全国通用版2019版高考数学总复习专题四数列4.2数列解答题课件理

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1.(2018安徽江南十校3月联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满 足Sn-2an=n-4.
(1)证明:{Sn-n+2}为等比数列; (2)求数列{Sn}的前n项和Tn. (1)证明 原式转化为Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2), 即Sn=2Sn-1-n+4, 所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2]. 注意到S1-1+2=4,所以{Sn-n+2}为首项为4,公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知:Sn-n+2=2n+1, 所以Sn=2n+1+n-2, 于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n =4(11--22������) + ������(������2+1)-2n=2������+3+2������2-3������-8.
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2.(2018全国Ⅲ·17)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m. 解 (1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
3.(2016全国Ⅱ·17)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记
bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求数列{bn}的前1 000项和. 解 (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1. 所以{an}的通项公式为an=n.
b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. 0,1 ≤ ������ < 10,
(2)因为 bn=
1,10 ≤ ������ < 100, 2,100 ≤ ������ < 1 000,
3,������ = 1 000,
所以数列{bn}的前 1 000 项和为 1×90+2×900+3×1=1 893.
即 an+1(λ-1)=λan.
由 a1≠0,λ≠0 得 an≠0,
所以������������+1
������������
=
���������-���1.
因此{an}是首项为11-������,公比为���������-���1的等比数列,
于是 an=11-������
������ ������-1
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若 S5=3312,求 λ.
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解 (1)(等比数列的定义与通项公式)
由题意得 a1=S1=1+λa1,故 λ≠1,a1=11-������,a1≠0.
由 Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1 得 an+1=λan+1-λan,
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3.(2018福建福州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1. (1)证明数列{an}是等比数列; (2)设bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1), 所以an=2an-1,所以数列{an}是以a1=1为首项,以2为公比的等比数 列.
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5.(2018安徽马鞍山第二次质监)已知数列{an}是等差数列,其前n项 和为Sn,a2=37,S4=152. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an-2n|}的前n项和Tn.
解 (1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,
则
������1 + ������ = 4������1 + 6������
所以an=2×2n-1=2n(n∈N*).
(2)因为bn=log2an=log22n=n, 所以 Sn=b1+b2+…+bn=1+2+…+n=������(������2+1)(n∈N*).
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=(2+22+23+…+2n)+(1+2+3+…+n) =2(11--22������) + ������(12+������)=2n+1+������(������2+1)-2.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=log2an,求数列{bn}前n项的和. 解 (1)设数列{an}的公比为q,则a3=a1·q2=2q2,a4=a1·q3=2q3, 因为a1,a3+1,a4成等差数列, 所以a1+a4=2(a3+1),即2+2q3=2(2q2+1), 整理得q2(q-2)=0,因为q≠0,所以q=2,
2-2������-1 × 1-2
2
-(2n-1)
2n=(3-2n)2n-3,所以Tn=(2n-3)2n+3.
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4.(2018广西柳州、南宁第二次联考)设a1=2,a2=4,数列{bn}满 足:bn+1=2bn+2且an+1-an=bn. (1)求证:数列{bn+2}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.
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所以 Sn=������(������12+������������) = ������(������2+2������������-1)=n2-2n. 依题意有n2-2n>35,解得n>7. 故使Sn>35成立的n的最小值为8.
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解 (1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,则
2������ ������2
= =
2 1
+ +
32��ห้องสมุดไป่ตู้���������,,解得
������ ������
= =
10,(舍)或
������ ������
= =
1, 2,
∴an=2n-1,bn=n.
(2)由(1)易知 Sn=11--22������=2n-1.Tn=������(������2+1).
①当 0<n≤5 时,|2n+33-2n|=2n+33-2n,有
Tn=(35+2���2���+33)������
−
2(1-2������)=n2+34n-2n+1+2.
37, = 152,
解得
������1 = 35, ������ = 2,
所以数列{an}的通项公式为 an=2n+33(n∈N*).
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(2)由(1)知,|an-2n|=|2n+33-2n|=
2������ + 33-2������ (0 < ������ ≤ 5), 2������ -(2������ + 33)(������ ≥ 6),
4.2 数列解答题
高考命题规律 1.高考命题的完全考题,常与解三角形解答题交替在第17题呈现. 2.解答题,12分,中档难度. 3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.
2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年
2019 年高考必备
Ⅰ
卷
Ⅱ卷 Ⅰ卷
Ⅱ
卷
Ⅰ
卷
Ⅱ
卷
Ⅲ
卷
Ⅰ
卷
Ⅱ
卷
Ⅲ
卷
Ⅰ
卷
Ⅱ
卷
Ⅲ
卷
命题 角度 1
等差、等比 数列的判定 17 17 与证明
17
等差、等比
命题 角度 2
数列的通项 公式与前 n 项和公式的
17
17 17
应用
一般数列的
命题 通项公式与
角度 3 前 n 项和的
17
求解
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命题角度1等差、等比数列的判定与证明
1.(2016全国Ⅲ·17)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
所以3���1���-1 ≤ 2×13������-1.
于是 1
������1
+
���1���2+…+���1���������≤1+13+…+3���1���-1
=32
1-
1 3������
< 32.
所以 1
������1
+
���1���2+…+���1���������
<
32.
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������ -1
.
(2)由(1)得 Sn=1-
������ ������-1
������
.
由 S5=3312得 1-
������ ������-1
5
= 3312,即