高数第一章函数与极限

19
例 例
(, ) 内， cos x 1 它是一个有界函数。 1 在（0，1）内没有上界，但有下界， x 但在（1，2）内有界。在（-1，1）内既无上界也无下界。
y cos x 在
1
0
12
0
例
1 y 1 x
在定义域（0，+∞）内有下界，无上界.
函数的周期性：自学
20
3.反函数与复合函数 反函数定义 设 y = f (x) 的定义域为 D，值域为W，如果 对于任一 y W， 必定有唯一的xD, 使 f (x) = y, 那么变量 x 是变量 y 的函数 记作
例如 圆的面积 A r 2 ; 周长 C 2r , 这里 r 0 是圆半径.
我们可用不同的对应法 则 A f (r ) r 2 , C g(r ) 2r .
10
1 a . 例 y ax b, y , y x
例
1 1 x2
.
b. 如上例
确定下列关系是否是函数关系
27
反函数存在性的充分条件: 若函数y=f(x)定义在某个区间I上并在该区间单调(增加或减少) 则,它的反函数必存在.
例 正弦函数 y=sin(x)的定义域为
值域为 [1,1]
对于每一个y [1,1] 有无穷多个x的值,满足 sinx=y, 因此,y=sinx在 定义在一个单调区间上 [
第3节
无穷小与无穷大， 极限运算法则， 极限存在准则，两个重要极限 无穷小的比较. 连续: 函数的连续性与间断点 连续函数的运算法则，初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
极 限
7
第1 节 数 常量与变量 本节要点
函数概念 函数的表示法 函数 函数的几种特性 反函数与复合函数 初等函数
函
重点:
基本的概念与定义,要求必须理解
对每一x D,
y f ( x)
D叫作函数定义域，x 叫作自变量， y 叫作因变量 。
W { y y f ( x ), x D}叫作函数的值域。
y
x x0
处的函数值。 f ( x 0 )叫作函数在 x x0
说明: 1. 不同的函数可以用 F ( x ), g( x ), ( x )等表示.
是
11
两个函数相同的定义：定义域，对应法则相同
x2 (1) 函数 y x 与 y 是否是相同的 函数关系 ? x
函数关系 ? ( 2) y x与 y x 2 是否是相同的
(1) (2) 都不是相等的函数关系.
函数的表示
y f ( x)
可用不同的形式表达: 3. 图形法
函数的对应法则
反 三 角 函 数
, ] 此函数存在反函数,称为 2 2 反正弦函数,记作 y=arc sinx,定义域[-1,1],值域 [ , ] 2 2 反余弦函数, y=arc cos x 定义域 [1,1] 值域 [0, ]
反正切函数, y=arc tg x 定义域
x f ( y),
1
称为 y = f (x) 的反函数,
其定义域为W，值域为 D. 相对而言,y = f (x) 称为直接函数.
21
反函数的图形：
x 与 y 的同一方程. y f ( x) 与x f 1 ( y是变量 ) 习惯上自变量用 x 表示, 因变量用 y 表示, y f x 的反函数 1 通常表示为 y f x . 函数
y
2、有界的几何解释：
0
Βιβλιοθήκη Baidu
x
复习：有界：
M 0, 使对x X , 都有 f ( x) M ,
称 f ( x) 在 X 上有界。
X上无界。 称 在 f ( x ) f ( x ) M , 使得 若对 M 0, x X , 0 无界： 0
注意: 不同的区间上，可有 不同的有界或者无界的性质
y f ( x)
y
y
y f ( x)
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
o x x1 x2 例. 确定函数的单调区间 (1) y x 3 (2) y x 4
x1 x2
结论 : (1) 在整个定义域上单调增.
o
x
(2) 在(,0)上单调减，在(0, )上单调增.
(a 1)
25
三角函数
y
1
2
3 2



2
0
1
y sin x

2
周期函数
2

3 2
x 奇函数
y
1
y cos x

2
3 2



2
0
1

周期函数
3 2
2
5 2
x
偶函数
26
y
y
y tan x
y cot x
3 2



2
0

2

3 2
x
常数函数 y C 幂函数: y x ( 是常数） y y
y x2 y x
1
是最常见的幂函数.
y
y
1
1 x
y x3
1
y x
0
0
1
1
x
0
1
x
x
24
指数函数与对数函数：
定义域
值域
y a x (a是常数且a 0, a 1)
y e (e 2.71828 )



2
0

2

3 2
2
x
D x x R , x ( 2n 1) , n Z 2
定义域
D x x R , x n , n Z
定义域
周期函数 此外
奇函数
y sec x 1 sec x cos x
y csc x
1 csc x sin x
勿以简单而不屑,任何高深知识都是积累起来的
8
1、 函数概念
常量与变量 常量: 在一定过程中保持不变的量(常用a、b、c等表示） 变量: 随过程而变化的量（常用x、y、z等表示） 常量在数轴上的图像：一个定点 变量在数轴上的图像：一个点集
例如，如果变量 x 的所有取值的全体组成区间 (a, b], 则 x 就表示数集
2
S r2
(1) y arcsin(2 x )
对任何实数x ,都没有按给定的法则与之对应的y 值.函数的定义域不能为空集,所以此例不是函数关系.
(2) x y
按”>”关系这种对应,任意x,都有无穷多y 值与之对 应.这与函数的定义不符,所以不是函数关系.
( 3) y f ( x ) C 常数 x是整数.
初等数学 ——代数、几何、三角、解析几何
数学科学
高等数学 ——微积分、空间解析几何、
微分方程、无穷级数. 一元函数微积分 微积分 —用极限研究函数 （数学分析） 多元函数微积分
6
第 1章
函数与极限
高等数学 课程的主
第1节 第2节
函数（初等函数） 极限： 数列的极限，函数的极限，
要内容是
微积分及 其应用, 微积分的 基础就是:
y=f (u) , u g ( x) 这个函 数称为由函数
则 y f g x 是 x 的一个函数 y f (u) 和 u g ( x) 复合而成的
复合函数
u称为中间变量 .
2 2 y arcsin x , 可看作 y arcsin u 和 u x 复合而成 . 例如 x x y cos 是由 y u , u cosv , v 复合而成 , 3 3
4
0.9 0.999 <?
究竟谁大? > ? < ? = ? ^_^ 如果后者大,那比前者大多少? 那么是相等吗?
1
想知道里边的奥秘吗?那就跟我进入数学的世界吧!
0.9 1
0.00 1 0.9

5
数学——研究数和空间图形及其相互关系的科学。
自然科学 ——数学
科
学
社会科学
1
高等数学
直 挂 云 帆 济 沧 海
天 生 我 材 必 有 用
2
叨 叨 两 句

1、适应初等数学到高等数学的转变。
2、适应直接面授到多媒体教学的转变。 3、适应教学管理模式的转变。 4、适应左脑学习到全脑学习的转变。 5、学习“学习的方法”。
3
作业要求

1、每次作业必须交，自己独立完成！
2、字迹一定工整清楚，计入平时作业成绩！ 3、出勤与作业构成平时成绩。 4、最后成绩是期末考试成绩跟平时成绩综综合, 所占比例分别为0.8与0.2. 5、数学学习作业非常重要！
x
, 0,
是科技中常用的指数函数.
对数函数
指数函数y a x的反函数，记作
叫作对数函数。
y log a x(a是常数且a 0, a 1).
ya
x
y
y ax
(a 1)
1
y
(a 1)
1 1
(a 1)
y loga x
0
x
0
x
y loga x
有界： M 0, 使对x X ,都有 f ( x) M , 称 f ( x) 在 X 上有界。
例如：sin
x 在 (,) 内，1是它的一个上界，而大于1的
任何数都是它的上界， -1是它的一个下界， 由 它是一个有界函数。
sin x 1知，
18
1. f ( x)在X 上有界 f ( x)在X 上既有上界又有下界.
定义域 D (,) 例 2自学. 例3 绝对值函数
x0 x0 x0
值域
1
y
o
x
-1
W {1,0,1}
x0 x0
y
x, y x x,
y x
D (,),
W [0,)
例 1与例3所给函数称为分段函数. 分段函数 有的函数在其整个定义域上不能用一个统一的解析 式来表示，而是在定义域的几个不重叠的部分，分别用几个不 同的解析式来表示，这样的函数称为分段函数.

u 和 v 都是中间变量 .
复合函数概念的两个作用（1）复合;（2）分解 例4自学
23
4.初 等
基本初等函数
我们经常研究的一些函数都是由几种最简单的函数构成的 . 函 数
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数 统称为基本初等函数。
重点：函数的定义域，值域，图形，单调性等，无穷远点处的变化趋势.
若恒有f (- x) = f (x) ， 则称f (x) 在 D 内为偶函数 . 偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.
y
y
yx
3
0
x
0
x
16
函数的单调性
设
f ( x) 在区间I上有定义， 若 x1 , x2 I , 当 x1 x2 ,
恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) ， 则称 f ( x) 在 I 内单调增加。 恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) ， 则称 f ( x) 在 I 内单调减少。
17
函数的有界性
上界： 设函数 y f ( x) 的定义域为D，区间 X D, 如果 常数
K1 , 使得: x X , 都有 f ( x) K1 , 称 f ( x)在 X上有上界。 下界：x X , K 2 , 都有 f ( x ) K , 称 f ( x) 在 X 上有下界。 2
把直接函数 y f x 和反函数
y
y ( x)
Q(b, a )
yx
y f ( x)
y f 1 x 的图形画在同一坐标
平面上, 这两个图形关于直线
y = x 对称。
0
P ( a , b)
x
22 复合函数
g x D2
u D1
f y f (u )
1. 解析法 2. 表格法
12
函数的图形:
平面点集
y
Y=f(x) （x,y）
C {( x, y) | y f ( x), x D}
称为函数
y f ( x) 的图形,
w y
一般是一条或几条曲线.
x o
x D
W表示函数y=f(x)的值域 下面看几个函数具体的例子
13
例1
符号函数
1, y sgn x 0, 1,
(a, b] x a x b 中的任何点的符号.
函数例子：
1 2 自由落体 S gt 2
圆的面积 A r 2 r 0,


9
定义:
若
设
x和 y
是两个变量，
x 在一个给定的数集D中取值，
y 按照一定的法则总有一个确定的数值和 x 的这个值对应,
则称 y 是x 的函数， 记作
o
x
14
单值函数：自变量在定义域内取一个数值时，函数值只有一个
多值函数： 一个自变量对应多个函数值 多值函数的例子：
x2 y 2 r 2
[r , r ]
y r 2 x2
以后如果没有特殊说明的话，函数都是单值函数。
15
2、 函数的几种特性 函数的奇偶性
设f (x)的定义域 D 关于原点对称 (即x D， x D), x D 则称 f (x) 在 D 内为奇函数 ; 若恒有f (-x) = f (x) ，