2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：选修4-4 第1讲 坐标系 Word版含答案

第1讲坐标系

一、知识梳理 1．坐标系 (1)伸缩变换

设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩

⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·

x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，

点P (x ，y )对应到点P ′(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．

(2)极坐标系

在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox

为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．

2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度

单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩

⎪⎨

⎪⎧x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ，⎩

⎪⎨⎪

⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.

3．直线的极坐标方程

若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0

－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.

(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ． (3)直线过点M ⎝⎛⎭⎫b ，π

2且平行于极轴：ρsin θ＝b ． 4．圆的极坐标方程

若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：

ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2

＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r .

(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ． (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π

2，半径为a ：ρ＝2a sin θ． 常用结论 1．明辨两个坐标

伸缩变换关系式⎩

⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），

y ′＝μy （μ>0），点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，

因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程．

2．极坐标方程与直角坐标方程互化

(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简． (2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．

二、习题改编

1．(选修4-4P15T2改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，π

2 B.⎝⎛⎭⎫1，－π

2 C ．(1，0)

D ．(1，π)

解析：选B.由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝

⎛⎭⎫1，－π

2.故选B. 2．(选修4-4P15T2改编)圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π

4，且圆C 经过极点．求圆C 的极坐标方程．

解：圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2

＝r 2，

依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，

故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos θ)＝0，

即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )

(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏

常见误区(1)对极坐标几何意义不理解； (2)极坐标与直角坐标的互化致误．

1．在极坐标系中，已知两点A ⎝⎛⎭⎫3，π4，B ⎝

⎛⎭⎫2，π

2，则|AB |＝ ． 解析：设极点为O .在△OAB 中，A ⎝⎛⎭⎫3，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，π

2，由余弦定理，得AB ＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝⎛⎭⎫

π2－π4＝ 5. 答案： 5

2．确定极坐标方程ρ2cos 2θ－2ρcos θ＝1表示的曲线． 解：由极坐标方程ρ2cos 2θ－2ρcos θ＝1，得 ρ2(cos 2θ－sin 2θ)－2ρcos θ＝1. 由互化公式⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，

得x2－y2－2x＝1，即(x－1)2－y2＝2.

故此方程表示以(1，0)为中心，F1(－1，0)，F2(3，0)为焦点的等轴双曲线．平面直角坐标系中的伸缩变换(师生共研)

(1)曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换

⎩

⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为 ． (2)曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪

⎧x ′＝2x ，y ′＝3y

后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程

为 ．

【解析】 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪

⎨⎪⎧x ＝x ′

2，y ＝y ′，

代入曲线C 的方程得C ′：x ′2

4

＋y ′2＝1.

(2)根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩

⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，

y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，

则(2x )2＋(3y )2＝1， 即4x 2＋9y 2＝1，

所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1. 【答案】 (1)x ′2

4

＋y ′2＝1 (2)4x 2＋9y 2＝1