公理系统与公理化方法解析思考

公理系统与公理化方法解析思考

任何一门学科科学，任何一个科学策略，都是公理化方法得出的一个公理系统，即从几个概念定义和不证自明的公理出发，根据一定的逻辑规则，逻辑演绎出一整套体系，称之为一个一个公理系统。

然后，证明，就是在某个公理系统内，按照一定的规则，从定义和公理出发，推导出某些结论。比如数学证明，就是在数学公理系统内，从最基本的数字的定义等一些定义和公理出发，能够推导出某个命题，那么这个命题就是正确的。而人类目前的数学系统，也是从几个定义公理出发，通过公理化方法演绎出来的一个数字科学系统。

人类截止目前的任何一门学科，都是人类共同的一个本学科公理系统，任何一门学科都是一门完整的公理化逻辑体系，你要从本领域发展，就学习和遵循本公理系统，你不要瞎琢磨。你要在这个学科领域内发展，就先老老实实学习本科学公理系统知识，而不是自己瞎琢磨，你自己琢磨差远了。杨绛说，你的问题是读的书太少，想得太多，说的就是这个问题。天才可以自己构筑一个公理系统，牛顿微积分，伽罗瓦近世代数。自己定义一个概念，从这个概念出发，推演出一个公理体系。你的某个领域世界观和方法论策略，也要这样构筑一个公理系统，这个要你自己构筑。

任何学科，用什么方法构建的？都是运用公理化思想方法构建的。从几个基本概念和不证自明的公理出发，一步步逻辑推导出来的。

在从一个基本概念出发，推演过程中，离不开人的逻辑，人的逻辑是重要的。

公理系统

公理系统（axiomatic system）就是把一个科学理论公理化，用公理方法研究它，每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系。公理化的实现就是：①从其诸多概念中挑选出一组初始概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，称为导出概念；②从其一系列命题中挑选出一组公理，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。初始概念和公理是公理系统的出发点[2] 。

公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题[3] 。

例如欧几里德《几何原本》中就规定了五条公理和五条公设（以现代观点来看，公设也是公理），平面几何中的一切定理都可由这些公理和公设推导而得。

公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性（无矛盾性）、完全性，以及公理的独立性。其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的[3] 。

由于公理系统可以建造一个完整的、无矛盾、满足一致性的理论体系，所以几乎所有的数学领域甚至一些数学以外的科学领域也采用了公理化体系来构造他们的理论系统。如现代得到多数人认可的大爆炸理论，就是基于这种认识。

在数学中，所有的定理都必须给予严格的证明，但公理却是无需证明的。因为数学公理是在基本事实或自由构造的基础上为了研究方便人为设定的。有些是一般性的东西，人类仍无法用现有理论推导，如1+1=2。

一个公理体系中的名词是预先已经定义的概念，这样的公理系统就是实质公理系统。如欧几里德几何公理系统。因为要先定义概念，所以就要有一些初始的概念作为定义其他概念的出发点，如欧氏几何中使用的“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”以及“同样的位置”等。

实例

（a）传统形式逻辑三段论由一类事物的不证自明的全称判断作为前提，可以推断这类事物中部分判断为真，那么这个全称判断就是公理。如“有生必有死”，就属于这种判断。

（b）在欧几里得几何系统中，下面所述的是几何系统中的部分公理：

① 等于同量的量彼此相等。

②等量加等量，其和相等。

③ 等量减等量，其差相等。

④ 彼此能重合的物体是全等的。

以下是常用的等量公理的代数表达：

①如果a=b，那么a+c=b+c。

②如果a=b，那么a－c=b－c。

③如果a=b，且c≠0，那么ac=bc。

④如果a=b，且c≠0，那么a/c=b/c。

⑤如果a=b，b=c，那么a=c。

公理集合论

公理集合论（axiomatic set theory）是数理逻辑的主要分支之一。是用公理化方法重建（朴素）集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新的公理的研究。1908年，E.策梅洛首开先河，提出了第一个集合论公理系统，旨在克服集合论中出现的悖论。20世纪20年代，A.弗伦克尔和A.斯科朗对此予以改进和补充，从而得到常用的策梅洛—弗伦克尔公理系统，简记为ZF。ZF是一个形式系统，建立在有等词和关系符号“∈”（与朴素集合论中的属于关系相对应）的一阶谓词演算之上。它的非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离（子集）公理模式、替换公理模式、正则（基础）公理。如果另加选择公理（AC），则所得到的公理系统简记为ZFC。现已证明：ZF 对于发展集合论是足够的，它能避免已知的集论悖论，并在数学基础的研究中提供了一种较为方便的语言工具。[4] 但是由哥德尔不完备性定理可知，ZF是不完备的[5] 。由哥德尔第二不完备性定理可知，如此丰富的集合论公理系统，如果是协调的，那么在其内部也是无法证明的，而须借助于更强的公理才能证明。

由于几乎全部数学都可归约为集合论，所以ZF系统的一致性一直是集合论中至关重要的问题。但根据哥德尔的不完全性定理，却无法在ZF系统内证明自身的一致性。此外，一些重要的命题，如连续统假设也是在ZF中不可判定的。寻找这些不可判定问题并证明其不可判定性和扩充ZF，以期在扩充后的系统中判定这些命题，就成了公理集合论研究的两个出发点。1963年，美国学者P.科恩创立力迫法，从而证明了集合论中的一大批独立性问题。

公理化

概括地说，几何学的公理化方法是从少数初始概念和公理出发，遵遁逻辑原则建立几何学演绎体系的方法。用公理化方法建立的数学学科体系一般是由以下四个部分组成：

①初始概念的列举。

②定义的叙述。

③公理的列举。

④定理叙述和证明。

这四个组成部分不是独立地叙述和展开，而是相互交织、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎。一般说来，用公理化方法建立的几何学演绎体系总是由抽象内容和逻辑结构构成的统一体。决定几何体系的基础是初始概念和公理，不同的公理基础决定不同的几何体系，例如欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何、拓扑学等。