第11章 统计决策

后验概率(修正先验概率)，并在此基础上对备选方案
进行评价的一种决策方法。 利用贝叶斯决策方法，将先验信息和补充信息结合 在一起进行分析判断，提高了决策的可靠性；同时还 可以对信息的价值及是否需要采集新的补充信息作出
科学的判断。
11 - 22
统计学 贝叶斯公式与后验概率的估计
STATISTICS
设某种状态θj 的先验概率为P(θj)，通过调
11 - 20
统计学
STATISTICS
11.4
贝叶斯决策
一、什么是贝叶斯决策
二、贝叶斯公式与后验概率的估计
三、先验分析与后验分析
四、完全信息价值与补充信息价值 五、后验预分析
11 - 21
统计学
STATISTICS
什么是贝叶斯Bayses决策
自然状态的概率分：先验概率、后验概率；
贝叶斯决策，是利用补充信息根据贝叶斯公式来估计




EVPI是完全信息价值的期望值，maxi Q(Ai,θj )表示 各方案在状态θj 下的最大收益值，Q(A*,θj )表示 先验分析中的最佳方案在状态θj 下的收益值。EVPI
越大表明通过收集补充信息使决策效益提高的余地越
大。同时，它也代表了为取得该项情报可付出的代价 的上限。
11 - 26
统计学
STATISTICS
第11章 统计决策
11.1 统计决策的基本概念 11.2 完全不确定型决策 11.3 一般风险型决策
11.4 贝叶斯决策
11 - 1
统计学
STATISTICS
学习目标
1. 2. 3. 4. 5. 6.
统计决策的基本概念、基本工具和基本步骤； 完全不确定决策的基本准则及其使用场合； 风险型决策的基本准则及其应用； 贝叶斯决策的概念； 后验概率计算与后验分析； 完全信息价值与补充信息价值的概念及其应用
P 389 11.12
统计学 完全信息价值与补充信息价值(续)
STATISTICS
补充信息ek 的价值VAI的计算公式如下：
VAI(ek) = 先验EVPI - 后验EVPI(ek)
先验EVPI是根据状态的先验概率计算的完全信息价
值的期望值，后验 EVPI(ek)是在了解补充信息ek后，
利用根据该信息修正的后验概率计算的完全信息价值 的期望值。 VAI(ek)的取值与ek 有关。为了综合反映补充信息 的价值，还需计算补充信息价值的期望值EVAI。
二、各种准则的特点和适用场合
11 - 8
统计学
STATISTICS
完全不确定型决策的准则
（一）最大的最大收益值准则(乐观准则)
在决策时，先选出各种状态下每个方案的最大收益
值，然后再从中选择最大者，并以其相对应的方案作
为所要选择的方案。
（二）最大的最小收益值准则(悲观准则)
在决策时，先选出各种状态下每个方案的最小收益 值，然后再从中选择最大者，并以其相对应的方案作 为所要选择的方案。
收益矩阵的元素qij反映在状态θj下，采用行
动方案 Ai 得到的收益值。
这里所说的收益是广义收益指标。
收益是行动方案和自然状态的函数，可用下
式表示：
qij ＝ Q (Ai , θj )
11 - 7
i =1,2,„,m; j=1,2,„n
统计学
STATISTICS
11.2
完全不确定型决策
一、完全不确定型决策的准则
2
V a r ( Ai ) E Q ( Ai )
统计学
STATISTICS
风险型决策的准则（续）
（三）最大可能准则(P 382 11.7)
在最可能状态下，可实现最大收益值的方案为最佳方案。
最大可能准则是将风险条件下的决策问题，简化为确定条件下
的决策问题。只有当最可能状态的发生概率明显大于其他状态 时，应用该准则才能取得较好效果。
11 - 23
统计学
STATISTICS
先验分析与后验分析
先验分析是利用先验概率进行决策，而后验 分析是利用后验概率作为选择与判断合适方案 的依据。很多时候，两种分析所得的结论是不 一致的。后验分析中不仅利用了先验信息，还 利用了补充信息。因此一般来说，只要补充信 息是准确的，后验分析的结论更为可靠。
（四）选择“最佳”或“满意”的方案
11 - 5 （五）实施方案
统计学
STATISTICS
收益矩阵表
表11-1 收益矩阵表
状态 概率
θ1 P1 q11 q21
„
θ2 P2 q12 q22
„
„
θn Pn q1n q2n
„
„ „ „
„
A1
方 案
A2 „ Am
qm1
qm2
„
qmn
11 - 6
统计学
STATISTICS
11 - 27
统计学 完全信息价值与补充信息价值(续)
STATISTICS
E V A I E V A I ( e k ) P (ek )
V A I (e
k 1
T
k
) P (ek )
P (
j 1
n
j
) P ( ek j )
ek 出 现 的 概 率 ， 且
P (e
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统计学 完全信息价值与补充信息价值(续)
STATISTICS
其计算公式如下：
E V P I E M ax Q Ai , j Q A , j i






n
j 1
P ( j ) M ax Q Ai , j Q A , j i
（四）满意准则(P 382 11.8)
利用这一准则进行决策，首先要给出一个满意水平。然后， 将各种方案在不同状态下的收益值与目标值相比较，并以收益值 不低于目标值的累积概率最大的方案作为所要选择的方案。利用 该准则的决策结果，与满意水平的高低有很大关系。 11 - 18
统计学
STATISTICS
利用决策树进行风险型决策
或者难以承受决策失误损失的场合。
最小的最大后悔值准则：适用于不愿放过较大的获利机会，
同时又对可能出现的损失有一定承受力的场合。
折衷准则和等可能性准则都是以各种方案的收益的期望值作
为选择方案的标准。折衷准则事实上是假定未来可能发生的 状态只有两种：即最理想状态和最不理想状态。前者发生的 概率是α，后者发生的概率是（1－α）。当α＝1时，该准 则等价于乐观准则，而当α＝0时，该准则等价于悲观准则。
对抗型决策：对策论/博弈论（多个主体） 非对抗型决策：决策论/决策分析（一个主体） 决策类型：确定型决策、不确定型决策
不确定型决策：完全不确定型（对状态概率一无所知）
风险型决策（对状态概率有所了解）；
11 - 4
统计学
STATISTICS
统计决策的基本步骤
（一）确定决策目标
决策目标是在一定条件制约下，决策者希望达到的结果。反映决策目标 的变量，称为目标变量。
然状态的历史资料推算或按照随机实验的结果计
算出来的。
主观概率是决策者基于自身的学识和经验作
出的对某一事件发生可能性的主观判断。
11 - 15
统计学
STATISTICS
风险型决策的准则
（一）期望值准则(应用最广)
以各方案收益的期望值的大小为依据，来选择合适 的方案,一般采用期望收益值最大准则。
E Q ( Ai )
方案作为所要选择的方案。 P 375-377 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5
11 - 12
统计学
STATISTICS
各种准则的特点和适用场合
最大的最大收益值准则：一般只有在客观情况确实很乐观，
或者即使决策失误，也完全可以承受损失的场合才采用。
最大的最小收益值准；适用于对未来的状态非常没有把握，
决策树是一种将决策问题模型化的树形图。 决策树由决策点、方案枝、机会点、概率枝、
结果点组成。
利用决策树对方案进行比较和选择，一般采用
逆向分析法，即从树形结构的末端的条件结果开
始，从后向前逐步分析。 决策树适用于求解复杂的多阶段决策问题。
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统计学
STATISTICS
图11-2
例 11-9 的决策树图
种状态下每个方案的最大后悔值，然后再从中选择最
小者，并以其相对应的方案作为所要选择的方案。
11 - 10
统计学 完全不确定型决策的准则（续）
STATISTICS
（四）折衷准则
根据经验和判断确定一个乐观系数α(0≤α≤1)，
以α和1－α分别作为最大收益值和最小收益值的权数,
计算各方案的期望收益值E(Q(ai))
收益的期望值只反映了一种平均趋势，还要考虑方
差的大小，方差大则风险大。因此在期望值达到一定
数额的前提下，以变异系数较低的方案作为所要选择
的方案。方差Var(Ai)和变异系数V的计算公式如下：
V a r Ai Vi
11 - 17
q
j 1
n
i, j
E Q ( Ai ) p j i 1, 2 , , m
k 1
T
k
)＝1
EVAI是判断收集补充信息是否有利的标准。在收集 补充信息之前，应将EVAI与收集补充信息的费用加以
比较，只有当收集补充信息的费用小于EVAI时，平均
来看，收集补充信息才有利可图。
11 - 28
P 391
11.13
统计学
STATISTICS
后验预分析
在正式进行补充信息的调查之前，需要先估 算完全信息价值的期望值和补充信息价值的期 望值，将其与收集补充信息所需的费用和收益 相对比，就是否值得进一步收集补充信息的问 题作出判断，并选择最佳的收集补充信息的方 案。这一环节被称为后验预分析。
11 - 2
统计学
STATISTICS
11.1
统计决策的基本概念
一、什么是统计决策
二、统计决策的基本步骤
三、收益矩阵表
11 - 3
统计学
STATISTICS
什么是统计决策

瓦尔德(A.Wald)1950年发表专著<统计决策函数> 广义：所有利用统计方法和统计信息的决策；

狭义：研究非对抗型和不确定型决策问题的科学的 定量分析方法。
11 - 9
统计学 完全不确定型决策的准则（续）
STATISTICS
（三）最小的最大后悔值准则
后悔值是由于决策失误而造成的最大可能的收益值
与实际收益值之差。方案Ai 在状态θj 下的后悔值，可
按下式计算：rij ＝ max Q (Ai ,θj ) － qij ≥0 max Q(Ai ,θj )是在第j 种状态下，正确决策有可 能得到的最大收益，qij是收益矩阵的元素。 决策准则：应在求出后悔矩阵的基础上，先选出各
E(Q(Ai)) =α max{ qij } + (1－α) min {qij }
并以期望收益值最大的方案作为所要选择的方案。 注意：此时只考虑两种极端状态。
11 - 11
统计学 完全不确定型决策的准则（续）
STATISTICS
（五）等可能性准则
该准则假定各种状态可能出现的概率相同，在此基
础上求各方案收益的期望值，并以期望收益值最大的
查获得的补充信息ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱek ,θj 给定时ek的条件概
率为P(ek|θj) ，则在给定信息ek的条件下,θj
的条件概率即后验概率可用以下公式计算
P ( ek ) P ( j ) P ( e k j ) P 387 1 1 .1 0
j

n
P ( j ) P ( e k j )
j 1
（二）拟定备选方案
备选方案是决策者实现目标的各种可能途径。备选方案中所调控的变量 称为行动变量。所有备选方案的集合称为行动空间。
（三）列出自然状态
自然状态是指实施行动方案时，可能面临的客观条件（天气的晴雨）。 所有可能出现的状态的集合称为状态空间，而相应的各种状态可能出现的 概率的集合称为状态空间的概率分布。
P 388 11.11
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注：先验分析：前面介绍的准则
统计学 完全信息价值与补充信息价值
STATISTICS
完全信息，是指在对某一问题进行决策时， 对于所有可能出现的状态都可以提供完全确切 的情报。完全信息的价值，可以由掌握完全信 息前后，所采取的不同行动方案的收益值的差 额来表示。不同状态下收益值的差额有所不 同，所以用收益值差额的期望值来综合反映完 全信息的价值（EVPI）。
q
j 1
n
i, j
Pj
( i 1, 2, , m )
式中，E(Q(Ai))是方案i 的收益的期望值，是方案i 在j 状态出现时的收益值；Pj是j 状态出现的概率。
注意: 期望收益,只是平均意义来说，并不是真实的收益.
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统计学
STATISTICS
风险型决策的准则（续）
（二）变异系数准则(离散系数 P 381 11.6)
11 - 13
统计学
STATISTICS
11.3 一般风险型决策
一、自然状态概率分布的估计
二、风险型决策的准则
三、利用决策树进行风险型决策
11 - 14
统计学
STATISTICS
自然状态概率分布的估计
风险型决策不同于完全不确定型决策,它是在
估计出状态空间的概率分布的基础上进行决策.
客观概率是一般意义上的概率，通常是由自