2012湖北高考数学文科

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2012年高考文科数学湖北卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共26页）数学试卷第2页（共26页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学(文史类)本试卷共4页,共22题.满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★考生注意：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合23 20,|} {A x x x x -+=∈R ,05 {|}B x x x =∈＜＜,N ,则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为( ) A .1B .2C .3D .42.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )A .0.35B .0.45C .0.55D .0.65 3.函数s ()co 2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为 ( ) A .2B .3C .4D .54.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A .任意一个有理数,它的平方是有理数B .任意一个无理数,它的平方不是有理数C .存在一个有理数,它的平方是有理数D .存在一个无理数,它的平方不是有理数 5.过点)(1,1P 的直线,将圆形区域22{()|+4}x y x y ,≤分为两部分,使得这两部分的面积差最大,则该直线的方程为( )A .20x y +-=B .10y -=C .0x y -=D .340x y +-=6.已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如图所示,则()2y f x =--的图象为( )ABCD7.定义在()(),00,-∞+∞上的函数)(f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{)(}n f a 仍是等比数列,则称)(f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞+∞上的如下函数：①2()f x x ＝；②()2x f x ＝；③()f x =；④()ln ||f x x ＝.则其中是“保等比数列函数”的)(f x 的序号为( ) A .①②B .③④C .①③D .②④8.设ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若三边的长为连续的三个正整数,且A B C ＞＞,320b acosA =,则sin :sin :sin A B C 为 ( ) A .4∶3∶2B .5∶6∶7C .5∶4∶3D .6∶5∶49.设a b c ∈,,R ,则“1abc =++a b c ”的()--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第3页（共26页）数学试卷第4页（共26页）A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要的条件10.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A .112π-B .1πC .21π-D .2π二、填空题：本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有人.12.若3+i=+i 1ib a b －（a ,b 为实数,i 为虚数单位）,则a b += . 13.已知向量0)(1,=a ,1)(1,=b ,则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为；（Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为 .14.若变量x ,y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≥≤则目标函数23z x y =+的最小值是 .15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .16.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s = .17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10,记为数列{}n a ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b .可以推测：（Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第项；（Ⅱ）21k b =－ .（用k 表示）三、解答题：本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分12分）设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x ωωωωλ-∈++=R 的图象关于直线π=x 对称,其中ω,λ为常数,且)11(2ω∈,. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π()40，,求函数()f x 的值域. 19.（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD －,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D －. （Ⅰ）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知10=AB ,1120=A B ,20=3A ,113=AA （单位：厘米）,每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元？ 20.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 前三项的和为,前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.21.（本小题满分14分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足|(|)|01DM m DA m m ≠=＞,且.当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标；3-8数学试卷第5页（共26页）数学试卷第6页（共26页）（Ⅱ）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,且它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ,使得对任意的0k ＞,都有PQ PH ⊥？若存在,求m 的值；若不存在,请说明理由.22.（本小题满分14分）设函数()(1)()0n f x ax x b x ＝－＋＞,n 为正整数,a ,b 为常数.曲线()y f x =在(1)(1)f ,处的切线方程为1x y +=.（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值；（Ⅲ）证明：1()ef x n <.数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）5 / 13数学试卷第11页（共26页）数学试卷第12页（共26页）3S ，4S 。

2012年高考试题：文科数学(全国卷)——含答案及解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3、第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

一、选择题（1）已知集合{|}{|}{|}{|}A x xB x xC x xD x x ==是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（）.()()()()A A B B C B C D C D A D⊆⊆⊆⊆【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解。

（2）函数1(1)y x x =+-≥的反函数为（）. 2()1(0)A yx x =-≥ 2()1(1)B yx x =-≥ 2()1(0)C yx x =+≥ 2()1(1)D yx x =+≥ 【考点】反函数【难度】容易【点评】本题考查反函数的求解方法，注意反函数的定义域即为原函数的值域。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数与初等函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。

（3）若函数()s i n [0,2]3x fx ϕϕ+=∈(π）是偶函数，则ϕ=（）.()2A π 2()3B π 3()2C π 5()3D π 【考点】三角函数与偶函数的结合【难度】中等【点评】本题考查三角函数变换，及偶函数的性质。

2012年高考湖北文科数学试卷解析(教师版)

【试卷总评】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。

本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。

选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第18、19、20、21、22题分别从三角函数、立体几何、数列、解析几何、函数与导数等重点知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查.试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={x| 2x -3x +2=0,x ∈R } ， B={x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A 1B 2C 3D 42. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为( ) 【答案】B【解析】因为样本数据落在区间[10,40]的频数分别为2,3,4, 容量为20,所以样本数据落在区间[10,40]的频率分别为0.1,,,所以所求频率为0.【考点定位】本小题考查频率分布表,属统计内容,是高考的重点,年年必考,主要考查抽样方法、数字特征、线性回归等内容，熟练频率=频数样本容量等公式是解决好本类问题的关键.3. 函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )分组频数234542A 2B 3C 4D 54.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”.【考点定位】本小题考查存在性命题的否定是全称命题,属于常用逻辑用语内容,常用逻辑用语是高考的重点内容之一,年年必考,多以小题形式出现,考查充分必要条件、四种命题等内容.5.过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )【答案】A【解析】要使直线将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分成这两部分的面积之差最大，只需过点P（1,1）的直线与圆相交得的弦长最短即可,所以该直线的斜率为-1，又因为直线过点P（1,1）,所以所求直线的方程为x+y-2=0.【考点定位】本题考查直线与圆的基础知识.对文科来说,直线与圆一直是高考的重点,经常以选择或填空题的形式单独考查直线与圆的知识，也可能与圆锥曲线相结合以解答题的形式考查，难度较大.6．已知定义在区间（0，2）上的函数y=f(x)的图像如图所示，O12x第6题图则y=-f(2-x)的图像为( )7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。

2012年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)

B．y=x2﹣1（x≥1）
C．y=x2+1（x≥0）
D．y=x2+1（x≥1）
3．（5 分）若函数
是偶函数，则 φ=（）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）已知 α 为第二象限角，
，则 sin2α=（）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x=﹣4，则该椭圆的方程为（）
数为（）
A．8
B．6
C．4
D．3
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在试卷上作答无效）
13．（5 分）
的展开式中 x2 的系数为．
14．（5 分）若 x，y 满足约束条件
则 z=3x﹣y 的最小值为．
15．（5 分）当函数 y=sinx﹣ cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ． 16．（5 分）已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1，CC1 的中点，那么
18．（12 分）已知数列{an}中，a1=1，前 n 项和（1）求 a2，a3；（2）求{an}的通项公式．
19．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底面 ABCD，，PA=2，E 是 PC 上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面 BED；（Ⅱ）设二面角 A﹣PB﹣C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小．
B．z＜x＜y
，则（） C．z＜y＜x
D．y＜z＜x
12．（5 分）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，
．定点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，

2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(含解析版)

2012年全国统一高考数学试卷及解析(文科)(新课标)

2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅2．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．D．14．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C 在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2） B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin （ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A． B． C． D．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A． B．C．4 D．811．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（，1） C．（1，）D．（，2）12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x （3lnx +1）在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q= ．15．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．16．（5分）设函数f （x ）=的最大值为M ，最小值为m ，则M +m= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c=asinC ﹣ccosA ．（1）求A ；（2）若a=2，△ABC 的面积为，求b ，c ．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A ∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C 只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE 交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B⊊A．故选B．2．（5分）（2012•新课标）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选D．3．（5分）（2012•新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．D．1【分析】所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．【解答】解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．5．（5分）（2012•新课标）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2） B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=﹣（x﹣1）当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴故选A6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N （N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．8．（5分）（2012•新课标）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A． B． C． D．【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=．故选A．10．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x 轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C 的实轴长为（）A． B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．11．（5分）（2012•新课标）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（，1） C．（1，）D．（，2）【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B12．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．14．（5分）（2012•新课标）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q=﹣2．【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣4=0∴（q﹣1）（q+2）2=0∵q≠1∴q=﹣2故答案为：﹣215．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：316．（5分）（2012•新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A ﹣）=1，所以A=；（2）S△ABC =bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n ＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分）（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）19．（12分）（2012•新课标）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C 只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A=，知到准线l的距离，由△ABD的面积S=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p 点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S △ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（12分）（2012•新课标）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0在x ＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f´（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1 故当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D 的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。

2012年高考数学全国卷一文数(word版,免费)

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修加选修Ⅰ）第Ⅰ卷一．选择题(1) 已知集合A={x ︱x 是平行四边形}，B={x ︱x 是矩形}，C={x ︱x 是正方形}，D{x ︱x是菱形}，则(A)B A ⊆ （B ）B C ⊆ (C)C D ⊆ (D) D A ⊆(2) 函数y=1+x (x ≥-1)的反函数为(A)()012≥-=x x y （B ）()112≥-=x x y (C) ()012≥+=x x y (D) ()112≥+=x x y(3) 若函数()[]()πϕϕ2,03sin∈+=x x f 是偶函数，则ϕ= (A)2π （B ）32π (C) 23π (D) 35π （4）已知α为第二象限角， αsin =53，则α2sin = (A)2524- （B ）2512- (C) 2512 (D) 2524 （5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为(A) 1121622=+y x （B ）181222=+y x (C) 14822=+y x (D) 141222=+y x （6）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1=1,S n =2a n+1,则S n =(A) 12-n （B ）123-⎪⎭⎫ ⎝⎛n (C) 132-⎪⎭⎫ ⎝⎛n (D) 121-n（7）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A 240种B 360种 C480种 D720种（8）已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB=2，CC 1=22,E 为CC 1 的中点，则直线AC 1 与平面BED 的距离为(A) 2 （B ）3 (C) 2 (D) 1（9）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若,,b CA a CB ==a ·b =0，|a |=1，|b |=2，则=AD (A)b a 3131- （B ）b a 3232- (C) b a 5353- (D) b a 5454-（10）已知F1、F2为双曲线 C ：x 2-y 2=2的左、右焦点，点p 在c 上，|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2 =(A) 41 （B ）53 (C) 43 (D) 54 （11）已知x=ln π，y=log 52 ,z=21-e ,则(A) x<y<z （B ）z<x<y (C) z<y<x (D) y<z<x(12) 正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE=BF=31,动点p 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点p 第一次碰到E 时，p 与正方形的边碰撞的次数为A 8B 6C 4D 3第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)821⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中2x 的系数为____________. (14) 若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-,0330301y x y x y x 则z=3x-y 的最小值为_____________.(15)当函数()π20cos 3sin <≤-=x x x y 取得最大值时，x =_____________.(16)一直正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点，那么异面直线AE 与F D 1所成角的余弦值为____________.三．解答题：本大题共6小题，共70分。

湖北2012年高考数学(文)A试题及参考答案-中大网校

湖北2012年高考数学(文)A试题及参考答案总分：150分及格：90分考试时间：120分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。

(1)一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人。

现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人。

(2)(3)已知向量a=（1,0），b=（1,1），则（Ⅰ）与2a+b同向的单位向量的坐标表示为____________；（Ⅱ）向量b-3a与向量a夹角的余弦值为____________。

2012高考湖北文科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖北卷)本试卷共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C ⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.653．函数f(x)＝x cos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()A．2 B．3 C．4 D．54．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数5．过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝06．已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()7．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f(a n)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶49．设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1111≤a ＋b ＋c ”的( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A ．21π- B ．112π-C ．2πD ．1π二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人．12．若3i 1ib +-＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝______.13．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为______； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为______．14．若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－－，＋，－，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是______．15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s ＝________.17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}．可以推测：(1)b2 012是数列{a n}中的第______项；(2)b2k－1＝______.(用k表示)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．设函数f(x)＝sin2ωx＋ωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点(π4，0)，求函数f(x)的值域．19．某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？20．已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．21．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．22．设函数f (x )＝ax n(1－x )＋b (x ＞0)，n 为正整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的最大值；(3)证明：1()ef x n <.1． D 由题意可得，A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又∵A ⊆C ⊆B ，∴C ＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，故选D 项．2． B 样本数据落在区间[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，故所求的频率为90.4520=.3． D 令f (x )＝x cos2x ＝0，得x ＝0或cos2x ＝0，故x ＝0或2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，即x＝0或ππ24k x =+，k ∈Z .又x ∈[0,2π]，故k 可取0,1,2,3，故零点的个数有5个．4． B 该特称命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．5． A 当OP 与该直线垂直时，符合题意；此时k OP ＝1，故所求直线斜率k ＝－1.又已知直线过点P (1,1)，因此，直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.6． B y ＝f (x)y ＝f (－x )y ＝f [－(x －2)]＝f (2－x)y ＝－f (2－x )，故选B 项．7．C 设等比数列{a n }的公比为q ，则对于f (x )＝x 2，f (a n )＝2n a ，由等比数列得，222211()nn n n a a q a a --==，符合题意；而对于f (x )＝2x和f (x )＝ln|x |，则f (a n )＝2a n 和f (a n )＝ln|a n |.由等比数列定义得，122n n a a -＝2a n －a n －1.1ln ||ln ||n n a a -都不是定值，故不符合题意；而对于f (x )＝则f (a n )，==，为定值，符合题意．故选C 项．8．D 由题意可设a ＝b ＋1，c ＝b －1.又∵3b ＝20a ·cos A ，∴3b ＝20(b ＋1)·222(1)(1)2(1)b b b b b +--+-，整理得，7b 2－27b －40＝0，解得b ＝5，故a ＝6，b ＝5，c ＝4，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.9． A111222b c a c a b a b c+++++==≤++=＋＋(当且仅当“a ＝b ＝c ”时，“＝”成立)，反之，则不成立(譬如a ＝1，b ＝2，c ＝3时，满足a b c≤＋＋，但abc ≠1)． 10． A 设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示．由对称性可得，阴影的面积等于直角扇形拱形的面积，S 阴＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝14π(2R )2＝πR 2，故所求的概率是22(π2)21ππRR-=-.11．答案：6解析：设抽取的女运动员有x 人，由题意可得，85642x =，解得x ＝6.12．答案：3解析：由题意可得，3＋b i ＝(a ＋b i)(1－i)＝(a ＋b )＋(b －a )i ，故a ＋b ＝3.13．答案：(1)(1010 (2)5-解析：(1)由题意可得，2a ＋b ＝(3,1)，故|2a ＋b |2a ＋b 同向的单位向量为，即(1010；(2)由题意可得b －3a ＝(－2,1)，故(b －3a )·a ＝－2.又∵|b－3a |＝|a |＝1，∴cos 〈b －3a ，a 〉＝(3)|3|||5-⋅=--b a a b a a .14．答案：2解析：作出可行域如图所示，由l 0：23y x =-平移知过点A (1,0)时，目标函数取到最小值，代入可得z ＝2.15．答案：12π解析：该几何体是由3个圆柱构成的几何体，故体积V ＝2×π×22×1＋π×12×4＝12π. 16．答案：9解析：由程序框图依次可得， s ＝1，a ＝3；n ＝2，s ＝4，a ＝5； n ＝3，s ＝9，a ＝7；结束，输出s ＝9. 17．答案：(1)5 030 (2)5(51)2k k -解析：(1)由题意可得，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，a n－a n－1＝n.以上各式相加得，a n－a1＝2＋3＋…＋n＝(1)(2)2n n-+，故(1)2nn na+=.因此，b1＝a4＝10，b2＝a5＝15，b3＝a9＝45，b4＝a10＝55，…，由此归纳出b2 012＝a5 030.(2)b1＝a4＝452⨯，b3＝a9＝9102⨯，b5＝a14＝14152⨯，…，归纳出b2k－1＝5(51)2k k-.18．解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋ωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx sin2ωx＋λ＝2sin(2ωx－π6)＋λ，由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1.所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即123kω=+(k∈Z)．又ω∈(12，1)，k∈Z，所以56ω=.所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图象过点(π4，0)，得f(π4)＝0，即5πππ2sin()2sin6264λ=-⨯-=-=λ=.故5π()2sin()36f x x=--f(x)的值域为[22---．19．解：(1)因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，所以AA2⊥AB，AA2⊥AD．又因为AB∩AD＝A，所以AA2⊥平面ABCD．连接BD，因为BD⊂平面ABCD，所以AA2⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD．于是由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1.又因为AA2∩AC＝A，所以B1D1⊥平面ACC2A2.(2)因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1＝S四棱柱上底面＋S四棱柱侧面＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)．又因为四棱台A1B1C1D1－ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以S2＝S四棱台下底面＋S四棱台侧面＝(A1B1)2＋4×12(AB＋A1B1)h等腰梯形的高＝202＋4×12(10＋＝1 120(cm2)．于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)，故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2 420＝484(元)．20．解：(1)设等差数列{|a n |}的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得1111333()(2)8.a d a a d a d ⎧⎨⎩＋＝－，＋＋＝解得123a d ⎧⎨⎩＝＝－或14,3.a d -⎧⎨⎩＝＝所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不满足条件；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝371,237 3.n n n n ⎧⎨≥⎩－＋，＝，－，记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-+=-+.当n ＝2时，满足此式．综上，241,31110 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，，21．解：(1)如图1，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为A 点在单位圆上运动，所以x 02＋y 02＝1.② 将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋22y m＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，，0)；当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，，(0．(2)方法一：如图2,3，k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 (m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 12－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得－x 1＋x 2＝212244k x m k-+，即212224m x x m k=+.因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝212224km x m k+. 于是P Q ＝(－2x 1，－2kx 1)，PH＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝(212244k x m k-+，212224km x m k+)．而PQ ⊥PH 等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k-⋅==+ ，即2－m 2＝0.又m ＞0，所以m =，故存在m=，使得在其对应的椭圆x2＋22y＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.图1 图2(0＜m＜1) 图3(m＞1)方法二：如图2,3，x1∈(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－y1)，N(0，y1)．因为P，H两点在椭圆C上，所以222211222222,m x y mm x y m⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减可得m2(x12－x22)＋(y12－y22)＝0.③依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合．故(x1－x2)(x1＋x2)≠0，于是由③式可得212121212()()()()y y y ymx x x x-+=--+.④又Q，N，H三点共线，所以k QN＝k QH，即1121122y y yx x x+=+.于是由④式可得211212121121212()()12()()2P Q P Hy y y y y y y mk kx x x x x x x--+⋅=⋅=⋅=---+.而PQ⊥PH等价于k PQ·k PH＝－1，即212m-=-.又m＞0，得m=.故存在m=，使得在其对应的椭圆x2＋22y＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH. 22．解：(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.因为f′(x)＝anx n－1－a(n＋1)x n，所以f′(1)＝－a.又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.(2)由(1)知，f(x)＝x n(1－x)＝x n－x n＋1，f′(x)＝(n＋1)·x n－1()1nxn-+．令f′(x)＝0，解得1nxn=+，即f′(x)在(0，＋∞)上有唯一零点01nxn=+.在(0，1nn+)上，f′(x)＞0，故f(x)单调递增；而在(1nn+，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减．故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为1()()(1)111(1)nnnn n n nfn n n n+=-=++++.(3)令φ(t)＝ln t－1＋1t(t＞0)，则22111()t'tt t tϕ-=-=(t＞0)．在(0,1)上，φ′(t )＜0，故φ(t )单调递减；而在(1，＋∞)上，φ′(t )＞0，故φ(t )单调递增，故φ(t )在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0，所以φ(t )＞0(t ＞1)，即ln t ＞1－1t (t ＞1)．令t ＝1＋1n，得11ln1n nn +>+，即11ln()ln e n n n ++>，所以11()e n n n++>，即11(1)en n nn n +<+.由(2)知，()11(1)enn nf x n n +≤<+，故所证不等式成立．。

2012年高考文科数学湖北卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题本试卷共22题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A{x| 2x-3x +2=0,x∈R } ，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为A．0．35 B．0．45 C．0．55 D．0．653．函数f（x）=xcos2x在区间[0,2π]上的零点个数为A．2 B．3 C．4 D．54．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数5．过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A．x+y-2=0 B．y-1=0 C．x-y=0 D．x+3y-4=06．已知定义在区间（0．2）上的函数y=f（x）的图像如图所示，则y=-f（2-x）的图像为7．定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。

现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。

则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为A．①②B．③④C．①③D．②④8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶49．设a,b,c,∈R,,则“abc=1”是“111a b ca b c++≤+=”的A．充分条件但不是必要条件，B．必要条件但不是充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。

2012湖北文科数学及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(供文科考生使用)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x R =-+=∈=<<∈,则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为( )A.1B.2C.3D.4A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.653.函数()cos 2f x x x =在区间[]0,2π上的零点的个数为( )A.2B.3C.4D.5 4.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 5.过点()1,1P 的直线,将圆形区域(){}22,|4x y x y +≤分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( ) A.20x y +-= B.10y -= C.0x y -= D.340x y +-=6.已知定义在区间[]0,2上的函数()y f x =的图象如图所示,则()2y f x =--的图象为( )7.定义在()(),00,-∞+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}(){},n n a f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义()(),00,-∞+∞在上的如下函数:①()2f x x =②()2x f x =③()f x = ④()ln ||f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为( )A .①②B ③④ C.①③ D.②④8.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且,320cos A B C b a A >>=,则sin :sin :sin A B C 为( )A.4:3:2B.5:6:7C.5:4:3D.6:5:49.设,,a b c R ∈,则"1"abc =是"a b c ≤++的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A.112π-B.1πC.21π- D.2π二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)B A O11.一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有__________人12.若31bi a bi i+=+-(,a b 为实数,i 为虚数单位),则a b +=________13.已知向量()()1,0,1,1==a b ,则(1)与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____(2)向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____14.若变量,x y 满足约束条件11,33x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数23z x y =+的最小值为________15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________ 16.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果________17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数,他们研究过如图所示的三角形数:...10631将三角形数1,3,6,10,⋅⋅⋅记为数列{}n a ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ,可以推测:(1)2012b 是数列{}n a 中的第_________项;(2)21k b -=______(用k 表示)三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)18.(本小题12分)设函数()()22sin 23sin cos cos f x x x x x x R ωωωωλ=+⋅-+∈的图象关于直线πx =对称.其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω=.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 的值域.俯视图侧视图正视图22114419.(本小题12分)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -.(1)证明:直线11B D ⊥平面22ACC A ;(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知112110,20,30,13AB A B AA AA ====(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?20.(本小题13分)已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8.(1)求等差数列{}n a 的通项公式;(2)若231,,a a a 成等比数列,求数列{}||n a 的前n 项和.A 2B 2D 2C 2C 1D 1B 1A 1D C B A21.(本小题14分)设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足()||||0,1DM m DA m m =>≠且.当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(2)过原点斜率为k 的直线交曲线C 于,P Q 两点,其中P 在第一象限,且它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ,使得对任意的0k >,都有PQ PH ⊥?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.22.(本小题14分)设函数()()()10,n f x ax x b x n =-+>为正整数,,a b 为常数.曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值;(2)求函数()f x 的最大值;(3)证明:()1f x ne<2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：A 卷：1．D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．C 二、填空题：11． 6 12． 3 13．（Ⅰ）；（Ⅱ） 14． 2 15．12π 16． 9 17．（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k -三、解答题：18．解：（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos 22x x ωωλ=-++π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ．又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. （Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=.故5π()2sin()36f x x =-()f x 的值域为[22-.19．解：（Ⅰ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形，所以2AA AB ⊥，2AA AD ⊥. 又因为ABAD A =，所以2AA ⊥平面ABCD .连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以2AA BD ⊥.因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 根据棱台的定义可知，BD 与B 1 D 1共面. 又已知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，且平面11BB D D 平面ABCD BD =，平面11BB D D平面111111A B C D B D =，所以B 1 D 1∥BD . 于是由2AA BD ⊥，AC BD ⊥，B 1 D 1∥BD ，可得211AA B D ⊥，11AC B D ⊥. 又因为2AA AC A =，所以11B D ⊥平面22ACC A .（Ⅱ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以2221222()410410301300(cm )S S S A B AB AA =+=+⋅=+⨯⨯=四棱柱上底面四棱柱侧面.又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以2211111()42S S S A B AB A B h =+=+⨯+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()221204(101120(cm )2=+⨯+=.于是该实心零部件的表面积为212130*********(cm )S S S =+=+=，故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=（元）.20．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-. （Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=；当3n ≥时， 234||||||n n S S a a a =++++5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩21．解：（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01||||y y m=. ① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为222 1 (0,1)y x m m m+=>≠且.因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)；当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,-，(0,.（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ∀>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得 21122244k x x x m k -+=-+，即212224m x x m k =+. 因为点H 在直线QN 上，所以2121222224km x y kx kx m k -==+.于是11(2,2)PQ x kx =--，22112121222242(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++.而PQ PH ⊥等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k -⋅==+，即220m -=，又0m >，得m =故存在m 2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.解法2：如图2、3，1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --， 1(0,)N y ，因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③ 依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合，故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得 212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+. ④图2 (01)m <<图3 (1)m >图1 第21题解答图又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121122y y y x x x +=+. 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH k k ⋅=-，即212m -=-，又0m >，得m故存在m 2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.22．解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在1x y +=上，可得11b +=，即0b =.因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =. 故1a =，0b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)()1n nf x n x x n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1n x n =+，即()f x '在(0,)+∞上有唯一零点01n x n =+. 在(0,)1nn +上，()0f x '>，故()f x 单调递增；而在(,)1nn +∞+上，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. （Ⅲ）令1()ln 1+(0)t t t t ϕ=->，则22111()= (0)t t t t t tϕ-'=->. 在(0,1)上，()0t ϕ'<，故()t ϕ单调递减；而在(1,)+∞上()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增.故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=. 所以()0(1)t t ϕ>>，即1ln 1(1)t t t >->.令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，即11ln()ln e n n n++>，所以11()e n n n++>，即11(1)e n n n n n +<+. 由（Ⅱ）知，11()(1)en n n f x n n +≤<+，故所证不等式成立.。

2012年湖北省高考数学试卷（文科）答案与解析

A．1B．2C．3D．4考点：集合的包含关系判断及应用．合．专题：集合．分析：先求出集合A，B由A⊆C⊆B 可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求，可求解答：解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，∵A⊆C⊆B，个， ∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选D．点评：本题主要考查了集合的包含关系的应用，解题的关键是由A⊆C⊆B 找出符合条件的集合．集合．分组 [10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）分组频数 2 3 4 5 4 2 频数的频率为（）则样本数据落在区间[10，40]的频率为（A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65 考点：频率分布表．算题．专题：计算题．分析：先求出样本数据落在区间[10，40]频数，然后利用频率等于频数除以样本容量求出频率即可．率即可．：由频率分布表知：解答：解：由频率分布表知：样本在[10，40]上的频数为2+3+4=9，故样本在[10，40]上的频率为9÷20=0.45．故选：B．点评：本题主要考查了频率分布表，解题的关键是频率的计算公式是频率=，属于基础题．基础题．A．2B．3C．4D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．算题．分析：考虑到函数y=cos2x的零点一定也是函数f（x）的零点，故在区间[0，2π]上y=cos2x的零点有4个．函数y=x 的零点有0，故在区间[0，2π]上y=xcos2x 的零点有5个．个．解答：解：∵y=cos2x 在[0，2π]上有4个零点分别为，，，函数y=x 的零点有0 ∴函数f （x ）=xcos2x 在区间[0，2π]上有5个零点．分别为0，，，，故选D 点评：本题主要考查了函数零点的意义和判断方法，题主要考查了函数零点的意义和判断方法，三角函数的图象和性质，三角函数的图象和性质，三角函数的图象和性质，排除法解选择排除法解选择题，属基础题题，属基础题 4．（5分）（2012•湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（的否定是（） A ．任意一个有理数，它的平方是有理数意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数在一个无理数，它的平方不是有理数考点：命题的否定．专题：应用题．用题．分析：根据特称命题“∃x ∈A ，p （A ）”的否定是“∀x ∈A ，非p （A ）”，结合已知中命题，即可得到答案．得到答案．解答：解：∵命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是特称命题是特称命题而特称命题的否定是全称命题，而特称命题的否定是全称命题，则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数是有理数故选B 点评：本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“∃x ∈A ，p （A ）”的否定是“∀x ∈A ，非p （A ）”，是解答本题的关键．，是解答本题的关键．5．（5分）（2012•湖北）过点P （1，1）的直线，将圆形区域{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（） A ． x +y ﹣2=0 B ． y ﹣1=0 C ． x ﹣y=0 D ． x +3y ﹣4=0 考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．算题．分析：法一：由扇形的面积公式可知，劣弧所的扇形的面积=2α，要求面积差的最大值，即求α的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OP ⊥AB 时，α最小，可求．最小，可求．法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．由此能求出直线的方程．垂直即可．由此能求出直线的方程．解答：解法一：设过点P （1，1）的直线与圆分别交于点A ，B ，且圆被AB 所分的两部分的面积分别为S 1，S 2且S 1≤S 2劣弧所对的圆心角∠AOB=α，则﹣S △AOB =2α﹣S △AOB ，S 2=4π﹣2α+S △AOB （0＜α≤π）∴要求面积差的最大值，即求α的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OP ⊥AB 时，α最小最小此时K AB =﹣1，直线AB 的方程为y ﹣1=﹣（x ﹣1）即x+y ﹣2=0 故选A 解法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．垂直即可．又已知点P （1，1），则K OP =1，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P （1，1），由点斜式得，所求直线的方程为y ﹣1=﹣（x ﹣1），即．x+y ﹣2=0 故选A 点评：本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，解题的关键是根据扇形的面积公式把所要求解的两面积表示出来求解的两面积表示出来 6．（5分）（2012•湖北）已知定义在区间（0，2）上的函数y=f （x ）的图象如图所示，则y=﹣f （2﹣x ）的图象为（）的图象为（）A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象与图象变化．专题：作图题．图题．分析：由（0，2）上的函数y=f （x ）的图象可求f （x ），进而可求y=﹣f （2﹣x ），根据一次函数的性质，结合选项可可判断函数的性质，结合选项可可判断解答：解：由（0，2）上的函数y=f （x ）的图象可知f （x ）=当0＜2﹣x ＜1即1＜x ＜2时，f （2﹣x ）=2﹣x 当1≤2﹣x ＜2即0＜x ≤1时，f （2﹣x ）=1 ∴y=﹣f （2﹣x ）=，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项B正确正确故选：B 点评：本题主要考查了一次函数的性质在函数图象中的应用，属于基础试题题主要考查了一次函数的性质在函数图象中的应用，属于基础试题 7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x 2；②f （x ）=2x；③f （x ）=；④f （x ）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（）的序号为（）A ． ①②B ． ③④C ． ①③D ． ②④考点：等比关系的确定．专题：综合题；压轴题．合题；压轴题．分析：根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．，一一加以判断，即可得到结论．解答：解：由等比数列性质知，①=f 22（a n+1），故正确；，故正确； ②≠=f 2（a n+1），故不正确；，故不正确； ③==f 2（a n+1），故正确；，故正确； ④f （a n ）f （a n+2）=ln|a n |ln|a n+2|≠=f 2（a n+1），故不正确；，故不正确；故选C 点评：本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键．题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键． 8．（5分）（2012•湖北）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ：sinB ：sinC 为（为（） A ． 4：3：2 B ． 5：6：7 C ． 5：4：3 D ． 6：5：4 考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．三角形．分析：由题意可得三边即由题意可得三边即 a 、a ﹣1、a ﹣2，由余弦定理可得，由余弦定理可得 cosA=，再由3b=20acosA ，可得，可得 cosA=，从而可得，从而可得=，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c ，求得结果．，求得结果．解答：解：由于a ，b ，c 三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，可设三边长分别为可设三边长分别为 a 、a ﹣1、a ﹣2．由余弦定理可得由余弦定理可得cosA===，又3b=20acosA ，可得，可得 cosA==．故有故有=，解得a=6，故三边分别为6，5，4．由正弦定理可得由正弦定理可得 sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=a ：（a ﹣1）：（ a ﹣2）=6：5：4，故选D ．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于中档题．是解题的关键，属于中档题．9．（5分）（2012•湖北）设a ，b ，c ，∈R +，则“abc=1”是“”的（的（）A ．充分条件但不是必要条件分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件要条件但不是充分条件C ．充分必要条件分必要条件D ．既不充分也不必要的条件不充分也不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；压轴题．算题；压轴题．分析：由abc=1，推出，代入不等式的左边，证明不等式成立．利用特殊值判断不等式成立，推不出abc=1，得到结果．，得到结果．解答：解：因为abc=1，所以，则==≤a+b+c ．当a=3，b=2，c=1时，显然成立，但是abc=6≠1，所以设a ，b ，c ，∈R +，则“abc=1”是“”的充分条件但不是必要条件．条件．故选A ．点评：本题考查充要条件的应用，不等式的证明，特殊值法的应用，考查逻辑推理能力，计算能力．算能力． 10．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．B ．C ．D ．考点：几何概型．专题：概率与统计．率与统计．分析：求出阴影部分的面积即可，连接OC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB 的面积．的面积．解答：解：设扇形的半径为r ，则扇形OAB 的面积为，连接OC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，∴此点取自阴影部分的概率是．故选C ．点评：本题考查几何概型，题考查几何概型，解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积，此类不规则解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积，此类不规则图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算．图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．（5分）（2012•湖北）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有人，则抽取的女运动员有 6 人．人．考点：分层抽样方法．专题：计算题．算题．分析：设出抽到女运动员的人数，根据分层抽样的特征列出方程可求出抽到女运动员的人数．数．解答：解：设抽到女运动员的人数为n 则=解得n=6 故答案为：6 一般利用各层抽到的个体数与该层题主要考查了分层抽样，解决分层抽样的问题，一般利用各层抽到的个体数与该层点评：本题主要考查了分层抽样，解决分层抽样的问题，的个体数的比等于样本容量与总体容量的比，属于基础题．的个体数的比等于样本容量与总体容量的比，属于基础题．12．（5分）（2012•湖北）若=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=3．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．算题．专题：计算题．分析：由==，知=a+bi，故，所以，由此能求出a+b．解答：解：===，∵=a+bi，∴，∴，解得a=0，b=3，∴a+b=3．故答案为：3．题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）（2012•湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），则，则同向的单位向量的坐标表示为（）；（Ⅰ）与2+同向的单位向量的坐标表示为夹角的余弦值为．（Ⅱ）向量﹣3与向量夹角的余弦值为考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模；单位向量；平面向量的坐标运算．算题．专题：计算题．分析：（I）由已知可求2+，进而可求|2+|，而与2+同向的单位向量，再利用坐标表示即可用坐标表示即可（II）设﹣3与向量夹角θ，由已知可求，|，，||，代入可求向量的夹角公式cosθ=可求解答：解：（I）∵=（1，0），=（1，1）∴2+=（2，0）+（1，1）=（3，1），|2+|=∴与2+同向的单位向量的坐标表示=（II）设﹣3与向量夹角θ∵=（1，0），=（1，1），∴，∴=﹣2，||=，||=1 则cosθ===故答案为：；点评：本题主要考查了向量运算的坐标表示，向量的数量积的坐标表示、夹角公式的应用，的应用注意结论：与向量共线且同向的单位向量的应用14．（5分）（2012•湖北）若变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+3y 的最小值是 2．的最小值是考点：简单线性规划．专题：计算题．算题．分析：先作出不等式组表示的平面区域，由于z=2x+3y，则可得y=，则表示直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，当z最小时，截距最小，结合图形可求z的最小值的最小值：作出不等式组表示的平面区域，如图所示解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：2x+3y=0，由于z=2x+3y，则可得y=，则表示直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，当z最小时，截距最小最小时，截距最小最小结合图形可知，当直线2x+3y﹣z=0平移到点B时，z最小由可得B（1，0），此时Z=2 故答案为：2 点评：借助于平面区域，利用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．15．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12π．考点：由三视图求面积、体积．算题．专题：计算题．分析：由题意三视图可知，几何体是有3个圆柱体组成的几何体，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．几何体的体积即可．解答：解：由题意可知几何体是有两个底面半径为2，高为1的圆柱与一个底面半径为1，高为4的圆柱组成的几何体，的圆柱组成的几何体，所以几何体的条件为V=2×22π×1+12π×4=12π．故答案为：12π．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力与计算能力．题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力与计算能力．16．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．考点：循环结构．法和程序框图．专题：算法和程序框图．时退出循环，即可．分析：用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．解答：解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，次判断退出循环，第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，输出S=9．故答案为：9．退出循环是解题的关键，考查计算能力．点评：本题考查循环结构，判断框中n=3退出循环是解题的关键，考查计算能力．17．（5分）（2012•湖北）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：，可以推测：（Ⅰ）b2012是数列{a n}中的第项；中的第 5030项；（Ⅱ）b2k﹣1=．（用k表示）表示）考点：数列递推式；数列的概念及简单表示法；归纳推理．轴题；探究型．专题：压轴题；探究型．分析：（Ⅰ）由题设条件及图可得出a n+1=a n+（n+1），由此递推式可以得出数列{a n}的通项为，a n=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b2012在数列{a n}中的位置；中的位置；（II）由（I）中的结论即可得出b2k﹣1═（5k﹣1）（5k﹣1+1）=．解答：解：（I）由题设条件可以归纳出a n+1=a n+（n+1），故a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=n（n+1）由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…则该组的由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的整除，后两个数可被5整除，由于b2012是第2012个可被5整除的数，故它出现在数列{a n}按五个一段分组的第1006组的最后一个数，由此知，b2012是数列{a n}中的第1006×5=5030个数个数故答案为5030 （II）由于2k﹣1是奇数，由（I）知，第2k﹣1个被5整除的数出现在第k组倒数第二个，故它是数列{a n}中的第k×5﹣1=5k﹣1项，所以b2k﹣1═（5k﹣1）（5k﹣1+1）=故答案为点评：本题考查数列的递推关系，数列的表示及归纳推理，解题的关键是由题设得出相邻两个三角形数的递推关系，由此列举出三角形数，得出结论“被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除”，本题综合性强，有一定的探究性，是高考的重点题型，解答时要注意总结其中的规律．性强，有一定的探究性，是高考的重点题型，解答时要注意总结其中的规律．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）（2012•湖北）设函数f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（1）求函数f（x）的最小正周期；）的最小正周期；）的值域．（2）若y=f（x）的图象经过点，求函数f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．算题．专题：计算题．分析：（1）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k 型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．）的值域．解答：解：f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z ∴ω=+，又ω∈（，1）符合要求令k=1时，ω=符合要求∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0 ∴2sin（2××﹣）+λ=0 ∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣故函数f（x）的取值范围为[﹣2﹣，2﹣]点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函数的图象和性质，复合函数值域的求法，正弦函数的图象和性质，属基础题弦函数的图象和性质，属基础题19．（12分）（2012•湖北）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1﹣ABCD，其上是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2．（1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单元，需加工处理费多少元？位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．算题；证明题．专题：计算题；证明题．分析：（1）依题意易证AC⊥B1D1，AA2⊥B1D1，由线面垂直的判定定理可证直线B1D1⊥平面ACC2A2；（2）需计算上面四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的表面积（除去下底面的面积）S1，四棱即可．台A1B1C1D1﹣ABCD的表面积（除去下底面的面积）S2即可．解答：解：（1）∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，的侧面是全等的矩形，∴AA2⊥AB，AA2⊥AD，又AB∩AD=A，∴AA2⊥平面ABCD．连接BD，∵BD⊂平面ABCD，是正方形，∴AA2⊥BD，又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面，共面，又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1，∴B1D1∥BD，于是由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，又AA2∩AC=A，∴B1D1⊥平面ACC2A2；的底面是正方形，侧面是全等的矩形，（2）∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，=S四棱柱下底面+S四棱柱侧面∴S1=+4AB•AA2=102+4×10×30 =1300（cm2）上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，又∵四棱台A1B1C1D1﹣ABCD上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，∴S2=S四棱柱下底面+S四棱台侧面=+4×（AB+A1B1）•h等腰梯形的高=202+4×（10+20）•=1120（cm2），于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1300+1120=2420（cm2），故所需加工处理费0.2S=0.2×2420=484元．元．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查棱柱、棱台的侧面积和表面积，着重考查分析转化与运算能力，属于中档题．转化与运算能力，属于中档题．20．（13分）（2012•湖北）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．算题．专题：计算题．分析：（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程，进而可求通项可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n，根据等差数列的求和公式可求﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求解答：解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d 由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7 不成等比（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件成等比数列，满足条件故|a n|=|3n﹣7|=设数列{|a n|}的前n项和为S n当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5 当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=，当n=2时，满足此式时，满足此式综上可得点评：本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项，等差数列与等比数列的通项公式的综合应用及等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论思想的应用通项公式的综合应用及等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论思想的应用21．（14分）（2012•湖北）设A 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点，i 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线i 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足丨DM 丨=m 丨DA 丨（m ＞0，且m ≠1）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（I ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）（Ⅱ）过原点且斜率为过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，两点，其中其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题．合题；压轴题．分析：（I ）设M （x ，y ），A （x 0，y 0），根据丨DM 丨=m 丨DA 丨，确定坐标之间的关系x 0=x ，|y 0|=|y|，利用点A 在圆上运动即得所求曲线C 的方程；根据m ∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；，分类讨论，可确定焦点坐标；（Ⅱ）∀x 1∈（0，1），设P （x 1，y 1），H （x 2，y 2），则Q （﹣x 1，﹣y 1），N （0，y 1），利用P ，H 两点在椭圆C 上，可得，从而可得可得．利用Q ，N ，H 三点共线，及PQ ⊥PH ，即可求得结论．得结论．解答：解：（I ）如图1，设M （x ，y ），A （x 0，y 0）∵丨DM 丨=m 丨DA 丨，∴x=x 0，|y|=m|y 0| ∴x 0=x ，|y 0|=|y|①∵点A 在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线C 的方程为∵m ∈（0，1）∪（1，+∞）， ∴0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），（Ⅱ）如图2、3，∀x 1∈（0，1），设P （x 1，y 1），H （x 2，y 2），则Q （﹣x 1，﹣y 1），N （0，y 1），∵P，H两点在椭圆C上，∴①﹣②可得③∵Q，N，H三点共线，∴k QN=k QH，∴∴k PQ•k PH=∵PQ⊥PH，∴k PQ•k PH=﹣1 ∴∵m＞0，∴故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH 点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查代入法求轨迹方程，计算要小心．心．22．（14分）（2012•湖北）设函数f（x）=ax n（1﹣x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1 的值；（Ⅰ）求a，b的值；）的最大值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值；（Ⅲ）证明：f（x）＜．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．合题；压轴题；函数思想；转化思想．专题：综合题；压轴题；函数思想；转化思想．分析：（Ⅰ）由题意曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1，故可根据导数的几何意义与切点处的函数值建立关于参数的方程求出两参数的值；几何意义与切点处的函数值建立关于参数的方程求出两参数的值；（Ⅱ）由于f（x）=x n n（1﹣x），可求fʹ（x）=（n+1）x n n﹣11（﹣x），利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最大值；函数的单调性，即可求出函数的最大值；（Ⅲ）结合（Ⅱ），欲证f （x ）＜．由于函数f （x ）的最大值f （）=（）n （1﹣）=，故此不等式证明问题可转化为证明＜，对此不等式两边求以e 为底的对数发现，可构造函数φ（t ）=lnt ﹣1+，借助函数的最值辅助证明不等式．最值辅助证明不等式．解答：解：（Ⅰ）因为f （1）=b ，由点（1，b ）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0．因为f ʹ（x ）=anx n ﹣1﹣a （n+1）x n ，所以f ʹ（1）=﹣a ．又因为切线x+y=1的斜率为﹣1，所以﹣a=﹣1，即a=1，故a=1，b=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=x n （1﹣x ），则有f ʹ（x ）=（n+1）xn ﹣1（﹣x ），令f ʹ（x ）=0，解得x=在（0，）上，导数为正，故函数f （x ）是增函数；在（，+∞）上导数为负，故函数f （x ）是减函数；）是减函数；故函数f （x ）在（0，+∞）上的最大值为f （）=（）n（1﹣）=，（Ⅲ）令φ（t ）=lnt ﹣1+，则φʹ（t ）=﹣=（t ＞0）在（0，1）上，φʹ（t ）＜0，故φ（t ）单调减；在（1，+∞），φʹ（t ）＞0，故φ（t ）单调增；单调增；故φ（t ）在（0，+∞）上的最小值为φ（1）=0，所以φ（t ）＞0（t ＞1）则lnt ＞1﹣，（t ＞1），令t=1+，得ln （1+）＞，即ln （1+）n+1＞lne 所以（1+）n+1＞e ，即＜由（Ⅱ）知，f （x ）≤＜，故所证不等式成立．故所证不等式成立．点评：本题考查利用导数求函数最值及利用最值证明不等式，本题技巧性强，解题的关键是能根据题设及证明中的结论构造函数辅助证明，本题是能力型题，难度较大，是高考选拔优秀数学人才的首选题，做题后要注意总结本题的解题规律，选拔优秀数学人才的首选题，做题后要注意总结本题的解题规律，领会构造法证明不领会构造法证明不等式的要旨，本题考查了转化的思想及函数思想，等式的要旨，本题考查了转化的思想及函数思想，难度较大极易找不到思路或计算出难度较大极易找不到思路或计算出错，作为压轴题出现．错，作为压轴题出现．。

Removed_2012全国高考湖北卷文科数学解析

则样本数据落在区间[10, 40) 的频率为
A．0.35
B．0.45
C．0.55
D．0.65
考点分析：本题考察频率分布。
难易度：★ 解析：样本数据落在区间[10, 40) 的个数 n 2 3 4 5 9 ，所以频率 p 9 0.45 ，
20
故选 B
3．函数 f (x) x cos 2x 在区间[0, 2π] 上的零点的个数为
y
1
O 12 x 1
第 6 题图
y
y
y
y
1
1
1
1
O 12 x 1
O 12 x 1
O 12 x 1
O 12 x 1
A
B
C
D
考点分析：本题考察函数图象的对称变换。
难易度：★ y f (x)与y f (2 - x)的图象关于x 1对称，
解析： y f (2 - x)与y - f (2 - x)的图象关于x轴对称，故选 B
6．已知定义在区间[0, 2] 上的函数
y f (x) 的图象如图所示，则 y f (2 x) 的图象为
:50 45. 44. 43. by 42.41.— 4—0.— 3—9.—3—8.by37@.—— 36.35. —34—. ——33.312. 1.2.3.34.0.5.6—.—29.by28.by@27.26.—— 25. 24. 23. 22. by 21.20. — 1—9.by:18.by:17.— 1—6.— 1—5.—1—4.—— 13. 12. 111.0“. ”by: 9M.“OOOKN”b8y.:——7.——6.——5.——4.——3.——2.——1.——
数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理

2012全国高考湖北卷文科数学解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷解析）数学（文史类）试卷一、选择题：1．已知集合2{|320,}A x x x x =-+=∈R ，{|05,}B x x x =<<∈N ，则满足条件AC B ⊆⊆的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4考点分析：本题考察集合间的关系。

难易度：★ 解析:{}{}1,2,1,2,3,4A B ==,A C B ⊆⊆,1,2C ∈,则集合C 的个数为422=，故选D2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65考点分析：本题考察频率分布。

难易度：★解析：样本数据落在区间[10,40)的个数23459n =+++=，所以频率90.4520p ==，故选B3．函数()c o s 2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5考点分析：本题考察函数与方程，函数的零点难易度：★解析：()c o s 2f x x x =，则0x =或cos20x =，考虑到[]0,2x π∈，则3570,,,,4444x ππππ=，所以零点的个数为5，故选D4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数考点分析：本题考察含有全称量词与存在量词，以及命题的否定。

2难易度：★解析：对于命题的否定，既否定条件，也否定结论，故选B5．过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}xy x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=考点分析：本题考察直线与圆的位置关系。

2012年湖北高考数学文科试卷带详解

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷)数学(文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,,A B C {}2320A x x x =-+=，{}05,B x x x =<<∈N ，则满足条件A B C ⊆⊆的集合C 的个数为（ )A ．1Ｂ．2 Ｃ．3 D.4 【测量目标】集合的基本运算．【考查方式】子集的应用．【参考答案】D【试题解析】求{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x 。

因为⊆⊆A C B ,所以根据子集的定义，集合必须含有元素1，2，且可能含有元素3，４,原题即求集合{}3,4的子集个数,即有224=个。

故选D.２.容量为２0的样本数据，分组后的频数如下表:则样本数据落在区间[10,40)的频率为（ )Ａ．0.35B ．０．4５Ｃ.0．55D ．0.6５【测量目标】频数分布表的应用，频率的计算,对于頻数、频率等统计问题【考查方式】通过弄清楚样本总数与各区间上样本的个数,用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率。

【参考答案】B【试题解析】由频数分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2＋3+4=９，样本总数为23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为90.4520=．故选B ．3。

函数()cos 2f x x x =在区间上[]0,2π的零点的个数为( )A 。

2 ﻩB ．3C ．4D ．5【测量目标】函数零点求解与判断。

【考查方式】通过函数的零点,要求学会分类讨论的数学思想。

【参考答案】D【试题解析】由()cos 20==f x x x ,得0=x 或cos20=x ；其中,由cos20=x ,得()π22x k k π=+∈Z ,故()ππ24k x k =+∈Z .又因为[]0,2πx ∈，所以π3π5π7π,,,4444x =。

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2012湖北文一、选择题1 ．已知集合2{|320,}A x x x x =-+=∈R ,{|05,}B x x x =<<∈N ,则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42 ．容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.653 ．函数()cos 2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为（）A．2 B ．3 C ．4 D ．5 4 ．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是（）A ．任意一个有理数,它的平方是有理数 B ．任意一个无理数,它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数,它的平方是有理数 D ．存在一个无理数,它的平方不是有理数5 ．过点(1,1)P 的直线,将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（）A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=6 ．已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如图所示,则(2)y f x =--的图象为 7 ．定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的如下函数: ①2()f x x =; ②()2x f x =; ③()f x ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④8 ．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（） A ．4:3:2 B ．5:6:7 C ．5:4:3 D ．6:5:4A B C D侧视图正视图俯视图9 ．设,,a b c +∈R ,则“1abc =a b c ≤++”的（）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件10．如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A ．112π- B ．1πC ．21π- D ．2π二、填空题11．一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有________人.12．若3ii 1ib a b +=+-(a ,b 为实数,i 为虚数单位),则a b +=________. 13．已知向量(1,0)=a ,(1,1)=b ,则(Ⅰ)与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为________; (Ⅱ)向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为________.14．若变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数23z x y =+的最小值是________.15．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.16．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s =________.17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10, 记为数列{}n a ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测:(Ⅰ)2012b 是数列{}n a 中的第________项; (Ⅱ)21k b -=________.(用k 表示)三、解答题18．设函数22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=+⋅-+()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 的值域.19．某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -. (Ⅰ)证明:直线11B D ⊥平面22ACC A ;(Ⅱ)现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知10AB =,1120A B =,230AA =,113AA =(单位:厘米), 每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?10 6 3 1 ··· A 2B 2C 2D 2CB AD20．已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8.(Ⅰ)求等差数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.21．设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x轴的交点,点M 在直线l 上,且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,且它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ,使得对任意的0k >,都有PQ PH ⊥?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.22．设函数()(1) (0)n f x ax x b x =-+>,n 为正整数,a ,b 为常数. 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=. (Ⅰ)求a ,b 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的最大值; (Ⅲ)证明:1()ef x n <2012湖北文参考答案一、选择题 1. D 2. B 3. D 4. B 5. A 6. B 7. C 8. D 9. A【解析】当1abc =时，b cabbb ccabc+=+而()()()()2a b c a b b c c a ++=+++++≥（当且仅当a b c==，且1abc =，即a b c==时等号成立），故a b c=≤++；但当取2a b c ===,显然有a b c≤++,但1abc ≠,即由a b c +≤++不可以推得1abc =；综上，1abc =a b c≤++的充分不必要条件.应选A.10. C【解析】如下图所示，设OA 的中点为1O ，OB 的中点为2O ，半圆1O 与半圆2O 的交点分别为,O F ，则四边形12OO FO 是正方形.不妨设扇形的半径为2，记两块白色区域的面积分别为12,S S ，两块阴影部分的面积分别为34,S S .则21234124OAB S S S S S ππ+++==⨯=扇形,① 而22132311111,12222S S S S ππππ+=⨯=+=⨯=，即1232S S S π++=,②由①-②，得34S S =.又由图象观察可知，12214OO FO OAB O FB O AF S S S S S =---正方形扇形扇形扇形222222111111111114422πππππ=⨯-⨯-⨯-⨯=⨯-=-.故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率3442221OAB OAB S S S P S S πππ+-====-扇形扇形.二、填空题 11. 6 12. 313. (Ⅰ);(Ⅱ) 14. 2 15. 12π16. 9 17. (Ⅰ)5030;(Ⅱ)()5512k k -【解析】易知(1)2n n n a +=，写出数列{}n a 的若干项依次为：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210，…,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,190,210，故142510,15b a b a ====. 同理，39410514615719820,,,,,b a b a b a b a b a b a ======.从而由上述规律可猜想：()255512k k k k b a +==，()()()21515151155122k k k k k k b a ----+-===（k 为正整数）.故201221006510065030b b a a ⨯⨯===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项.三、解答题18. 解:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得πsin(2π)16ω-=±,所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ,即1()23k k ω=+∈Z . 又1(,1)2ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. (Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π()04f =,即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=,即λ=.故5π()2sin()36f x x =-函数()f x 的值域为[22-.19. 解:(Ⅰ)因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形,所以2AA AB ⊥,2AA AD ⊥. 又因为AB AD A = ,所以2AA ⊥平面ABCD . 连接BD ,因为BD ⊂平面ABCD ,所以2AA BD ⊥.因为底面ABCD 是正方形,所以AC BD ⊥.根据棱台的定义可知,BD 与B 1 D 1共面.又已知平面ABCD ∥平面1111A B C D ,且平面11BB D D 平面ABCD BD =, 平面11BB D D 平面111111A B C D B D =,所以B 1 D 1∥BD . 于是由2AA BD ⊥,AC BD ⊥,B 1 D 1∥BD ,可得211AA B D ⊥,11AC B D ⊥. 又因为2AA AC A = ,所以11B D ⊥平面22ACC A . (Ⅱ)因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以 2221222()410410301300(cm )S S S A B AB AA =+=+⋅=+⨯⨯=四棱柱上底面四棱柱侧面.又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,所以2211111()42S S S A B AB A B h =+=+⨯+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()221204(101120(cm )2=+⨯+.于是该实心零部件的表面积为212130*********(cm )S S S =+=+=, 故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=(元).20. 解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,则21a a d =+,312a a d =+,由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+,或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+,或37n a n =-. (Ⅱ)当35n a n =-+时,2a ,3a ,1a 分别为1-,4-,2,不成等比数列; 当37n a n =-时,2a ,3a ,1a 分别为1-,2,4-,成等比数列,满足条件. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时,11||4S a ==;当2n =时,212||||5S a a =+=; 当3n ≥时,234||||||n n S S a a a =++++ 5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时,满足此式.综上,24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩21. 解:(Ⅰ)如图1,设(,)M x y ,00(,)A x y ,则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且,可得0x x =,0||||y m y =,所以0x x =,01||||y y m=. ① 因为A 点在单位圆上运动,所以22001x y +=. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为222 1 (0,1)y x m m m+=>≠且.因为(0,1)(1,)m ∈+∞ ,所以当01m <<时,曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(0),0); 当1m >时,曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(0,,(0,.(Ⅱ)解法1:如图2、3,0k ∀>,设11(,)P x kx ,22(,)H x y ,则11(,)Q x kx --,1(0,)N kx , 直线QN 的方程为12y kx kx =+,将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.依题意可知此方程的两根为1x -,2x ,于是由韦达定理可得 21122244k x x x m k -+=-+,即212224m x x m k =+.因为点H 在直线QN 上,所以2121222224km x y kx kx m k -==+.于是11(2,2)PQ x kx =-- ,22112121222242(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++ . 而PQ PH ⊥等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k -⋅==+ , 即220m -=,又0m >,得m =故存在m =使得在其对应的椭圆2212y x +=上,对任意的0k >,都有PQ PH ⊥.解法2:如图2、3,1(0,1)x ∀∈,设11(,)P x y ,22(,)H x y ,则11(,)Q x y --, 1(0,)N y ,因为P ,H 两点在椭圆C 上,所以222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得图2 (01)m <<图3 (1)m >图1第21题解答图222221212()()0m x x y y -+-=. ③依题意,由点P 在第一象限可知,点H 也在第一象限,且P ,H 不重合, 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+. ④又Q ,N ,H 三点共线,所以QN QH k k =,即1121122y y y x x x +=+. 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH k k ⋅=-,即212m -=-,又0m >,得m =故存在m =使得在其对应的椭圆2212y x +=上,对任意的0k >,都有PQ PH ⊥.22. 解:(Ⅰ)因为(1)f b =,由点(1,)b 在1x y +=上,可得11b +=,即0b =.因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+,所以(1)f a '=-.又因为切线1x y +=的斜率为1-,所以1a -=-,即1a =. 故1a =,0b =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1()(1)n n n f x x x x x +=-=-,1()(1)()1n nf x n x x n -'=+-+. 令()0f x '=,解得1n x n =+,即()f x '在(0,)+∞上有唯一零点01n x n =+. 在(0,)1nn +上,()0f x '>,故()f x 单调递增; 而在(,)1nn +∞+上,()0f x '<,()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. (Ⅲ)令1()ln 1+(0)t t t t ϕ=->,则22111()= (0)t t t t t tϕ-'=->. 在(0,1)上,()0t ϕ'<,故()t ϕ单调递减; 而在(1,)+∞上()0t ϕ'>,()t ϕ单调递增.故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=. 所以()0(1)t t ϕ>>,即1ln 1(1)t t t >->.令11t n =+,得11ln 1n n n +>+,即11ln()ln e n n n++>, 所以11()e n n n++>,即11(1)e n n n n n +<+. 由(Ⅱ)知,11()(1)en n n f x n n +≤<+,故所证不等式成立.。