微分中值定理及其应用讲课教案

分类号UDC 单位代码

密级公开学号 2006040223

四川文理学院

学士学位论文

论文题目：微分中值定理及其应用

论文作者：XXX

指导教师：XXX

学科专业：数学与应用数学

提交论文日期：2010年4月20日

论文答辩日期：2010年4月28日

学位授予单位：四川文理学院

中国•达州

2010年4月

目 录

摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言

第一章 微分中值定理历史 (1)

1.1 引言 (1)

1.2 微分中值定理产生的历史 (2)

第二章 微分中值定理介绍 (4)

2.1 罗尔定理 (4)

2.2 拉格朗日中值定理 (4)

2.3 柯西中值定理 (6)

第三章 微分中值定理应用 (7)

3.1 根的存在性的证明 (7)

3.2 一些不等式的证明 (8)

3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 0

0型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞

∞型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 (12)

第四章 结论 (14)

参考文献 (15)

致谢 (16)

微分中值定理及其应用

学生：XXX 指导老师：XXX

摘要微分中值定理是微分学的基本定理之一,在微分学有着重要的地位，其发展经历了几百年．费马作为微积分的创立者,提出了费马定理，罗尔在《方程的解法》中又有了罗尔定理的前身，拉格朗日在《解析函数论》一书中首次提出拉格朗日中值定理，柯西在《微分计算教程》中给出最初的柯西定理．在本论文第二章分别详细的介绍了微分中值定理的三大派别．微分中值定理的应用很广，在很多领域都可以看到其理论知识．在第三章微分中值定理的应用中分别从证明根的存在性问题、证明一些不等式、不定式极限三个方向简要说明其应用，并用一些经典的例题来诠释．

关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；根的存在性；不定式极限

DIFFERENTIAL MEAN V ALUE THEOREM AND ITS

APPLICATION

student: Hu Zhanhong Supervisor: Hu Rong

ABSTRACT Mean Value Theorem is one of the fundamental theorem of differential calculus, the differential calculus plays an important role. Its development through the centuries, Fermat as the founder of calculus proposed Fermat's theorem, Rolle in "Equation Solution" in the former, there has been Rolle's theorem, Lagrange in the "theory of analytic functions" the first time a book Lagrange mean value theorem, Cauchy in the "differential Computer Course" given in the initial Cauchy's theorem. In the second chapter presented a detailed description of the Mean Value Theorem of the three major factions. Mean Value Theorem is very broad, can be seen in many areas of their theoretical knowledge. Chapter III Application of Mean Value Theorem to prove the root, respectively, from the existence of the problem, that some of inequality, a brief description of the infinitive limit its application in three directions, and with some classic examples to explain.

Key words:Rolle's theorem，Lagrange theorem，Cauchy mean value theorem，Root of，Infinitive Limit

第一章 微分中值定理历史[1]

1.1 引言

微分中值定理是微分学的基本定理之一,是研究函数的有力工具. 微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义.以拉格朗日(Lagrange)中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[,]a b 上的可微（注：连续且除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线）的曲线弧()f x ,其上至少有一点C ， 使曲线在这一点的切线平行于连接点(,())a f a 与(,())b f b 的割线．它的运动学意义：设f 是质点的运动规律，质点在时间区间[,]a b 上走过的路程()()f b f a - , ()()f b f a b a

--代表质点在(,)a b 上的平均速度， 在(,)a b 上至少存在某一时刻ξ，使得质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度.

人们对微分中值定理的认识可以追溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.

意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.

人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之时就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马引理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明．对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年)以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证