高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类

Pn A 3
于是 3 ( 5 2) ( n 1) d ∴
d
5 5 (n 1) …………………………-5 分 n 1
设 n (5 5 4,26 5 5 )
（2）∵ d ( , 又∵ n N
*
1 1 ) 5 5
∴
1 5 5 1 5 n 1 5
3． （ 05 湖 南 ） 一 张 坐 标 纸 对 折 一 次 后 ， 点 A(0,4) 与 点 B (8,0) 重 叠 ， 若 点 C (6,8) 与 点 D ( m, n) 重叠，则
m n _______________; n8 n8 1 (6 m) 6, 得 m 7.6, n 7,2 ，所以 m n 14.8 2 m6 2 ABC AC C D E AB B 4 ．在正△ 中， 、 分别是 、 的中点，则以 、 为焦点且过点 D 、 E 的双曲线的离 心率是
2
16 3
B．
8 3
C．
16 3 3
D． 8 3
二、填空题 1
1
1．若 a，b，c 成等差数列，则直线 ax+by+c = 0 被椭圆
x2 y2 1 截得线段的中点的轨迹方程为 2 8
x2 y2 1 上异于长轴端点的任意一点， F1 、 F2 分别是其左、右焦点， O 为中心，则 2． （ 04 湖南）设 P 是椭圆 16 9 | PF1 | | PF2 | | OP | 2 ___25________.
b2 9 m 为定值. 2 |1 k | 8
（2）设 BC 中点为 P ， AD 中点为 Q 则 x p
x x4 x1 x2 bk bk ， xQ 3 ，所以 x P x Q ， P 、 Q 重 2 2 2 1 k 1 k 2
1 1 ，所以 | BC | | AD | ，从而 3 3
解：可解得对称轴方程为 y 2 x 6 ，由
3 1
．
5． （03 全国）设 F1、F2 是椭圆 为
x2 y2 1 的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且|PF1|：|PF2|=2：1.则三角形 PF1F2 的面积 9 4
. （奥
. （奥析 264）
6． （04 全国）给定两点 M（-1，2） ，N（1，4） ，点 P 在 x 轴上移动. 当 MPN 取最大时，点 P 的坐标为 析 265） 7． （03 山东）设曲线 2 x y 4 x 6 上与原点距离最大和最小的点分别为 M、N，则|MN|=
2 ，则满足条件的直线 L 共有（ C ）条.
5 , 分别以 A，B 为圆心， 2 ， 5 为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为 C.
）上
4． （06 安徽）过原点 O 引抛物线 y x 2 ax 4a 2 的切线，当 a 变化时，两个切点分别在抛物线（ A． y
1 2 3 x , y x2 2 2
x2 y2 8． （05 四川） 双曲线 2 2 1 的左焦点为 F1 ， 顶点为 A1 , A2 ，P 是该双曲线右支上任意一点， 则分别以线段 PF1 , A1 A2 a b
为直径的两圆一定 A．相交
B．内切
（ ） C．外切
D．相离
解：设双曲线的另一个焦点为 F2 ，线段 PF1 的中点为 C ，在△ F1 F2 P 中， C 为 PF1 的中点， O 为 F1 F2 的中点，从 而 OC
(b 2 m) 2bk b x x ， ， 设 A( x3 , y 3 ) ，D( x 4 , y 4 ) ， 易得：x3 ， 1 2 2 2 1 k 1 k 1 k
x4
b 1 1 ，由 | AB || BC || CD | 得 | BC | | AD | ，故 | x1 x 2 | | x3 x 4 | ，代入得 1 k 3 3
高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲
一、选择题 1． （04 湖南）已知曲线 C ： y
x 2 2 x 与直线 l : x y m 0 有两个交点，则 m 的取值范围是(C)
D． (0, 2 1) （ ）
A． ( 2 1, 2 ) B． ( 2, 2 1) C． [0, 2 1) 2． （05 全国）方程
1 1 | PF2 | (| PF1 | | A1 A2 |) ，从而以线段 PF1 , A1 A2 为直径的两圆一定内切. 2 2
9． 点 A 是直线 l : y 3 x 上一点， 且在第一象限， 点 B 的坐标为 （3， 2） ， 直线 AB 交 x 轴正半轴于点 C ， 那么三角形 AOC 面积的最小值是（A ） 10． （02 湖南）已知 A（-7，0） ， B （ 7， 0） ，C（2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为 C，且过 A、B 两点，此椭圆的另 一个焦点的轨迹为（ ） （奥析 263） 1 A．双曲线 B．椭圆 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 11． （03 全国）过抛物线 y 8( x 2) 的焦点 F 作倾斜角为 60O 的直线。若此直线与抛物线交于 A、B 两点，弦 AB 的中 垂线与轴交于点 P，则线段 PF 的长等于（ A． ） （奥析 263）
1 2a
B．
1 a
C． a
D． 2 a
6． （06 江苏）已知抛物线 y2=2px，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点 P 共有(B) A． 0 个 B． 2 个 C．4 个 D．6 个 7． （06 全国）如图 3，从双曲线
2 2 2
x2 y2 1( a 0, b 0) 的 a 2 b2
2
O
4 3
1 1 | 4 x 3 y 4 |, d 2 | 4 x 3 y 4 |, d3 | y | 。依设， d1d 2 d32 , 得 |16 x 2 (3 y 4) 2 | 25 y 2 ， 5 5
2 2 2 2
.（奥析百度文库266）
8． （04 全国）已知 M {( x, y ) | x 2 y 3}, N {( x, y ) | y mx b}. 若对于所有的 m R ，均有 M N ，则 b 的取值范围是 （奥析 267）
9． （00 全国）平面上的整点到直线 25x－15y+12=0 的距离中的最小值是 10．(99 全国)满足不等式（|x|－1）2+(|y|－1)2 <2 的整点的个数有 16
2 2
直线 y x 于 A 、 B 、 C 、 D 4 个点， O 为坐标原点． （1）若 | AB || BC || CD | ，求证： AOD 的面积为定值； （2）若 BOC 的面积等于 AOD 面积的 求证： | AB || BC || CD | ． 解： （1）设直线 l ： y kx b 代入
∴ n 取最大值 14, n 取最小值 8.∴ n 可取 8、9、10、11、12、 、13、14 这七个值.- - - - - - - - -- - - - -9 分
2 2
5． （03 山东）椭圆 C： Ax By 1 与直线 ：x+2y=7 相交于 P、Q 两点，点 R 的坐标为（2，5）.若 PQR 是等腰三 角形， PRQ 90 ，求 A、B 的值。 （奥析 265） 6． （04 全国）在平面直角坐标系 xoy 中，给定三点 A(0, ), B ( 1, 0), C (1, 0) ，点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB， AC 距离的等比中项。 （Ⅰ）求点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线 L 经过 ABC 的内心（设为 D） ，且与 P 点的轨迹恰好 有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范围。 解： （Ⅰ）直线 AB、AC、BC 的方程依次为 y 离依次为 d1
左焦点 F 引圆 x y a 的切线，切点为 T．延长 FT 交双曲线右支于 P 点.若 M 为线段 FP 的中点，O 为坐 标原点，则 | MO | | MT | 与 b a 的大小关系为（ A． | MO | | MT | b a B． | MO | | MT | b a C． | MO | | MT | b a D．不确定 ）
合，从而 | AP || DP | ，从而 | AB || CD | ，又 BOC 的面积等于 AOD 面积的
| AB || BC || CD | .
4．已知点 A

5 ,0 和曲线

x2 y 2 1 2 x 2 5 , y 0 上的点 P1、P2、 …、 Pn .若 P 1A 、 P 2 A 、…、 P n A 成等差数列 4 1 1 ,是否存在满足条件的 n(n N * ) .若存在,求出 n 可 5 5
B． y
3 2 5 x , y x2 2 2
C． y x 2 , y 3x 2
2
D． y 3 x 2 , y 5 x 2
5．若在抛物线 y ax ( a 0) 的上方可作一个半径为 r 的圆与抛物线相切于原点 O ，且该圆与抛物线没有别的公共点， 则 r 的最大值是(A ) A．
1 ， 3
A
B P
y B
O
x 2 y 2 m 得： (1 k 2 ) x 2 2bkx b 2 m 0 ，
C D
x
A
Q
C
0 得： b 2 m(1 k 2 ) 0 ，
设 B( x1 , y1 ) ，C ( x2 , y 2 ) ， 则有 x1 x 2


且公差 d >0,(1). 试将 d 表示为 n 的函数关系式.(2). 若 d , 取的所有值,若不存在,说明理由.
解(1)∵d>0,故为递增数列∴ P 1 A 最小, P n A 最大. 由方程
x2 4 5 2 y 2 1 2 x 2 5 , y 0 知 A( 5 ,0) 是 它 的 右 焦 点 ,L: x 是它的右准线, ∴ P 1A 4 5
34 . 85
.
11． （00 河北）在圆 x2+y2－5x=0 内，过点 ( , ) 有三条弦的长度成等比数列. 则其公比的取值范围为
5 3 2 2
[
2 5 5 , ] 5 2
.
12．设 P 是抛物线 y2=2x 上的点，Q 是圆（x－5）2+y2=1 上的点，则|PQ|的最小值为
2
.
1 三、解答题 1．已知抛物线 y2=4ax（0<a<1）的焦点为 F，以 A（a+4,0）为圆心，|AF|为半径在 x 轴上方作半圆交抛物线与不同的两点 M、N，设 P 为线段 MN 的中点. （1）求|MF|+|NF 的值.（2）是否存在这样的 a 的值，使||MF|、|PF|、|NF|成等差数列？如存在，求出 a 的值；如不存 在，说明理由。 答案（1）8； （2）不存在。 （利用定义法） 2．圆 x2+y2=8，点 A（2，0） ，动点 M 在圆上，0 为原点，求 OMA 的最大值。 （方法大全 1） 3．已知曲线 M : x y m ， x 0 ， m 为正常数．直线 l 与曲线 M 的实轴不垂直，且依次交直线 y x 、曲线 M 、
2bk 2 4(b 2 m) 1 2b 9 b b ( ) | | ，整理得： b 2 m(k 2 1) ，又 | OA | 2 | | ， | OD | 2 | |， 2 2 2 8 1 k 1 k 3 1 k 1 k 1 k
AOD 90 ， S AOD =
A．焦点在 x 轴上的椭圆 C．焦点在 y 轴上的椭圆
x2 y2 1 表示的曲线是 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3
B．焦点在 x 轴上的双曲线 D．焦点在 y 轴上的双曲线
3． （06 浙江）已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 2 , 5 A． 1 解: 由 AB B． 2 C．3 D．4