平面直角坐标系中的面积问题总结与讲解

平面直角坐标系中的面积问题总结与讲解

资料编号:202003312028

1. 如图,已知()()()3,3,0,5,0,2C B A 三点,则△ABC 的面积是_________.

y

x

C

B

A O

答案:

2

9. 解析:∵()()0,5,0,2B A

∴325=-=-=A B x x AB

∴2

9332121=⨯⨯=⋅=∆C ABC y BC S 2. 如图,直线23

21+=x y 与x 轴交于点A ,与直线x y 2=交于点B ,则△AOB 的面

积为_________.

y

x

A B

O

答案: 3

分析:在平面直角坐标系中,两条直线的交点坐标,由两条直线的解析式组成的

方程组的解确定.

解析:对于2321+=

x y ,令0=y ,则02

3

21=+x ,解之得:3-=x ,∴()3,0,2=-OA A 解方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=x y x y 22321得:⎩⎨

⎧==21y x

∴()2,1B ∴3232

1

21=⨯⨯=⋅=

∆B AOB y OA S . 3. 如图,正比例函数kx y =与反比例函数x

y 4

=

的图象相交于A 、C 两点,过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ,连结BC ,则△ABC 的面积为_________.

y

x

B

O

A

C

答案: 4

分析:这里给出解决问题的新方法:三角形的一条中线能将其面积二等分.本题

中,A 、C 两点为正比例函数与反比例函数图象的交点,它们关于原点对称,所以有OC OA =,即OB 为△ABC 的一条中线,则有BOC AOB S S ∆∆=.

解析:由题意可知:242

1

=⨯=

∆AOB S 由分析可知:4222=⨯==∆∆AOB ABC S S .

4. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线542-+=x x y 交y 轴于点A ,过点A 作

x AD //轴交抛物线于点D .点E 是抛物线上一点,点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上,求△EAD 的面积.

答案: 20

分析:因为x AD //轴,所以我们选择AD 边为底计算△EAD 的面积,而AD 的长与

点A 的坐标有关,需要求出点A 的坐标.“点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上 ”告诉我们AD 边上的高等于OA 的2倍.

解析:令0=x ,则5-=y

∴()5,5,0=-OA A

∵x AD //轴

∴令5-=y ,则5542-=-+x x ,解之得:0,421=-=x x ∴()4,5,4=--AD D

∵点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上 ∴205422

1

=⨯=⋅=

∆OA AD S EAD . y

x

D

A

E

O

5. 如图,在平面直角坐标系中,点()()()4,3,1,1,3,0C B A ,则△ABC 的面积是【 】 （A ）

25 （B ）2

7

（C ）6 （D ）8 解析:作x BD ⊥轴于点D ,作x CE ⊥轴于点E ,如图所示.

则DBCE OABD OACE ABC S S S S 梯形梯形梯形--=∆

()()()()2

72

102

42

212

13412

1132

343=--=-⨯+-⨯+-⨯+=

.

∴选择答案【 B 】.

6. 如图,直线53-=x y 与反比例函数x

k y 1

-=的图象相交于()()6,,,2-n B m A 两点,连结OA 、OB . （1）求k 和n 的值; （2）求△AOB 的面积.

解:（1）把()()6,,,2-n B m A 分别代入53-=x y 得:

3

1

,653,1523-=-=-=-⨯=n n m

∴()⎪⎭

⎫ ⎝⎛--6,3

1,1,2B A

把()1,2A 代入x

k y 1

-=

得:21=-k ,解之得:3=k ; （2）设直线AB 与x 轴交于点C . 令053=-=x y ,则3

5=

x ∴35,0,35=⎪⎭

⎫

⎝⎛OC C

∴B A BOC AOC AOB y OC y OC S S S ⋅+⋅=

+=∆∆∆2

1

21 6

355656352113521=+=⨯⨯+⨯⨯=. y

x

C

B

A

O

7. 抛物线c bx x y ++-=231

经过点()

0,33A 和点()3,0B ,且这条抛物线的对称轴

为直线l ,顶点为C . （1）求抛物线的表达式;

（2）连结AB 、AC 、BC ,求△ABC 的面积.

解:（1）把()

0,33A 、()3,0B 分别代入

c bx x y ++-=23

1

得:

⎩⎨⎧==++-30339c c b ,解之得:⎪⎩⎪

⎨

⎧==3332c b ∴抛物线的表达式为333

2

312++

-=x x y ; （2）由（1）可知:()

433

1

2+--=x y

∴()

4,3C