第7章 热传导

热电偶材料的热容ρ, V, C 要小， 热电偶的体积 V/A 要小, 热电偶尽量放在气流大的位置，即 h 要大。
式中长度因次 V/A 为物体的体积与其传热表 面积之比，对于不同的规则物体分别有
球体：
V R A 3
4 3 R 3 2 4R
化这一因素来看，3种不同边界条件对物
体内部温度随时间和空间变化的影响也有所不
同，但其实质是一样的，都是由于边界条件的 变化引起物体内能变化所造成的。
本节主要内容
1. 薄壁物体的非稳态导热（集总热容法 Bi < 0.1 ）
2. 半无限大物体的非稳态导热（F0 << 0.1）
3. 厚壁物体双向非稳态导热
A
T u dA
A z
A ub
又可称为热衡算温度，截面平均温度，主体温度。
平均浓度
Ab

A
A
u z dA
A ub
又可称截面平均浓度，主体浓度。
有了导热微分基本方程式，就可根据实
际情况选择适当的初始条件和边界条件 来求特定条件下的解。 求解的过程需要用到数学知识 边界条件，初始条件的确定则要凭借工 程经验。
T 2T 2 直角坐标： t x
柱坐标： 球坐标：
通式：
T 1 T r t r r r
T 1 2 T 2 r t r r r
T 1 i T i (x ) t x x x
2．定解条件
T T ( x , y , z ,0)
A A ( x, y, z,0)
t 0, T T0
t 0, A A 0
对于初始时刻物体内温度或浓度处处均匀分布的情况，写为：
2）边界条件
即物体边界上与环境的换热或传质条件。 对导热、扩散问题通常有三类不同的边界条件 。
分析上式中指数项的物理意义。将指数其分解为
hA t V C
V h hV A 2 k t A t 2 kA V C k (V ) 2
A
式中右侧第一项称之为Biot准数，可视为两热阻之比 式中右侧第二项称之为Fouier准数，可视为无因次时间
T Tb e T0 Tb
hA t VC
当流体侧有强烈的搅拌, 使得物体边界与周围 流体之间的对流热阻非常小时,边界条件可写为
h , Ts Tb ,
T | s 0, y
则B.C.III 转化为B.C.I
当流体侧为绝热保温材料时，
h 0,
则B.C.III 转化为B.C.II
平均温度
C P T udA A Tb C P udA
毕渥特(Biot)准数的物理意义
V A Bi k 1h
V h A k
物体内部导热热阻 物体外表面对流热阻
Bi
越大意味着物体内部温度越不均匀，温度梯度较大， 内部导热热阻起控制作用。
Bi
越小物体内部温度趋于均匀，对流热阻起控制作用。
当 Bi < 0.1，物体内各点温度之间的偏差小于0.5%， 可视为薄壁物体导热问题, 采用集总热容法处理。
三、非稳态导热
在工程问题中，需要知道当物体表面的热状态
发生变化时，物体内给定的温度变化到某一确 定值需要的时间，这也是非稳态导热问题。
在本节将着重讨论薄壁、无限大物体、厚
壁物体 非稳态导热中的 温度分布及求解 方法。
非稳态导热过程中物体内的温度随时间变化，
所以过程的分析和计算比稳态导热困难。
未变分率
此时即可认为此导热过程已达到稳定状态。 时间常数 tr 是物体在一定换热条件下的属性 它反映了薄壁物体动态过程的一种性质，
tr 越小，响应就越快。
时间常数 tr
tr
VC
hA
由该式作为指导，工程制作热电偶时，希望 热电偶的 tr 要小。 能在尽可能短的时间内反映流体温度的变化
意味着：
1 dT q dT k
得
dT 1 A h(T Tb ) dt C V

k C
薄壁导热微分方程
方法二--- 对物体进行热衡算
环境得到的热量＝物体内部放出的热量
即
dT h(T Tb ) A VC dt 环境得到
的热量 物体内部 放出热量
移项后得
dT 1 A h(T Tb ) dt C V
初始条件（I.C.）
反映研究对象的特定历史条件。 追溯了在某个初始时刻的状态。
边界条件（B.C.）
反映所研究对象是处于怎样的特定环境。 环境通过体系的边界将如何影响所研究的对象。
下面以传热为例写出相应的初始条件和边界条件。
1）初始条件
给定某时刻物体内的温度或浓度分布，写为：
传热 传质 传热 传质
第三类边界条件（记为B.C.III）
给出边界上物体与周围流体之间对流传递系数
h, k 以及与周围流体温度或浓度平均值 Tb , Ab
之间的关系式。
T | S h(TS Tb ) y
传热 传质
k
已知 h, Tb
D AB
A y
S
k ( AS Ab )
1个时间常数
T Tb 当 t = tr 时，有 e 1 0.368 T0 Tb
未变分率
0.368
tr
VC
hA
已变分率
0.632
Tb
T
T0
时间常数 tr
当t
T Tb e 1 0.368 T0 Tb
= 4 tr 时，
T Tb e 4 0.018 T0 Tb
第七章
热传导
热传导
一、热传导方程及定解条件 二、一维稳态导热 三 、非稳态导热
一、热传导方程及定解条件
1．导热微分方程
直角坐标：
2T 2T 2T T q 2 2 2 t y z C P x
柱坐标：
1 T 1 2T 2T T q r 2 2 2 α t z ρC P r r r r θ
导热微分方程是对导热物体内部温度场内在规
律的描述，适用于所有的导热过程，是一普遍 适用方程。 要获得特定条件下导热问题的解必须附加限制 条件,这些限制条件称为定解条件。 定解条件包括时间条件（初始条件）和边界条 件。 所以，导热问题完整的数学描述应包括其导热 微分方程和相应的定解条件。
定解条件
非稳态导热过程的特点
非稳态导热过程的最主要特点是，物体内部的
温度场随时间和空间变化。 出现这种特点的原因是，当边界上换热情况突 然变化后，随时间推移，物体内部温度将由表 及里地逐渐发生变化。 如果边界上维持变化后的换热状态，则非稳态 导热过程将过渡到稳态过程。
非稳态导热过程的特点
从非稳态导热过程的起因——边界换热情况变
集总热容法
集总热容法是非稳态导热中最简单的物
理模型。
将热电偶置于热气流中，测定工作端
点的温度随时间的变化规律就是薄壁导 热模型的典子。
热电偶
集总热容法--- 物理模型
现以一任意形状的薄壁固体传热过程，讨论在常物性 下物体内温度随时间变化的规律（又称温度响应）。 A
V
T0
C
k
T（t）
h
Tb
图中V为体积，A为物体表面积，T0 为物体内均匀的初始温度， k 为物体导热系数，C 为物体热容，h 为物体与周围流体间的 热对流系数， Tb为流体的平均温度，均为常数。
二、一维稳态导热
1. 大平板稳态导热
2. 长圆柱体稳态导热 (有内热源)
3. 圆球及圆壳内的稳态导热（有内热源）
三、非稳态导热
在工程实践中会遇到温度随时间变化的非
稳态导热问题。
实际上，只要物体受到加热或冷却，就会产生非
稳态导热问题。
例如，食物冷却、化冻、工件的淬火、铸件的冷wk.baidu.com
却、土壤温度的变化、热动力设备起停时部件温 度的变化等，都涉及热量传递的非稳态过程。
4. 一维非稳态导热的速算图
5. 二维、三维非稳态导热
1. 薄壁物体非稳态导热 ----集总热容法 ( lumped capacity method ) 薄壁——当物体内部的导热热阻比物体与环境
的对流热阻小的很多时，可归结为薄壁物体的导热 问题。
集总热容法——当物体体积不大，而导热系
数又比较大，认为物体内部的温度在任意时刻都是均 匀的，好像该物体原来连续分布的质量和热容量汇 总到一点，因而只有一个温度值，这种分析法称为 总集热容法。
当t

hA t VC
= tr 时，有
T Tb e 1 0.368 T0 Tb
这意味着，经过一个时间常数段，物体与环境的温差 是初始温差 (T0 -Tb) 的36.8%（温度未变分率） 即一个时间常数是物体温度 (T-Tb)相对初始温差变化 了总变量的 63.2 % 所需要的时间。
集总热容法
在初始时刻（t =0），物体的初始温度为T0 ，将物体
突然置于平均温度为 Tb 的流体中,假定T0 > Tb 。
讨论：物体内温度随时间的变化关系。 解决薄壁物体非稳态导热问题，因为在微分方程的简
化过程中不可能引用边界条件，所以不能直接采用导 热微分方程。
解决的办法是： 1. 将边界对流换热条件视为 微分方程中的内热源 2. 直接从热平衡概念出发求解。
已知 kρ , ρAb
B.C.III
T k s
S

hTS Tb
流体侧对流传热通量
固体侧界面处的导热通量
第三类边界条件最为复杂，其实质包含
了第一类边界条件和第二类边界条件
在一些特殊情况下可以将 B.C.III
B.C.I或B.C.II，使问题简化。
转为
仍以传热为例给以说明。
T k | S h(TS Tb ) y
球坐标：
1 2 T T 1 T 1 2T q 2 r 2 sin 2 2 t r sin C P r r r r sin
一维( x 向或 r 向)导热微分方程：
傅里叶（Fouier）准数
F0
t 2 (V A) (V A)2
t

故，F0 可视为无因次时间。
s m2 2 m s
F0 越大，表示温度扰动越深入物体内部，内部温度也越
接近周围介质温度。因此小F0值导热可视为厚物体导热。
T Tb 式中指数具有时间量纲，称为时间常数。 e T0 Tb VC tr 用 tr 表示，即 hA
T To
集总热容法
得到薄壁物体内的温度分布
T Tb e T0 Tb
hA t VC
（7-28）
上式给出了薄壁物体在环境温度为常数的对流条件 下，物体内的温度随时间的变化关系，见图 。
未变分数
T Tb e T0 Tb
hA t VC
（7-28）
温度随时间的衰减关系图 此式表明，物体内部温度随时间呈指数衰减，且经历时间越长， 物体内的温度离初始值越远，最终物体温度趋于流体温度Tb。
第一类边界条件（记为B.C.I）
直接给出边界上（任意时刻）的数值。
传热 传质
T TS
A AS
第二类边界条件（记为B.C.II）
给出边界上的导数值（梯度值、通量值）
传热 传质
q ys
T k y
S
j Ays D AB
A y
S
T 0 如某一端面(L)绝热，则可具体写为 q k x x l T 如温度分布中心对称(x =0)，则写为 x 0 0 x
薄壁导热微分方程
(7-26)
dT 1 A h(T Tb ) dt C V
考虑初始条件为
t 0, T T0
将上述方程分离变量，时间从 0 t，温度从T0 T 积分得
d (T Tb ) hA t T0 T Tb VC 0 dt
T
积分得：
hA ln( T Tb ) | t VC
方法一
1 T 2T 2T 2T q 2 2 2 t x y z k -----导热微分方程 导热微分方程
由上面给出的条件，可以得到边界处换热量，进而得 到内热源发热率为
A h(T Tb ) q V
将上式代入导热微分方程