2014年广西创新杯高一数学竞赛初赛试题参考答案及评分标准
2017年广西高一创新杯参考答案
2017年广西高一“创新杯”预赛试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分.）1、（卢瑞庚老师供题）若2(3)()15x x n x mx ++=+-，则m 等于A. 2-B. 2C. 5-D. 5解析：根据多项式展开，对应系数比较得2,5-=-=m n ，故选A.2、（卢瑞庚老师供题）设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则 A ．N M ⊆ B ．M N ⊆ C ．N M = D ．Φ=N M解析：对M ：,412412+=+=k k x 对N ：42214+=+=k k x ，故选A. 3、（苏华东老师供题）函数2,y x x =+1-≤x ≤3的值域是A. [0,12]B.1[,12]4-C. 1[,12]2- D . 3[,12]4解析：x x y +=2的对称轴为,21-=x 从图像上分析，当21-=x 时，函数有最小值,41)21(-=-f 当3=x 时，函数有最大值,12)3(=f 故函数的值域为1[,12]4-，选B . 4、（王强芳老师供题）计算2016220182016201720162017222⨯+⨯--的值等于 A.1 B.1- C.2 016 D.2 017解析：设2016x =，则原式=222(1)211(1)(2)221x x x x x x x x +-+==+-+++，选A. 5、（赵继源老师供题）若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520172016a b c ++的值为A ．2015 B.2016 C.2017 D.0解析：最大的负整数是－1， a =－1；绝对值最小的有理数是0，b =0；倒数等于它本身的自然数是1，c =1. 201520172016a b c ++=201520171201701-+⨯+（）=0，选D. 6、（赵继源老师供题）如图，四边形ABCD 中，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为 A.23 B.4 C.52 D.4.5(第6题图)解析：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ． 由于AC = BC ，CD = CE ，BCD BCA ACD ∠=∠+∠=DCE ACD ACE ∠+∠=∠.所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ．因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒．在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是DE =224AE AD -=，所以CD = DE = 4．选B.二、填空题（每小题9分，共54分）7、（凌玲老师供题）课程改革后，向100名老师调查对新旧版本教材的态度，有如下结果：赞成旧版本的人数是全体的五分之二，其余的不赞成；赞成新版本的比赞成旧版本的多30人；对新旧版本都赞成了老师比对新旧版本都不赞成的老师的3倍多2人．则对新旧版本都赞成了老师人数为____________．解析：设只赞成旧版本的老师a 人，只赞成新版本的老师b 人，新旧版本都赞成的老师c 人，新旧版本都不赞成的老师d 人，依题意：有40()()3032100a c b c a c c d a b c d +=⎧⎪+-+=⎪⎨=+⎪⎪+++=⎩407023100a c b c c d a b c d =-⎧⎪=-⎪⎪⇒-⎨=⎪⎪+++=⎪⎩即：c =14．答案：14． 8、（黎福庆老师供题）设m =5，那么m +1m 的整数部分是 ． 解析：m +1m =555+, 2＜5＜2.3，2＜m +1m =555+＜3，答案：2． 9、（李艳娥老师供题）关于x 的方程：43240x x +-=的根是解析：原方程化成：2(2)3240x x +-=， (21)(24)0x x ∴-+= 得21x =或24x =-(舍去),于是x=0.10、（唐光明老师供题）若0=++c b a ，则)11()11()11(ba c a cbc b a +++++的值为 解析：3)111()111()111()11()11()11(-++++++++=+++++cb ac c b a b c b a a b a c a c b c b a 33)111)((-=-++++=cb ac b a .答案：－3 11、（李艳娥老师供题）已知a 、b 是两个不相等的质数，103a b +=，则ab = .解析:由103a b +=为奇数可知a 和b 中有一个为奇数另一个为偶数，故必有一个为2，另一个为101，ab =2×101=202. 12、（黎福庆老师供题）如图，将△APB 绕点B 按逆时针方向旋转90°后得到△A′P′B . 若BP =2，那么PP′的长为.(第12题图)解析：∵△APB 绕点B 按逆时针方向旋转90°后得到△A′P′B ，∴BP =BP ′，∠PBP′=90°.∴△BPP ′为等腰直角三角形，∴PP ′=2BP =22．答案:22. 三、解答题（每小题20分，共60分）13、（黎福庆老师供题）若等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，求n 的值.解：∵三角形是等腰三角形，∴①a =2，或b =2，②a =b 两种情况……………………5分 ① 当a =2，或b =2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，∴x =2，把x =2代入2610x x n -+-=得，22﹣6×2+n ﹣1=0，解得：n =9. …………10分 当n =9时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n =9不合题意. ………………………………………………………………………15分 ②当a =b 时，方程2610x x n -+-=有两个相等的实数根，∴△=2(6)4(1)0n ---=，解得：n =10..当n =10时，方程的根是3，而3，3，4能组成等腰三角形.综合上述n 的值为10. …………………………………………………………………20分14、（唐光明老师供题）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥AB 于F ，求证：AD 2=AF ·AB .证明:∵CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∴ EF //CD . …………………5分∴ ACAE AD AF =.……………………………………..………10分 ∵DE ⊥AC ，∠ACB =90º ， ∴DE //BC . ∴ACAE AB AD =…………………………………….…..……15分 ∴ AF AD AD AB=. ∴ AD 2=AF ·AB …………….…….………….……………20分 15、（赵继源老师供题）如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．已知a b c （，，）和111a b c （，，）均为三角形数，且a b c ≤≤，求a c的取值范围. 解： 依题意得：.......(1)111......(2)a b c b c a+>⎧⎪⎨+>⎪⎩，……………………………………………5分 所以a c b ->，代入（2）得ca c cb a 11111+-<+<，两边乘以a 得 ca a c a +-<1， ………………………………………………………………10分 A BC D E F (第14题图)即ac a c a c -<-.化简得0322<+-c ac a ，两边除以2c 得 0132<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛c a c a 所以253253+<<-c a .……………………………………15分 另一方面：a b c ≤≤，所以1≤c a 综合得1253≤<-c a …………………………20分。
2016年广西“创新杯”高一决赛试题答案及评分标准
2016 年广西“新杯”数学高一决卷考：2016 年 10 月 23 日(星期日) 8:30--11:00答案及分准一、（每小 6 分，共 36 分, 将答案的序号填写在第二答区相号后面的括号内）1、函数F ( X ) = X +3 + X −2 + X −1 ， F ( X)的最小是（）.A. 5B. 4C. 3D. 2解析： A.由的几何意知当 X =1F ( X)取到最小.故 A （敦元老供）2、方程X2 − 2X− 2 = 0 的一个小根X，下面X的估正确的是().1 1A．−2<X1< −1 B．−1 < X1 < 0 C．0 < X1 < 1 D．1 < X1 < 2解析: B.提示：直接求根并估；或者 F ( X)= X2 − 2 X− 2 ，并判断各区端点的函数符号. （命供）3、化( X + B)(X + C) + ( X + C)( X + A) + ( X + A)( X + B) 得( ) ．(A−B)(A−C) (B−C)(B−A) (C−A)(C−B)A.0B. 1C.2D. 3解析: B.所式子 F ( X)，有 F (−A)= F (−B)= F (−C)=1，而A,B,C互不相等，于是方程 F ( X)−1=0有三个不等根.但F(X)是关于X的二次多式，所以F ( X)−1≡0，即F(X)≡1．或常化也可得．（唐光明老供）4、如，AB⊙O的直径，E、F AB 的三等分点，M、N上两点，且AB ∠MEB= ∠ NFB = 60,EM+FN= 33 ，直径 AB 的（）.A．6 B. 2 11 C. 11 D. 8解析： A.⊙O 半径 R . 延 ME 交⊙O 于点 N ′ ， 由 的 称性，1 AB = 1 R . 作 MN ′ = 33 . 易知点 OEF 的中点，所以 OE =6 3OH ⊥ ME 于 H ， OH = OE SIN 60 = 3 R ，由 R 2 = ( 3R ) 2 + ( 33 )2 ， 6 6 2解得 R = 3，所以 AB=6.（命 供 ）5、如果一个正整数可以表示 两个 奇数的立方差， 称 个正整数 “和数”. 如：2 = 13 − ( −1) 3 , 26 = 33 −13, 2 和26 均 “和 数”.那么，不超2016 的正整数中，“和 数”共有（ ）个.A ．8B ．9C ．10D ．11解析: C.K3K3K KK 2KK K2(2 + 1)− (2 − 1)= [ (2 + 1) − (2− 1)] (2+ 1) + (2 + 1)(2 − 1) + (2−1)= 2(12 K 2+1) （其中K 非 整数），由 2(12 K 2+ 1) ≤ 2016 得，K ≤ 9 .∴K = 0,1, 2, ,8, 9 ，共有 10 个.（ 英明老 供 ）6、 足 1 + 1 =1 的正整数解( X , Y ) 的 数 （ ）．x y 2016A ．98B ．115C ．142D ．165 解析： D.由 条 件 得( x − 2016)( y − 2016) = 2016 2= 2103472， 而 2103 472有(10 + 1)(4 + 1)(2 + 1) = 165 个正因子， 于每个正因子D ，由 X − 2016 = D 可以得到一个 X 的 ，而当 X 确定后， Y 的 也随之确定，故共有 165 解.（命 供 ）二、填空 （每小 9 分，共 54 分， 将答案填写在第二 答 区填空 相号后面的横 上）7、方程 X 2+ (M − 2)X − (M + 3) = 0 的两根的平方之和最小 ， 数m 的 ______.答案：1.解析：易知方程有两个不等 根. 利用 达定理和配方法，知 m=1 ，两根之平方和最小 9.（唐光明老 供 ）8、 于函数 Y = X ，Y 的取 范 是______.2 +1X答案：( −∞, 1 ] .4解析：函数式可化得：YX 2− X + Y = 0 . 当 Y = 0 ，X = 0 ；当 Y ≠ 0 ，由 ≥ 0得： = 1 − 4 Y ≥ 0, ∴ Y ≤1. 合两种情形，可知 y 的取 范 是( −∞,1 ] . 4 4（李燕娥老 供 ）9、1的整数部分 A ，小数部分 B ， A 2 + (1 +) AB= ________.73 - 7答案：10.解析：由 1 = 3 + 7 > 2 ， 3 + 7 - 3 < 0 ，得 A = 2, B = 3 + 7 - 2 =7 -1 . 2 3 - 7 22 2 所以A 2+ (1 + )AB = 10（ 英明老 供 ）710、函数 f ( x ) = x 2− 2 x − 3 + x 2+ x − 6 的最小 _______.答案： 6 .X 2 − 2 X − 3 ≥ 0 X ≤ − 1 或 X ≥ 3，即 X ≤ −3 或 X ≥ 3 .解析：由X 2 + X − 6 ≥ 0 ，知X ≤ − 3 或 X ≥ 2∴f ( x) 的定 域 ( −∞ ，− 3] ∪ [ 3，+ ∞) .∵Y 1 = X 2 − 2 X − 3 和 Y 2 = X 2+ X − 6 在(−∞ ，− 3] 上都是减函数，在[3，+ ∞) 上都是增函数.∴ f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 + x 2+ x − 6 在(−∞ ，− 3] 上是减函数，在[3，+ ∞) 上是增函数.∴f ( x) 的最小 是 f ( −3) 与 F (3) 中 小者.∵ F ( − 3) = 2 3 ， F (3) = 6 ， ∴f ( x) 的最小 是 6 .（命 供 ）11、如 ，E 是 1 的正方形 ABCD 的 角 BD 上一点，且 BE=BC ，P CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点 Q ，PR ⊥BE 于点 R ，PQ+PR 的 _________.答案：2.2解析： 接 BP ， C作 CM ⊥BD ，∴S BCE = S BPE + S BPC ，即 1 BE •CM= 1 BC •PQ+ 1 BE •PR. 2 2 2又∵BC=BE ，∴ 1 BE •CM= 1BE(PQ+PR)，∴CM=PQ+PR.2 2∵BE=BC=1 且正方形 角 BD= 2 BC= 2 ，又 BC=CD ，CM ⊥BD ，∴M BD 中点.又△BDC 直角三角形，∴CM= 1 BD=2，即 PQ+PR是2．（命 供 ）22212、 正整数N ， f ( n) 数3N 2+ N +1 的十 制表示的数 之和（如，N = 10 ，由3N 2+ N + 1 = 311，得 F (10) = 3 + 1 + 1 = 5 ）， f ( n) 的最小． 答案：3 .解析：（1）易知，3N 2+ N +1 大于 3 的奇数，故， F ( N ) ≠ 1 .（2）若 f ( n) = 2 ， 3N 2+ N +1 只能是首位和末位 1，其余数 0 的数，即 3N 2+ N +1 = 10 k +1（其中K 正整数）.由 3N 2+ N + 1 = 11 无正整数解，知K 是大于 1 的整数.由 3N 2 + N +1 = 10 k +1知，3N 2+ N = 10k ，n (3n + 1) = 2 k ×5k .由于N 与3N +1互 ，3N + 1 > N 。
2017年广西高一数学竞赛“创新杯”决赛试卷(含参考答案)
2017年广西高一“创新杯”决赛试卷参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1．如果1=++cc bb aa ，则abcabc 的值为 ( _★_ )A.1-B. 1C. 1±D. 与c b a ,,的值有关【答案】A解：c c b b a a ，，的取值是1或－1,因为1=++c c b b a a ，所以c c b b a a ，，中有2个1，1个－1.c b a ,,中有两正一负，所以0<abc ，.1-=abcabc2．已知非零实数a b 、满足:2210a ab b a b ++-+=+，则a b +的值等于 ( _★_ )A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】B解：由题设得22211102a b a b ⎡⎤++++-=⎣⎦（）（）（），则0a b =+，10a =+，10b -=，故0a b =+．3．方程 3)2(22=-+x x x 的所有实数根之和为 ( ★ ) A ．1 B.3 C.5 D .7 【答案】C 解：方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。
即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。
解得1x =。
经检验1x =是原方程的根。
∴ 原方程所有实数根之和为5。
4．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 ( _★_ ) A.1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】B解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点,即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.5．已知,,x y z 为三个非负实数，且满足325231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是 ( _★_ ) A ．57-B. 75-C. 111D. 111- 【答案】D 解：由方程组解出73711x z y z=-⎧⎨=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37711z ≤≤，∵373(73)711732s x y z z z z z =+-=-+--=-，取711z =代入即可求得，111max -=s6．()f x 是定义在R 上的函数，若0)1(=f ，且对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，)()6(x f x f -+≥6，则=)2017(f ( _★_ )A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018 【答案】B解：∵ 对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，∴[][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤,又)()6(x f x f -+≥6因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+. ∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈.∴ .20163366)1()33661()2017(=⨯+=⨯+=f f f二、填空题（每小题9分，共54分）7．已知实数x ，y 满足x 2+3x +y －4=0，则x +y 的最大值为 ． 【答案】5解：由x 2+3x +y －4=0得y =－x 2－3x +4，把y 代入x +y 得：x +y =x －x 2－3x +4=－x 2－2x +4=－（x +1）2+5≤5，∴x +y 的最大值为5．8．设a =，且ab = 1，则a 2 + b 2的值为 ．【答案】98解：因25a ===+，及ab = 1知,625)23(23232-=-=+-=b ，故a 2 + b 2 = (a + b )2– 2ab = 100 – 2 = 98．9．若f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12(,则e d c b a +-+-的值是 ．【答案】2解：f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12( ,当x =0时，1=f ，当1-=x 时，1-=+-+-+-f e d c b a ，2-=-+-+-e d c b a2=+-+∴e d c b a -.10．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，5BFFC=． 已知AB = 8，AE = 2．则AD 的长为 ．【答案】231+ 解：联结BE ．由BC 为直径知∠BEC = 90°．故BE == 又由Rt △BFE ∽Rt △EFC ，知225BE BF EF BE BF EC EC EF FC EC FC==⇒==⇒=由割线定理得()AE AE EC AD AB +===11．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：34+=kx y 与x轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB =30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是 ．【答案】6解：∵直线l ：y =kx +与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∴B （0，4），∴OB =在Rt △AOB 中，∠OAB =30°，∴OA OB =×4=12，∵⊙P 与l 相切，设切点为M ，连接PM ，则PM ⊥AB ，∴PM =12P A ，设P （x ，0），∴P A =12﹣x ，∴⊙P 的半径PM =12PA =6－12x ，∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．12．黑板上写有1001,,31,21,1⋅⋅⋅共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数b a ,，然后删去b a ,，并在黑板上写上数ab b a ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是 ． 【答案】100解：1)1)(1(-++=++b a ab b a ，∵计算结果与顺序无关，∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++.13．（本小题满分20分）已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝13，a 2＋b 2＋c 2＝77，abc ＝48，求cb a 111++的值． 解：因为a ＋b ＋c ＝13，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝169． ……………… 5分 因为a 2＋b 2＋c 2＝77，所以ab ＋bc ＋ca ＝46． ……………… 10分 又因为abc ＝48，所以2423111=++=++abc ca bc ab c b a ． ……………… 20分14．（本小题满分20分）如图，⊙O 的直径AB =2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD =x ，BC =y ． （1）求y 关于x 的关系式；（2）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S ≥2.解：（1）过点D 作BC DF ⊥于F ，则DF AB // ∵AB 是直径，AM 、BN 是切线∴AB BN AB AM ⊥⊥, ∴BN AM //∴四边形ABFD 为平行四边形又∵∠ABC =90°，∴四边形ABFD 为矩形.∴2==AB FD ，x AD BF ==∵DE 、DA ，CE 、CB 都是切线 ∴根据切线长定理，得x AD DE ==，y CB CE ==在DFC Rt ∆中，x y BF BC CF y x CE DE DC DF -=-=+=+==,,2∴222)(2)(x y y x -+=+化简，得)0(1>=x xy ……………………………… 10分 （2）)0(,1)(21>+=+=x xx BC AD AB S ABCD,即)0(,1>+=x xx S ……………………………… 15分 ∵2)1(21xx x x -=-+≥0当且仅当1=x 时，等号成立 ∴xx 1+≥2，即S ≥2.……………………………… 20分15．（本小题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥. 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4. 当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.……… 10分(下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数， 不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.……………… 20分。
广西高一数学创新杯竞赛初赛试题(含参考答案及评分标准)
2012年广西高一数学竞赛初赛试卷考试时间：2012年9月16日（星期日）8：30－10：30一、选择题（每小题6分，共36分）1．若c b a ,,为有理数，且0323=++c b a ，则=++c b a （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2012 （D ）2015答：A 。
解析：由有理数与无理数的性质可知0===c b a 时等式成立。
故选A.2．已知⎩⎨⎧=++=--02022z y x z y x ，则分式222222z y x z y x ++--＝（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）2答：C 。
解析：已知,002022=⎩⎨⎧=++=--x z y x z y x 得，则分式1222222-=++--z y x z y x .故选C.3．下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 答：A 。
解析：只有A 是可以的。
故选A. 4．己知a 是正数，并且：等于则224,12aa a a +=-（ ） （A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）-3 答：A 。
解析：5424,12222=+-=+=-）（则由aa a a a a 。
故选A.5．化简22312523+++得（ ）（A ）1 （B ）22+ （C ）12+ （D ）122+答：D 。
解析：122)223(23)21(1252322312523+=++=+++=+++。
故选D.6．若函数c bx ax y ++=2，当1,0,2-=x 时，其函数值9,5,15-=y ，则函数y 的最大值为（ ） （A ）5 （B ）219（C ）13 （D ）14 答：B 。
解析：由已知求得223192652()22y x x x =-++=--+。
故选B.二、填空题（每小题9分，共54分）1．方程：675691089++-++=++-++x x x x x x x x 的解为 . 答案：x=－7。
2015年广西“创新杯”高一初赛试题试卷及评分标准
解析:选 B.原方程变为 ( x a )( x 8) 1，
解得 x=9 或 7，a＝8。 （赵继源老师供题）
x a 1 x a 1 或 ， x 8 1 x 8 1
4、已知集合 M 0,1, 2,3, 4 , N 1,3,5 , P M N , 则 P 的子集共有（ ）个
A D B
2
C E F
②在 Rt△AED 和 Rt△DFB 中， ∴Rt△AED∽Rt△DFB ∴
AE DE ，即 DE·DF＝AE·BF DF BF
∵CD＝ 2 DE＝ 2 DF，
∴ CD 2 2 DE 2 DF 2 DE DF 2 AE BF .（赵继源老师供题）
15、设实数 x, y 满足 2 x 2 6 x y 2 0 ，求 x 2 y 2 2 x 的最大值。
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a 0, a 5, 0r , a 10
当 a 0 时，即小贝不从甲店买，全从乙店买，此时他将花掉 13 0.85 11.05 元； 当 a 5 时，即小贝从甲店花 5 块钱得到 6 只笔，再从乙店中买 7 只笔就可以了，他将花掉 1 5 7 1 0.85 10.95 元 当 a 10 时，即小贝从甲店花 10 块钱得到 12 只笔，再从乙店中买 1 只笔就可以了，他将 花掉 110 1 11 综上，显然选 D
解：由已知得 y 2 x 6 x 0 ，解得 0 x 3 ，原式= x ( 2 x 6 x) 2 x
2 2 2 2
( x 4) 2 16 ，当 x 3 时，原式有最大值为 15。
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3 2
A
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013
解：由题设
an
2(n 1) n
an1
2(n 1) n
2n n 1 an2
2(n 1) n
2n n 1
23 2
a1
2n1 (n
1)
．
记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn =
2 + 2 × 3 + 22 × 4 + + 2n−1(n +1)
2015 2013
2015
．
2013
5. 正四棱锥 P ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M , N 分别是边 AB, BC 的中
点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
．
答案： 2 ． 4
解：设底面对角线 AC, BD 交于点 O ，过点 C 作直
线 MN 的垂线，交 MN 于点 H ． 由 于 PO 是 底 面 的 垂 线 ， 故 PO CH ， 又
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
连接的情况数．
(1) 有 AB 边：共 25 32 种情况．
(2) 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A ， B 可用折线连接当且仅当 A 与 C ， D 中至少一
点相连，且 B 与 C ， D 中至少一点相连，这样的情况数为 (22 1)(22 1) 9 ．
首届“创新杯”全国中学数学知识竞赛高一试题
首届“创新杯”全国中学数学知识竞赛高一年级试题考生注意：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2.用钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
一、选择题（每小题6分，共36分）1.足协向100名球迷调查对甲A转成中超以及减少参赛队伍的态度，其中75人赞成甲A转成中超，80人赞成减少参赛队伍，那么对于既赞成甲A转成中超，又赞成减少参赛队伍的统计中，下列说法正确的是【】.A.最多人数是55B.最少人数是55人C.最多人数是75D.最少人数是75人2.一个会议室的面积为am2，其窗子的面积为bm2，且a>b，如果把称为这个会议室的亮度，现在会议室和窗子同时增加cm2，则其亮度将【】.A增加 B.减少 C.不变 D.不确定3.高一年级举行排球赛，有可能夺冠的为A、B、C三个班，关于A、B、C到底谁是冠军，甲、乙、丙三同学进行了猜测，甲说：“一定是A班得冠”，乙说：“B班不可能得冠军”，丙说：“A班不可能得冠军”，结果出来后证实，甲、乙、丙三同学中有且仅有一个人判断是正确的，那么，谁是冠军呢？【】.A.A班B.B班C.C班D.不能确定4.神五飞天，举国欢庆，据科学有计算，运载神舟五号飞船的长征四号系列为箭，在点火后1分钟通过的路程为2千米，以后每分钟通过的路程增加2千米，在达到离地面240千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程，大概需要（）分钟【】.A.10B. 13C. 15D. 205.给定Rt△ABC，其中∠B=90°，若Rt△ABC所在平面有一点M，使△ABM和△BCM 都是直角三角形，则称M为“正角点”，这样的“正角点”有【】.A.1个B.2个C.3个D.无数多个6.函数f（x）=x2+bx+c（b，c为整数），集合S={f（k）|k∈Z}，对于某个m∈Z，如果存在m1，m2∈Z使得f（m1）·f（m2）=f（m），则称f（m）为集合S中的“希望数”，则集合S中的“希望数”的数目是【】.A.有限个，比1多B.无穷多个C.不存在D. 1二、填空题（每小题9分，共54）。
2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)
2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)2014-2015学年度高一数学竞赛试题一．选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的答案。
1.已知集合$M=\{x|x+3<0\}$，$N=\{x|x\leq -3\}$，则集合$M\cap N$=（）A。
$\{x|x0\}$ D。
$\{x|x\leq -3\}$2.已知$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$，则$(1-\tan\alpha)(1-\tan\beta)$等于（）A。
2 B。
$-\frac{2}{3}$ C。
1 D。
$-\frac{1}{3}$3.设奇函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上为增函数，且$f(1)=0$，则不等式$f(x)-f(-x)<0$的解集为（）A。
$(-\infty,-1)\cup (0,1)$ B。
$(-1,0)\cup (1,+\infty)$ C。
$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$ D。
$(0,1)$4.函数$f(x)=\ln|x-1|-x+3$的零点个数为（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
05.已知函数$f(x)=\begin{cases}1/x。
& x\geq 4 \\ 2.&x<4\end{cases}$，则$f(\log_2 5)$=（）A。
$-\frac{11}{23}$ B。
$\frac{1}{23}$ C。
$\frac{11}{23}$ D。
$\frac{19}{23}$二．填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
将正确的答案写在题中横线上。
6.已知$0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$，则函数$f(x)=4\sqrt{2}\sin x\cos x+\cos^2 x$的值域是\line(5,0){80}。
7.已知：$a,b,c$都不等于0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$，则$\max\{m,n\}=$\line(5,0){80}，$\min\{m,n\}=$\line(5,0){80}。
2015年广西“创新杯”高一决赛试题答案
2015年广西“创新杯”数学竞赛高一决赛试卷解答一、选择题（每小题6分，共36分,请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后面的括号内）1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）A . 1a +B . 21a +C . 221a a ++D . 1a ++解：选D .设与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是x ，则1+=a x ，所以12)1(2++=+=a a a x .2、已知2=，则+ ( ) A . 3B . 4C . 5D . 6 解：选C .提示：22251510x x +=−−+= 3、计算111111111111(1......)(1......)23102392392310+++++++−+++++++=( ) A .1 B . 110 C . 12D . 2 解：选B . 设1111...2310a =++++，则原式=11(1)(1)1010a a a a −−−−−=1104、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若060B ∠=，则b c a b a c +++的值为（ ）.A . 21B . 22C . 1D . 2解：选C .过A 点作AD ⊥CD 于D ，在Rt △BDA 中，由于∠B ＝60°，所以DB ＝2C ，AD ＝C 23。
在Rt △ADC 中，DC 2＝AC 2－AD 2，所以有222324C a b C −=−，整理得222a c b ac +=+，从而有1))((22222=++++++=+++++=+++bbc ab ac bc ab c a b c b a ab a cb c b c a b a c . 5、关于x 的一元二次方程2210x mx m −+−=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x −的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．25解：选C .6、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的顶点在第一象限，且过点(0)，1和(1)−，0，下列结论：①0ab <；②24b a >；③0a b c <++④01b <<；⑤当1x >−时，0y >．结论正确的个数是（ A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．解：选B ．∵由图知0a <，对称轴04b x a=−>，∴0b >，0ab <∵抛物线经过点(0)，1，∴0c =．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac −>．∵1c =，∴2b ∵由图可知当x =1时函数值为正数，∴0a b c ++>．∵方程的一个根为11x =−，∴1b a c a =+=+．∴20a <，11a a a b ++=+<，1a b ++=2a b c ++<．∴③正确.∵01b a <=+，0a <，∴01b <<，④正确.∵由图可知1x >−时函数值的符号不确定，∴⑤错误．二、填空题（每小题9分，共54分，请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横线上）7、实数,x y 满足22260x x y −+=，则222x y x ++的最大值为____________ 答案：15.解析：由已知得22260y x x =−+≥，解得03x ≤≤，原式=22(26)2x x x x +−++ 2(4)16x =−−+，当3x =时，原式有最大值为15。
2016年广西“创新杯”高一决赛试题
第 页（共 4 页） 1第 页（共 4 页） 2二、填空题（每小题9分，共54分，请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横线上）7、方程0)3()2(2=+−−+m x m x 的两根的平方之和最小时，实数m 的值为________. 8、对于函数21x y x =+，y 的取值范围是 . 9、设7-31的整数部分为a ，小数部分为b，则(21a ab +=________.10、函数()f x =的最小值为_______.11、如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE =BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ +PR 的值为_________.12、对正整数n ，记()f n 为数231n n ++的十进制表示的数码之和（如10n =时，由231311n n ++=，得(10)3115f =++=），则()f n 的最小值为 ．以下为答题区域请将选择题、填空题的答案填写在下面相应位置一、选择题（每小题6分，共36分）1、（ ）；2、（ ）；3、（ ）；4、（ ）；5、（ ）；6、（ ）.二、填空题（每小题9分，共54分）7、_________________; 8、_______________; 9、_______________;10、________________; 11、______________; 12、______________.三、解答题（每小题20分，共60分）13、二次函数q px x y ++=2的图象经过点()1-2，，且与x 轴交于不同的两点()()0,,0,b B a A . 设图象顶点为M ，求使AMB ∆面积最小时的二次函数的解析式.第 页（共 4 页） 314、如图，O ⊙为锐角ABC △的外接圆，直线BO 和CO 分别与边AC 、AB 交于点D 、E ，直线DE 交ABC △的外接圆于点M 、N ，且AM AN =.（1）求证：2AM AE AB =⋅；（2）求证：AO BC ⊥.第 页（共 4 页） 415、设集合{}1232016S =，，，，⋯，求最大的正整数k ，使得存在集合S 的k 元子集A ，满足集合A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。
2014广西高二“创新杯”数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准
E O D C
B
…………5 分 …………10 分 …………15 分
P B O1 A E H O D Q C
四、 （20 分）已知正项数列 {an } 满足： （1）a1 2015 ， （2）a3 , a4 为整数， （3）数列 {nan n 2 }
是公比不大于 10 的等比数列。求数列 {an } 的通项公式。 解：由条件(3)知 nan n 2 cq n1 ，于是 an
1 ； 10
当 0 lg x 1 时， [lg x] 0 ，代入原方程可解得 lg x 2 ，均与 1 lg x 0 矛盾，无解； 当 1 lg x 2 时， [lg x] 1 ，代入原方程可解得 lg x 3 或 lg x 3 (舍去)，即 x 10 3 ； 当 lg x 2 时， [lg x] 2 ，适合原方程，得 x 100 ；故原方程有 3 个根。
，则 a1 a100 4．数列 {an } 中， ak ak 1 2k 1 （ k N ）
99 99
．
答案：101。解析： a1 a100 (ak ak 1 )(1) k 1 (2k 1)(1) k 1 (3 5) (7 9) 199
最小值． 解: 即 设 r 为方程 x 4 ax3 2 x 2 bx 1 0 的实根，则有 r 4 ar 3 2r 2 br 1 0 ，
(r 2 1) 2 r (ar 2 b) 0 .
…………5 分 …………10 分
显然 r 0 . 由柯西不等式知 (ar 2 b) 2 (a 2 b 2 )(r 4 1) ， 于是 a 2 b 2
cq n1 n， n
2017年广西高一创新杯参考答案
2017年广西高一创新杯参考答案2017年广西高一“创新杯”预赛试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1.若$(x+3)(x+n)=x^2+mx-15$，则$m$等于A。
$-2$ B。
$2$ C。
$-5$ D。
$5$解析：根据多项式展开，对应系数比较得$n=-5,m=-2$，故选A。
2.设集合$M=\left\{x|x=\dfrac{k_1}{k_1+2},k\inZ\right\},N=\left\{x|x=\dfrac{k}{4},k\in Z\right\}$，则A。
$M\subseteq N$ B。
$N\subseteq M$ C。
$M=N$ D。
$M\cap N=\varnothing$解析：对$M$：$x=\dfrac{k_1}{k_1+2}$，对$N$：$x=\dfrac{k}{4}$，故选A。
3.函数$y=x^2+x,-1\leq x\leq 3$的值域是A。
$[0,12]$ B。
$[-1,12]$ C。
$[-\infty,12]$ D。
$(-\infty,12]$解析：$y=x^2+x$的对称轴为$x=-\dfrac{1}{2}$，从图像上分析，当$x=-1$时，函数有最小值$f(-1)=-\dfrac{1}{4}$，当$x=3$时，函数有最大值$f(3)=12$，故函数的值域为$[-1,12]$，选B。
4.计算$\dfrac{(x+1)^2-x^2}{2x+1}$的值等于A。
$1$ B。
$-1$ C。
$2016$ D。
$2017$解析：设$2016=x$，则原式$=\dfrac{(x+1)^2-x^2}{2x+1}=\dfrac{2x+1}{2x+1}=1$，选A。
5.若$a$是最大的负整数，$b$是绝对值最小的有理数，$c$是倒数等于它本身的自然数，则$a\times2015+2016b+c^{2017}$的值为A。
$2015$ B。
$2016$ C。
$2017$ D。
2014高一创新杯数学竞赛初赛考场考号
2016年广西“创新杯”高一决赛试题答案及评分标准
考试时间：2016 年 10 月 23 日(星期日) 8:30--11:00 答案及评分标准 一、选择题（每小题 6 分，共 36 分, 请将答案的序号填写在第二页答题区选择 题相应题号后面的括号内） 1、设函数 f ( x) = x + 3 + x − 2 + x −1 ，则 f ( x ) 的最小值是（ A. 5 解析：选 A. 由绝对值的几何意义知当 x = 1 时 f ( x ) 取到最小值. 故选 A （陈敦元老师供题） 2、设方程 x 2 − 2 x − 2 = 0 的一个较小根为 x1 ，下面对 x1 的估计正确的是( A． − 2 < x1 < −1 解析:选 B. 提示：直接求根并估计；或者设 f ( x ) = x 2 − 2 x − 2 ，并判断各区间端点的函数值 符号. 3、化简 A.0 解析:选 B. 设所给式子为 f ( x ) ，则有 f (− a) = f (−b) = f (−c ) = 1 ，而 a, b, c 互不相等，于 是方程 f ( x ) − 1 = 0 有三个不等根. 但 f ( x ) 是关于 x 的二次多项式，所以 （命题组供题） ( x + b)( x + c ) ( x + c)( x + a) ( x + a)( x + b) + + 得( ( a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) B. 1 C.2 D. 3 ) ． B． − 1 < x1 < 0 C． 0 < x1 < 1 D． 1 < x1 < 2 ). B. 4 C. 3 D. 2 ）.
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选C.解：关于t 的方程02=++c bt t 最多有两不同的解n m ,，从而n x f m x f ==)(,)(，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有1)(=x f 有三个不同的实数解.不妨设54321x x x x x <<<<，由于)(x f 关于直线2=x 对称，必有23=x ，451=+x x ，442=+x x ，故12345,,,,,()x x x x x f x x x x x ++++则＝81|210|1)10(=-=f .2、选D.解：根据题意，令 21kn m += （1）201l n m += （2）其中.k l l k m >均为正整数，且、、 (1)),2(10-⨯得 .39)10(,9102==-=--kl klkm m m m 即于是有以下三种可能：I .4,2,3,110,9===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-l k m m m kl k经检验这组符合条件，此时.4=n II .,0,0,,910,1矛盾为任意正整数===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-n l k m m m kl kIII .,310,3该方程组无正整数解⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kl k m m 综上所述，n 只能取4. 3、选A.解：对于正整数x ，2x 被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，…；2x 被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，…. 所以，22xx -被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个x 的值使22xx -能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件. 4、选A.解：以P 为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点P 到各面距离之和等于正四面体的高.四面体每个面三角形的高 h ==，从而 3h =， 于是正四面体的高 2H == . 5、选B.解：设双曲线的方程为),0,0(12222>>=-b a by a x 半焦距为c ，则.222b a c +=由,22121a B F B F A F A F =-=- ,1221B F B F A F A F =+=解得a B F A F 222==，这表明AB ⊥x 轴，又易知此时ab B F A F 222==，结合.222b a c +=解得双曲线的离心率.3==ace 6、选D.解：欲使方程有实根，应有240m n -≥.如上表，适合条件的m,n 共有19组，故36=P . 二、填空题（每小题9分，共54分） 1、 1 .解：由 )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 得 )0()0(2f f =，而0)0(≠f ，所以1)0(=f ， 又)()()0(x f x f f ⋅-=，故1)0()2010()2009()1()0()1()2009()2010(4021==⋅⋅⋅--⋅-f f f f f f f f .21 .解：不妨设 0a b c d ≥≥≥>，则由条件，22224,8a b c d a b c d +++=+++=，于是，22224,8b c d a b c d a ++=-++=-. 由 Cauchy 不等式，22223()()b c d b c d ++≥++， 即 223(8)(4)a a -≥-，2220a a --≤，所以01a <≤， 因此 a1（此时13b c d ===-）. 3、[10,18] . 解：由条件，有2446a b a b a b a b -≥⎧⎪-≤⎪⎨+≥⎪⎪+≤⎩……①，而 (2)42f a b -=-，所以问题即求在条件①下目标函数42a b -的最值. 经从图像分析可知，由24a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点A （3，1）为(2)f -的最小值，即432110⨯-⨯=；由46a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点B （5，1）为(2)f -的最大值，即452118⨯-⨯=. 因此，10(2)18f ≤-≤.4、 . 解：设点(cos ,sin )P a b θθ，则 (cos ,sin ),(cos ,sin )OP a b AP a a b θθθθ==-. 于是，0OP AP ⋅=2222cos (cos 1)cos cos (cos )(sin )0sin 1cos b a a a b a θθθθθθθθ-⇒-+=⇒=-=+，所以 211cos e θ=+. 由 cos (1,1)θ∈-，知 1cos (0,2)θ+∈.故 21(,1)2e ∈， 即,1)2e ∈. 5、 64 .解：令2x =-，得 064a =. 已知等式两边同时对x 求导，得251112126(22)(22)2(2)12(2)x x x a a x a x +-+=+++++.再令1x =-，由上式得12122120a a a +++=.因此 01212021264a a a a a ++++==.6、 160 .解：设至少经过3点的直线有k 条，每条上的点数从多到少依次为：12,,,(3,1)k i a a a a i k ≥≤≤则由已知，有 12222211(1)(1)(1)487ka a a C C C C -+-++-=-=. 又由 21312ia C -≥-= 知 3k ≤. 当1k =时 128a C = 无解； 当2k =时 12229a a C C +=，解得 124,3a a ==； 当3k =时 12322210a a a C C C ++= 无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为 3331143160C C C --=.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：由112(32)(1)0(2)n n n na n a n a n +--+++=≥，得11(2)(1)(2)n n n n n a a n a a +--=+-，于是 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=-.……………………5分 从而 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=- =1211()12n n n n a a n n --+⋅--=21131122n na a n n +⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪-⎝⎭=12n +. ……………………10分 令 []11(1)2n n a xn y a x n y +-+=--+， 则 1111()222n n a a xn x y +-=+-比较系数，得x=1,y=0。
2013年广西高一数学竞赛初赛题参考答案及评分标准
2013年广西“创新杯”数学竞赛高一初赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知实数c b a ,,两两不等，若a c zc b y b a x −=−=−，则实数=++z y x （ ）. （A）－1 （B）0 （C）21（D）3答：B . 解析：设k ac z c b y b a x =−=−=−，则有)(),(),(a c k z c b k y b a k x −=−=−=，于是有0=++z y x .2．化简232532233232−−−−−=（ ）. （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 答：A . 解析：分母有理化得：)232(10563)3223()23(2232532233232=+−×+−+=−−−−−3．已知集合},36|{Z x N xx A ∈∈−=，则集合A 中的元素个数为（ ）. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答：D. 解析：}2,1,0,3{},36|{−=∈∈−=Z x N xx A . 4．从1，2，…7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和.则符合条件的取法有（ ）种.(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 答：B. 解析：注意到，2+4+6=12，故所取出的数之和不大于24. 又12=2+4+6=5+7，10=4+6=3+7，8=2+6=1+7=3+5，6=6=2+4=1+5，4=4=1+3， 故有7种取法.5．若0,2<+∈a a R a ，那么22,,,a a a a −−的大小关系为（ ）.（A）a a a a −>−>>22 （B）a a a a >−>>−22 （C）22a a a a −>>>− （D）22a a a a −>>−> 答：B . 解析：由010)1(2<<−⇒<+=+a a a a a ，即2a a >−，又a a >−2，得B.6．观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20137的末两位数字为（ ）. （A）01 （B）43 （C）07 （D）49答案：C.解析：x x f 7)(=，",16807)5(,2401)4(,343)3(,49)2(,7)1(=====f f f f f ，07)2013("=f 。
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2014年广西“创新杯”数学竞赛高一初赛试卷参考答案与评分标准
考试时间：2014年10月12日（星期日）8:30—10:30
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．方程224+=x x 的实数解为（ ）
（A ）－1或2 （B ）1 （C ）2 （D ）2±
答：D 。
解析：由已知得0)1)(2(,022224=+-=--x x x x 22=x 或12-=x (舍去)，故有2±=x 。
2．若实数满足y y x 44|1|2=+++，则y x +的值为（ ）
（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2
答：C 。
解析：由y y x 44|1|2=+++得0)2(|1|2=-++y x ，于是有02,01=-=+y x ，所以1=+y x 。
3．设梯形的中位线的长为l ，两对角线的长分别为y x ,，则（ ）
（A ）2y x l +< （B ）2y x l += （C ）2
y x l +> （D ）以上答案均有可能 答：A 。
解析：提示过梯形的一顶点作对角线的平行线。
4．方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x 的解为（ ）
（A ）⎩⎨⎧==91y x （B ）⎩⎨⎧==82y x （C ）⎩⎨⎧==64y x （D ）⎩⎨⎧==82y x 或⎩
⎨⎧==28y x 答：D 。
解析：原方程变形为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+10
25y x xy y x ，⎩⎨⎧=+=1016y x xy 解得⎩⎨⎧==82y x 或⎩⎨⎧==28y x . 5．方程0)7()1(82
=-+--m x m x 恰有一个正根和一个负根，则m 的取值范围是（ ）
（A ）7<m （B ）9≤m （C ）7>m （D ）25≥m
答：A 。
解析：由已知得2(1)48(7)0m m ∆=--⨯->，即2342250m m -+> 得9m <或25m >，由08721<-=
m x x ，得7<m ，故有7<m 为所求。
6.若实数,x y ，使得,,,x x y x y xy y
+-这四个数中的三个数相等，则y x -的值等于（ ）
（A ）12- （B ）0 （C ）12 （D ）32
解：选C.
由0y ≠，易知x y x y +≠-，从而必有x xy y
=，解得0,x =1y =或者1y =-. 若0x =,则四个数分别为,,0,0y y -.由0y ≠知不可能有三个数相等，矛盾;
若1y =，则四个数分别为1,1,,x x x x +-.同样不可能有三个数相等，矛盾;
若1y =-，由已知有xy y x =+或者x y xy -=,此时有12x =或者12
x =-. 无论哪种情形均有 12
y x -=.
二、填空题（每小题9分，共54分）
7．已知：115a b a b +=+，则b a a b
+＝_______。
解：答案：3 由115a b a b +=+得：223a b ab +=，所以223b a a b a b ab
++==. 8. 关于实数y x ,的多项式22687x y x y +-++的最小值为_________。
解：答案：-18
()()22
22687341818x y x y x y +-++=-++-≥-.
当-4y 3,x ==时，多项式22687x y x y +-++的最小值为-18. 9. 已知21,x x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根，如果
1221
2x x x x +-的值为整数，则实数k 的整数值为 . 解：答案：,5,3,2,3,1---=k
由⎩⎨⎧≥+-=∆≠0
)1(4)4(042k k k k 得 0<k 或 31≥k .k k x x x x 41,12121+==+. 又212122112()4424411
x x x x k x x x x k k +-+-=-=-=++为整数，则,4,2,11±±±=+k 故1,3,2,3, 5.k =---
10. 已知721
,721
-=+=b a ，则b b a a -+-3
3= . 解：答案：2764-。
注意到3
1,34-=-=+ab b a ，则 3333222()()(1)
64()[()31)]27
a a
b b a b a b a b a ab b a b a b ab -+-=+-+=+-+-=++--=-. 11．如图，△ABC 的边BC 上有D 、E 两点，且BD=DE=EC=AD=AE ，
则∠BAC=＝ . 解：答案：120º。
由AD=AE=DE ，可得△ADE 为等腰三角形，即有∠ADE=∠AED=
∠DAE=60º，又由AD=AB ，AE=EC ，即可求得∠BAD=30º与
∠CAE=30º.
12．集合{}
10.01A x N x x =∈+-<中最小的元素为 . 答案：2500. 解析：10.011100x x x x +-<⇔++> 得1502499.2500,250012500100x x x +>⇒>=++>取得
即2499,2500A A ∉∈，根据集合A 中元素为自然数，得所求最小元素为2500.
三、解答题（每题20分，共60分） 13.已知：如图，ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=，D 是AC 上一点，AE BD ⊥
交BD 的延长线于E ，且12AE BD =。
求证：BD 是ABC ∠的角平分线。
证明：如图，延长AE 、BC 交于点F ，
因为 90ACB ∠=，所以 90ACF BCD ∠=∠=，
所以 3190F F ∠+∠=∠+∠=，从而 31∠=∠ ......................5分
又因为 AC BC =，所以 ACF BCD ∆∆≌，所以 AF BD =，.............10分
又因为 12AE BD =，所以 12AE AF =， .............15分
又因为AE BD ⊥，所以 BD 是ABC ∠的角平分线. .............20分
14. 给定非零实数a ，解关于y x ,的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-a x y xy a y x xy 1. 解析：原方程组为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=-x y
a xy y x a xy 1，将两式相乘得： A
B C D E 321F E D A C B
E D A
C B
0)1()(1)1)((2=+-⇒=--xy a
a xy a xy a xy ......................5分 由题给方程组有意义知0≠xy ，故a
a xy 1+=，将其代入原方程组得 ax y a
y x =⇒=1 . .....................10分 所以由a a xy 1+=得a
a x a a ax 1122+±=⇒+=，......................15分 从而，a
a ax y 12+±==，故方程组的解为 )1,1(),(22++=a a a y x 或)1,1(22+-+-a a
a .............20分 15. 已知两个二次函数的二次项系数均为1，其中一个函数的图象与x 轴交于点A 和点M ，与y 轴交于点C ，另一个函数的图象与x 轴交于点B 和点M ，与y 轴交于点D 。
其中O 为坐标原点，各个点的分布如图所示。
求证：AOC BOD ∆∆∽
证明：设012(,0),(,0),(,0)M x A x B x .两个二次三项式的首项系数都是1，第一个二次三项式的两个根是0x 和1x ，第二个二次三项式的两个根是0x 和2x ，因此这两个二次三项式就分别是
01()()x x x x --和02()()x x x x --。
......................5分
点C 的纵坐标就是第一个二次三项式在零点的值。
即
C 的纵坐标是01x x ，同理，点
D 的纵坐标是02x x 。
...............10分
注意到 101202x x x AO CO BO x x x DO
===，............................................15分 又090AOC BOD ∠=∠=，故AOC BOD ∆∆∽。
...........................20分。