2020全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案

2018全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

时间：120分钟 满分：150分 姓名：

一、填空题（本题共10小题，每小题107分，满分70分.要求直接将答案写在横线上.） 1、函数cos cos2(R)y x x x =-∈的值域为__ __.

2、已知2

(i)34i a b +=+，其中,R a b ∈，i 是虚数单位，则²²

a b +的值为_ ___. 3、圆心在抛物线²2x y =上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程为___ __.

4、设函数14()2

x

x

f x x -=-，则不等式2(1)(57)0f x f x -+-<的解集为__ ___. 5、已知等差数列{}n a 的前12项的和为60，则1212a a a ++

+的最小值为__ ___.

6、已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为___ __.

7、在ABC ∆中，54AB AC ==，，且12=⋅AC AB ,设P 是平面ABC 上的一点，则

)(PC PB PA +⋅的最小值为_____.

8、设()g n =

∑=n

k n k 1

),(，其中*

N

n ∈，(,)k n 表示k 与n 的最大公约数，则(100)g 的值为

=___ __.

9、将1,2,3,4,5,6,7,8,9，这9个数随即填入3⨯3的方格中，每个小方格恰填写一个数，且所填的数各不相同，则使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为__ __.

10、在1,2,3,4,,1000中， 能写成²²1(N)a b a b -+∈，的形式，且不能被3整除的数有

__ ____个.

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知圆O 的方程为2

2

4x y +=，过点(0,1)P 的直线

l 与圆O 交于,A B 两点，与x 轴交于点Q ，设PB QB PA QA μλ==,，求证：μλ+为定

值.

12、已知{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，且t a t a t a +=+=+33

221，

（1）求实数t d ，的值；

（2）若正整数满足0222r p =-=-=-r

r p

p m

m t a t a t a m ，＜＜，求数组(,,)m p r 和相应的通项公式n a .

13、如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，ABD ∆与ABC ∆的内心分别为1I 和 2I ，直线21I I 分别与AC BD ，交于点,M N ，求证：

PM PN =.

14、从1,2,3,,2050这2050个数中任取2018个数组成集合A ，把A 中的每个数染上红色或蓝色，求证：总存在一种染色方法，是使得有600个红数及600个蓝数满足下列两个条件：

①这600个红数的和等于这600个蓝数的和； ②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和. 参考答案：

（1）9[0,]8； （2）5； （3）221(1)()12

x y ±+-=； （4）(2,3)； （5）60；

（6）83 （7）65

8

-

； （8）520； （9）114； （10）501；

（11）

83； （12）①12t =-，38d =；②(,,)(1,3,4)m p r =，1

(311)8

n a n =-； Q A B

x

y o

P