高等光学教程-第4章参考答案

Xx 2 XY sinc di
夫琅和费衍射图样
Yy sinc di
y cos di
U ( x, y )
jk 2 Xx Yy y 1 exp( jkz )exp ( x y 2 ) 2 XY sinc sinc cos j d i 2d i di di di
以上运用了巴比涅原理。 4.6 有一单位振幅的单色平面波垂直照明如图p4-6 所示的双缝，缝关于 、 轴对称，缝长 为X、缝宽为Y，中心相距 ，设光波波长为 ，双缝所在的平面与观察平面相距d i ，求 屏上夫琅和费衍射的强度分布
图 p4-6
解答：透射光波场
U ( , ) U 0 ( , )t ( , ) rect X
u ( P0 , t )
1 j
cos( n, r01 ) j 2 t d ds jkr exp( ) U (P 01 1 , ) e r01
当 P1 点在 之外时， u ( P1 , t ) 0 ，上式改写为
u ( P0 , t )
U ( P0 ) A j
1 2


Ajk cos(n, r21 )
exp( jkr21 ) exp( jkr01 ) ds r21 r01
பைடு நூலகம்
4.3


exp[ jk (r21 r01 )] cos(n, r21 )d s r21 r01
考虑非单色扰动 u( P, t ) ，其中心频率为 而带宽为 ，定义 一个相关的复数值扰动 u ( P, t ) ，它只是由 u( P, t ) 的负频分量 构成。因此
图 p4-7(a) 解答： (1)
图 p4-7(b)
t ( , ) rect rect rect 2 L0 2 L0 2 Li
2
rect 2 Li
2
2 L0 x 2L y 2 Li x 2L y 4 I ( x, y ) L2 sinc 0 L2 sinc i o sinc i sinc z z z z z
2 2 x y 2

4
（2）运用(4-118)式 代入数据，得
max
0.25m 3 2
取 z 2.5m
3
3
得 z 1.36m
z

2
2
max
2 z 1636m
，
4.5 用单位振幅的单色平面波垂直照明下列衍射屏，分别求出衍射屏后表面复振幅的角谱。 （1）直径为 d 的圆孔。 （2）直径为 d 的不透明圆屏。 （3）宽度为 a 的单缝 （4）直径为 a 的金属细丝
u ( P , t )
1
exp( jkr01 ) cos( n , r01 )ds r01
v

，而 k
2

， n 为介质的折射率， v 为光在其中的传播速度。
3
证明： 根据方程（4-52） ，我们写出
u ( P0 t )


cos(n, r01 ) 2 vr01



G ( P 1 ) 的法向导数为
~ ) G 1 exp( jkr01 ) 1 exp( jkr 01 ~ jk cos( n , r ) jk cos( n, r01 ) 01 ~ ~ r r r r n 01 01 01 01
U n 0 。
2
根据上述边界条件
U ( P0 )
1 4
n G ds 2 n

U
1
U exp( jkr01 ) ds r01
（P4.2-8）
（3）参考教材中图 4-5，孔径 由位于 P2 点的发散球面波照明，即
U ( P1 )
A exp( jkr21 ) r21
e jkr lim R R 0
4.2 参考图 4-8，考虑在瑞利—索末菲理论中采用下式所表示的格林函数，即
G ( P 1)
01 ) exp( jkr01 ) exp( jkr 01 r01 r
(1) 证明 G 的法线方向的导数在孔径平面上为零。 要得到这个结 (2) 利用这个格林函数， 求出用孔径上的任意扰动来表示 U ( p0 ) 的表达式， 果必须用什么样的边界条件。 (3) 利用(2)的结果，求出当孔径被从 P2 点发散的球面波照明时 U ( p0 ) 的表达式 证明: 下面是教材中图 4-8
2 rect rect X Y
2 rect Y
F {U ( , )} XY sinc( Xf x ) sinc(Yf y ) exp( j f y ) exp( j f y )
cos cos （3） At ,
a cos cos a sinc
cos cos cos cos a cos cos （4） At , , a sinc
光强分布
I U ( x, y )
2
2 XY 2 Xx sinc di di
2
2 Yy sinc di
2 y cos di
4.7 若用一个单位振幅的单色平面波垂直照明
5
（1）图 p4-7(a)所示的方形环带，图中所示的两正方形中心重合，对应边平行，大小两 正方形的边长分别为 2 L0 和 2 Li 。 （2）图 p4-7(b)所示的环状孔径，图中所示的两正方形中心重合，大小两圆的直径分别 为 2 L0 和 2 Li 。 设光波波长为 ，孔径到观察平面的距离为 z，试导出该方形环带和环状孔径的夫琅 和费衍射图样的表达式。
j 2 U ( P1
r j 2 t 01 v , )e d d s
u ( P, t ) 的中心频率为 ，带宽为 。当 ( 2 , 2) 时，上式中第一个积
分才不为 0，在 的条件下， 变化很小，因此可以用 代替 并将它拿出积分号 之外。在 r01 v 的条件下用 exp( j 2 r01 v) 代替 exp( j 2 r01 v) ，因此有方程
当 R 时，有 r ，所以这时有
cos(n, r ) 1 U exp( jkr ) 1 exp( jkr ) jkU jk jkU r r n r2
当 R 时，上式分母中的 r 可用 R 来代替，于是
U exp( jkr ) 1 lim R jkU lim R lim (cos kr j sin kr ) 2 R R n R R R
U 1 exp( jkr21 ) A cos( n, r21 ) jk n r21 r21
因为 r21 ，即 k
1 ，因此有 r21
exp( jkr21 ) U Ajk cos( n, r21 ) n r21
将上式代入（P4.2-8）式，得到 P0 点光场的复振幅
1
~ （1） G ( P1 ) 由两项迭加而成，它们分别表示从互为镜像的点 P0 和 P0 发出的两个初相位相
同的单位振幅的球面波。孔径平面 S1 上任一点 P1 的 G 值为
G ( P1 )
r01 ) exp( jkr01 ) exp( jk~ ~ r01 r01
（P4.2-1）
4
2 2 cos cos dJ 1 d cos cos cos cos （2） At , , 2 2 cos cos 2
2 2 cos cos dJ 1 d cos cos 解答 .（1） At , 2 2 cos cos 2
1 4

S1
U 1 G d s n 2

S1
U exp( jkr01 ) ds n r01
（P4.2-7）
为了将上式所表示的结果进一步简化，根据孔径 上的场去计算 P0 点的复振幅分布
U ( P0 ) ，只需要规定如下两个边界条件：
（a）在孔径 上，场分布的法向导数 U n 与不存在衍射屏时的值完全相同。 （b）在 S1 面上除去孔径 外的其余部分，即位于衍射屏的几何阴影区的那一部分上面
（P4.2-2）
~ 对于互为镜像点的 P0 和 P0 来说，有
cos(n, r01 ) cos(n, ~ r01 )
将以上关系式代入（P4.2-2）式，得到
r01 ~ r01
（P4.2-3）
G 0 n
（P4.2-4）
（2）根据（4-22）式，观察点 P0 的光扰动可以用整个平面 S1 上的光扰动 U 和它的法向导数 来表示
第四章
标量衍射理论基础
证明： 球面 S 2 是中心位于 S1 面上的发散球面波的波面， 假定 S 2 面 上的光场分布表示为
4.1 证明（4-21）式所示的索末菲辐射条件成立。
U
exp( jkr ) r
式中 r 表示产生发
散球面波的点光源到球面 S 2 上任意一点的距离。
U U r U 1 exp( jkr ) cos( n,r ) cos( n, r ) jk n r n r r r
u ( P, t ) U ( P, ) exp( j 2 t )d

0
其中 U ( P, ) 是 u( P, t ) 的傅里叶谱。 所示，证明若 图 p4-3
假定几何关系如图 p4-3


<<1 及
nr 1 >> 01 则 v
u ( P0 , t )
式中
1 j
U ( P0 )
由 r01 ~ r01 ，得
1 4

S1
U G ds n G U n
（P4.2-5）
G ( P1 )
2 exp( jkr01 ) r01
（P4.2-6）
将上式和（P4.2-4）式一同代入（P4.2-5）式，得到
U ( P0 )
式中
1 j



u ( P, t )
exp( jk r01 ) cos(n, r01 ) d s r01

v

，
k
2

4.4 （1）一个半径为 1cm 的圆孔用 =500nm 的单色平面波垂直照明，希望在垂直于光轴平 面上 1cm 的观察区内观察菲涅耳衍射，求观察距离至少为多少？ （2） 有一个边长为 2.5cm 的正方形孔径， 若要观察夫琅和费衍射， 求观察距离至少为多少？ 解答： （1）运用(4-109)式，代入数据，得