杨氏弹性模量

金属丝拉伸变形 图 3.1.1

杨氏模量测量仪

图3.1.2 杨氏弹性模量的测量

【实验目的】

（1）用拉伸法测量金属丝的杨氏弹性模量。

（2）掌握用光杠杆测量微小长度的原理及方法。

（3）学会用逐差法处理实验数据和不确定度的计算。

【实验原理】

物体在外力的作用下发生形变，若撤走外力后形变消失，即物体恢复原状，这种形变叫做弹性形变，当外力超过某一限度，撤除外力后，物体不能恢复原状而留下剩余形变称为塑性形变，产生塑性形变的最小限度叫弹性极限；当外力进一步增大到某一点时，物体会突然发生很大的形变，则该点称为屈服点，超过屈服点后，该物体就会发生断裂。在物体的弹性范围内，产生一定的形变所需应力与应变（相对形

变）之比称为弹性模量。如果物体是柱形或条形，则（由拉

力或压力所导致）沿纵向的弹性模量叫杨氏弹性模量。

如图3.1.1所示，设一粗细均匀的金属丝长度为L ，横

截面面积为S ，将其上端固定，下端悬挂砝码，金属丝受砝

码重力F 的作用而发生形变，伸长量为 L ，F /S 是金属丝截面上

单位面积所受的作用力，叫做应力，而 L /L 是金属丝单位长度的

相对形变，叫做应变，由胡克定律得：在弹性形变范围内，物体所

受的应力F/S 与应变△L/L 成正比，即 F L E S L

∆= （3.1.1） 其比例系数

//F S

E L L =∆

（3.1.2）

称为杨氏弹性模量，简称杨氏模量。式中各量的单位均用SI 单位时，E 的单位为帕斯卡（即

Pa ，1 Pa ＝1 N/m 2）。杨氏模量是表征物体（材料）性质的一个参量，与物体的几何尺寸以及

外力大小无关，对一定材料而言，E 是一个常数，它仅取决于材料的性质。杨氏模量的大小标志了材料的刚性。

【实验仪器简介】

1. 杨氏模量仪

杨氏模量仪如图3.1.2所示。三脚底座上装有两个

立柱和三个调整螺丝（调节调整螺丝可使钢丝铅直），

立柱的上端装有横梁，横梁中间小孔中有个上夹头A ，

用来夹紧金属丝L 的上端。立柱的中部有一个可以沿立

柱上下移动的平台C ，用来承托光杠杆M

。平台上有一

个圆孔和一条横槽，圆孔中有一个可以上下滑动的小圆柱形的下夹头B ，用来夹紧金属丝的下端，小夹头下面挂一砝码托盘，用于承托使金属丝拉长的砝码。

2. 镜尺组

镜尺组包括一个支架上安装的望远镜R 和标尺S 。望远镜水平安装，标尺贴近望远镜且竖直安装，与被测长度变化方向相平行。

3. 光杠杆

如图3.1.3所示，光杠杆是将一小圆形平面反射镜M 固定在下面有三个足尖f 1、f 2和f 3的“T ”形三脚支架上，f 1、f 2、f 3三点构成一个等腰三角形。后足尖f 1

到前足尖f 2、f 3连线的垂直距离b 称为光杠杆的杆长。

光杠杆镜尺法测量微小长度变化的原理：

如图3.1.2所示，测量时，将光杠杆两前足尖f 2、f 3放在平台上的横

槽内，后足尖f 1放在小圆柱体下夹头的上面，镜面M 垂直于平台。将望远镜对准镜面时，能从望远镜中看到标尺在镜中的反射像，并可读出与望远镜叉丝横线相重合的标尺读数。设未增加砝码时，平面镜M 的法线与望远

镜轴线一致，从望远镜中读得的标尺读数为N 0。当增加砝码时，如图3.1.4所示，金属丝伸长 L ，光杠杆后足尖f 1随之下降 L ，平面镜M 转过α角至M '位臵，平面镜法线也转过 角，从N 0发出的光线被反射到标尺上某一位臵（设为N 2）。根据光的反射定律，反射角等于入射角，即

0112N ON N ON α∠=∠=（ON 1为平面镜转过 角后的法线位臵）

所以 022N ON α∠=

由光的可逆性可知，从N 2发出的光经平面镜M '反射后进入望远镜而被观察到。从图3.1.4中的几何关系可得

光杆杆测量原理

图3.1.4

tan L

b α∆=

（3.1.5）

tan 2N

D α∆=

（3.1.6）

式中 D —— 标尺到平面镜的距离（0D ON =）；

N —— 标尺两次读数的变化量，此处20||N N N ∆=-。

因 L 很小，且L b ∆<<，故 很小，所以

图3.1.3

tan L

b αα∆≈≈

（3.1.7）

又因为N D ∆<<，故2 亦很小，所以

D N ∆≈

≈αα22tan

（3.1.8） 由式（3.1.7）和式（3.1.8）消去 ，得

2L N b D

∆∆= 即 2b N

L D ⋅∆∆=

（3.1.9）

此式即为光杠杆测量微小伸长量的原理公式。也可表示为

2D N L K L b ∆=⋅∆=⋅∆

（3.1.10）

式中 K (＝2D/b ) —— 光杠杆的放大倍数。

本实验中，b 取0.04～0.08m ，D 取1～2m ，放大倍数可达25～100倍，因为D b >>，所以N L ∆>>∆。 L 原本是很难测准的微小长度变化，但经过光杠杆镜尺组转换为标尺上较大范围的读数变化量 N 后，变得容易得到。其作用与杠杆的作用原理一样，是一种光学放大的方法，故这种装臵称为“光杠杆”。这种方法不但可以提高测量的准确度，而且可以实现非接触测量。

将式（3.1.9）代入式（3.1.4）中，得到杨氏弹性模量E 的测量公式

28πFLD E d b N

=∆ 式中 L —— 待测金属丝的长度（0.5～1.5 m ）；

D —— 标尺到平面镜的距离（1.5～2.0 m ）；

d —— 金属丝的直径（0.0006～0.0009 m ）；

b —— 光杠杆后足尖到两前足尖连线的垂直距离（0.04～0.08 m ）；

F —— 待测金属丝沿长度方向所受的外力（一个砝码质量1 kg ）；

N —— 标尺读数的变化量。

【实验内容】

1. 调节仪器

基本要求：望远镜全视场内清晰无视差、且叉丝位于标尺零刻度附近（〒1cm ）；光杠杆足尖距选择适当、放臵合理。

（1）用杨氏模量底座水准仪测量仪调节支架底座的三个螺丝，使支架垂直（钢丝铅直），并使夹持钢丝下端的夹头（小金属圆柱体）能在平台小孔中无摩擦地自由活动。

（2）将光杠杆放在平台上，两前足尖放在平台的沟槽中，后足尖放在下夹头的上表面（不得与钢丝相碰，不得放在夹子和平台之间的夹缝中，以使后足尖能随下夹头一起升降，准确地反映出钢丝的伸缩），然后用眼睛观察，调节小平面镜镜面垂直于平台。