线性变换与矩阵的关系

线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学姓名：学号：线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124）指导教师一、线性变换定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。

设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。

即T(V)={ β=T(α)|α∈V},显然T(V) ⊂U注：变换的概念实际上是函数概念的推广。

定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足（1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2);（2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。

那么，就称T为从V n到U m的线性变换。

说明：○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。

○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元α在变换下的象。

○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空V n中的线性变换。

下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。

二、线性变换的性质设T是V n中的线性变换，则(1)T(0)=0,T(-α)=-T(α);(2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tαm;(3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。

(4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。

记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。

设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。

那么(i)σ是满射Im(σ)=W;(ii)σ是单射Ker(σ)={0}定理1 设V 和W 是数域F 上的向量空间，而σ：V →W 是一个线性映射。

那么V 的任意子空间在σ之下的像是W 的一个子空间。

而W 的任意子空间在σ之下的原像是V 的一个子空间。

三、线性变换的运算设L (V )是向量空间V 的全体线性变换的集合，定义L (V )中的加法，数乘与乘法如下：加法：数乘：； 乘法：， 其中，.易验证，当A , B 是V 的线性变换时，A+B ，AB 以及kA 都是V 的线性变换.四、线性变换的矩阵设V 是数域F 上的一个n 维向量空间,n ααα,,,21 是V 的一个基,)(V L ∈σ.由于,,,2,1,)(n i V i =∈ασ因而它们可由基n ααα,,,21 线性表出.令,12211111)(n n a a a αααασ+++=,22221122)(n n a a a αααασ+++= (1)…………………n nn n n n a a a αααασ+++= 2211)(.(1) 也可以表示为：A n n ),,,(),,(2121αααααασ = , (2)其中11a 12a … n a 1 21a 22a … n a 2 A= …………………… 1n a 2n a … nn a称A 为σ关于基n ααα,,,21 的矩阵.A 的第j 列元为)(j ασ在基n ααα,,,21 下的坐标,,,,2,1n j =因而当取定基之后,σ在这一基下的矩阵是唯一的.设V 是数域F 上一个n 维向量空间.令是V 的一个线性变换.取定一个基1α,2α,⋯,n α.考虑V中任意一个向量.2211n n x x x ααα+++σ(ξ)仍是V 的一个向量.设σ(ξ)=.2211n n y y y ααα+++ 自然要问,如何σ(ξ)计算的坐标()n y y y ,,,21 .令 (),12211111n n a a a αααασ+++=(),22221122n n a a a αααασ+++= (2) ………………………………(),2211n nn n n n a a a a ααασ+++=这里ij α,i,j=1,…,n,就是()j ασ关于基n αα,,1 的坐标 .令11a 12a … n a 1 21a 22a … n a 2 A= …………………… 1n a 2n a … nn an 阶矩阵 A 叫做线性变换σ关于基{}n ααα,,,21 的矩阵.矩阵A 的第j 列元素就是这样,取定F 上n 维向量空间V 的一个基之后,对于V 的每一个线性变换,有唯一确定的F 上n 阶矩阵与它对应.为了计算()ξσ关于基{}n ααα,,,21 的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的等式(3) ()()()()n ασασασ,,,21 =()A n ααα,,,21 .设 =ξn n x x x ααα+++ 2211=()n ααα,,,21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎝n x x 21因为σ是线性变换,所以 (4) ()()()()n n x x x ασασασξσ+++= 221=()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎝n n x x 2121,,,ασασασ将(3)代入(4)得()=ξσ()n ααα,,,21 A .21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x最后等式表明,()ξσ关于()n ααα,,,21 的坐标所组成的列是A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21比较等式(1),我们得到定理1 令V 是数域F 上一个n 维向量空间,是V 的一个线性变换,而关于V 的一个基的矩阵是11a 12a … n a 1 21a 22a … n a 2 A= …………………… 1n a 2n a … nn a如果V 中向量ξ关于这个基的坐标是()n x x x ,,,21 ,而()ξσ的坐标是()n y y y ,,,21 ,那么(5)在空间2V 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量21,εε作为2V 的基.令σ是将2V 的每一向量旋转角θ的一个旋转.σ是2V 的一个线性变换.我们有()().cos sin ,sin cos 212211θεθεεσθεθεεσ+-=+=所以σ关于基{}21,εε的矩阵 是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos设2V ∈ξ,它关于基{}21,εε的坐标()21,x x 是,而()ξσ的坐标是()21,y y .那么：=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 设A 向量空间V 的线性变换，如果 ，则矩阵A 称为线性变换A 在基下的矩阵.（1）相似矩阵：对于两个n 阶方阵A ,B ，如果存在一可逆矩阵C ，使得，则称方阵A 与B 相似，记为A ～B .（2）线性变换的特征值和特征向量：设A 是向量空间的一个线性变换，如果存在实数和V 中非零向量ξ，使得A ξ=λξ，则称λ为A 的一个特征值，ξ为A 的属于特征值λ的一个特征向量.（3）矩阵的特征值和特征向量：设A 为一个m 阶实矩阵，如果存在m 维非零向量，使得，则称λ为矩阵A的特征值，为A的属于特征值λ的特征向量.下面定义线性变换的运算.1、正交变换的性质：设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：(1) A是正交变换；(2) A保持向量的长度不变，即对于任意的；(3) 如果是V的标准正交基，则也是V的标准正交基.(4) A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.2、线性变换矩阵的性质：①设V的线性变换A在基下的矩阵为A，向量在基下的坐标为在此基下的坐标为，则②设与是向量空间V的两组基，从基到基的过渡矩阵为C，又设线性变换A的这组两基下的矩阵分别为A, B，则即A～B.3、线性变换的矩阵可以是对角阵的充要条件：设V为m维向量空间，A为V的一个线性变换.那么存在V的一组基，使得A在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是A有m个线性无关的特征向量.4、方阵相似于对角矩阵的充要条件：n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.五、线性变换在不同基下的矩阵的关系定理1 设V是域F上n维线性空间，V上的一个线性变换A在V的两个基α1……αn与η1，……ηn下的矩阵分别为A与B，从基{αi}到基{ηi}的过渡矩阵S，则B=S-1AS (1) 证明：有由已知条件我们有A(α1,…,αn)=( α1,…,αn)A (2) A(η1,…,ηn)=( η1,…,η)B (3)(η1,…,η)= ( α1,…,αn)S (4)于是 A(η1,…,η)=A((α1,…,αn)S) =(A(α1,…,αn))S=((α1,…,αn)A)S=(α1,…,αn)(AS)=((η1,…,η)S-1)(AS)= (η1,…,η)(S-1AS) (5) 比较（3）和（5）式得B=S-1AS定理1表明，同一个线性变换A在V的不同基下的矩阵是相似的。

定理2 域F上n维线性空间V的同一个线性变换A在V的所有各个基下的矩阵组成的集合恰好是M n(F)的一个相似等价类。

证明：设A在V的一个基α1,…,αn下的矩阵为A，用A表示M n(F)中由A确定的相似等价类。

任取V的一个基η1,…,ηn，设A在此基下的矩阵是B。

据定理1，B～A,从而B∈A。

反之，任取C∈A，则有可逆矩阵U，使得C=U-1AU。

令（γ1,…γn）=(α1,…,αn)U (6)（γ1,…γn）是V的一个基，由定理1，A在即基γ1,…γn下的矩阵为U-1AU,即C是A在基{γi}下的矩阵。

有定理2知道，同一线性变换A在V的所有各个基下的矩阵组成的集合是M n (F)的一个相似等价类。

于是M n (F)在相似关系下的不变量就反映了线性变换的内在性质，它们与基的选取无关。

譬如n 级矩阵的行列式、秩、迹、特征多项式、特征值等都是M n (F)的相似不变量，因此我们可以把线性变换A 在某一个基下的矩阵A 的行列式、秩、迹、特征多项式、特征值。

分别称为线性变换A 的行列式、秩、迹、特征多项式、特征值。

**一个线性变换关于两个基的矩阵的关系：设V 是数域F 上一个n 维向量空间。

σ是的V 一个线性变换。

假设σ关于V 的两个基{}n ααα,,,21 和{}n βββ,,,21 的矩阵分别是A 和B 。

即()()()()n αστασταστ,,,21 =()A n ααα,,,21 ， ()()()()n βσβσβσ,,,21 =()B n βββ,,,21令T 是由基{}n ααα,,,21 到基{}n βββ,,,21 的过渡矩阵：()n βββ,,,21 =()T n ααα,,,21于是()B n βββ,,,21 =()()()()n βσβσβσ,,,21 =()()()()T n αστασταστ,,,21=()AT n ααα,,,21 =()AT T n 121,,,-βββ 因此（8）AT T B 1-=等式（8）说明了一个线性变换关于两个基的矩阵的关系。