形式为式中状态变量图将状态方程中的每个一阶微分方程用图解来表示，即每个一阶微分方程的右端诸项之和，构成了状态变量的导数，经积分可得该状态变量，最终按照系统中各状态变量的关系连接成封闭的图形，便是状态变量图，它便于在模拟计算机上进行仿真，是向量-矩阵形式状态方程的展开图形，揭示了系统的详细的内部结构。
状态变量图中仅含积分器、加法器、比例器三种元件及一些连接线。
积分器的输出均为状态变量。
输出量可根据输出方程在状态变量图中形成和引出。
例2-1的状态变量图见图2-3，图中为拉普拉斯算子。
图2-3 例2-1状态变量图一、由系统微分方程或系统传递函数建立动态方程这里先研究单位输入-单输出系统，其它留在传递函数矩阵的实现一节中研究。
对于给定的系统微分方程或系统传递函数，寻求对应的动态方程而不改变系统的输入-输出特性，称此动态方程是系统的一个状态空间实现。
由于所选状态变量不同，其动态方程也不同，故其实现方法有多种。