最新人教版九年级数学上册知识点总结【最新整理】
九年级上册数学笔记整理人教版
九年级上册数学笔记整理人教版一、一元二次方程。
(一)定义。
1. 只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程。
- 一般形式:ax² + bx + c = 0(a≠0),其中ax²是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
(二)解法。
1. 直接开平方法。
- 对于方程x² = p(p≥0),解得x = ±√(p)。
- 例如,方程(x - 3)² = 4,则x - 3 = ±2,x = 3±2,即x = 1或x = 5。
2. 配方法。
- 步骤:- 把方程化为ax²+bx = - c的形式。
- 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方,即x²+(b)/(a)x+((b)/(2a))² = - (c)/(a)+((b)/(2a))²。
- 把左边写成完全平方式(x+(b)/(2a))²,然后用直接开平方法求解。
- 例如,对于方程x²+6x - 7 = 0,移项得x²+6x = 7,配方得x² + 6x+9 = 7 + 9,即(x + 3)²=16,解得x=-3±4,x = 1或x=-7。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax²+bx + c = 0(a≠0),其求根公式为x=(-b±√(b² -4ac))/(2a)。
- 其中b² - 4ac叫做判别式,记作Δ=b² - 4ac。
- 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时,方程有两个相等的实数根。
- 当Δ<0时,方程没有实数根。
- 例如,方程2x² - 3x - 2 = 0,其中a = 2,b=-3,c=-2,Δ=(-3)²-4×2×(-2)=9 + 16 = 25>0,根据公式x=(3±√(25))/(4)=(3±5)/(4),解得x = 2或x =-(1)/(2)。
(完整word版)人教版数学九年级上册知识点整理
知识点五:与圆有关的位置关系
5.点与圆
的位置关系
设点到圆心的距离为d.
⑴d<r?点在OO内;(2)d=r?点在OO上;(3)d>r?点在OO夕卜.
6.直线和 圆的位
m¥方
宀护¥方位置大糸
相离
相切
相交
图形
l®1
[GDI
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
dvr
知识点六:切线的性质与判定
解•
(2 )因式分解法:可化为(ax+m)(bx+ n)=0的方程,用因式分解法求
解•
(3 )公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为x=
2.一元二次方
b曲4ac(b2-4ac>0).2a
程的解法
(4)配方法:当元二次方程的二次项糸数为1, 次项糸数为偶数时,
也可以考虑用配方法.
先
先用其他,再用公式
(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于半圆的 弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧.
(4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角
(5)圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个 交点的角叫做圆周角.
(6)弦心距:圆心到弦的距离.
知识点二:垂径定理及其推论
2.垂径定
理及其推
论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
知识点三:二次函数的平移
4.平移与
解析式
的关系
x/_ov2向左(h<0)或向右(h>0)2向上(k>0)或向下(kv0)2
常”>y=a(x-h)—、y=a(x—h)2+k
人教版九年级上册数学知识点汇总
一、一元二次方程1. 定义•等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
一般形式为:ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)。
2. 解法•配方法:通过配成完全平方形式来解一元二次方程。
步骤包括:移项、除二次项系数、配方、开平方。
•公式法:利用一元二次方程的求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)(当b² - 4ac ≥ 0时)求解。
•因式分解法:将方程的一边化为0,另一边分解为两个一次因式的积,从而转化为求解两个一元一次方程。
3. 根与系数的关系•若一元二次方程x² + px + q = 0的两个根为x₁和x₂,则有:x₁ + x₂ = -p,x₁x₂ = q。
二、实际问题与一元二次方程1. 应用步骤•审:读懂题目,弄清题意,明确已知量和未知量以及它们之间的等量关系。
•设:设出未知数。
•列:列出方程,这是关键步骤,需找出能够表达应用题全部含义的相等关系,并列出含有未知数的等式。
•解:解方程,求出未知数的值。
•验:检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
•答:写出答案。
2. 常见类型•数字问题:如三个连续整数、连续偶数(奇数)的表示。
•增长率问题:设初始量为a,终止量为b,平均增长率或降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1±x)² = b。
•利润问题:常用关系式有总利润=总销售价-总成本,或总利润=单位利润×总销售量,或利润=成本×利润率。
•图形的面积问题:根据图形的面积与图形的边等高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程。
三、二次函数1. 定义•一般地,形如y = ax² + bx + c(a, b, c是常数,a ≠ 0)的函数,叫做二次函数。
2. 性质•抛物线的开口方向由a的符号决定:a > 0时,开口向上;a < 0时,开口向下。
最新人教版九年级数学上册知识点总结全套
最新人教版九年级数学上册知识点总结全套数学上册知识点总结21.1 一元二次方程知识点一:一元二次方程的定义一元二次方程是指等号两边都是只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程。
注意以下几点:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。
知识点二:一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax2+ bx + c = 0(a≠0)。
其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三:一元二次方程的根一元二次方程的根是指使方程左右两边相等的未知数的值。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一:直接开平方法解一元二次方程1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。
对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a。
2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。
3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二:配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:①把常数项移到等号的右边;②方程两边都除以二次项系数;③方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;④若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
21.2.2 公式法知识点一:公式法解一元二次方程一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为x=b±b2-4ac2a,这个公式叫做一元二次方程的求根公式。
九年级上册数学期末复习知识点人教版框架
九年级上册数学期末复习知识点人教版框架一、一元二次方程1. 一元二次方程的定义只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程。
2. 一元二次方程的一般形式ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)3. 一元二次方程的解法配方法:通过配方,使方程左边成为完全平方,然后开方求解。
公式法:利用一元二次方程的求根公式x = [-b ±√(b² - 4ac)] / (2a)求解。
因式分解法:将方程左边分解为两个一次因式的乘积,然后求解。
4. 一元二次方程的根的判别式Δ = b² - 4ac当Δ > 0时,方程有两个不相等的实数根。
当Δ = 0时,方程有两个相等的实数根。
当Δ < 0时,方程无实数根。
5. 韦达定理对于一元二次方程ax² + bx + c = 0(a ≠ 0),若其两个根为x₁和x₂,则有:x₁ + x₂ = -b/ax₁x₂ = c/a二、二次函数1. 二次函数的定义一般形式:y = ax² + bx + c(a、b、c是常数,a ≠0)2. 二次函数的图像及性质抛物线开口方向:由a的符号决定,a > 0时开口向上,a < 0时开口向下。
对称轴:直线x = -b/(2a)。
顶点坐标:(-b/(2a), c - b²/(4a))。
最值:当a > 0时,函数有最小值;当a < 0时,函数有最大值。
3. 二次函数的解析式顶点式:y = a(x - h)² + k一般式:y = ax² + bx + c交点式:根据抛物线与x轴、y轴的交点来确定。
三、几何图形与证明1. 三角形全等三角形的判定定理及性质。
等腰三角形、等边三角形的性质及判定。
直角三角形的性质及勾股定理。
2. 四边形平行四边形的性质及判定。
特殊的平行四边形(矩形、菱形、正方形)的性质及判定。
梯形及等腰梯形的性质及判定。
初中数学九年级上册知识点及公式总结大全(人教版)
九年级数学(上)知识点(2)被开方数中不含有开得尽方的整数或整式。
3、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。
7、二次根式的加减:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,在合并同类二次根式,合并同类二次根式与合并同类项类似,将同类二次根式的“系数”相加减,被开方数和根指数不变。
注意:二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式,不是同类二次根式不能合并。
8、二次根式的混合运算:二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先乘方,后乘除,最后加减,有括号的先算括号内的。
在运算过程中,有理数(式)中的运算率及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。
9、比较两数大小的常用方法:(1)平方法:若a>0,b>0,且a²>b²,则a>b;(2)把跟号外的非负因式移到根号内,然后比较被开方数的大小。
第二十二章一元二次根式一.知识框二.知识概念1.一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程,叫做一元二次方程.2 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax +bx+c=0(a≠0).2这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.2.一元二次方程的解法:2(1)运用开平方法解形如(x+m) =n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.2(2)配方法:将一元二次方程变形为(x+p) =q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q;如果q <0,方程无实根.2 2(3)公式法:将方程化为一般形式ax +bx+c=0,当b -4ac≥0时,将a、b、c代入式子第二十三章旋转一.知识框架二.知识概念 1.旋转:在平面内,将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转。
人教版九年级上册数学知识点
人教版九年级上册数学知识点一、集合与不等式1. 集合的概念集合是由一些确定的元素构成的整体。
用大写字母A、B、C等表示集合,元素用小写字母a、b、c等表示。
2. 集合的运算(1)交集运算:集合A与集合B的交集,表示为A∩B,表示同时属于A和B的元素组成的集合。
(2)并集运算:集合A与集合B的并集,表示为A∪B,表示属于A或B的元素组成的集合。
(3)差集运算:集合A与集合B的差集,表示为A-B或A\B,表示属于A但不属于B的元素组成的集合。
(4)补集运算:集合A相对于全集U的补集,表示为A'或A^c,表示不属于A的元素组成的集合。
3. 不等式不等式是含有不等号的数学陈述。
常见的不等号有大于号(>)、大于等于号(≥)、小于号(<)和小于等于号(≤)。
二、平面图形的认识1. 点、线、线段和射线的概念(1)点:空间中没有长度、宽度和高度的位置,用大写字母表示。
(2)线段:由两个端点以及连接两个端点的线段本身组成。
(3)射线:起点为给定点的一条直线,并且从起点向某个方向延伸,用带箭头的线段表示。
2. 平面图形的分类(1)三角形:由三条线段组成的图形。
(2)四边形:由四条线段组成的图形。
(3)多边形:由多条线段组成的图形。
3. 常见平面图形的性质(1)正方形:四条边相等且都垂直。
(2)长方形:相邻两条边相等且都垂直。
(3)平行四边形:对边平行且对边相等。
三、整式与分式1. 代数式与整式(1)代数式:用字母和数字相结合表示数的式子。
(2)整式:只含有字母、数字和运算符的代数式。
2. 分式分式是包含分子和分母的算式,分式的值一般是一个有理数。
四、分数的计算1. 分数运算(1)分数的加减运算:先找到两个分数的公共分母,然后将分子相加(或相减),再将结果的分子写在分数线上。
(2)分数的乘法运算:将两个分数的分子相乘,分母相乘。
(3)分数的除法运算:先将除数与被除数的分子和分母交换位置,再按照分数的乘法运算进行计算即可。
人教版九年级数学上册知识点
人教版九年级数学上册知识点人教版九年级数学上册知识点概述一、实数与代数表达式1. 实数的概念与性质- 正实数、负实数、零- 实数的四则运算- 实数的大小比较2. 代数表达式的运算- 整式的加法与减法- 乘法分配律- 幂的乘方与积的乘方- 单项式与多项式的乘法- 多项式的因式分解3. 二次根式的运算- 二次根式的定义- 二次根式的乘法与除法- 二次根式的加法与减法- 完全平方公式与平方差公式二、方程与不等式1. 一元一次方程与不等式- 方程的解法- 含绝对值的一元一次方程- 一元一次不等式的解集2. 二元一次方程组- 代入法与消元法- 方程组的解的情况3. 一元二次方程- 一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法)- 一元二次方程根的判别式三、平面图形的性质1. 平行线与角- 平行线的判定与性质- 同位角、内错角、同旁内角- 角的平分线2. 三角形的性质- 三角形的内角和外角- 等腰三角形与等边三角形的性质- 三角形的中位线定理3. 特殊三角形- 直角三角形的性质与勾股定理- 直角三角形的判定- 含30°角的直角三角形的性质4. 平行四边形与圆- 平行四边形的性质与判定- 圆的基本性质- 圆周角与圆心角的关系- 扇形与弧长四、空间图形的性质1. 空间图形的观察- 视图的画法- 空间图形的展开图2. 空间图形的测量- 体积的计算- 表面积的计算五、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读2. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算- 用树状图法解决简单的概率问题以上是人教版九年级数学上册的主要知识点概述。
这些知识点构成了九年级数学课程的核心内容,学生需要掌握这些概念、公式和解题方法,以便在数学学习中取得良好的成绩。
教师和家长应指导学生通过练习和应用这些知识点,加深理解和记忆,提高解题能力。
九年级上册数学知识点总结(最新最全)
九年级上册数学知识点总结(最新最全)单元1:整数- 整数的概念- 整数的比较和运算法则- 整数的加减乘除运算- 整数的乘方运算- 整数的分数和小数的关系单元2:有理数- 有理数的概念- 有理数的相反数和绝对值- 有理数的加减运算法则- 有理数的乘除运算法则- 有理数的幂运算- 有理数的分数和小数的关系单元3:代数式与整式- 代数式与整式的概念- 代数式的运算法则- 整式的合并同类项和提取公因式- 整式的加减运算- 整式的乘除运算单元4:一元一次方程与一次不等式- 一元一次方程的概念- 一元一次方程的解的性质- 列方程解问题- 一元一次不等式的概念- 一元一次不等式的解的性质单元5:图形的基本概念与性质- 平面直角坐标系- 点、线、面的基本概念- 图形的相似形与全等形- 图形的位置关系和判定- 图形的旋转、平移和翻折单元6:图形的表示与变换- 图形的平移和旋转表示- 图形的对称变换表示- 图形的全等判定和性质- 图形变换的综合应用单元7:函数的概念与表示- 函数的概念- 函数的自变量和函数值- 函数的表示方法- 函数的性质- 函数的实际应用单元8:一元一次函数- 一元一次函数的概念- 一元一次函数的函数图象- 一元一次函数的性质- 一元一次函数的应用以上是九年级上册数学的知识点总结,包括整数、有理数、代数式与整式、一元一次方程与一次不等式、图形的基本概念与性质、图形的表示与变换、函数的概念与表示以及一元一次函数。
希望对你的学习有所帮助!。
(精)最新版人教版九年级数学上册全册知识点
最新版人教版九年级数学全册知识点第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2) 且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为2的形式,ax +bx+c=0(a≠0)则这个方程就为一元二次方程.( 4)将方程化为一般形式:ax 2+bx+c=0 时,应满足( a≠0)21.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法:用直接开平方法解形如(x- m)2=n (n ≥0) 的方程,其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算. 通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法,配方的依据是完全平方公式。
1.转化:将此一元二次方程化为 ax^2+bx+c=0 的形式 ( 即一元二次方程的一般形式)2.系数化 1:将二次项系数化为 13.移项:将常数项移到等号右侧4.配方:等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形:将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方:左右同时开平方7.求解:整理即可得到原方程的根3、公式法公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△的值代入求根公式x=(b2- 4ac≥0) 就可得到方程的根。
=b2-4ac的值,当b2- 4ac≥0时,把各项系数a, b, c因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
人教版九年级数学上册知识点整理完整版
人教版九年级数学上册知识点整理完整版一、代数与函数1.代数简介①常数:数值不变的量。
②变量:数量可能改变的量。
③代数式:由数、字母、加减乘除号、括号等符号组成的式子。
④同类项:指含有相同字母并且指数相同的项。
⑤合并同类项:指将同类项合并成一个项。
⑥因式分解:将代数式表示成幂或较简单的代数式,叫做因式分解。
⑦方程式&方程:一个代数式与另一个代数式在等号两边,称为方程式,且方程式构成了等式。
2.一次函数①函数:将自变量的某个取值代入函数中得到唯一的因变量的值,称为函数。
②自变量:输入的值③函数表达式:用代数式表示函数的式子称为函数表达式④一次函数:函数表达式中,最高次项是一次幂的函数叫一次函数,也叫线性函数。
⑤斜率:函数: y = kx + b ,函数图象的斜率 k,即为直线的斜率。
3.二次函数①二次函数:函数表达式中,最高次项是二次幂的函数,叫做二次函数。
②二次函数的一般式:f(x) = ax² + bx + c(a≠0)③二次函数的顶点:二次函数图象的转折点,称为顶点。
④二次函数的对称轴:图象关于 x = -b/ 2a 对称的直线,称为二次函数的对称轴。
⑤二次函数的最小值/最大值:二次函数)的顶点纵坐标所对应的函数值,是二次函数的最小值或最大值。
4.函数的研究①函数图象的基本性质:函数的零点、函数值的正负、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近线等。
②函数的零点:函数 f(x) = 0 的解叫做函数的零点。
即 f(x) = 0 时 x 的解。
③函数类型:函数分类标准通常有函数的定义域和值域、图象、函数表达式等。
二、图形的认识1.图形的一些概念①线段:由两个端点所组成的线段,叫做线段。
②射线:在一个端点处向一个方向上延伸的线段,叫做射线。
③直线:没有端点,在一个方向上延伸的线段,称为直线。
④平行线:永远不会相交的两条直线叫做平行线。
⑤垂直平分线:在一条直线上,垂直于该线段、且等分该线段的线,称为垂直平分线。
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)
−n± p m人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的有关概念(一)一元二次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
(二)一元二次方程的一般形式:ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)其中:二次项为ax 2;二次项系数为 a ;一次项为 bx ,一次项系数为 b ;常数项为 c 。
特殊形式:(三)一元二次方程中“未知数的最高次数是 2,二次项系数 a≠0”是针对整理合并的方程而言的。
(四)一元二次方程的解(根)1、概念:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。
2、判断一个数是否是一元二次方程的根将这个数代入一元二次方程的左右两边,看是否相等,若相等,则该数是这个方程的根;若不 相等,则该数不是这个方程的根。
3、关于一元二次方程根的三个重要结论(1)a+b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =1。
(2)a-b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =﹣1。
(3)c=0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =0。
二、解一元二次方程(一)直接开平方法解一元二次方程1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方,求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。
2、方程x 2 = p 的根(1) 当 p>0 时,根据平方根的意义,方程x 2 = p 有两个不相等的实数根x 1 = p ,x 2 =− p 。
(2) 当 p=0 时,方程x 2 = p 有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0。
(3) 当 p<0 时,因为对任意实数 x ,都有x 2≥0,所以方程x 2 = p 无实数根。
人教版九年级上册数学知识点归纳总结
人教版九年级上册数学知识点归纳总结一、整数1. 整数的概念整数包括正整数、负整数和0,用来表示有向数量。
2. 整数的加减法同号两个整数相加、相减,取相同符号的绝对值之和或之差,符号不变。
3. 整数的乘法异号两个整数相乘,积的符号为负;同号两个整数相乘,积的符号为正。
4. 整数的除法两个非零整数相除,商的符号与被除数、除数的符号相同,绝对值之商。
5. 整数的应用整数在实际生活中的应用,如海拔、温度等。
二、有理数1. 有理数的概念有理数包括整数和分数,可以用来表示各种实际问题中的量。
2. 有理数的加减法有理数的加减法规则和整数基本一致,注意分子分母的通分。
3. 有理数的乘除法有理数的乘法和除法同样需要进行通分操作,然后按照整数的乘除法规则进行计算。
4. 有理数的混合运算有理数的混合运算就是包括加减乘除四则运算。
5. 有理数的应用有理数在实际生活中的应用,如商业运算、比赛计分等。
三、代数式1. 代数式的概念用字母和数字表示的数学式子,其中字母表示数,称为未知量。
2. 代数式的基本概念包括代数式的项、系数、次数和幂等基本概念。
3. 代数式的合并与因式分解将同类项合并,或者根据公式原理进行因式分解。
4. 代数式的加减法同类项之间可以进行加减运算,非同类项需要进行合并。
5. 代数式的应用代数式在解决实际问题中的应用,如代数方程、代数不等式等。
总结回顾在人教版九年级上册数学中,整数和有理数是重点内容,涉及到加减乘除运算、混合运算以及实际应用。
在学习整数和有理数的基础上,代数式是进一步学习的基础,包括代数式的基本概念、合并与因式分解、加减法以及应用。
通过系统的学习和练习,可以更好地掌握数学知识,提高解决实际问题的能力。
个人观点数学是一门理性和逻辑性都很强的学科,整数、有理数和代数式都是数学的基础内容,对于学生来说,掌握这些知识点对于后续的学习至关重要。
在学习过程中,需要注重理论与实践相结合,灵活运用数学知识解决问题,培养自己的逻辑思维能力和数学建模能力。
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)人教版九年级数学上册知识点整理一、有理数有理数是整数和分数的集合。
有理数的数轴上,0的左侧是负有理数,右侧是正有理数。
加、减、乘、除有理数的运算规则。
二、立方根如果一个数的立方等于另一个数,那么这个数叫做另一个数的立方根。
三、代数式由数、变量及运算符号组成的式子叫做代数式。
其中数叫做常数项,变量叫做一次项。
四、图形的基本要素和运动绿色的箭头表示平移,红色的箭头表示旋转,蓝色的箭头表示对称。
五、全等三角形若两个三角形的三边和三角形的三个角分别相等,则称这两个三角形全等。
六、相似三角形若两个三角形的三个角分别相等,则称这两个三角形相似。
七、平移与旋转1、平移:用平移将一个点沿一个方向移动到另一个位置,移动的距离及方向相同,不改变点的属性。
2、旋转:以一个点为中心旋转某个图形的每个点,旋转的角度相同,不改变图形的形状和大小。
八、直线和角两条不共线的直线分别与一条直线相交所形成的两个相邻角互为补角。
九、相反数两个数互为相反数,当且仅当它们的和为0。
十、分数的意义和性质1、通分:将几个分数化成分母相同的分数。
2、分数的约分、化分;十一、用比例表示实际问题利用比例,确定两个量之间的等比关系,以解决实际问题。
十二、扇形和弧1、扇形是由两条半径及其所夹的圆周构成。
2、弧是圆上任意两点之间的弧。
3、圆心角,切线和弦的关系。
十三、比例和类比1、比例含义:比例是两个量之间的等比关系。
2、异比例的解决方法:设比例系数为k,则两个量之间的关系为y=kx或xy=k。
十四、平行四边形和直角梯形1、平行四边形的性质:对角线互相平分;一个角的补角等于它的邻角。
2、直角梯形:有两条平行的底和两个底的夹角为90°的四边形。
十五、直角三角形1、勾股定理:直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。
2、定比分点定理:在一条线段上,任意三点A、B、C,如果AC:CB=k:1,则称B为AC上的k:1分点。
人教版九年级数学上册重点知识点总结
人教版九年级数学上册重点知识点总结一、实数1.有理数1.1 定义:整数和分数统称为有理数。
1.2 分类:正有理数、负有理数和零。
1.3 性质:有理数加减乘除遵循交换律、结合律和分配律。
1.4 相反数、绝对值:一个数的相反数是与它的数值相等,但符号相反的数;一个数的绝对值是它与零的距离。
2.无理数2.1 定义:不能表示为两个整数比的数称为无理数。
2.2 性质:无理数不能精确表示,只能近似计算。
2.3 常见无理数:π、√2、√3等。
3.实数3.1 定义:有理数和无理数的集合称为实数。
3.2 性质:实数加减乘除遵循交换律、结合律和分配律。
二、代数式1.代数式的概念1.1 代数式是由数字、字母和运算符组成的表达式。
1.2 代数式的分类:单项式、多项式、函数等。
2.单项式2.1 定义:只有一个项的代数式称为单项式。
2.2 项的系数:单项式中字母的系数是该字母前的数字。
3.多项式3.1 定义:有两个或以上项的代数式称为多项式。
3.2 多项式的度:多项式中最高次项的次数称为该多项式的度。
4.函数4.1 定义:对于每个输入值,都有唯一输出值的代数式称为函数。
4.2 函数的表示方法:解析式、表格、图象等。
三、方程(含方程组)1.一元一次方程1.1 定义:只有一个未知数,且未知数的最高次数为1的方程称为一元一次方程。
1.2 解法:移项、合并同类项、化简等。
2.二元一次方程2.1 定义:有两个未知数,且未知数的最高次数为1的方程称为二元一次方程。
2.2 解法:代入法、消元法等。
3.方程组3.1 定义:由两个或以上方程组成的解集称为方程组。
3.2 解法:代入法、消元法、图解法等。
四、不等式(含不等式组)1.不等式1.1 定义:用“>”、“<”、“≥”、“≤”等不等号表示两个数之间大小关系的式子称为不等式。
1.2 解法:同方向不等式可以相加减,异方向不等式需要变号。
2.不等式组2.1 定义:由两个或以上不等式组成的解集称为不等式组。
人教版九年级上册数学各单元知识点归纳总结
人教版九年级上册数学各单元知识点归纳总结数学九年级上册共有十个单元,分别是集合与函数、有理数与运算、整式的加减、整式的乘法、一次函数与方程、比例与百分数、线性方程组、平方根与整式的除法、直角三角形与勾股定理、统计与概率。
下面将详细介绍这些单元的知识点。
一、集合与函数:1.集合:元素、属于、不属于、集合的相等、全集、子集、交集、并集、差集、互斥集、余集。
2.函数:自变量、因变量、函数的值、定义域、值域、函数的相等、奇函数、偶函数、函数的和差积商、反函数。
3.函数的图象:平移、伸缩、翻折、求过给定点的直线方程。
二、有理数与运算:1.有理数:整数、分数、有理数的相反数、绝对值、有理数的大小、有理数的加减乘除。
2.小数:有限小数、无限小数、循环小数、无理数、实数。
3.数轴与有理数:数轴上的点、有理数与数轴的对应关系、有理数的大小关系、有理数的加法减法、有理数的乘法除法。
4.分式:分数的性质、带分数、分数的加减乘除。
三、整式的加减:1.代数式:字母、代数式的加减、整式、项、系数、常数项。
2.同类项:同类项的合并与分拆、整式的加法、整式的减法。
四、整式的乘法:1.乘法基本公式:乘法基本公式的应用、平方差公式、差的平方公式、完全平方公式、立方差公式、立方和公式、整式的乘法。
2.因式与倍式:因式分解、互质、最大公因式。
五、一次函数与方程:1.函数与方程:线性函数、一次函数、函数的表示、函数的图象、函数的性质、函数关系、一元一次方程、方程的解。
2.解一次方程:等式的性质、移项变号、等式的逆运算、绝对值不等式。
六、比例与百分数:1.比例:比例的概念、比例的扩大与缩小、比例的性质、四边形的对边比、折线的边长比。
2.百分数:百分数与百分数、百分数与小数、百分数与分数、百分数的运算、平均数、加权平均数。
七、线性方程组:1.二元一次方程组:线性方程组、二元一次方程组、方程组的解、解二元一次方程组。
2.三元一次方程组:解三元一次方程组。
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数学上册知识点总结21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。
(1)把常数项移到等号的右边;⑵方程两边都除以二次项系数;⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;⑷若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
21.2.2 公式法知识点一公式法解一元二次方程(1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为x=a acb b24 2-±-,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
(2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
(3)公式法解一元二次方程的具体步骤:①方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值②确定公式中a,b,c的值,注意符号;③求出b2-4ac的值;④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac<0,则方程无实数根。
知识点二一元二次方程根的判别式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,即△=b2-4ac.△>0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根一元二次方程△=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根根的判别式△<0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根21.2.3 因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程(1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。
(2)因式分解法的详细步骤:①移项,将所有的项都移到左边,右边化为0;②把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式;③令每一个因式分别为零,得到一元一次方程;④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程x 2+px+q=0的两个根为x 1,x 2,则有x 1+x 2=-p,x 1x 2=q. 若一元二次方程a 2x+bx+c=0(a ≠0)有两个实数根x 1,x 2,则有x 1+x 2=,a b,x 1x 2=ac22.3 实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1) 审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
(2) 设:是指设元,也就是设出未知数。
(3) 列:就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。
(4)解:就是解方程,求出未知数的值。
(5)验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
(6)答:写出答案。
知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型(1)数字问题三个连续整数:若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1。
三个连续偶数(奇数):若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法:设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a+10b+c.(2)增长率问题设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1x)2=b。
(3)利润问题利润问题常用的相等关系式有:①总利润=总销售价-总成本;②总利润=单位利润×总销售量;③利润=成本×利润率(4)图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程。
二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =)(0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=,.5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2;⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下;a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线abx 2-=. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =.(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.9.抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>ab(即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0<a b(即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0,c ):①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴;③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则 0<ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式.(2)顶点式:()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交;②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切; ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点;③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故 acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义在平面内,把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度,就叫做图形的旋转,点O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。