二项分布及其应用题型总结

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高中数学二项分布及其应用知识点+练习

325--------------- \事件的独立性“ -----------------厂丿 r]厂独立重复实验二项分布高考要求二项分布及其应用要求层次重难点条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.事件的独立性A n 次独立重复试验与二项分布B21山迄例题精讲板块一：条件概率（一）知识内容条件概率对于任何两个事件 A 和B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P （B|A ） ”来表示.把由事件 A 与B 的交（或积），记做D=A“B （或D 二AB ）.（二）典例分析:【例1】在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（）D .知识框架二项分布及其应用【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是土 ,刮风的概率是2,既刮风又下雨的概率是丄,15 15 10设A=刮风”，8=下雨”，求P(B A , P(A B).【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率.【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=第一次出现正面”，事件B=第二次出现反面”，则P(B A)二_____ .【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为_________________________ .【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_________ .【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=点数不同”，8=至少有一个是6点”，求P(A|B)与P(B|A).【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名•设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率.【例10】袋中装有2n_1个白球，2n个黑球，一次取出n个球，发现都是同一种颜色的，问这种颜色是黑色的概率是多少？【例11】一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球(不放回)⑴已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；⑵已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率；⑶已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率.【例12】有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品•现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求：⑴先取出的零件是一等品的概率；⑵在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率. (保留三位有效数字)【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份•随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，⑴求先抽到的一份是女生表的概率p •⑵己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率q•板块二：事件的独立性(一) 知识内容事件的独立性如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)二P(B), 这时，我们称两个事件A, B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件A , A2,…，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A P1A门…「代)二P(A) P(^)…P(An)，并且上式中任意多个事件A换成其对立事件后等式仍成立.（二）典例分析：【例14】判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球⑵一筐内有6个苹果和3个梨，从中任意取出1个，取出的是苹果”与把取出的苹果放回筐子，再从筐子中任意取出1个，取出的是梨”.⑶甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选 1名同学参加演讲比赛，从甲组中选出1名男生”与从乙组中选出1名女生”.1，从乙口袋中摸出一个红球的概率是丄，则-是（ 3 2 3 B . 2个球都是红球的概率D . 2个球中恰好有1个红球的概率次射击，但距离为150m ;如果第二次又未命中，则猎人进行第三次射击，但在射击瞬间距离野兔为200m •已知猎人命中率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.如图，开关电路中，某段时间内，开关 a b 、c 开或关的概率均为 1,且是相互独立的，求 2这段时间内灯亮的概率.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是4 等品的概率为 -，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为12 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率.【例19】椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4 , 0.5 , 0.1⑴ 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.【例15】从甲口袋摸出一个红球的概率是A . 2个球不都是红球的概率 C .至少有一个红球的概率【例16】猎人在距离100m 处射击一只野兔,其命中率为-.如果第一次射击未命中,2则猎人进行第二【例17】【例18】 c【例20】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰•已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为4、3、？、〕，且5 5 5 5各轮问题能否正确回答互不影响.⑴ 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率.【例21】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束•假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立•已知前2局中, 甲、乙各胜1局.⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵ 求甲获得这次比赛胜利的概率.【例22】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵ 其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例23】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类•这三类工程所含项目的个数分别占总数的1，1，1•现有3名工人独立地从中任2 3 6选一个项目参与建设•求：⑴ 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵ 至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.【例24】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1和-，求：3 4⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率;⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率.【例25】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为4，每位男同学能通过测验的概率均为3，试求：5 5⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率.【例26】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1与p，且乙投球2次均2未命中的概率为—.16⑴求乙投球的命中率p ；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率.【例27】一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿灯的路口，每个信号灯彼此独立工作，且红绿灯信号显示时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯时已通过的路口个数，求X的分布列以及该汽车首次遇到红灯时至少通过两个路口的概率.【例28】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求:⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？⑶2人至少有1人射中的概率？⑷2人至多有1人射中的概率？【例29】（07福建）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7, 0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：⑴甲试跳三次，第三次才成功的概率；⑵甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；⑶甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.【例30】A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B 两队在每场比赛中获胜的概率均为 -,X为比赛需要的场数，求X的分布列及比赛至少要进2行6场的概率.【例31】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物•血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病•下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验•若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.求依方案甲、乙分别所需化验次数的分布列以及方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率.【例32】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，:提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.【例33】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a , b , c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）板块三：独立重复试验与二项分（一）知识内容1 .独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同.在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率为R （k ）=丄p k （1—p ）n ± （k=0, 1, 2,山,n ）.2.二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为q"-p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P （X =k ）=V p k q n ±，其中k = 0, 1,2, H|, n . 于是得到X 的分布列由于表中的第二行恰好是二项展开式（q + p ）n =疋p °q n +C ： p 1q n 」+||） +C ： p k q n 上坤| C ： p n q 0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量 X 服从参数为n , p 的二项分布，记作 X ~ B （ n, p ）.（二）典例分析：【例1】某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4 ,则他能及格的概率为 _____________ （保留到小数点后两位小数）【例2】某篮球运动员在三分线投球的命中率是-,他投球10次，恰好投进3个球的概率 ____________ .（用2数值表示）【例3】接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有 3人出现发热反应的概率为 ____________ .（精确到0.01）【例5】一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为 0.8000,有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有 2台机床需要工人照看的概率是（）A . 0.1536B . 0.1808C . 0.5632D . 0.9728【例6】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买•根据以往资料统计，顾客采用【例4】甲乙两人进行围棋比赛, 局比赛获胜的概率均为比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每-，则甲以3 : 1的比分获胜的概率为（）3A . -827B . 6481C.-9一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元.⑴ 求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵ 求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率.【例7】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为1,若中奖，贝V家具城返还顾客现金200元•某顾客消费了3400元，得到35张奖券.⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率.【例8】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株•设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为5和4，且各株大树是否成活互不影响•求移栽的4株大树中：6 5⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率.【例9】一个口袋中装有n个红球（n》5且「N* ）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖.⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p;⑵若n =5,求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P •当n取多少时，P最大？1~ B(4 ,-)，贝V PC =2)等于 3【例12】从一批由9件正品、3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留 2位有效数字）.［例 13】袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是 -，从B 中摸出3个红球的概率为p .⑴从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.① 求恰好摸5次停止的概率；② 记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布. ⑵若A , B 两个袋子中的球数之比为1:2，将A , B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是-，求p 的值.5【例14】设在4次独立重复试验中，事件 A 发生的概率相同，若已知事件 A 至少发生一次的概率等于 65，求事件A在一次试验中发生的概率.81【例15】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有 2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉•如果每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射 I 枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留2位有效数字）.【例10】已知随机变量•服从二项分布, 【例11】已知随机变量■服从二项分布, 1~B(6'3)'则 P —2)等于(A • 2 16 4B . —C . 243 13243 243【例16】某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%，现从一批产品中的任意连续取出 2件，求次品数'的概率分布列及至少有一件次品的概率.【例17】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审•假设评审结果为支持”或不支持”的概率都是-.若某人获得两个支持”则给予10万2元的创业资助；若只获得一个支持”则给予5万元的资助；若未获得支持”则不予资助.求: ⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵ 该公司的资助总额超过15万元的概率.【例18】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是 0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例19】设飞机A 有两个发动机，飞机 B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就【例20】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是 1 -P ,且各发动机互不影响.如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行•问对于多大的P 而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例21】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 1 •3⑴设•为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；⑵设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列； ⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p 是t 的函数p=1-e 」，其中t 为发动机启动后所经历的时间, 故障）. ■为正的常数，试讨论飞机 A 与飞机B 哪一个安全？（这里不考虑其它【例22】一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2 次的概率相同.令既约分数丄为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，求i j •【例23】某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位) ⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；【例24】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19, 20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为-，求至少有两位乘客在20层下的概3率.【例25】10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得k(k < n)次红球的概率.【例26】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工•设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01 •试求：⑴若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；⑵若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高.【例27】A,B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B,然后观察疗效•若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为2，服用B有效的概率为丄•观察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率.（结果保留四3 2位有效数字）【例28】已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率.（保留两位有效数字）【变式】若甲、乙投篮的命中率都是p=0.5，求投篮n次甲胜乙的概率.（n・N ,n > 1 ）［例29】省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）.【例30】在一次考试中出了六道是非题，正确的记“v号，不正确的记“X号.若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率.【例31】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人;⑶双方各出7人.三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：对系队来说，哪一种方案最有利？右单板块四：二项分布的期望与方（一）知识内容二项分布的均值与方差: 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则E（X）二np , D（x）二npq （q =1 一p）.（二）典例分析：【例32】一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是______________________ .【例33】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为'，则的数学期望是（）A. 20B. 25C. 30D. 40【例34】已知X ~ B（n , p）, E（X）=8 , D（X）=1.6，则n与p的值分别为（）A . 10和0.8B . 20和0.4 C. 10和0.2 D . 100和0.8【例35】某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A. np(1-p)B. npC. nD. p(1-p)【例36】已知随机变量X服从参数为6,0.4的二项分布，则它的期望E(X)= _________________________ ,方差D(X) = ______ •【例37】已知随机变量X服从二项分布，且E( J =2.4 , D( J =1.44，则二项分布的参数n , p的值分别为____________ 、 __________ •【例38】一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是___________________ •(用数字作答)【例39】已知X ~ B(10, 0.8)，求E(X)与D(X) •【例40】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为'，则的数学期望是()A • 20 B. 25 C. 30 D. 40【例41】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是丄，2，丄•3 5 2⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵ 用•表示乙投篮3次的进球数，求随机变量•的概率分布及数学期望.【例42】抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功. ⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵ 求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差.【例43】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取•假设任一客户去领奖的概率为4% •问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？【例44】某批数量较大的商品的次品率是5%，从中任意地连续取出10件，X为所含次品的个数，求E(X) •【例45】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记■为3人中参加过培训的人数，求'的分布和期望.【例46】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的•记•表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布及期望.【例47】某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m ( m< n )个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值.【例48】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金•假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立•已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1041 -0.999 .⑴求一投保人在一年度内出险的概率p ;⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0 ,求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)【例49】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）•若安检不合格，则必须进行整改•若整改后复查仍不合格，则强行关闭•设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01 ）•⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率.【例50】设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少？（精确到0.001）【例51】在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐•已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的，且命中的概率都是-•3⑴求油罐被引爆的概率；⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为•，求的分布列及E•【例52】某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动.⑴试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；⑵商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m的奖数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？。

高中数学二项分布例题

高中数学二项分布例题二项分布适用于一系列独立重复试验，每次试验只有两种结果，通常称为“成功”和“失败”。

设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1p，进行n次试验后，成功的次数X遵循二项分布，其概率质量函数为：P(X = k) = C(n, k) p^k (1 p)^(n k)其中，C(n, k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。

例题一：简单二项分布的应用在一项产品质量检验中，某种产品合格率为80%。

若随机抽取10件产品，求其中恰好8件合格的概率。

解：此问题可以看作进行10次独立试验，每次试验成功的概率p 为0.8，失败的概率为0.2，n为10，k为8。

根据二项分布的概率质量函数，可以计算如下：P(X = 8) = C(10, 8) (0.8)^8 (0.2)^2计算组合数C(10, 8) = 45，带入公式后得：P(X = 8) = 45 (0.8)^8 (0.2)^2 ≈ 0.1937。

恰好8件合格的概率约为19.37%。

例题二：计算不超过某个成功次数的概率在一场考试中，某学生在过去的测试中，答对题目的概率为0.7。

若该学生参加5次测试，求至少有3次答对的概率。

解：求至少有3次答对的概率，可以通过计算0到2次答对的概率并用1减去得到：P(X ≥ 3) = 1 P(X ≤ 2)计算P(X ≤ 2)：P(X = 0) = C(5, 0) (0.7)^0 (0.3)^5 = 1 1 0.00243 ≈ 0.0024。

P(X = 1) = C(5, 1) (0.7)^1 (0.3)^4 = 5 0.7 0.0081 ≈ 0.028.P(X = 2) = C(5, 2) (0.7)^2 (0.3)^3 = 10 (0.49) 0.027 ≈ 0.1323。

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0.0024 + 0.028 + 0.1323 ≈ 0.1627。

二项分布的知识点

二项分布的知识点一、二项分布的定义。

1. 基本概念。

- 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，不发生的概率为1 - p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k 次的概率为P(X = k)=C_n^k p^k(1 - p)^n - k，k = 0,1,2,·s,n，称随机变量X服从二项分布，记作Xsim B(n,p)。

- 例如，抛一枚质地均匀的硬币n = 5次，每次正面朝上（设为事件A）的概率p=(1)/(2)，那么正面朝上的次数X就服从二项分布Xsim B(5,(1)/(2))。

2. 独立重复试验的条件。

- 每次试验只有两种结果：事件A发生或者不发生。

- 任何一次试验中事件A发生的概率都是一样的，即p不变。

- 各次试验中的事件是相互独立的，即一次试验的结果不会影响其他试验的结果。

二、二项分布的概率计算。

1. 利用公式计算。

- 已知n、p和k，直接代入公式P(X = k)=C_n^k p^k(1 - p)^n - k计算。

- 例如，n = 3，p=(1)/(3)，求k = 2时的概率。

- 首先计算组合数C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3×2!)/(2!×1!)=3。

- 然后P(X = 2)=C_3^2×((1)/(3))^2×(1-(1)/(3))^3 -2=3×(1)/(9)×(2)/(3)=(2)/(9)。

2. 利用二项分布概率表（如果有）- 在一些情况下，可以查询专门的二项分布概率表来获取概率值，这样可以避免复杂的计算，尤其是当n较大时。

不过在考试等情况下，通常还是要求掌握公式计算。

三、二项分布的期望与方差。

1. 期望E(X)- 若Xsim B(n,p)，则E(X)=np。

- 例如，若Xsim B(10,(1)/(5))，则E(X)=10×(1)/(5)=2，这表示在大量重复试验下，事件A发生的平均次数为2次。

[选修2-3]·[二项分布及其应用] · [培优] · [知识点+典型例题]·[教师版]

二项分布及其应用知识讲解一、条件概率1.条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．2.条件概率公式：()()()P A B P B A P A =其中()0P A A B >，称为事件A 与B 的积或交（或积）．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．3.条件概率的求法：1）利用定义，分别求出()P A 和()P B A ，得()()()P AB P B A P A =．2）借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数，即()n A 再求事件()n A B ，得()()()n AB P B A n A =．二、事件的独立性概念：如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．三、独立重复试验与二项分布1.独立重复试验定义：如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．注：n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =．2.二项分布定义：若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==，其中0,1,2,,k n =．于由于表中第二行恰好是二项展开式00111()C C C C n n n kk n k nn n n n n q p p q p qp q p q --+=++++各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．四、二项分布的期望与方差二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．典型例题一．解答题（共14小题）1．（2017春•黄陵县校级期末）（1）抛掷一颗骰子两次，定义随机变量ξ=，当第一次向上一面的点数不低于第二次向上一面的点数，当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数，试写出随机变量ξ的分布列；（2）抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率．【解答】解：（1）当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时，有6种情况，所以P（ξ=0）==，由互斥事件概率公式得，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以所求分布列是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A，第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为P（B|A）==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）2．（2017春•钦州期末）某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干部，其中男生4人，女生2人，从中任选3人参加义务劳动．（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；（2）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（A|B）．【解答】解：（1）从6人中任选3人，共有=20种选法，其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为==．∴男生甲或女生乙被选中的概率为1﹣=．（2）P（A）=，P（B）=，P（AB）=．P（A|B）=．3．（2017春•贵池区校级月考）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动．（1）设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（B）和P（A|B）．【解答】解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，依题意得P（X=0）==，P（X=1）==．P（X=2）==．∴X的分布列为（2）设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P（C）===；∴所求概率为P（）=1﹣P（C）=1﹣=．（3）P（B）===；P（AB）==．∴P（A|B）==．4．（2016•邯郸模拟）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=1）=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×=，P（ξ=2）=++=，P（ξ=3）==，∴随机变量ξ的分布列为：数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=++=，P（AB）==，P（B|A）===．5．（2016春•丰城市校级月考）1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：（Ⅰ）从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？（Ⅱ）从2号箱取出红球的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P（B）==，P（）=1﹣P（B）=．P（A|B）==．（2）∵P（A|）==，∴P（A）=P（A∩B）+P（A∩）=P（A|B）P（B）+P（A|）P（）=×+×=．6．（2017•启东市校级模拟）设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．（1）当p=q=时，求数学期望E（ξ）及方差V（ξ）；（2）当p+q=1时，将ξ的数学期望E（ξ）用p表示．【解答】解：（1）∵每位投球手均独立投球一次，当p=q=时，每次试验事件发生的概率相等，∴ξ～B （3，），由二项分布的期望和方差公式得到结果∴Eξ=np=3× = ，Dξ=np （1﹣p ）=3× =（2）ξ的可取值为0，1，2，3． P （ξ=0）=（1﹣q ）（1﹣p ）2=pq 2；P （ξ=1）=q （1﹣p ）2+（1﹣q ）C 21p （1﹣p ）=q 3+2p 2q ； P （ξ=2）=qC 21p （1﹣p ）+（1﹣q ）p 2=2pq 2+p 3； P （ξ=3）=qp 2． ξ的分布列为Eξ=0×pq 2+1×（q 3+2p 2q ）+2×（2pq 2+p 3）+3×qp 2=1+p ．7．（2016秋•清城区期末）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ），，依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5，设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨，则Y～B（5，0.5），∴．（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，则：P（X=4）=0.22=0.04，P（X=5）=2×0.2×0.5=0.2，P（X=6）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，P（X=7）=2×0.3×0.5=0.3，P（X=8）=0.32=0.09，∴X的分布列为：X的数学期望E（X）=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．8．（2014•文登市三模）现有正整数1，2，3，4，5，…n，一质点从第一个数1出发顺次跳动，质点的跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4时，质点向前跳两步．（Ⅰ）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为ξ，求Eξ和Dξ；（Ⅱ）求质点恰好到达正整数6的概率．【解答】解：（Ⅰ）ξ的可能取值为3，4，5…（1分），P（ξ=4）=，…（4分）ξ的分布列为…（7分）（Ⅱ）质点恰好到达6有三种情形①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于4，概率；…（8分）②抛掷骰子四次，出现点数三次小于等于4，一次大于4，概率为；（9分）③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于4，二次大于4，概率…（10分）所以即质点恰好到达正整数6的概率为．…（12分）9．（2014•旌阳区校级模拟）德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．【解答】解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：P（ABCD）+P（ABC）+P（AB D）=++=．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B（3，），P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：∵ξ～B（3，），∴Eξ=．10．（2014春•奉新县校级月考）作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能6：15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：（1）设学校规定7：20后（含7：20）到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；（2）设X表示该学生上学途中遇到的红灯数，求P（X≥2）的值；（3）设Y表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量Y的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意知，当1，2，3，5路口同时遇到红灯时，该同学会迟到，∴这名学生迟到的概率：p=．（2）由题意知X～B（5，），∴P（X≥2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）=1﹣﹣=．（3）由题意知Y=0，1，2，3，4，5，P（Y=0）=，P（Y=1）=，P（Y=2）=，P（Y=3）=（）3=，P（Y=4）=，P（Y=5）==，∴随机变量Y的分布列：∴EY==．11．（2014春•桥西区校级月考）某工人在一天内加工零件产生的次品数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：（1）求a的值和ξ的数学期望；（2）假设两天内产生的次品数互不影响，求该工人两天内产生的次品数共2个的概率．【解答】解：（1）由概率分布的性质有0.1+0.1+3a+a=1，解答a=0.2，∴ξ的概率分布为∴Eξ=0×0.1+1×0.1+2×0.6+3×0.2=1.9（2）设事件A表示“该工人两天内产生的次品数共2个”事件A1表示“两天内有一天产生2个，另外一天产生0个”；事件A2表示“两天内每天产生1个”则由事件的独立性得P（A1）=2×0.6×0.1=0.12，P（A2）=0.1×0.1=0.01，∴P（A）=0.12+0.01=0.13．故该工人两天内产生的次品数共2个的概率为0.13．12．（2010•杭州校级模拟）为提高某篮球运动员的投篮水平，教练对其平时训练的表现作以详细的数据记录：每次投中记l分，投不中记一1分，统计平时的数据得如图所示频率分布条形图．若在某场训练中，该运动员前n次投篮所得总分数为s n，且每次投篮是否命中相互之间没有影响．（1）若设ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（2）求出现S8=2且S i≥0（i=1，2，3）的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知每次投篮是否命中相互之间没有影响，且每次发生的概率不变，本题可以看做一个独立重复试验分析可知ξ的取值分别为1，3∴∴ξ的分布列为（Ⅱ）若S8=2，说明前八次投篮中，五次投中三次未投中，又S i≥0（I=1，2，3）∴包含两种情况，这两种情况是互斥的，第一种情况：第一次投中，第二次未投中，第三次投中，后五次中任意两次未投中．此时的概率为第二种情况：第一次和第二次都投中，后六次中任意三次未投中．此时的概率为．∴出现S8=2且S i≥0（I=1，2，3）的概率为：．13．（2006•崇文区一模）某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球大战．假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为．现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求：（I）乙队以4：3点球取胜的概率有多大？（II）设点球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望．【解答】解：（I）乙队以4：3点球取胜的概率为P==25×=0.1043（II）点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，5P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）== P（ξ=3）==，P（ξ=3）==，P（ξ=5）==∴ξ的分布列为∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+5×=3.7514．金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min，且开动与否是相互独立的．现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50 kW的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大？在一个工作班的8 h内，不能正常工作的时间大约是多少？【解答】解：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ，由于机床类型相同，且机床的开动与否相互独立，因此ξ～B（10，p）．其中p是每台机床开动的概率，由题意p==．从而P（ξ=k）=C10k（）k（）10﹣k，k=0，1，2， (10)50kW电力同时供给5台机床开动，因而10台机床同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作．这一事件的概率为P（ξ≤5），P（ξ≤5）=C100（）10+C101••（）9+C102（）2•（）8+C103（）3（）7+C104（）4•（）6+C105（）5•（）5≈0.994．在电力供应为50kW的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为0.006，从而在一个工作班的8h内，不能正常工作的时间只有大约8×60×0.006=2.88（min），这说明，10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响．。

二项分布及其应用

二项分布及其应用二项分布及其应用◇条件概率◇一、条件概率的定义与性质如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。

1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝二、典型例题1、利用定义求条件概率例1：抛掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。

（1）求P(A),P(B),P(AB);(2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。

2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求（1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。

（2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。

例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么（1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。

（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。

3、条件概率的性质及应用例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。

例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A={赵家得到6张梅花}，B={孙家得到3张梅花} （1）求P(B|A)(2)求P(AB)三、课堂练习1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？2、一个盒子中装有6件合格产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。

二项分布及其应用

＝
nAB nA
.
(2)条件概率具有的性质
① 0≤P(B|A)≤1 ；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) .
2.相互独立事件
(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B_相__互__ ——独—立—. (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝ P(B)， P(AB)＝P(A)P(B|A)＝ P(A)P(B). (3)若A与B相互独立，则A 与 B， A 与 B ， A 与 B 也都相互独立.
题型一条件概率
例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和
为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于（）
1
1
2
1
A.8
B.4
C.5
D.2
答案解析
P(A)＝C23＋ C25C22＝25，P(AB)＝CC2225＝110， P(B|A)＝PPAAB＝14.
（3）. 将一枚硬币连续抛掷两次，记 “ 第一次出现正面 ” 为事件
A,“第二次出现反面”为事件B,则P(B|A)等于( )
A. 1 2
B. 1 4
C.1 6
D.1 8
(4).甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为（）
变式训练 (2016·开封模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，
这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，
电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡
的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为答案解析

高中数学选修2-3-二项分布及其应用

二项分布及其应用知识集结知识元相互独立事件知识讲解1．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…A n）＝P（A1）•P（A2）…P（A n）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．例题精讲相互独立事件例1.若甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为__．例2.甲、乙两人依次从标有数字0，1，2的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字0的卡片的概率为__．例3.'一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为P、、且每题答对与否相互独立（1）当p=时，求考生填空题得满分的概率（2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求的P值．'n次独立重复试验恰好k次发生的概率知识讲解1．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【概念】一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）＝（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．【实例解析】例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是．解：由题设知C31p（1﹣p）2≤C32p2（1﹣p），解≤p≤1，故答案为：[，1]．本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．【考点点评】这个知识点非常的重要，但相对来说也比较简单，所以大家要多花点时间把它吃透．例题精讲n次独立重复试验恰好k次发生的概率例1.随机变量X～B（6，），则P（X=2）等于（）A．B．C．D．例2.如果X～B（20，p），当且P（X=k）取得最大值时，k的值是（）A．8B．9C．10D．11例3.一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头猪被治愈的概率为（）A．0.93B．1-（1-0.9）3C．C53×0.93×0.12D．C53×0.13×0.92超几何分布知识讲解1．超几何分布【知识点的知识】一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则称超几何分布列．（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N，M，n上述超几何分布记作X～H（N，M，n）．【典型例题分析】典例1：有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的数学期望值是（）A．n B．C．D．分析：先由超几何分布的意义，确定本题中抽到次品数服从超几何分布，再由超几何分布的性质：若随机变量X～H（n，M，N），则其数学期望为，计算抽到的次品数的数学期望值即可解答：设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布即X～H（n，M，N），∴抽到的次品数的数学期望值EX＝故选C．题型一：抽样次品数的分布规律问题典例1：某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P＝0.2．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．解：设该批产品中次品有x件，由已知，∴x＝2…（2分）（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为…（4分）（2）∵X可能为0，1，2∴…（10分）∴X的分布为：X012P则…（13分）题型二：不放回摸球游戏问题典例2：甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y＝4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？（2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的数学期望．解：（1）由题意，；∴，当且仅当x＝y＝2时“＝”成立所以当红球与白球各2个时甲获胜的概率最大（2）取出的3个球中红球个数ξ＝0，1，2，3，所以【解题方法点拨】超几何分布的求解步骤：（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．例题精讲超几何分布例1.已知超几何分布满足X～H（3，5，8），则P（X=2）=___．例2.在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是___．例3.若X～H（2，3，5），则P（X=1）=___。

二项分布概率例题及解析精选全文

可编辑修改精选全文完整版二项分布概率例题及解析二项式概型答题高分策略、模板例析如下：二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→将k值代入求解概率→写出二项分布的分布列.若离散型随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),即其均值和方差的求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式.例1：某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后第2位):(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.思路分析:直接代入公式求解,其中第(2)问可以利用对立事件求概率.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X~B(5,4/5),故其分布列为反思：弄清“5次中有2次准确且第3次准确”表示的意义是求解第(3)问的关键,它表示第3次准确,其他4次有1次是准确的.总结：(1)独立重复实验的条件:①每次试验在相同条件下可重复进行;②各次试验是相互独立的;③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样,用独立重复试验的概率公式计算更简单.(2)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.例2：一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为1/2,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?思路分析:(1)X可能的取值为10,20,100,-200,运用几何概率公式得出相应的概率,得出分布列.(2)利用对立事件求解得出P(A1A2A3)=P(A1)∪P(A2)∪P(A3)=1/8,即可得出1-P(A1A2A3).。

高中数学总复习专题67 二项分布及其应用(解析版)

专题67二项分布及其应用最新考纲1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布．3.能解决一些简单的实际问题.基础知识融会贯通1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P ABP A (P (A )>0)．在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n ABn A . (2)条件概率具有的性质 ①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件(1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．重点难点突破【题型一】条件概率【典型例题】某班组织由甲，乙，丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设事件A＝{学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场}，事件B＝{学生丙第一个出场}，所以P（AB）P（A），所以P（B|A）．故选：A．【再练一题】在由直线x＝1，y＝x和x轴围成的三角形内任取一点（x，y），记事件A为y＞x3，B为y＞x2，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【解答】解：设S（AB）表示A和B同时发生所构成区域的面积，S（A）表示事件A发生构成区域的面积．根据条件概率的概率计算公式P（B|A）．故选：D．思维升华 (1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P ABP A ，这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A .【题型二】相互独立事件的概率【典型例题】为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（） A ．B ．C ．D ．【解答】解：某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为： p．故选：B ．【再练一题】在某段时间内，甲地不下雨的概率为P 1（0＜P 1＜1），乙地不下雨的概率为P 2（0＜P 2＜1），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（） A ．P 1P 2 B ．1﹣P 1P 2C ．P 1（1﹣P 2）D ．（1﹣P 1）（1﹣P 2）【解答】解：在某段时间内，甲地不下雨的概率为P1（0＜P1＜1），乙地不下雨的概率为P2（0＜P2＜1），在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为：P＝（1﹣P1）（1﹣P2）．故选：D．思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；【题型三】独立重复试验与二项分布命题点1根据独立重复试验求概率【典型例题】将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率是P．故选：B．【再练一题】某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．【解答】解：（1）∵某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为••．（2）至少有8次击中目标的概率为••••．命题点2根据独立重复试验求二项分布【典型例题】设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．（1）当p＝q时，求数学期望E（ξ）及方差V（ξ）；（2）当p+q＝1时，将ξ的数学期望E（ξ）用p表示．【解答】解：（1）∵每位投球手均独立投球一次，当p＝q时，每次试验事件发生的概率相等，∴ξ～B（3，），由二项分布的期望和方差公式得到结果∴Eξ＝np＝3，Dξ＝np（1﹣p）＝3（2）ξ的可取值为0，1，2，3．P（ξ＝0）＝（1﹣q）（1﹣p）2＝pq2；P（ξ＝1）＝q（1﹣p）2+（1﹣q）C21p（1﹣p）＝q3+2p2q；P（ξ＝2）＝qC21p（1﹣p）+（1﹣q）p2＝2pq2+p3；P（ξ＝3）＝qp2．ξ的分布列为E【再练一题】一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m＝3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？【解答】解：（Ⅰ）∵取出2球的颜色相同则为中奖，∴每次中奖的概率p；（Ⅱ）若m＝3，每次中奖的概率p，∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为；（Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为f （p ）3p 3﹣6p 2+3p （0＜p ＜1），∴f ′（p ）＝3（p ﹣1）（3p ﹣1），∴f （p ）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减， ∴p时，f （p ）取得最大值，即p∴m ＝2，即m ＝2时，f （p ）取得最大值．思维升华独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率．基础知识训练1．已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（） A ．13B ．37C ．16D ．12【答案】D 【解析】记“第一次抽到红球”为事件A ；记“第二次抽到红球”为事件B()141747C P A C ∴==，()1143117627C C P AB C C == ()()()217427P AB P B A P A ∴===本题正确选项：D2．科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲每次通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为（）A．164B．12131344C⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．21231344C⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．364【答案】D 【解析】甲每次通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为：3333 1144464 P⎛⎫⎛⎫=−⨯−⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D．3．甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是（）A．13B．427C．49D．127【答案】B 【解析】由题可知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是12133−=，所以甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是2214 33327⨯⨯=故选B.4．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A．0.42B．0.28C．0.18D．0.12【答案】D【解析】由于甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4，0.3，由于两人考试相互独立，所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为：0.40.30.12⨯=故答案选D5．设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是() A．B．C．D．【答案】C 【解析】 ∵函数存存在零点，∵随机变量服从二项分布．故选：C ．6．设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则D(η)= ( ) A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】由随机变量ξ~B (2,p ),且P (ξ≥1)=, 得P (ξ≥1)=1-P (ξ=0)=，解得.则,随机变量η的方差.本题选择C 选项.7．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则()()D Y D X −的值为( ) A ．12512B ．3512C ．274D ．234【答案】A 【解析】设A 学生答对题的个数为m ，则得分5x m =（分），112,4m B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()13912444D m =⨯⨯=，所以()92252544D X =⨯=，同理设B 学生答对题的个数为n ，可知112,3n B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,()12812333D n =⨯⨯=，所以()82002533D Y =⨯=，所以()()2002251253412D Y D X −=−=.故选A. 8．若10件产品中包含8件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）A．1213B．1415C．1617D．1819【答案】C【解析】由题意，记事件A为“取出的2件产品中存在1件不是一等品”，事件B为“取出的2件中，1件是一等品，1件不是一等品”，则11211282282210101716 (),()4545C C C C CP A P ABC C+====，所以()16(|)()17P ABP B AP A==，故选C．9．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军．4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )A．0.15B．0.105C．0.045D．0.21【答案】C【解析】甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件的概率等于概率之积，所以，甲得冠军且丙得亚军的概率：0.30.50.30.045⨯⨯=. 故选C.10．在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，⋯，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )A ．6523B ．5523C ．6623D ．5623【答案】B 【解析】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率5243146212()()333P C ==；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率6111143223326212()()()333P C C C C =+=，所求概率56512665222333P P P =+=+=；故选B. 11．假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次. （1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】（1）设表示第次投篮命中，表示第次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件，则．（2）命中的次数可取0，1，2，3；，,,所以答：的数学期望为2．12．为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足120分的占8，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（1）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．（2）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数为X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）．（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++【答案】(1)见解析；(2) （i ）见解析（ii ）见解析【解析】（1）∵()224515161047.287 6.63525201926K ⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯．∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．（2）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人，X 的可能取值为0，1，2，3，4．()416420C 0C P X ==， ()33416420C C 1C P X ⋅==， ()22416420C C 2C P X ⋅==， ()31416420C C 3C P X ⋅==， ()44420C 4C P X ==．则分布列为（ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中，周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，由题意可知()20,0.6Y B ~，故()12E Y =，() 4.8D Y =．13．生蚝即牡蛎(oyster)，是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示.(1)若购进这批生蚝500kg ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[)5,25间的生蚝的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（I ）17544（只）；（II ）85. 【解析】（Ⅰ）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为()16101020123084045028.540g ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以购进500kg ，生蚝的数列均为50000028.517554÷≈（只）； (II)由表中数据知，任意挑选一只，质量在[)5,25间的概率为25P =， X 的可能取值为0,1,2,3,4，则()()41314381232160,1562555625P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()()2231423442321623962162,3,455625556255625P X C P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫========= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以X 的分布列为所以()216961683346256256255E X =⨯+⨯+⨯= 14．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率. (Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望；(Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?【答案】(Ⅰ)分布列见解析，； (Ⅱ)； (Ⅲ)选择方案.【解析】(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为,即抽出产品为合格品的概率为, 从产品中随机抽取件,合格品的个数的所有可能取值为且,, 所以的分布列为故数学期望(Ⅱ) 随机抽取件,全是合格品的概率为,依题意,故的最大值为.(Ⅲ) 按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数；按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数,依题意,解得,因为,所以应选择方案.15．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0，1，2，3，，，所以的分布列为的数学期望.（Ⅱ）设为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得，，由，解得，又，所以当时概率最大．即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.能力提升训练1．若已知随机变量，则____．【答案】【解析】随机变量，则．故答案为：．2．某工厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品ξ的概率分布.【答案】0.9025 0.095 0.0025 【解析】因()2,0.05B ξ，所以()02200.950.9025P C ξ===，()1210.950.050.095P C ξ==⨯=，()22220.050.0025P C ξ===，故分别填：0.9025，0.095，0.0025. 3．设随机变量1~,4X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()34D X =，则事件“2X =”的概率为_____（用数字作答）【答案】27128【解析】由1~,4X B n ⎛⎫⎪⎝⎭可知：()1133144164n D x n ⎛⎫=⨯⨯−== ⎪⎝⎭ 4n ∴=()222411272144128P X C ⎛⎫⎛⎫∴==⋅⋅−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 本题正确结果：271284．如图，在小地图中，一机器人从点()0,0A 出发，每秒向上或向右移动1格到达相应点，已知每次向上移动1格的概率是23，向右移动1格的概率是13，则该机器人6秒后到达点()4,2B 的概率为__________.【答案】20243【解析】由题意，可得6秒内向右移动4次，向上移动2次则所求概率为：4246122033243C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确结果：202435．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，若X 表示抽到的二等品件数，则()V X =_________. 【答案】1.96 【解析】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，0.02p =，100n =，则()()1V x np p =−1000.020.98=⨯⨯ 1.96=，故答案为1.966．设随机变量(2,)B p ξ，(4,)B p η，若2()3E ξ=，则(3)P η≥=______.【答案】19【解析】()223E p ξ==13p ∴= 14,3B η⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()()()34344412113343339P P P C C ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴≥==+==⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 本题正确结果：197．为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：（分）将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；（3）若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）【答案】(1) (2)见解析(3) 估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用【解析】（1）当时，当时，.得：（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率可取.的分布列为或依题意（3）王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间（分钟），每次上下班租车的费用约为（元）一个月上下班租车费用约为，估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用．8．甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用五场三胜制，即若有一队先胜三场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为150万元且甲获得总冠军的概率；(2)设总决赛中获得的门票总收入为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）已知总决赛中获得门票总收入恰好为150万元且甲获得总冠军即甲连胜3场，则其概率为；（2）随机变量X可取的值为150，220，300.又P(X＝150)＝2×＝，P(X＝220)＝C××＝，P(X＝300)＝C××＝.分布列如下：所以X的数学期望为E(X)＝150×＋220×＋300×＝232.5(万元)．9．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数；（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1），82；（2）见解析【解析】由题意：，估计这200名选手的成绩平均数为．由题意知， X B (3,1/3)，X可能取值为0，1，2，3，，所以X的分布列为：X的数学期望为．10．为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以下的列联表：(1)根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为,求的分布列及数学期望。

高中二项分布归纳总结

高中二项分布归纳总结
哎呀，二项分布这东西，一开始我真是觉得头都大啦！就好像在黑暗中找路，完全摸不着头脑。

你想想啊，咱们抛硬币，正面朝上或者反面朝上，这是不是很简单？但二项分布就把这种简单的事儿变得复杂起来。

比如说，咱们抛10 次硬币，想知道出现5 次正面朝上的概率是多少。

这时候二项分布就派上用场啦！它能帮咱们算出来。

二项分布里有个n ，还有个p 。

n 就好比咱们抛硬币的次数，p 呢，就是每次抛硬币正面朝上的概率。

那怎么算呢？就好像搭积木一样，一块一块地来。

先确定n 和p ，然后根据公式去算。

老师在讲台上讲得唾沫横飞，我在下面听得云里雾里。

我就想：“这到底是啥呀？怎么这么难理解！”
我旁边的同学也直挠头，小声跟我说：“这也太难了，感觉比登天还难！”
后来，老师举了好多例子，比如抽奖，有多少个奖，每次抽奖中奖的概率是多少，要算抽多少次能中几个奖的概率。

慢慢地，我好像有点开窍了。

原来二项分布就是在算这种类似的事情呀！
再后来，做练习题的时候，一开始我还是错得一塌糊涂。

我就着急呀，“怎么还是不会呢？” 但是我没放弃，不停地问老师，问同学。

终于，我能做出一些题目啦！这感觉，就像在黑暗中走了好久，突然看到了一丝光亮。

你说，学习新知识不就像爬山嘛，一开始觉得山好高好难爬，但是只要坚持，一步一步往上走，总会爬到山顶，看到美丽的风景！
所以啊，我觉得二项分布虽然一开始很难，但只要我们用心学，多练习，就一定能掌握它！。

二项式分布及应用

二项式分布及应用二项式分布及应用1、条件概率及其性质（1）条件概率的定义设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B|A)=____________为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。

（2）条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率型概率公式，即P(B|A)=____________。

（3）条件概率的性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B|A)≤1。

②如果B 和C 是两个互斥事件，那么P (B ⋃C|A)=___________。

2、事件的相互独立性（1）设A ，B 为两个事件，如果P (AB )=___________，那么称事件A 与事件B 相互独立。

（2）如果事件A 与B 相互独立，那么___________与___________，___________与___________，___________与___________也相互独立。

思考探究“相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥。

3、二项分布在n 次独立事件重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p , 那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P(X=k )=___________（k=0,1,2,……，n ）.此时称随机变量X 服从二项分布，记作___________，并称___________为成功概率。

夯实双基1、判断下面结论是否正确（打“√”或“×”）。

（1）若事件A ，B 相互独立，则P (B|A)=P(B )。

（2）P (B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率；P (BA )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )=P(A )⋅P (B )。

k k （3）二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X=k )=C n p (1-p ) n -k ,k =0,1,2, , n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布。

二项分布及其应用(答案)

二项分布及其应用【知识要点】一、条件概率及其性质1、条件概率一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。

2、性质（1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P .（2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。

【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 21 。

【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ）A 、0.8B 、0.75C 、0.6D 、0.45【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ）A 、172B 、152C 、51D 、103 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）A 、21B 、41 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是94 。

二、相互独立事件及n 次独立重复事件1、相互独立事件同时发生的概率(1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

二项分布及其应用

二项分布及其应用1．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件．(2)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(3)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立．2．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称题型一相互独立事件的概率例1 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．练：甲、乙两运动员，对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，(1)两人都射中的概率；(2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少一人射中的概率；(4)两人中至多一人射中的概率．甲、乙、丙做一道题，甲做对的概率12，三人都做对的概率124，三人全做错的概率是14. (1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．题型二独立重复试验与二项分布例2 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．练习. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．粒子A 位于数轴x ＝0处，粒子B 位于数轴x ＝2处，这两颗粒子每隔1秒钟向左或向右移动一个单位，设向右移动的概率为23，向左移动的概率为13. (1)求4秒后，粒子A 在点x ＝2处的概率；(2)求2秒后，粒子A 、B 同时在x ＝2处的概率．基础测试1．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，14，则密码被译出的概率为( ) A ．0.45 B ．0.05 C ．0.4 D ．0.62．一学生通过一种英语听力测试的概率是12，他连续测试两次，恰有一次通过的概率是 A.14 B.13 C.12 D.343．已知随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.1316 B.4243 C.13243 D.802434.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，在5次测量中至少3次出现正误差的概率 A.516 B.58 C.23 D.125.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．6．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 A.⎝⎛⎭⎫125 B ．C 25⎝⎛⎭⎫125 C ．C 25⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25C 35⎝⎛⎭⎫125 7．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164B.5564C.18D.1168.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．9.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．10.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.3411．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．12．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率．13.甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，(1)乙取胜的概率；(2)比赛打满七局的概率；(3)设比赛局数为ξ，求ξ的分布列．。

(完整版)二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

二项分布与超几何分布辨析二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C PY C ===．因此，Y 的分布列为辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布二项分布、超几何分布、正态分布一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( ) A.516 B.316 C.58 D.7162．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13B.59C.827D.19273．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582B ．C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582·38C ．C 911⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582 4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．(用数值作答) 答案：151287．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为________．8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________．答案：不合格三、解答题9．一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．10.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．参考答案1、解析：P (ξ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－123＝516. 答案：A2、解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13 ，∴P (η≥1) ＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＋C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝1927，故选D.3、解析：P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582×38. 答案：B4、解析：C14p (1－p )3≤C24p 2(1－p )2，即2(1－p )≤3p ，∴p ≥0.4.又∵p <1，∴0.4≤p <15、解析：∵P (ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P (ξ＜0)＝P (ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A.6、解析：由题意知所求概率P ＝C 310⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫127＝15128. 7、解析：这是超几何分布，P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝0.1；P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6; P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝0.3，分布列如下表：8、解析：根据3σ原则，在4－3×0.5＝2.5~4＋3×0.5＝5.5之外为异常，所以这批零件不合格． 9、解析：(1)设A i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，i ＝1,2. B i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”，i ＝1,2. C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．则C ＝A 1·A 2＋A 1·B 2＋B 1·A 2.由已知P (A i )＝0.9，P (B i )＝0.05 i ＝1,2. 所以，所求的概率为P (C )＝P (A 1·A 2)＋P (A 1·B 2)＋P (B 1·A 2) ＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为p ＝P (C )＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B (3,0.1)，ξ的分布列为10、解析：(1)P (ξ＝0)＝C 34C 310＝130，P (ξ＝1)＝C 16·C 24C 310＝310，P (ξ＝2)＝C 26·C 14C 310＝12，P (ξ＝3)＝C 36C 310＝16，其分布列如下：(2)法一：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415.因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P()A ·B ＝P ()A ·P ()B ＝⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－1415＝145， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P()A ·B ＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 P ＝P ()A ·B＋P ()A ·B ＋P ()A ·B ＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445。

二项分布考点与题型归纳

二项分布考点与题型归纳什么是二项分布？
二项分布是指在 n 次独立重复的试验中，每次试验的结果只有两种可能：成功或失败。

每次试验成功的概率为 p，失败的概率为q=1-p。

那么，在这 n 次试验中恰好出现 k 次成功的概率就符合二项分布。

即
$$ P(k)=C_n^kp^kq^{n-k} $$
考点归纳
- 二项分布的定义
- 二项分布概率公式及其中的符号含义
- 二项分布的期望和方差
- 二项分布与泊松分布的关系
题型归纳
基础题型
1. 概率求解：已知 n，p，k，求 P(k)。

2. 概率求解：已知 n，p，P(k)，求 k 的取值范围。

3. 概率求解：已知 n，p，P(k)，求至少/至多/不少于 k 次成功的概率。

进阶题型
1. 均值和方差求解：已知 n，p，求二项分布的期望和方差。

2. 泊松分布的逼近：当试验次数 n 较大，p 较小，np 保持一定时，用泊松分布近似描述二项分布。

3. 综合运用：结合二项分布和正态分布，求某经验数据满足条件的概率。

课外拓展
1. 贝尔分布：n 次实验中，成功次数的存在范围为 [0, n]，可以用贝尔分布来描述其概率分布。

2. 伯努利分布：二项分布的特例，n=1，只进行一次实验的情况。

二项式分布应用题

二项式分布应用题二项式分布是概率论中非常重要的一个分布，常常被应用在各种实际问题的解决中。

在现实生活中，我们经常会遇到一些与二项式分布相关的问题，例如某项产品的合格率、某种药物的疗效、某次考试的及格率等等。

本文将结合几个具体的实例，来说明二项式分布在实际问题中的应用。

首先，假设某公司生产的某批产品合格率为0.9，如果从这批产品中随机抽取10个样本进行检验，那么其中有几个样本是合格的呢？我们可以利用二项式分布来计算这个问题。

设随机变量X表示抽取的样本中合格品的数量，X服从二项分布B(10,0.9)。

利用二项式分布的概率公式，可以计算出其中有多少个样本是合格品。

其次，考虑某种新药的疗效问题。

某药厂研发出一种新药，宣称其治愈率为0.8，为验证其疗效，需要进行一次实验。

假设随机选取10名病人接受治疗，其中有几个病人可以治愈呢？同样可以利用二项式分布来解决这一问题。

设随机变量Y表示随机选取的10名病人中治愈的数量，Y服从二项分布B(10,0.8)，通过计算可以得出有多少病人可以治愈。

最后，考虑某次考试的及格率问题。

某班级进行一次考试，知识点涉及10个题目，已知学生的答对率为0.7，那么考试后有多少学生可以及格呢？假设随机取出10名学生进行测验，设随机变量Z表示其中有多少名学生可以及格，Z服从二项分布B(10,0.7)。

通过二项式分布的计算，可以得出及格人数的期望值。

综上所述，二项式分布在实际问题中有着广泛的应用。

通过计算二项式分布，可以得出各种概率问题的解答，帮助我们更好地理解和分析实际问题，为决策提供参考依据。

在解决问题时，我们需要根据具体情况建立相应的模型，正确运用二项式分布的性质，得出准确的结果。

希望通过本文的介绍，读者能更深入地了解二项式分布的应用，提升自己的问题解决能力。

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专题：二项分布及其应用1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )(P (A )>0)．在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )n (A ). (2)条件概率具有的性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件．(2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立．3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．1. 如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_______________．2．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．3．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—元件1——元件2——元件3— 4．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.185．如果X ～B ⎝⎛⎭⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．3或4题型一条件概率例1 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.题型二相互独立事件的概率例2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．题型三独立重复试验与二项分布例3 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．典例：一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．A 组专项基础训练一、选择题1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25D.12 2．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5763．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.344．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于 ( ) A.1316B.4243C.13243D.80243二、填空题 5．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．7．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________．三、解答题8．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．9．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率．B 组专项能力提升一、选择题1．某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为( ) A ．0.3 B ．0.5 C ．0.6 D ．12．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 ( )A.⎝⎛⎭⎫125 B ．C 25⎝⎛⎭⎫12 5 C ．C 35⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25C 35⎝⎛⎭⎫125 3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12B.512C.14D.16二、填空题4. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为_______．5. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．6．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题7．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．P (C )＋P (D )＝1327.。

专题14 二项分布及其应用 Word版含解析

专题14 二项分布及其应用【知识点总结】 1．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )·P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． 2．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，A i (i ＝1，2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率，在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0，1，2，…，n )． (3)二项分布的均值与方差若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．【题型总结】题型一相互独立事件的概率【例1】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．【解】由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×(34×13×14×13＋14×23×14×13)＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112.P (X ＝4)＝2×(34×23×34×13＋34×23×14×23)＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.【变式1】某生物产品，每一个生产周期成本为20万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X 表示1个生产周期此产品的利润，求X 的分布列；(2)连续3个生产周期，求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率．[解] (1)设A 表示事件“产品产量为30吨”，B 表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”，则P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X 的所有值为50×1－20＝30，50×0.6－20＝10， 30×1－20＝10，30×0.6－20＝－2，则P (X ＝30)＝P (A －)P (B －)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝10)＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P (X ＝－2)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2，则X 的分布列为0.5(2)设C i 表示事件“第i 个生产周期的利润不少于10万元”(i ＝1，2，3)，则C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝30)＋P (X ＝10)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)，连续3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512，连续3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P (C 1C －2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C －3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以连续3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512＋0.384＝0.896.题型二独立重复试验与二项分布【例2】某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望．【解】 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响，所以P (A )＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫231＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝727.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627＝29； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝1227＝49；P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. 因此X 的分布列为所以X 的数学期望为EX ＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.题型三已知二项分布，求二项分布列及均值【例3】小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．[解] (1)设“甲恰得1个红包”为事件A ，则P (A )＝C 12×13×23＝49.(2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫233＝827， P (X ＝5)＝C 12×13×⎝⎛⎭⎫232＝827，P (X ＝10)＝⎝⎛⎭⎫132×23＋⎝⎛⎭⎫232×13＝627， P (X ＝15)＝C 12×⎝⎛⎭⎫132×23＝427，P (X ＝20)＝⎝⎛⎭⎫133＝127. 所以X 的分布列为E (X )＝0×827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203.题型四已知随机变量服从二项分布，求某种情况下的概率【例4】设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281 B ．1127C.6581 D ．1681 【答案】B【解析】因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127.【课堂练习】1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )的值等于( )A ．0B ．116C.14 D ．12[答案] B2.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312 【答案】A[解析] 3次投篮投中2次的概率为P (X ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (X ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.3. 抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．[解析] 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为46×46＝49，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－49＝59，用X 表示10次试验中成功的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫10，59，E (X )＝10×59＝509. [答案]509。

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二项分布专题训练
一。

选择题
1.甲、乙两人独立地解同一问题,甲能解决这个问题得概率就是,乙能解决这个问题得概率就是,那么其中至少有1人能解决这个问题得概率就是( D )
A.; Ｂ.; C.;D、.
2.在一个盒子中有大小相同得10个球,其中６个红球,４个白球,两人无放回地各取一个球,则在第一个人摸出红球得条件下,第二个人也摸出红球得概率就是( A)
A.; Ｂ.; C.; D。

【解析】设“第一个人摸出红球”为事件A,“第二个人摸出红球"为事件Ｂ,则,,则。

3.两个独立事件与发生得概率分别为与,则有且只有一个发生得概率为。

4.(０4年重庆) 甲、乙、丙三人每次射击命中目标得概率分别为０、7、0.6与０.5,计算:
⑴三人各向目标射击一次,求恰有两人命中目标及至少有一人命中目标得概率;
⑵若甲连续射击三次,求她恰好一次命中得概率、
解:⑴设()表示事件“第人命中目标”,显然、、相互独立,且,,。

三人中恰有两人命中目标得概率为。

三人中恰有至少有一人命中目标得概率为
.
⑵设表示“甲在第次命中目标",、显然、、相互独立,且.
甲连续射击三次,恰好一次命中得概率为
.
5、已知在10只晶体管中有２只次品,从中连续抽取两件,且取出得产品不再放回,求下列事件得概率。

⑴两只都就是正品; ⑵两只都就是次品、
解:设事件()表示第次取到正品,则表示第次取到次品、
依题意,,,,.
⑴表示第１次,第２次都取到正品,即表示两只都就是正品,根据乘法公式
、
⑵。

另解:本题也可利用古典概型来解决。

点评:本题中由于就是两个都就是正(次)品,由于就是连续抽取且抽后不放回,故与条件概率有关。

６、(04年福建·理)甲、乙两人参加一次英语口试,已知在备选得10道题中,甲能答对其中得6道,乙能答对其中得８道,规定每次考试都从备选题中随机地抽出3道,至少答对2道才算合格。

⑴求甲答对试题数得概率分布分布;
⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格得概率。

解:⑴依题意,甲答对题数得概率分布如下:
⑵方法1:甲、乙两人至少有一人考试合格得概率为
、
方法2:∵甲、乙两人考试均不合格得概率为,
∴甲、乙两人至少有一人考试合格得概率为、
7。

(0７年天津·文科)已知甲盒内有大小相同得3个红球与4个黑球,乙盒内有大小相同得5个红球与４个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球。

(Ⅰ)求取出得4个球均为红球得概率;
(Ⅱ)求取出得４个球中恰有1个红球得概率;
解:(Ⅰ)设“从甲盒内取出得2个球均为红球”为事件,“从乙盒内取出得２个球均为红球”为事件.由于事件相互独立,且
,,
故取出得4个球均为红球得概率就是。

(Ⅱ)设“从甲盒内取出得2个球中,1个就是红球,1个就是黑球;从乙盒内取出得２个红球为黑球"为事件,“从甲盒内取出得2个球均为黑球;从乙盒内取出得2个球中,1个就是红球,1个就是黑球”为事件、由于事件互斥,且
,。

故取出得4个红球中恰有4个红球得概率为。

8.(01年天津)如图,用、、三个不同得元件联结成两个电子系统(Ⅰ)、(Ⅱ)。

当元件、、都正常工作时,系统(Ⅰ)正常工作;当元件正常工作且、至少有一个正常工作时,系统(Ⅱ)正常工作。

已知元件、、正常工件得概率依次为、、,分别求系统(Ⅰ)、(Ⅱ)正常工作概率、,并说明哪个系统得稳定性好.
解:分别记元件、、正常工作为事件、、,由已知,,则:
⑴因为事件、、就是相互独立得,所以系统(Ⅰ)正常工作得概率为。

⑵因为元件正常工作与元件、至少有一个正常工作就是相互独立得,而、没有一个正常工作得概率为,于就是、至少有一个人正常工作得概率为,
∴系统(Ⅱ)正常工作概率。

(或)
(Ⅰ) (Ⅱ)。

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