中考数学猜想型试题及解答

规律性

例1．如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边

BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证

明你的猜想是正确的；

（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程． 分析：本题要求学生在掌握全等三角形的概念和性质的基础上，

灵活运用三角形全等的判定及性质进行结论猜想。求解这类问题，不能随意乱猜，要结合题目给出的条件，根据图形直观的找出结论后再进行合理的推理论证。

解：（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD ，AF=BD=CE ， 事实上，∵△ABC 与△DEF 都是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD ， 又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120° ∴∠AEF=∠CDE ，同理，得∠CDE=∠BFD ， ∴△AEF ≌△BFD ≌△CDE （AAS ），所以AE=BF=CD ，AF=BD=CE 。

（2）线段AE 、BF 、CD 它们绕△ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到，线段AF 、BD 、CE 它们绕△ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°,可互相得到。

说明：

1.本题考查的是在三角形全等的判定及应用及旋转变换，它立意考查学生的观察、分

析问题的能力.

2.因为几何直观是一种思维形式，它是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态．它不仅拓展了学生的思维空间，考查了学生的能力，更因为几何直观具有发现的功能．这种思维既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点，所以成为近几年中考试题的考点及热点问题。

练习一 1.已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 是BD 延长线上一点，F 是DB 延长线上一点，且DE=BF 。请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。

（1）连结____________；

（2）猜想：______=______； （3）证明：

F

E D C B

A

2．如图10－1－2（1），10－1－2（2），四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。

⑴如图10－1－2（1），当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；

③请证明你的上述两猜想。

⑵如图10－1－2（2），当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。

是等边三角形，C、D是以AB 3．空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，ABG

为直径的半圆O的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F，试判断点E、F 分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证明一种情况即可）

4．如图，已知平行四边形ABCD 及四边形外一直线l ，四个顶点A 、B C 、、D 到直线l 的距离分别为a b c d 、、、．

（1）观察图形，猜想得a b c d 、、、满足怎样的关系式？证明你的结论． (2)现将l 向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．

5.如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE.

(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；

(3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； (4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现

.

例题2．已知二次函数q px x y ++=2(q p ,为常数，△=042

>-q p )的图象与x 轴相交于A ()0,1x ，B ()0,2x 两点，且A ，B 两点间的距离为d ，例如，通过研究其中一个函数

652+-=x x y 及图象(如图)，可得出表中第2行的相交数据。

⑴在表内的空格中填上正确的数；

⑵根据上述表内d 与△的值，猜想它们之

间有什么关系？再举一个符合条件的二次

函数，验证你的猜想； ⑶对于函数：

q px x y ++=2(q p ,为常数，△=042>-q p )证明你的猜想。

分析：⑴用求根公式进行“两根差“的运算，也可以得到相应猜想的证明；

⑵无论是先用⑶的证明，还是先用⑴的证明，只要两种证明都正确。

解：⑴第一行 0,01==x q ；2

1=

d 第三行 1=p ，△=9，12=x ； ⑵猜想：=2

d △

例如：22

--=x x y 中；9,2,1=∆-=-=q p ；由022

=--x x 得

9,3,1,2221==-==d d x x ，∴=2d △ …

⑶证明。令0=y ，得02

=++q px x ，∵△>0 设02

=++q px x 的两根为1x ，2x 则1x +2x p -=，q x x =∙21

()()()212

212

21

2

2

12

4x x x x x x

x x d ∙-+=-=-=

()∆=-=--=q p q p 442

2

说明：

这是一道设计新颖的猜想题目，它不仅考查学生的分析，观察能力，而且还考查了一元二次方程与函数的关系。通过猜想，归纳结论，从而体现从特殊到一般的认识规律反映出从一般又回到特殊的思想的方法。

练习二

1、已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝900

，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l 。 ⑴填表：

⑵如果a ＋b －c ＝m ，观察上表猜想：S

l

＝__________(用含有m 的代数式表示)。

⑶证明⑵中的结论。