从定义出发看黎曼积分和勒贝格积分

从微分、积分的角度谈谈R 积分与L 积分的关系
一、从黎曼积分到勒贝格积分
勒贝格积分是20世纪初（1902年）法国数学家勒贝格提出来的，它的发展比数学分析中所讲的黎曼积分（1854年）要迟半个世纪.我们知道，黎曼积分在求积、物体质心、矩量等问题中起着重要的作用，但是这些都限于古典范围.近代物理与概率论的发展，要求更为精密的数学工具.而且可以说，黎曼可积函数主要是连续函数或者不连续点不太多的函数，这对量子力学中的物理量与一般随机量的数学期望值来说显然是不够用的.就从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿-莱布尼茨公式等来看，在黎曼积分情形所加条件，没有勒贝格积分情形那样方便.用勒贝格积分处理这一类问题是相当灵活深刻与自然的.在数学史上，正是由于这一类问题的提出，才促使勒贝格积分的产生.事实上，如果不用勒贝格测度概念，数学分析中的一些道理很难讲清楚，所以我们的前辈们在黎曼积分的基础上发展出了勒贝格积分.
二、从定义出发看黎曼积分和勒贝格积分
1、ℜ积分的定义
设在f []b a ,上有界，对[]b a ,作分割}...{10b a T x x x n <<<<==即
[]
b a ,=
n
k k
E
1
=.其中令
}),(sup{E M
k k
x x f ∈=，}
),(inf{E m k
k
x x f ∈=，
x x x k k k 1--=∆，],[101x x E =，],[1x x E k k k -=，n k ...3,2=
x M k n
k k T f s ∆=∑-1
),( x m k n
k k T f s ∆=∑-1
),(
}inf{)()(），（T f s dx x f R b
a
=⎰
，),(sup{)(T f s dx x f R b
a
=⎰）（分别称为)(R 上积分和)(R 下
积分，如果)(R 上、下积分存在且相等，则称)(x f 在[]b a ,上R 可积.将R 上、下积分的公共值记为)(x f 在[]b a ,上R 的积分，记为⎰b
a dx x f R )()(.
我们说黎曼积分的定义是从求曲边梯形的面积引入的，我们回忆一下其最原始的概念。

设)(x f 是定义在[]b a ,上的有界函数，区间[]b a ,的任一分化
b a x x x x
n =<<<<= (210)
将[]b a ,分成n 部分，在每个小区间
[]x x i i
1
,+上任取一点ζ
i
，1,...,2,1,0-=n i
作和))((110
x x i i n i i
f -=+-=∑ζσ，令)m a x (
1
x x
i i -=+λ，
如果对区间任意的分化，任取ζi ，当0→λ时，σ趋于有限的极限I ，则称它为f 在[]b a ,上的R 积分，记为：⎰=b
a dx x f R I )(）（。

R 积分的思想是“分割、近似求和、求极限”
，在此定义中，)(x f 的可积性与I 的存在性是统一的，但在我们的实际应用中要求预先知道I 的值是不现实的，因此才又提出了在文章开头所给的那一定义.
2、勒贝格积分的定义
勒贝格提出了从分割值域入手的L 积分：任给σ>0,作分割
M m y
y y n
=<<<=
...1
其中
σ<--y
y i i
1
，M m ,分别为)(x f 在[]b a ,上的下界和上界。

令
})(|
{1
i
y y
E
i
i x f x ≤
≤=-，n ...,2,1i ，=，如果E y i n
i i m ∑=-→1
1
lim σ
存在，则将其定义为：
[
]
⎰b a dx x f ,)(.
而对于一般可测函数的L 积分定义为：设)(x f 在可测集R q
E ⊂上可测，若记
}0),(max{)(x f x f
=+
、
}0),(max{)(x f x f
-=-
，则有)()()(x x x f f
f
-
+
-
=
，如果
dx x E
f
)(⎰+
和dx x E
f
)(⎰
-
不同时等于∞，则称)(x f 在E 上积分确定，且有
dx x dx x dx x f E
E
E
f
f
)()()(⎰
⎰
⎰
-
+
-=
当此式右端两个积分值都有限时，称)(x f 在E 上L 可积.
我们发现，对于[]b a ,上的有限正值函数)(x f ，为使)(x f 在[]b a ,可积，按照黎曼积分的思想，必须使得在分割[]b a ,后，上在多数小区间x i x f )(的振幅足够小，这使得具有较多激烈震荡的函数被排除在外.积分是L 建立在勒贝格测度论的基础上，可以统一处理有界和无界的情形。

而且勒贝格积分可以定义在更一般的点集上面.此外，黎曼积分的建立是通过分割定义域，对和式求极限而得来的，这只是当每个小区间
[]x x k
k ,1
-上所取值ζ
k
的改变而引起的()ζk
f
的变化极小，或者即便()ζk
f 变化较大，
但是()x
k
k
f
∆ζ改变较小时，)(x f 才可积.勒贝格积分却改变了这种现象，它是对函
数的值域进行分割，把函数值相差不大的点结合在一起，从而扩展了可积函数类，使得好多问题迎刃而解了.因此，对定义域和值域的分割是R 积分和L 积分的本质区别.
三、黎曼积分和勒贝格积分的存在条件的比较
1、R 可积的条件：
①R x f 为)(可积的必要条件是：[]b a x f ,)(在上有界.(这说明任何黎曼可积的函数
一定有界，但是有界函数未必黎曼可积。

例如，我们都知道狄里克雷函数是有界函数，但它不是R 可积的.这与L 积分不同，L 积分可以是无界的）
②R x f 为)(可积的充要条件：
I 定义在[]b a ,上的有界函数)(x f ，R 可积的充要条件为：[]b a f ,在上的黎曼上积
分等于黎曼下积分，即
()()⎰⎰=b
a
b
a
dx x f R dx x f R )()(
II 定义在[]b a ,上的有界函数)(x f ，R 可积的充要条件为：0>∀ζ，总存在某一
分割T ，使得
()m M w x w i
i
i
i
n
i i
-=<∆∑=ζ1
III 定义在[]b a ,上的有界函数f ，R 可积的充要条件为：对任给的正数ηζ，，总
存在某一分割T ，使得属于T 的振幅η≥'w i 的小区间'i ∆的总长不超过ζ
IV 函数[]b a x f ,)(在上R 可积的充要条件是：当0→λ时，大和S 和小和s 都趋于
同一极限I
),(11
0i x x M i i n i S +-=∑=
)(11
x x m i i n i i s -=+-=∑
利用条件IV 我们知道，[]b a ,上有界单调函数是R 可积的.[]b a ,上的连续函数必然R 可积.当然也有不连续的R 可积函数存在.
2、L 可积的条件
① 设)(x f 是可测集)(∞<⊂
mE E R q
上的有界函数，则)(x f 在L E 上可积的充要
条件是：E x f 在)(上可测.（即对于R q
中测度有限的可测集上的有界函数可测性与可积性等价）
② 设∞<mE ，)(x f 是E 上的可测函数，
)1(n f n E E
n
≤≤-=，则)(x f 在E 上L
可积的充要条件为
∞<∑+∞
∞
E
n
m n -
③ 设[]b a x f ,)(在上R 反常积分存在，则[]b a x f ,)(在上L 可积的充要条件为：
[]b a x f ,)(在上R 反常积分存在，且有
()[]()⎰⎰=b
a
b a dx x f R dx x f L )()(,
④ 设
{}f n
为L E 上可积函数列，())(lim
x f x f n
n =∞
→在E 上几乎处处成立，且
()常数）
(k dx x E
n
f <⎰，则L E x f 上在)(可积. 根据以上对黎曼积分和勒贝格积分的积分条件的讨论，我们说非R 可积的例子是容易举出的.例如，在[]1,0上定义的狄利克雷函数)(x ψ：
⎩⎨
⎧=为有理数
，若为无理数
若x x x 1,0)(ψ
就不是R 可积的.事实上，对区间[]1,0的任意分划，一切积分大和等于1，一切小和等于0.因而)(x ψ不可能是R 可积的.但是，我们注意到0~)(x ψ，就知道ψ的L 积分存在且等于0.由此我们可以看出在某些方面，L 积分比R 积分更优越，在后面我们再具体分析L 积分的优越性.
四、R 积分与L 积分的性质比较
1、R 积分的性质：
I 如果[]b a f ,在上R 可积，k 为常数，则kf 在[]b a ,上也R 可积，且有
⎰⎰
=b
a
b
a
f k kf
II 若f 、g 在[]R b a 上,可积，则fg g f g f ,,-+在[]b a ,上也R 可积（且
⎰⎰⎰+=+b a
b a
b
a
g f g f )(，⎰⎰⎰≠b
a
b a
b a
g f fg ）
III 有界函数[][]b c c a f ,,,在上都R 可积，则[]b a f ,在上也可积，且有
⎰⎰⎰
+=b
c
c a
b
a
f f f .
IV 设g f ,在[]R b a 上,可积，且)()(x g x f ≤，[]b a x ,∈，则⎰⎰
≤b
a b
a
g f
V 若[]b a f ,在上R 可积，则[]b a f ,在上也R 可积，且有
⎰⎰
≤b a
b
a
f f
VI 设[]R b a f 上在,可积，则在[]b a ,的任一内闭子区间[][]b a ,⊂βα，上R f 也可积 VII 设f 在[]b a ,上连续且非负，若有
0)(=⎰
b
a
dx x f ，则在[]b a ,上0=f
2、L 积分的性质：
I 积分区域的可加性：设
⎰
E
f 存在， ∞
==1
k k E E ，式中E k 是互不相交的可测集，
则∑⎰⎰∞
==1k E
E f f k
. 设E E k k k E ,1 ∞
==是互不相交的可测集，对于任意的k ，)(E k L f ∈，不能推出
)(E L f ∈；但由)(E L f ∈，能得到)(E k L f ∈.这与R 积分是有区别的，在R 积分中
有)()(E R f R f E k ∈⇔∈.
II 关于可积函数的单调性： i 设
⎰⎰
E
E
g f ,都存在，且E g f 在≤上几乎处处成立，则⎰⎰≤E
E
g f ，特别地若
E g f 在=上几乎处处成立，则⎰⎰=E
E
g f
ii 设)(E L f ∈.E f 在0≥上几乎处处成立，则
0≥⎰
E
f
iii 设E f 在上可测，若E g f g E L g 在≤≥∈∃,0),(上几乎处处成立，则)(E L f ∈ III 关于积分区域的单调性：设
A f E
,⎰
是E 的可测子集，则⎰A
f 存在，特别的，
若E f 在上非负可测，则⎰⎰≤E
A
f f .
IV 线性性质：设)(),(,21
E L g f E L g f c c
∈+∈则
，其中c c 21,为常数，且
⎰⎰⎰==+E
E
E
g f g f c c c
c 212
1
V 绝对可积性：)()(E L f E L f ∈⇒∈且E f 在上可测，且有
⎰⎰
≤E
E
f f 我们由可
积函数的绝对可积性知道L 积分是一种绝对收敛的积分.
VI 唯一性定理：设E f 在上可测，则
E f f E
在00=⇔=⎰
上几乎处处成立
VII 设)(E L f ∈，若对于所有有界函数g ，均有
E f fg E
在00=⇒=⎰
上几乎处处
成立.反之不能成立，例如取[]⎩
⎨⎧-==22
)(,1,0x f E 令)10()01-<≤<≤x x （ 则0=⎰E f 但0≠f
VIII 弱连续性：设
{}E f k
在上非负递减可积，且E f
k
在0→上几乎处处成立，则
0lim =⎰∞
→du E
k
k f
我们发现，积分R 的一些性质L 积分都具备，而且可以将其积分范围推广到任何点集E 上，另外它还有一些R 积分不具有的性质.L 积分因为它所具有的独特的性质，解决了古典分析中许许多多解决不了的问题，使分析数学进入到现代分析时代.
五、L 积分的极大优越性
1、我们说对于R 积分，它的积分函数类有：
⑴ 若[]b a f ,为上的连续函数，则[]R b a f 上在,可积.
⑵ 若[]b a f ,是上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[]R b a 上,可积. ⑶ 若[]b a f ,是上只有有限个第一类间断点的函数，则[]R b a f 上在,可积. ⑷ 若[]b a f ,是上的单调函数，则[]R b a f 上在,可积.
而对于L 积分来说，我们有定理：定义在有限区间上的函数，若为R 可积，则必
L 可积，且积分值相等.
证明：设[]R b a x f 上在,)(可积，它必有界：M x f ≤)(.作区间[]b a ,的一个分划序列
b n a x x x D i
i i i i =<<<=...:1)(0，
使D 1i +的分点包含D i 的分点，N i ∈，并使
)(0)()
()(1m ax ∞→→-=+i x x i k i k k
i λ
考察简单函数列
⎪⎩⎪⎨⎧=)
()()
(i
b f x m f
i k
b
x k x n x x
i i k i k
=-=<≤+)
1,...,1,0()
(1)(
其中m i k )
(表示f 在小区间
[]
x x
i k i k
)
(1)(,+上的下确界.显然
L f i
的积分为
[])(),()()
()(11
)()
(11
)()(,x x m x x m f
i k i k k i k i k k i k i k b
a i
n n m dm x i i -==+-=+-=∑∑⎰
此式右边正是积分小和s .因假设R f 是可积的，当)0(→∞→λi
i 时，s 趋于f 的R 积
分.至于上式左边的积分，由于
M x x M f
f
≤≤≤
≤
...)()(-2
1
，
据勒维定理，即有
[]
[]⎰⎰
⎰
==∞
→∞
→b
a
i
b a i b a i
i dx x f R dm x dm x f f
)()()(lim )(lim ,,，
而且不难证明了，)()(lim
x f x f
i
i ≤∞
→，同理，考虑函数序列
)(i
x f
时可得
[]
[]⎰⎰
⎰
==∞
→∞
→b
a
i
b a i b a i
i dx x f R dm x dm x f f
)()()(lim )(lim ,,，
而且有)()(lim
x f x f
i
i ≥∞
→.由所得的两个结果知
[
]0)}(lim
)(lim {,=-∞
→∞
→⎰dm x x f
f i
i i
b a i .
从而，注意到被积函数是非负的，据唯一性定理得
)(lim
~)(lim
x x f
f
i
i i
i ∞
→∞
→，
并且它们也与)(x f 对等.这样，R x f 是)(可积的，且
[
]
[][]⎰⎰
⎰
⎰===∞
→∞
→b
a
i
b a i i
b a i b a dx x f R dm x dm x dm x f f f )()()(lim )(lim )(,,,.
2、对于牛顿—莱布尼茨公式：⎰'=-b a
dt t f a f b f )()()(
在数学分析中通常在)(x f 有连续导数的假定下证明上述公式，或者将条件减弱些，但总要求)(x f '为R 可积才行。

可是对L 积分情形，可以在)(x f '为L 可积的条件下进行讨论，并且由可积函数可引进一种绝对连续函数概念，后者几乎处处存在有限导数并与有界变差函数相关连。

正是对于绝对连续函数，我们知道，除相差一个常数不计外，它与它的导函数的不定积分相等.
3、实例
例 1 符号函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>=<-=0,10,00,1)sgn(x x x x 在[]1,1-上是可积的，但函数)sgn(x 不存在原函
数.
例 2 函数⎪⎩⎪⎨⎧-=01cos 21sin 2)(22x x x x x f 00=≠x x 存在原函数⎪⎩
⎪⎨⎧=01sin )(2
2
x x x F 00=≠x x 但[]1,1)(-在x f 上不是R 可积的，因为[]1,11
cos 22-在x x 上无界.
所以说勒贝格积分在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越.
六、总结
勒贝格积分和黎曼积分之间有一种相互依赖、相互补充、相互支持及在特定条件下相互转换的关系，它们从侧面验证了科学的互通性.
勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义，使得可积性的条件要求减弱了，它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积，这比黎曼积分中要求连续函数，单调函数的条件放松多了.
勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处.它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求.由勒贝格控制收敛定理可知，只要所给函数列可测、有界、收敛，积分与极限就可换序.
勒贝格积分并没有完全否定和抛弃黎曼积分，它把黎曼积分作为一种特例加以概括，并且在一定条件下勒贝格积分可以转化为黎曼积分.由此可见，黎曼积分和勒贝格各有自己的优势和价值.在计算连续函数的积分时，黎曼积分要比勒贝格积分简便、优越.但勒贝格积分是积分发展史上的一次革命，它使得积分论在集合论、测度论的基础上走向现代化.。