窄带随机过程
4.3 窄带随机过程的基本特点
1 j = [ S X (ω + ω0 ) + S X (ω ω0 )] + [ S X (ω + ω0 ) S X (ω ω0 )] 2 2
S X (ω ) = j sgn( ω ) S X (ω )
AC (t)与AS (t)的互相关函数是奇函数
当τ = 0时, 有 : RAC AS (0) = 0
在同一时刻 AC (t)与AS (t)之间是正交的 , .
16
RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) SAC AS (ω) = SAS AC (ω) = FT[RAC AS (τ )]
RAC AS (τ ) = RX (τ ) sin( ω0τ ) + RX (τ ) cos(ω0τ )
1 SAC (ω) = SAS (ω) = {SX (ω +ω0 )[1+ sgn( ω +ω0 )] 2 + SX (ω ω0 )[1sgn( ω ω0 )]}
10
ω
SX (ω ω0 ) + SX (ω +ω0 )
1 ω 2
偶函数
11
ω SX (ω +ω0 ) + SX (ω ω0 ) ω < SAC (ω) = SAS (ω) = 2 0 其它
8
E[ AC (t)] = E[ AS (t)] = 0
AC (t)和AS (t)都是平稳过程
RAC (τ ) = RAS (τ ) = RX (τ ) cos(ω0τ ) + RX (τ ) sin( ω0τ )
窄带随机过程
窄带随机过程通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程的定义窄带随机过程的定义借助于它的功率谱密度的图形来说明。
图3.5.1（a）中，波形的中心频率为，带宽为，当满足时，就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器之后变成窄带随机过程。
图3.5.1窄带波形的频谱及示意波形 二、窄带随机过程的表示方式如果在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形，则会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波，如图3.5.1（b）所示。
因此窄带随机过程可用下式表示成：式中，是窄带随机过程包络；是窄带随机过程的随机相位。
窄带随机过程也可用下式表示其中: 这里的和分别被称作的同相分量和正交分量。
可见，的统计特性可以由、或、的统计特性来确定。
反之，若已知的统计特性，怎样来求、或、的特性呢？三、同相分量与正交分量的统计特性设窄带随机过程是均值为零平稳的窄带高斯过程。
可以证明，它的同相分量和正交分量也是均值为零的平稳高斯过程，而且与具有相同的方差。
1.数学期望已设是平稳的，且均值为零，即对于任意时刻，有，所以，可得即 2.自相关函数我们知道一些统计特性可以从自相关函数中得到，所以，按定义的自相关函数为将上式展开，并取数学期望为其中因为是平稳的，可以令，得（1）同理，令，得（2）如果是平稳的，则、也是平稳的。
由于式（1）和式（2）相等，则应有可见，的同相分量和正交分量具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，有可见，有上式表示，为的奇函数，所以同理可以证明得到即这表明，和具有相同的方差。
3.概率密度函数因为和统计独立，则和的二维概率密度函数为利用式（3.5.16），上式改写为以上讨论的是由的统计特性推导出同相分量和正交分量的统计特性。
第6章 窄带随机过程
Z (t ) B(t ) cos[ (t )], 其中 B( t ) 0, ( t ) t ( t ) 。 0
上 海 大 学 通 信 学 院
表达式1： Z ( t ) B( t ) cos[ 0 t ( t )],
B( t ) 0, ( t ) 0 t ( t ) 表达式2： Z ( t ) X ( t ) cos 0 t Y ( t ) sin 0 t
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二、解析信号与希尔伯特变换*
1． 解析信号的引入
S ( f ) s(t )e j 2 f t dt R( f ) jI ( f ) 时域实信号S(t)
S ( f )满足共轭对称性，即，
R( f ) R( f ), 偶函数 S ( f ) S ( f ) I ( f ) I ( f )， 奇函数
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2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
ˆ(t ) z( t ) s( t ) js
ˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为， 其中，s
s( t )
即，
h( t )
ˆ s( t )
z( t ) s( t ) js( t ) h( t )
ˆ ( t ) 的互相关函数满足： X
T
T
R X ( t , t )dt
性质5. 平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换
ˆ ( ) ˆ RX X ( ) R ( ), R ( ) R ˆ ˆ X X XX
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随机信号分析_第五章_窄带随机过程
定义复指数函数： ~s (t) ae j (t) ae j e j0t a~e j0t 式中 a~ ae j ，称为复包络。 可以看出s(t)是~s (t) 的实部，即：
s(t) Re[~s (t)]
某些情况下，用复指数形式来分析 问题更加简便，可以简化信号和滤波器 的分析。
复信号~s (t) 的频谱为：
1. s(t) Re[~s (t)]
2.
X~ (
)
2 0
X
(
)
0 0
式中X~ ( )为~s (t)的频谱。
可以证明：满足上面要求的 ~s (t) 是 存在的，称为解析信号。把它用解析表 达式表示为：~s (t) s(t) jsˆ(t)
可以推导出： sˆ(t)
1
s( ) d
t
上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做
0
ω ω0-ωc ω0 ω0+ωc
|X~H(ω)|
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
2. 复指数表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的复指数函数 ~se (t) 为：
~se (t) A(t)e j[0t (t)] A~(t)e j0t 其中A~(t)＝A(t)e j (t) sc (t) jss (t)
用复数表示为：
s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2
因为 e j0t ( 0 )
所以s(t)的频谱为：
X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分， 其频谱为对称的两根单一谱线。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
窄带随机过程的两种表达式
窄带随机过程的两种表达式
随机过程是有关概率的一个抽象概念，它指的是一系列随机变化的事件序列，可以通过某种数学形式来描述。
窄带随机过程是指在一定的时间和频率内的随机过程，它是不断变换的快速信号序列，可以被压缩表示为一维或二维的图像。
窄带随机过程的表达式可以主要分为两类：
一、谱密度函数表示法
谱密度函数可以定义为：S(f),是指窄带随机过程中，每一种频率f处的功率谱密度，即根据频率f得到每一次过程的变化情况，它可以用来预测窄带随机过程所属的分布，如正态分布、均方差和偏差等。
举例来说，以正态分布为例，谱密度函数S(f)的表达式可以表示为：S(f) = σ^2 / (2πf^2)
其中，σ代表窄带随机过程的均方差，f为频率。
二、功率谱密度函数表示法
功率谱密度函数可以定义为：P(f),是指窄带随机过程中，随机变量的模方差的函数，它可以用来描述窄带随机过程的功率谱特性，估计窄带
随机信号的能量。
举例来说，功率谱密度函数P(f)的表达式可以表示为：
P(f) = 2πf^2σ^2
其中，σ代表函数的模方差，f为频率。
总的来说，窄带随机过程的两种表达式主要是谱密度函数表达法和功率谱密度函数表达法，它们各有特点，可以根据不同的窄带随机信号类型选择不同的表达方式，以达到最佳的谱性能效果。
13第八章窄带随机过程
步骤1 求a(t)和b(t)的联合分布
ˆ (t)= X(t)cosw 0t X(t)sinw 0t ˆ b (t)= -X(t)sinw 0t X(t)cosw 0t
所以： (at , bt ) 的二维概率密度函数为：
f ab (at , bt ) f a (at ) fb (bt ) at2 bt2 = exp{ } 2 2 2 2 At2 1 exp{ 2 } 2 2 2 1
1
X (t )
d X (t )] ˆ ( ) d R X
E[ X (t ) X (t )] 1 d
R ( )
ˆ R XX ˆ ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t )( 1
(t)，b(t )为另外两个随机过程。
ˆ )sinw t (t)= X(t)cosw 0t X(t 0 ˆ b(t)= -X(t)sinw 0t X(t)cosw 0t 证明：
证明： 若X(t)为实随机过程，则其解析过程为： ˆ X(t)=X(t) jX(t) 用乘e jw0t 上式两端得： ˆ (t)][cos w t j sin w t ] X(t)e jw0t [X(t) jX 0 0 ˆ sin w t ] j[ X(t)sin w t X(t) ˆ [X(t)cos w t X(t) cos w t ]
证明:
例题：求S (t ) sin w0t , w0 >0的希尔伯特变换。 解：
H [sin w0t ] 1
1
窄带随机过程
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z(t ) 。
t t
称为Hilbert变换。
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
1
全通滤
| H( )|
波器
H ( )
0
90
1
0
f
0
f
0
90
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与sin0t 正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的，
它们远小于其中心频率 ，0 这种系统只允许输入信号靠近
Matlab仿真窄带随机过程
随机过程数学建模分析任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程。
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度具有下述性质：中心频率为ωc，带宽为△ω=2ω0，当△ω<<ωc时，就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。
图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。
若用一示波器来观测次波形，则可看到，它接近于一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化，图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。
图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图图2 窄带随机过程的一个样本函数二、窄带随机过程的数学表示1、用包络和相位的变化表示由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。
写成包络函数和随机相位函数的形式：X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)]其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。
包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来。
2、莱斯（Rice）表示式任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为：X(t)=A c(t) cosωc t-A S(t) sinωc t其中同相分量：A c(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωc t＋sinωc t=LP[X(t) *2cosωc t]正交分量：A S(t) = X(t)sinφt=cosωc t— X(t) sinωc t= LP[-X(t) *2sinωc t]（LP[A]表示取A的低频部分）。
实验二：窄带高斯随机过程的产生
本科实验报告实验名称：窄带高斯随机过程的产生一、实验目的熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。
二、实验原理（一）窄带随机过程的产生原理窄带随机过程可以表示为下面的准正弦振荡的形式：cos X t A t ωτϕτ0()=()[+()]或者表示为同相分量与正交分量的合成：00cos sin c s X t A t t A t t ωω()=()-()其中c A t ()与s A t ()均为低频变化的随机过程，可以通过模拟其分布及功率谱特性来实现窄带随机过程的产生。
（二）用频域法模拟任意随机过程模拟一个时长为d T 的高斯随机过程的一个样本函数()X t , 要求功率谱密度满足指定的形式，先将()X t 进行周期性延拓，并做DFS()0201()j k k f kdX e f T X t π∞∞=-==∑% 若k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t %也是零均值的高斯随机过程。
若{}k X 是两两正交的序列()2220()(())k k k k X g f k G f E X f g δ=-∞∞=-=∑%即可以控制k g 得到期望的功率谱。
假定()(0)X G f B f =>，即()X G f 带限，则{}2k g 为有限项，对应的DFS系数{}k X 也为21M +项0()B M f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因此只需产生21M +个相互正交的零均值高斯随机变量{}101,,,,,,M M M M X X X X X --+-L L ，其方差为22()k k E X g =。
2k g 应与()0X G kf 成比例，即()20X k G g kf β=，则有()()220()MMMBX XBMk kk k MMk G f G kf df E X g β=-=-=--===∑∑⎰∑即()()BX B MXMk G f G df kf β=--=⎰∑ 产生步骤： i. 根据要求的时长d T 确定01d f T = ，根据功率谱的带宽确定0B M f = ii. 计算系数βiii.产生21M +个独立的高斯随机变量，()0(0,)(,1,,0,,1~,)k X N k M X M G M M kf β=--+-L Liv.构建时域样本函数[]()02()Mf k Mj i t k k X X i i t X e π∆=-=∆=∑（三）用时域滤波法模拟任意随机过程功率谱为1的白噪声通过线性系统，输出的是服从高斯分布的，且输出的功率谱为()()2X G f H f =，因此要产生功率谱为()X G f 的有色高斯噪声，只需设计一个滤波器即可，该滤波器的传递函数应满足()()X H f G f =三、实验内容模拟产生一段时长5ms 的窄带高斯随机过程()X t 的样本函数。
概率论第六章 窄带随机过程
pB (
ut )
1
2
2
exp(
ut
2
2
)
ut 0
可见，窄带高斯过程包络平方的一维概率密度函数 为指数分布。一个重要的特例是σ2=1的情况，此时有
pu (ut )
1 exp( ut ),
2
2
ut
0
其均值为E[ut]=2,方差为D[ut]=4.
§6.5余弦信号与窄带高斯过程之 和的概率分布
一、余弦信号加窄带高斯过程的包络和相位概率分布
类似地，如果一个随机过程的功率谱密度，只分 布在高频载波ω0附近的一个窄频率范围Δω内，在 此范围之外全为零，且满足ω0>>Δω时，则称之为 窄带过程。
一、窄带过程的物理模型和数学模型
一个典型的确定性窄带信号可表示为
x(t) a(t) cos[0t (t)]
其中，a(t)为幅度调制或包络调制信号，Ф(t)为 相位调制信号，它们相对于载频ω0而言都是慢变化的。
根据希尔伯特变换的性质： RXˆ ( ) RX ( )
RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
整理，得 RX ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
同理可以证明 RY ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
RX ( ) RY ( )
窄带过程性质的证明
第六章 窄带随机过程
6.1 窄带随机过程的一般概念 6.2希尔伯特变换 6.3 窄带随机过程的性质 6.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
§ 6.1 窄带随机过程的一般概念
窄带信号的频率或窄带系统的频率响应被限制在 中心频率ω0附近一个比较窄的范围内，而中心频率ω0 又离开零频足够远。
第5章-窄带随机过程
RXXˆ () RXXˆ ()
RXXˆ (0) 0
互相关函数是奇函数
ˆ (t )正交 意味着 X (t )与 X
17
（9）偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希 尔伯特变换为偶函数 2015/6/2
Hilbert变换
常用变换
xt
cos 2 f0 t sin 2 f0 t
X () X () j ( j sgn()) X () (1 sgn()) X () =2 X ( w)U ( w) 2 X ( w), W 0 W 0 0, 即，解析信号的频谱在负频率部分为0，在正频率部分是 是信号的两倍。
2015/6/2 22
解析信号的特点2：解析信号频谱与复包络频谱
2015/6/2
6
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1. 定义 ：
正变换定义：
ˆ (t ) H [ x(t )] x
反变换：
ˆ ( ) x ˆ (t )] x(t ) H [x d t 1 1 ˆ (t )] x ˆ (t ) H [x t
2015/6/2 20
解析信号的性质(2)
4) 解析信号 x(t ) 的能量为其实信号 x (t)能量的2倍
x1 t x 2 t 0 5) 提示：利用性质2）和3） x t x2 t 0 1 6) 已知实函数 x t , 求其解析信号的方法
x( t ) A( t )cos 2 f 0 t x( t ) A t e j 2 f0t
2015/6/2
注：A t 为低通信号，其带宽W f 0 .
第7章 窄带随机过程
h(t ) 1/ t
| H ( ) |
2 ( ) 2
90
0 0
H ( ) 的相移
1
0
0
H () 1
90
2
解析信号（用信号的希尔伯特变换构造解析信号）
• 由实信号 x(t ) 作为复信号 z(t ) 的实部， x(t ) 的希尔伯特变 换作为复信号 z(t ) 的虚部，即
H () 1
/ 2 0 ( ) /2 0
相频特性为：
正 交 滤 波 器
1 希尔伯特变换 希尔伯特变换相当于一个正交滤波器
1 ˆ (t ) x(t ) * x t
H ( )
+j 0 -j
j 0 H ( ) j 0
什么叫窄带？当信号的带宽远小于载波频率时， 则该信号称为窄带信号，如通信系统中的调幅信号 和调频信号。正弦信号或余弦信号为单频信号（谱线）， 是最窄的一种窄带信号，实际上它的带宽等于 0 ， 而扩频信号则为宽带信号。这些概念对于理解 窄带随机过程是很重要的。
窄带随机过程
高斯白噪声是一种典型的随机过程，它的概率密度函数为正 态分布（又称高斯分布） ，它的功率谱在整个频率范围内为常数， 故称之为“白” 。当它通过一个窄带滤波器后，就形成了一种窄带 高斯噪声， 它是一种典型的窄带随机过程， 如图所示。 图中 ni (t ) 为 输入高斯白噪声， n0 (t ) 为输出窄带高斯噪声，NBPF 为窄带滤波 器，根据前面随机信号通过线性系统的结论，得输出窄带高斯噪 声的功率谱及窄带随机过程的时域波形如下页图所示。
5
1. 窄带随机过程的定义
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度：
《随机信号分析基础》第5章 课件 _窄带随机过程
N (t) = Ac(t)cos w0t - As(t)sin w 0t
因此
X(t) = [acosq+Ac(t)]cosw0t -[asinq+As(t)] sinw0t = A(t)cos[w0t+F(t)]
Gx (w)
A
w 0
w0
W
解：（1）零均值平稳窄带高斯信号 X(t) 的正交表达式为
X(t) = Ac(t)cos w 0t - As (t)sin w 0t
ò 基于功率谱计算功率得 P
=
Rx (0)
=
s2
=
1 2p
¥
G X (w)dw
-¥
=
AW 2p
5‐ 6 / 7
X(t) 为 0 均值的高斯随机信号,所以 X(t) N (0, s 2)
Ps(w) = 2121p Pm(w) * p[d(w - wc ) + d(w + wc )]
=
1 4
[Pm
(w
-
wc)
+ Pmd(w
+
wc ]
功率
P
=
Rsm (0)
=
1 2
Rm
(0)
cos
0
=
1 2
或则
ò ò P
=
1 4
⋅
1 2p
¥ -¥
Ps
(w)d
w
=
1 2p
¥ -¥
[Pm
(w
-
wc )
+
Pm (w
fAcAs (ac,as ) = fAc(ac )fAs (a s ) =
窄带随机过程
一. 非线性变换系统信噪比的计算
1、同步检波器
s(t)+n’(t)
s(t)+n (t) d(t)
窄带中放
低通滤波器
sD(t)
cos2fct 同步振荡器
Gn'
f
1 2
N0
s(t) a(t) cos 2fct
SNRo
a2 t
f Nc
2 SNRI
一. 非线性变换系统信噪比的计算
2、包络检波器
s(t)+n(t)
2、窄带随机过程的准正弦振荡表示
任何一个实平稳窄带随机过程X(t)都可以表示为：
X (t) A(t) cos[0t (t)]
其中 A(t), (t) 都是慢变化的随机过程。
莱斯(Rice)表示： X (t) AC (t) cos0t AS (t) sin 0t
AC (t) A(t) cos (t) 同相分量 AS (t) A(t) sin (t) 正交分量
H () 2
2
1
0
0
X (t)
A
B
带通滤波器
包络检波器
N (t )
Hale Waihona Puke H () 2 21
0
0
RY ( ) RX ( ) RNC ( ), GY ( ) GX ( ) GNC ( )
GNC () | H () |2
GN () | H () |2
N0 2
N0 2
1
1
|
| 0
0,
,
0
5.1 希尔伯特变换 5.2 窄带随机过程的统计特性 5.3 窄带正态随机过程包络和相位的分布 5.4 信号处理实例—通信系统的抗噪性能分析
4.3 窄带随机过程的基本特点及解析表示
RAC AS RAS AC 0
即： AC t 与
S AC AS S ASA 0
C
AS t 处处正交
结论：
X(t)宽平稳，期望为0的实窄带随机过程, Ac(t),As(t) 低频过程
性质： （1）Ac(t),As(t) 期望为0，低频、平稳过程，且 联合平稳 （2）自相关函数，功率谱密度相同
RAc () RAs () S Ac () S As ()
（3）Ac(t),As(t)与X(t)平均功率同，方差同
（4）Ac(t),As(t) 互相关函数为奇函数
互谱密度相反
（5）同一时刻Ac(t),As(t)正交
(6)若X(t)单边功率谱关于ω0对偶，则两低频Ac(t),As(t) 过程始终正交（互谱密度，互相关函数横为0）
直接得到困难
X (t )
A(t ) (t )
AC (t ) AS (t )
展开成另一种表达形式(莱斯表示式):
X t A t cos 0 t t
A t cos t cos 0t A t sin t sin 0t
1．均值：零均值
ˆ t sin t 0 E A t E X t cos t X 0 0 C
ˆ t cos t 0 E A t E X t sin t X 0 0 S
4.3.2 平稳窄带随机过程的特点
这节讨论的X(t)是任意的宽平稳、数学期望为零的 实窄带随机过程。
对窄带过程取希尔伯特变换
X t AC t cos 0 t AS t sin 0 t ˆ X ( t ) AC t sin 0 t AS t cos 0 t
5.5窄带随机过程的莱斯表示
随机信号分析目录CONTENTSCONTENTS窄带随机过程的定义窄带随机过程的莱斯表示窄带随机过程的莱斯表示证明小结⚫定义：一个实平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度具有下述性质00() ()0 X c c X S S ωωωωωωω⎧−≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它且带宽，满足则称此随机过程为窄带平稳随机过程，以下简称窄带随机过程。
2c ωω∆=0ωω∆<<窄带随机过程的功率谱密度图)(ωX S O ωω∆ω∆000 c c ωωωωω−+000 - -c c ωωωωω−−+窄带随机过程的一个样本函数缓慢变化的包络[B(t )]频率近似为ω0有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）窄带随机过程的莱斯表示⚫窄带随机过程的莱斯表示式：其中：00ˆ()()cos ()sin a t X t t X t t ωω=+00ˆ()()sin ()cos b t X t t X t t ωω=−+将X(t)表示成解析过程：0000ˆˆ()cos ()sin ()sin ()cos X t t X t t j X t t X t t ωωωω⎡⎤⎡⎤=++−+⎣⎦⎣⎦ˆ()()()X t X t jXt =+[]000ˆ()()()cos sin j t X t e X t jX t t j t ωωω−⎡⎤=+−⎣⎦0()()()j tX t e a t jb t ω−=+证明：()a t =()b t ==+ωX t a t jb t e j t()()()0][=−++ωωωωa t t b t t j a t t b t t ()sin ()cos ()sin ()cos 0000][][=−ωω()()sin ()cos 00X t a t t b t t =+ωωa t X t t X t t ()()cos ()sin ˆ00=−+ωωb t X t t X t t ()()sin ()cos ˆ00取实部：=X t ()=Xt ()ˆ窄带随机过程的莱斯表示有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）窄带随机过程的定义：一个是平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度具有下述性质00() ()0 X c c X S S ωωωωωωω⎧−≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它且带宽，满足则称其为窄带随机过程。
窄带随机过程
由Pξ (ω ) R(τ )
因为R(τ )在τ = 0才有值，所以白噪声只与τ = 0相关
(三)
∴ R(τ ) =
宽 带 过 程
n0 δ (τ ) 2
2．带限白噪声 定义： 白噪声限制于（-f0,f0）之内
白噪声 n0/2 n0/2
R(τ ) = f 0 n0 S a (ω 0τ )
FT
1 H [ f (t )]= f (t ) πt
H [a (t )Cosω c t ]
j ω ←→ Sgn [A(ω ω c ) + A(ω + ω c )] 2 2π
FT
1 jA(ω + ω c ) ω < 0 X H ( jω ) = 2 1 2 jA(ω ω c ) ω > 0
X(w)
△f
0
fc
f
1 xH (t ) = F [X H ( jω )] = 2π
1
{∫
∞ j 0 2
A(ω ω c )e dω + ∫
jωt
j ∞ 2
0
A(ω + ω c )e jωt dω
}
因为是窄带信号，假设a(t)带宽为(-W,W)
ω c +W j ω c +W j 1 j ωt = A(ω ω c )e dω + ∫ A(ω + ω c )e jωt dω ω c W 2 2π ∫ω c W 2 分别令ω ' = ω ω c；ω ' = ω + ω c
R(τ)
带限白噪声
Pξ(w) n0/2
1/2f0
-f0
f0
r (t ) = ACos (ω c t + θ ) + n(t )
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正
交
滤
相频特性为：
()
/ 2
/
2
0 0
波 器
二、希尔伯特变换的性质
（1） H[xˆ(t)] x(t)
（2） H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
（3） 如果a(t)是低频信号
H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
低频信号
是窄带确知信号，其解析信号为
x%(t) A(t)cos0t+(t) jA(t)sin0t+(t)
A(t)e j0t+ (t) A%(t)e j0t
其中 A%(t) A(t)e j (t) ，称为复包络。
一、确知信号的复信号表示
对解析信号取傅里叶变换，得
X%() X () jX ()
第五章 窄带随机过程
窄带随机过程
5.1 窄带随机过程 5.2 信号的复信号表示 5.3 窄带随机过程的统计特性 5.4 窄带正态随机过程包络和相位的分布
5.1 窄带随机过程
一、希尔伯特变换的定义
假定一实函数x(t)，其希尔伯特变换为：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
其反变换为：
4、同相分量和正交分量的统计特性
RY ( ) cos0t cos0 (t ) RYˆY ( ) sin 0t cos0 (t )
RYYˆ ( ) cos0t sin 0 (t ) RYˆ ( ) sin 0t sin 0 (t ) 利用如下关系 RY ( ) RYˆ ( ) RYYˆ ( ) RˆY ( ) RYˆY ( )
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞 π 后 2 弧度的宽带相移全通网络。
一、希尔伯特变换的定义
同理可得到: 若系统冲激响应为 h t 1
πt 其网络的系统函数为
H
( )
F
h t
jsgn
j
j
该系统框图为 fˆ t
ht
Fˆ
90 0
-90 0
f t
F
jsgn
RY
(
)
1
0 GY ( 0 ) cos[( 0 ) ]d
1
0 GY ( 0 )[cos cos0 sin sin 0 ]d
1
0
GY
(
0
)
cos
d
cos
0
1
0 GY ( 0 ) sin dsin 0
Ra ()
Rb ()
得到 RY ( ) Ra ( ) cos0 Rb ( ) sin 0
二. 窄带随机过程的表示方法
2、窄带随机过程的准正弦振荡表示
任何一个实平稳窄带随机过程Y(t)都可以表示为：
Y (t) A(t) cos[0t (t)] 其中 A(t), (t) 都是慢变化的随机过程。
莱斯(Rice)表示： Y (t) AC (t) cos0t AS (t) sin 0t
X() j j sgn()X() X()1 sgn() 2X () ()
X%( )
2X (
0
)
0 0
解析信号的频谱在负频率部分为0，而正频率部分是 实信号的两倍。
一、确知信号的复信号表示
A( )
对于窄带信号，由 x%(t) A%(t)e j0t
可得，
0
X%() A%(-0),
X ()
窄带滤波器），如图所示。
包络检波器
A(t)
W(t) 高频窄 Y (t) 宽带随 带系统
机过程
相位检波器
理想带通 限幅器
低通 cos(t)
网络
Y (t) A(t) cos[0t (t)]
2 cos0t
5.4 窄带正态随机过程包络和相位的分布
1. 窄带正态噪声的包络和相位的分布 ✓一维分布
已知零均值、方差为2的窄带正态噪声
4、同相分量和正交分量的统计特性
互相关函数分析 Rcs ( ) RY ( )sin0 RˆY ( ) cos0
可以证明, Rcs () 是奇函数
Rcs () RY ()sin(0) RˆY ()cos(0) RY ()sin 0 RˆY ()cos0 RCS (0) 0 Ac(t)与As(t)在同一时刻是相互正交的
Y(t) A(t)cos0t (t) Ac (t)cos0t As(t)sin0t
AC (t) A(t) cos(t) AS (t) A(t) sin(t) 推导过程：首先确定 AC(t ) 、AS (t) 的联合分布，后利用 雅可比变换求得包络与相位的联合分布，最后，利用边沿 分布求包络与相位的一维分布。
输出信号为
f
t
fˆ t h t
fˆ
t
1
π
t
一、希尔伯特变换的定义
利用卷积定理
F
Fˆ
jsgn
jF
jF
0 0
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞后 π
2
弧度的宽带相移全通网络。
一、希尔伯特变换的定义
H
(
j
)
j
sgn
j
90
0
j
90 0
幅频特性为： H() 1
0
随机信号的复信号形式，其功率谱密度在负频率为零， 而在正频率为随机信号功率谱的四倍。
5.3 窄带随机过程的统计特性
一、窄带随机过程的定义H(w)
（a）
X(t)
Y(t)
白噪声
窄窄带带系系统 统
宽带噪声 X(t)
（c）
窄带噪声 Y(t)
t
（b）
0
（d）
t
幅幅度度随机随变化机变化相位随相机位变化随机变化
5.2 信号的复信号表示
一、确知信号的复信号表示
复信号定义为： x%(t) x(t) jxˆ(t) 也称为解析信号。
实的确知信号
xˆ (t) 1 x( ) d 希尔伯特变换
t
一、确知信号的复信号表示
假定A(t)与ψ(t)都是低频信号，那么
x(t) A(t)cos0t+(t)
窄带确知信号
1、窄带随机过程的莱斯(Rice)表示式 任何一个实平稳窄带随机过程Y(t)都可以表示为：
Y (t) AC (t) cos0t AS (t) sin 0t
0 为窄带滤波器的中心频率，AC (t), AS (t) 是另外两个随机过程。
AC (t) Y(t)cos0t Yˆ(t)sin0t AS (t) Y(t)sin0t Yˆ(t)cos0t
t
二、随机信号的复信号表示——解析过程
t ) X%*(t)
E X (t ) jXˆ (t ) X (t) jXˆ (t)
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
得到
RX ( ) RXˆ ( )
A%() X%( 0)
0
jXˆ ()
解析信号的频谱向左频移ω0, 就可以得到复包络的频谱。
0
X%( )
0
窄带信号及其解析信号频谱关系
二、随机信号的复信号表示——解析过程
1、定义
设X(t)为实随机过程，其复随机过程定义为：
X%(t) X (t) jXˆ (t)
Xˆ (t) H[X (t)] 1 X ( ) d 实随机信号
白噪声或宽带噪声通过窄带系统
5.3 窄带随机过程的统计特性
一. 窄带随机过程的定义
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度：
GX
(
)
GX (
0
)
0 C 0 C 其它
而且带宽 2C 满足 =0 ，则称此随机过程为
窄带平稳随机过程。
5.3 窄带随机过程的统计特性
二. 窄带随机过程的表示方法
说明AC (t) 和 AS (t) 各自平稳，且存在
2 c
2 s
2 Y
4、同相分量和正交分量的统计特性
互相关函数分析
Rcs (t,t ) E Ac (t)As (t )
E{[Y(t)cos0t Yˆ(t)sin0t][Y(t )sin0 (t ) Yˆ(t )cos0 (t )]} RY ( ) cos0t sin 0 (t ) RYˆY ( ) sin 0t sin 0 (t ) RYYˆ ( ) cos0t cos0 (t ) RYˆ ( ) sin 0t cos0 (t ) 利用如下关系 RY ( ) RYˆ ( ) RYYˆ ( ) RˆY ( ) RYˆY ( ) Rcs (t,t ) RY ()[sin 0t cos 0 (t ) cos 0t sin 0 (t )] RˆY ()[sin 0t sin 0 (t ) cos 0t cos 0 (t )] 得到 Rcs ( ) RY ( )sin0 RˆY ( ) cos0
得到 Rc (t,t ) RY ( )[cos0t cos0 (t ) sin0t sin0 (t )]
RˆY ()[sin0t cos0 (t ) cos0t sin0 (t )] 即 Rc ( ) RY ( ) cos0 RˆY ( )sin0
同理 Rs ( ) RY ( ) cos0 RˆY ( )sin0
慢变化过程
相关函数也具 有振荡形式
3、窄带随机信号的相关函数
相关函数分析
RY ( ) Ra ( ) cos0 Rb ( ) sin 0
当具有对称的功率谱时
1
Rb () 0 GY ( 0 ) sin d 0
RY ( ) Ra ( ) cos0
4、同相分量和正交分量的统计特性
Ac(t)与As(t)的表示 Y (t) Ac (t) cos0t As (t) sin 0t Yˆ(t) Ac (t)sin 0t As (t)cos 0t