最佳平方逼近多项式

1.内积空间
内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积 空间。如在连续函数空间C[a,b] 上定义了内积 就形成了一个内积空间。
向量的模：在n维欧氏空间Rn中，内积就是两
向量的数量积，即 n (x, y) xT y xk yk k 1
向量的模（范数)的定义为：
n
1
f (x, x) ( 2
正交函数族：若函数族 0 (x),1(x),,n (x),
满足关系
b
0, j k
( j ,k )
a
(x) j (x)k (x)dx
Ak
0,
j
k
则称(x) 是[a,b]上带权 (x) 的正交函数族；
若 Ak 1，则称为标准正交函数族。
2.两类特殊的函数族
可以证明，三角函数族1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,L 满足上述条件，是在[ , ] 上的正交函数族。
函数，则称积分
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx
为函数 f (x)与g(x)在[a,b]上的内积,有下列性质：
1）( f , g) (g, f ); 2）(Cf , g) C( f , g),C 为常数; 3）( f1 f2 , g) ( f1, g) ( f2, g); 4）( f , f ) 0, 当且仅当f 0 时，( f , f ) 0。
2
2
ak*(k , f )
k 0
ak ak* (k 0,1, 2,L , n)
4.举例
5.MATLAB编程实现
function A = ZJPFBJ( f,n,a,b ) C=zeros(n+1,n+1); var=findsym(f); f=f/var for i=1:n+1
C(1,i)=(power(b,i)-power(a,i))/i; f=f*var; d(i,1)=int(sym(f),var,a,b); end for i=2:n+1 C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1); f1=power(b,n+i); f2=power(a,n+i); C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i); end A=C\d; A=real(double(A)); end
4.举例
d0 ( f ,1)
1 0
1 x3 dx 1.1114
d1 ( f , x)
1
x
0
1 x3 dx 0.5883
4.举例
4.举例
二次
4.举例
三次
4.举例
四次
4.举例
4.举例
f (x) s*(x)
4.举例
n
2 ( f s*, f s*) ( f , f ) (s*, f ) f 2
fk 2 ) 2
k 1
1.内积空间
欧式范数：若 f (x)C[a,b] ,则量
f ( f , f ) b f 2 (x)dx
2
a
称为f (x)的欧式范数。
对任何 f , g C[a,b],有以下结论：
（1）( f , g)
f
2
g
2
，又称柯西-施瓦茨不等式；
（2）f g f g ，又称三角不等式；
线性无关函数族：若函数族 k (x)(k 0,1, 2,)
中的任何有限个k 线性无关，则称k为线性
无关函数族。
充要条件：0 (x),1(x),,n1(x)在[a,b]上线性无关
的充要条件是它的Gramer行列式 Gn1 0，其中
(0,0) (0,1) L (0,n1)
Gn1 G(0,1,L ,n1)
此时，
( j ,k )
1 xk jdx 1
0
k j 1
dk ( f ,k )
1 f (x)xk dx
0
3.函数的最佳平方逼近
(0 ,0 ) (0 ,1) L
H
(1
,
0
)
(1 , 1 )
L
M
M
(n ,0 ) (n ,1) L
1
(0 ,n )
1L 2
(1,n
)
M
(n
,
n
)
2 inf
b (x)[ f (x) s(x)]2dx
2 s
2 s a
则称 s (x) 是 f (x) 在子集 C[a,b] 中的最佳平方
逼近函数，其中k 是一组线性无关函数族，函
数 s(x) a00(x) a11(x) L ann (x)。
3.函数的最佳平方逼近
对函数s*(x)的求解：等价于求以下多元函数
1 2 M 1
n 1
1 3 M 1 n2
L L
又称为希尔伯特矩阵。
则方程Ha d 的唯一解
ak ak* (k 0,1, 2,L , n) 即为所求多项式s*(x)的系数。
1
n
1
1
n2
M
1
2n 1
4.举例
1.求f (x) 1 x3在区间[0,1]上的一次最佳平方逼 近多项式。
解：取k (x) xk , (x) 1, f (x) C[0,1]
n
2 ( f s*, f s*) ( f , f ) (s*, f ) f 2
2
2
ak*(k , f )
k 0
3.函数的最佳平方逼近
特别地，取k (x) xk , (x) 1, f (x) C[0,1] ，
Hn Span1, x,L , xn ，求其最佳平方逼近多项
式 s*(x) a0* a1*x an*xn 。
(1
,0
)
0
k j 1
(0 ,1 )
(1
,1
)
4.举例
得 1
1/ 2
1/ 1/
32
a0 a1
10..15181843
解得：
aa10
0.9158 0.3912
故所求一次最佳平方逼近多项式为：
s1*(x) 0.9158 0.3912x
所求最佳一次逼近多项式为：
p1 0.9261 0.4142x
I (a0 , a1,, an )
b
( x)
a
n
[a j j (x) f (x)]2 dx
j0
的最小值。令 I 0(k 0,1,L , n), 则
ak
I
ak
2
b源自文库
n
( x)[
a
a j j (x)
j0
f (x)]k (x)dx 0
(k 0,1,L , n)
引入内积定义，可得
n
aj (k , j ) ( f ,k ) 0 (k 0,1,L , n)
j0
n
即
(k , j )a j ( f ,k ) (k 0,1,L , n)
j0
3.函数的最佳平方逼近
n
(k , j )a j ( f ,k ) (k 0,1,L , n)
j0
上式是关于a0 , a1,L , an的线性方程组，称
为法方程。用矩阵形式可表示为
(0,0)
(1,0 )
M
线性无关：若函数0 (x),1(x),,n1(x) 在区间[a,b] 上连续，如果
a00 (x) a11(x) a22 (x) an1n1(x) 0
当且仅当 a0 a1 L an1 0 时成立，则称
0 (x),1(x),,n1(x) 在[a,b]上是线性无关的。
2.两类特殊的函数族
最佳平方逼近多项式
§5.2 最佳平方逼近多项式
本节内容
1.内积空间 2.两类特殊的函数族 3.函数的最佳平方逼近 4.举例 5.MATLAB程序实现
1.内积空间
权函数：考虑到 f (x)在区间[a,b]上各点的函数 值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区 间[a,b]上的非负函数 (x) 满足条件：
5.MATLAB编程实现
程
计
序
算
结
结
果
果
输
输
出
出
5.MATLAB编程实现
程
计
序
算
结
结
果
果
输
输
出
出
程序正确 简化计算
谢谢
4.举例
p1 0.9261 0.4142x
f (x) 1 x3
s1*(x) 0.9158 0.3912x
4.举例
d0 ( f ,1)
1 0
1 x3 dx 1.1114
d1 ( f , x)
1
x
0
1 x3 dx 0.5883
Matlab 求定积分（int函数）
d 0= (2*2^(1/2))/5 - (6*ellipticF(asin(1/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)^(1/2)), -(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))*(-1/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2))/5 + (6*(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)*(2/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((1/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*ellipticF(asin((2/(3/2 + (3^(1/2)*i)/2))^(1/2)), -(3/2 + (3^(1/2)*i)/2)/(- 3/2 + (3^(1/2)*i)/2))*(-1/(2*(- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2)*(1/2 + (3^(1/2)*i)/2)))^(1/2))/5
(1,0 ) M
(1,1) L M
(1,n1) M
(n1,0 ) (n1,1) L (n1,n1)
3.函数的最佳平方逼近
最佳平方逼近函数：对于 f (x) C[a,b] 及C[a,b]中的
一个子集 Span{0, 1, L , n}, 若存在 s(x)
使下式成立:
f s
2
inf
f s(x)
2
2
2
（3）f g 2 f g 2 2( f 2 g 2 )，又称平
2
2
2
2
行四边形定律。
2.两类特殊的函数族
正交：若 f (x), g(x) C[a,b], (x)为[a,b]上的权 函数且满足
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称 f (x)与g(x)在[a,b]上带权正交。
由 d (d0, d1,L , dn )T , dk ( f ,k ) (k 0,1, 2,L , n)
得 d0 ( f ,1)
1 0
1 x3 dx 1.1114
d1 ( f , x)
1
x
0
1 x3 dx 0.5883
则由
( j ,k )
Ha d
1 xk jdx
1
H
(0,0 )
1）ab| x |n(x)(n 0,1,L ) 存在；
b
2）对非负的连续函数 g(x) ，若 a g(x)(x)dx 0,
则在[a,b]上，g(x) 0，即 (x) 不恒为0。
就称 ( x)为[a,b]上的权函数。它的物理意 义可以解释为密度函数。
1.内积空间
内积：设 f (x), g(x) C[a,b], (x)是[a,b]上的权
(0,1) L (1,1) L
M
(0,n1) a0 ( f ,0)
(1,n1)
a1
(
f
,
1)
M M M
(n1,0 ) (n1,1) L
(n1,
n1)
an
(
f
,
n
)
简记为Ha d 。其中 a (a0, a1,L , an )T ,
d (d0 , d1,L , dn )T , dk ( f ,k ) (k 0,1, 2,L , n)
3.函数的最佳平方逼近
由于0 ,1,,n线性无关，故其系数矩阵H的 行列式非奇异，即 G(0,1,,n ) 0 ，该法方程有 唯一解为
ak ak* (k 0,1, 2,L , n)
则最佳平方逼近函数为
s*(x) a0*0 (x) a1*1(x) an*n (x)
令 f (x) s*(x) ，则平方误差