割法判定数的整除性

割法判定数的整除性

百以内的25个质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

其中能被2、3、5、7、11、13六个质数整除的数的特征，在《小学数学基础理论》一书中作了详细介绍，除此以外还有19个质数。要判定一个数能否被这19个质数中某一个整除，用割尾法较简捷。此法包括两种情况：

将一个数的尾部割去，再加上尾数若干倍叫割加法：

将一个数的尾部割去，再减去尾数若干倍叫割减法。

判定一个数能否被末位是9的质数，比如19、29、59、79、89整除，割去尾数后，需分别加上尾数的2倍、3倍、6倍、8倍、9倍。照此进行，若所得和能被19、29、59、79、89整除，则原数能。和不能则原数也不能。这样做相当于将原数加上尾数的 19、29、59、79、89倍再除以 10。

例如，试判定619153能否被19整除。

因19｜19，故19｜619153.

类似地，判定一个数能否被23、43、53、73、83整除可用割加法，将原数割去尾数后再加上尾数的7、13、16、22、25倍，视和而定。这样做相当于将原数加上了尾数的23×3、43×3、53×3、73×3、83×3倍再除以10。

判定一个数能否被末位是1的质数整除则用割减法。比如判定一个数能否被31、41、61、71整除，则割去尾数后，再减去尾数的3、4、6、7倍，看最后差能否被31、41、61、71整除而定。这样做，相当于从原数中减去尾数的31、41、61、71倍再除以10。

判定一个数能否被末位是7的质数整除，比如 17、3747、67、97。割尾后再减去尾数的5、11、14、20、29倍，视差而定，这样做相当于从原数中减去尾数的17×3、37×3、47×3、67×3、97×3倍再除以10。

例如，试判定238764能否被17整除。

因17210，故17238764

上述判定之所以正确，是因为割去原数尾数再减去原数的5倍，实际上等于从原数中减去尾数的51倍再除以10，其过程算式

238764－51×4＝23856×10；

23856－51×6＝2355×10；

2355－51×5＝210×10。

因为17210，17｜51由整除性定理知172355，由172355与17｜51知1723856，故17238764。