线性变换的值域与核

1 2) 在 (0)中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
3) 在 (V ) 中选一组基，把它扩充为V的一组基，
并求 在这组基下的矩阵.
§7.6 线性变换的值域与核
1 1 (0). (0), 它在 1 , 2 , 3 , 4 解：1）先求 设
( ) ( ), 则 ( ) ( ) ( ) 0,
1 从而 (0) 0 ,
即 = . 故 是单射.
§7.6 线性变换的值域与核
4. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
是单射 是满射.
证明： 是单射
1 (0) 0
dim 1 (0) 0
dim (V ) n (V ) V
是满射.
§7.6 线性变换的值域与核
例2、设 1 , 2 , 3 , 4 是线性空间V的一组基，已知
1 0 1 2 线性变换 在此基下的矩阵为 A 1 2 1 2 2 ( V ) (0). 1) 求 及 1 3 5 5 1 2 2 1
k1 k2 kn 0
故 ( r 1 ),, ( n ) 线 性无关，即它为 (V ) 的一组基.
的秩＝n－r .
因此， 的秩＋ 的零度＝n.
§7.6 线性变换的值域与核
注意：
1 虽然 (V ) 与 (0) 的维数之和等于n ，但是
(V) 1(0) 未必等于V.
生成的.
§7.6 线性变换的值域与核
但 ( i ) 0,
i 1,2,, r .
(V ) L ( r 1 ), , ( n )
下证 ( r 1 ),, ( n ) 为 (V ) 的一组基，即证它们 线性无关. 设
kr 1 ( r 1 ) kn ( n ) 0
故
§7.6 线性变换的值域与核
解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：
2
从而
1
2 / 3 1 0 ,
1
2 0 1
1 2 1 2/ 3 2 3 ,
称为线性变换 的值域，也记作 Im , 或 V . 集合
1 (0) | V , ( ) 0
称为线性变换 的核，也记作 ker .
1 ( V ), (0)皆为V的子空间. 注：
§7.6 线性变换的值域与核
定义2：线性变换 的值域 (V ) 的维数称为 的秩；
下的坐标为 ( x1 , x2 , x3 , x4 ). 由于 ( ) 0, 有 ( )在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为
0,0,0,0 .
1 0 1 2 1 2 2 2 2 1 x1 0 1 3 x2 0 5 5 x3 0 1 2 x4 0
§7.6 线性变换的值域与核
§7.6 线性变换的值域与核
引言
我们曾经研究过线性空间的子空间，今天 我们将定义与线性变换有关的两个特殊子空间 ----线性变换的的值域与核

§7.6 线性变换的值域与核
一、值域与核的概念
定义1：设 是线性空间V的一个线性变换，
集合
(V ) ( ) | V
如在例1中,
D P[ x ]n D 1 0 P[ x ]n1 P[ x ]n
§7.6 线性变换的值域与核
3. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
ⅰ) 是满射 (V ) V
1 (0) 0 ⅱ) 是单射
Hale Waihona Puke 证明：ⅰ) 显然.1 0 0, (0) 0 . ⅱ) 因为 若 为单射，则 1 (0) 0 , 任取 、 V , 若 反之 ，若
1 , 2 ,, n 是V的一组基， 在这组基下的矩阵是A，
则
1） 的值域 (V )是由基象组生成的子空间，即
(V ) L ( 1 ), ( 2 ), , ( n )
2） 的秩＝A的秩.
§7.6 线性变换的值域与核
2. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则
则有 kr 1 r 1 kn n 0
kr 1 r 1 kn n (0)
1
即 可被 1 , 2 ,, r 线性表出.
§7.6 线性变换的值域与核
设 k1 1 k2 2 kr r 于是有 k1 1 k2 2 kr r , kr 1 r 1 kn n 0 由于为 1 , 2 , , n V的基.
的秩＋ 的零度＝n
即
dim (V ) dim 1 (0) n.
1 (0)中取一组基 证明：设 的零度等于r ，在核 1 , 2 ,, r
并把它扩充为V的一组基： 1 , 2 ,, r ,, n
(V ) 是由基象组 ( 1 ), ( 2 ),, ( n ) 由定理10，
的核 1 (0) 的维数称为 的零度.
例1、在线性空间 P[ x ]n 中，令
D f ( x ) f ( x )
则
D P[ x ]n P[ x ]n1 ,
D1 (0) P
所以D的秩为n－1，D的零度为1.
§7.6 线性变换的值域与核
二、有关性质
1. (定理10) 设 是n 维线性空间V的线性变换，