复曲线中间缓和曲线正矢计算方法
正矢计算公式教学文案
基
fc=50000/R
本 参
fs=fc/n
数
f0=fs/6
圆曲线内个点正矢 缓和曲线正矢率
ZH点正矢
n=l/10 l：缓和曲线长
பைடு நூலகம்
f1=fs
第 一
f2=2×fs
缓
f3=3×fs
和 曲
f4=4×fs
线
······
fn=n×fs
缓和曲线第一点正矢 缓和曲线第二点正矢 缓和曲线第三点正矢 缓和曲线第四点正矢
HY点正矢 圆曲线内各点正矢
R：圆曲线半径
第二
缓和 f=（fc/l）×D
曲线
第二缓和曲线内各点正矢
l：缓和曲线长度 D：任意一点到ZH点的距离
两侧点间10m，一段在直线内：a；一段在缓和曲线内：b
fa=f0×（b/r）3 fb=f0×（（1+（b/r）3）-2×（b/r）3）
r:测点间距 r=10（10m点，20m弦长）
两侧点间，一段在圆曲线上：b；一段 在直线上：a；
fzy=b2×fc/2r2 fc=5000/R
fa=fc×b2/2r2 fb=（1-a2/2r2）×fc
r:测点间距 r=10（10m点，20m弦长）
······ 缓和曲线第N点正矢
两测点间，一段在缓和曲线内，测点距YH点距离为b； 一段在圆曲线内，测点距YH点距离为a；
fa=fc-f0×（b/r）3 fb=fc-f0×（（1+（b/r）3）-2×（b/r）3）
r:测点间距 r=10（10m点，20m弦长）
圆
fHY=fYH=fc-f0
曲
线
fc=50000/R
带缓和曲线的曲线正矢计算表
转角正矢测量点间距(m)圆曲线半径R(m)缓和曲线长Ls(m)曲线总长L(m)圆曲线长Lc(m)αZ=8°34′57″10120090269.75389.753BJDY10计算正矢曲线半径(m)计算正矢缓和曲线长(m)缓和曲线增长量之半圆曲线增长量(mm)之半曲线总增长量(mm)1200.71890.028*******F2至HZ点距离(m) b F1至HZ点距离(m) aAz直线一侧正矢系数Ah-1缓和曲线一侧正矢系数Fn至HY点距离(m) b4.9325.0680.0200.515 5.096 Fn点正矢Fn+1点正矢ZH点里程HY点里程为QZ里程为39.241.56480.976570.976615.8476+480.976+570.976+615.847BJDY10曲线正矢及超高表20m弦长BJDY10αZ=8°34′57″l=90R=1200L=269.753计算:复核:备注:本曲线超高由外股抬高来完成全部超高值.超高递减过渡在缓和曲线范围内完成,超高对轨底坡的影响值为超高值的十分之一.轨距S1(mm)全超高(mm)曲线正矢Fy(mm)曲线之半长(m) 1508.000120.00041.6134.933正矢递变率Fd 计算正矢曲线长(m)M04.625269.8659.0028Fn+1至HY点距离(m) a An缓和曲线一侧正矢系数曲线一侧正矢系数点n+1至HZ前一正矢测点距离4.9040.5100.49085.096HY点里程为HZ点里程F2距缓和曲线内第一测点距离圆曲线内最后一个测点距离1F距离为F1距缓和曲线内第二测点距离6660.7246750.72490180.0001106+660.7246+750.724缓和曲线内最后一个测点距1F距离曲线上最后一个测点距离1F点距离90.000280.001缓和曲线内倒数第二个测点至缓和曲线内第一个测点距离70.00010120230340450560670780890910010110111201213013140141501516016170171801819019200202102122022240242502526026270272802829029300303103132032323130292827262524232221201918171615141312111098765421YH点至缓和曲线内第一个测点距离164.905 100111021203130414051506160717081809190102001121012220132301424015250162601727018280192902030021310223202333024340253502637028 38029 39030 40031 41032 42033 43034 44035 45036 46037 47038 48039 49040 50041 51042 52043 53044 54045 55046 56047 57048 58049 59050 60051 61052 62053 63054 64055 65056 66057 67058 68059 69060 70061 71062 72063 73064 74065 75066 76067 77068 78069 79070 80071 81072 8207384075 85076 86077 87078 88079 89080 900819108292083 93084 94085 95086 96087 97088 98089 99090 100091 101092 102093 103094 104095 105096 106097 107098 108099 1090100 1100101 1110102 1120103104105106。
曲线正矢、付矢、超高、加宽的计算方法
曲线正矢、付矢、超高、加宽的计算方法一、曲线（有缓）正矢、付矢、超高、加宽计算方法（例）：例：已知某曲线R＝310m，α＝26°38′09″，l1＝70m，l2＝70m，H ＝125mm，S＝5mm，V max＝70km / h，求该曲线L全，L外，内距D，外距C，内距B，外距A，F Y及曲线各点F，f，H，S？解：L全＝π×α×R/ 180＋l1 / 2＋l2 / 2 ＝214.114L外＝π×α×R外/ 180＋l1 / 2＋l2 / 2＝214.447内距D＝(π×α×R外/ 180＋l1 / 2－l2 / 2)－INT((π×α×R外/ 180＋l1 / 2－l2 / 2)/10) ×10＝4.447 外距C＝10－D＝5.553内距B＝L外－INT(L外/ 10)×10 ＝4.447外距A＝10－B＝5.553外距系数a＝A/10＝0.5553，内距系数b＝B/10＝0.4447外距系数c＝C/10＝0.5553，内距系数d＝D/10＝0.4447F Y＝λ2/2 R外＝50000/（R＋0.7175）＝160.918，取161F d1＝F Y /（l1/λ）＝22.988F d2＝F Y /（l2/λ）＝22.988因 H d1＝H /l1＝1.786＞H d＝1/（9×V max）＝1.587H d2＝H /l2＝1.786＞H d＝1/（9×V max）＝1.587故始端、终端超高顺坡各向直线延伸9m，则 H d1＝H /（l1＋9）＝1.582≤H dH d2＝H /（l2＋9）＝1.582≤H dS d1＝S /l1＝0.071S d2＝S /l2＝0.071★始端正矢计算：(整桩)F ZH＝F0＝F d1/6＝3.831，取4因 F n＝n d×F d1＝（D n / 10）×F d1故 F1＝23、F2＝46、F3＝69、F4＝92、F5＝115、F6＝138F HY＝F7＝F Y－F d1/6＝157.086，取157★始端付矢计算：因 f n＝0.75×F n＋0.125×F d1故 f1＝20、f2＝37、f3＝55、f4＝72、f5＝89、f6＝106★始端超高、加宽计算：（略）H n＝D n ×H d1S n＝D n×S d1★终端正矢计算：(破桩)F D＝F14＝F Y－c3 /6×F d2＝160.262，取160＝F Y－C3/(12×R外×l2)F C＝F15＝F Y－(c+d3 /6)×F d2＝147.816，取148＝F Y－（600C＋D3）/(12×R外×l2)因 F n＝n d×F d2＝（D n / 10）×F d2＝（50×D n ）/(R外×l2)故 F16＝125、F17＝102、F18＝79、F19＝56、F20＝33 F B＝F21＝（b+a3 /6）×F d2＝10.879，取11＝（600B＋A3）/(12×R外×l2)F A＝F22＝b3 /6×F d2＝0.337，取0＝B2/(12×R外×l2)★终端付矢计算：因 C＞5m，故 f YH＝f15即 f15＝(300×(l2＋D)－(D3＋2500))/(8×R外×l2)=113因 f n＝0.75×F n＋0.125×F d2故 f16＝97、f17＝80、f18＝62、f19＝45、f20＝28f HZ＝f21＝（2500＋600B＋30B2－B3）/(24×R外×l2)=11★终端超高、轨距计算：（略）H n＝D n ×H d2S n＝D n ×S d2二、曲线（无缓）正矢计算方法：曲线全长 L全＝π×α×R/ 180曲线外长 L外＝π×α×R外/ 180内距 B＝L外－INT(L外/ 10)×10外距 A＝10－B圆曲线正矢 F Y＝λ2/2 R外＝50000/（R＋0.7175）始端正矢：(整桩) F ZY＝1/2×F Y终端正矢：(破桩) F A＝1/2×B2/2 R外F B＝1/2×(λ+B)2/2 R外－B2/2 R外＝F Y－1/2×A 2/2 R外三、曲线（附带）正矢计算方法：曲线全长 L全＝π×α×R/ 180（α为辙叉角）曲线外长 L外＝π×α×R外/ 180内距 B＝L外－INT(L外/ 5)×5外距 A＝5－B圆曲线正矢 F Y＝λ2/2 R外＝12500/（R＋0.7175）始端正矢：(整桩) F ZY＝1/2×F Y终端正矢：(破桩) F A＝1/2×B2/2 R外F B＝1/2×(λ+B)2/2 R外－B2/2 R外＝F Y－1/2×A 2/2 R外四、曲线（有缓）正矢、付矢、超高、加宽（自动）计算表：五、曲线（无缓）正矢（自动）计算表：六、常用附带曲线正矢（自动计算）表：。
复曲线中间缓和曲线正矢计算方法
复曲线中间缓和曲线正矢计算新方法摘要：通过实例提出一种计算复曲线中间缓和曲线的方法，并对该方法作了简要分析和论证关键词：复曲线 中间缓和曲线 正矢计算方法一、引 言目前铁路线路仍有相当数量的复曲线存在，其中间缓和曲线的正矢计算方法，很多教科书以及铁路专业书，包括《铁路工务技术手册（线路业务）》，以及崔恩波、娄永录所著论述曲线的专著《曲线设备与曲线整正》（中国铁道出版社）等，均没有提及。
本文在此提出一种计算复曲线中间缓和曲线的方法，即计算曲线上任一点的直角坐标，来间接计算曲线上任意弦长、任意两点间的正矢。
这种方法的优点在于原理简单，计算精确，消除了传统计算方法的误差，可以将计算结果控制在任意需要的精度。
二、复曲线中间缓和曲线正矢的计算方法推导对于复曲线的中间缓和曲线，无论采用哪种布设方法，均应满足如下条件：1、中间缓和曲线与两端圆曲线在连接处半径相等。
2、中间缓和曲线与两端圆曲线在连接处具有公共的切线。
我国采用的常用缓和曲线其长度和半径的关系为：0000l R l R l R l R l ⋅=⋅----缓和曲线上距始点长度为处的半径缓和曲线上任意一点距始点的距离缓和曲线终点处半径缓和曲线长度如图1，两圆半径为1R ，2R 且12R R >；延长中间缓和曲线至ZH '，使其半径从2R 渐变到R =+∞，则可求得中间缓和曲线的全长L21()n L R L l R ⨯=-⨯ ∴ 112n R L l R R =⨯- L -中间缓和曲线全长n l -中间缓和曲线长度图1如图1，曲线上A B C 、、均为测点，有两各情况：1、测点的始、终点均不位于中间缓和曲线上。
则正矢的计算与普通曲线一样，在此不作论述。
2、测点的始、终点有一个或均位于中间缓和曲线上，其正矢的计算在此提出如下的方法，假设A B C 、、的位置如图所示。
如果A B C 、、在同一坐标系内的坐标能够求出，则A B 、（或B C 、）点的正矢可以用坐标计算。
带缓和曲线的曲线正矢计算表
转角正矢测量点间距(m)圆曲线半径R(m)缓和曲线长曲线总长L(m)αz=65°19′40.7″5YJDZ15计算正矢曲线半径(m)(m)量之半(mm)半405.318100.09393132F2至HZ点距离(m) b F1至HZ点距离(m) aAz直线一侧正矢系数Ah-1缓和曲线一侧正矢系数0.614 4.3860.0000.235Fn点正矢Fn+1点正矢ZH点里程HY点里程为29.530.721963.98721+863.98721+963.987YJDZ15αz=65°19′40.7″l=100R=404.6L=270.911备注:本曲线超高由外股抬高来完成全部超高值.超高递减过渡在成,超高对轨底坡的影响值为超高值的十分之一.计算:复核:圆曲线长Lc(m)轨距S1(mm)全超高(mm)曲线正矢Fy(mm)曲线之半长(m)70.9111508.00030.00030.8135.615曲线总增长量(mm)正矢递变率Fd计算正矢曲线长(m)M0318 1.541271.22920.0186Fn至HY点距离(m) b Fn+1至HY点距离(m) aAn缓和曲线一侧正矢系数曲线一侧正矢系数点n+1至HZ前一正矢测点距离4.4790.5210.8960.10499.479QZ里程为HY点里程为HZ点里程F2距缓和曲线内第一测点距离圆曲线内最后一个测点距离1F距离为21999.44322034.89922134.899100175.00021+999.44322+034.89922+134.899缓和曲线内最后一个测点距1F距离曲线上最后一个测点距离1F点距离100.000280.00190.00051 102 153 204 255 306 357 408 459 5010 5511 6012 6513 7014 7515 8016 8517 9018 9519 10020 10521 11022 11523 12024 12525 1302613527 14028 14529 15030 15531 160323231302928272625242322212019181716151413121110987654321F1距缓和曲线内第二测点距离110YH点至缓和曲线内第一个测点距离165.52210511102115312041255130613571408145915010155111601216513170141751518016185171901819519200202052121022215232202422525230262352724028245292503026032265332703427535280362853729038295393004030541310423154332044325453304633547340483454935050355513605236553370543755538056385573905839559400604056141062415634206442565430664356744068445694507045571460724657347074475754807648577495795008050581510825158352084525855308653587540885458955090555915609256593570945759558096585975909859599600100605101610102615103104105106。
曲线计划正矢的计算
曲线计划正矢的计算一、计算方法1、圆曲线计划正矢的计算f c=L2/8R式中：L----弦长，一般为20m，当曲线状态不良为确保曲线圆顺，增加正矢点时，为10m；f c----圆曲线正矢（mm）；R----曲线半径（m）。
当L=20m时，f c=L2/8R=20*20/8R=50000/R；当L=10m时，f c=L2/8R=10*10/8R=12500/R；2、缓和曲线计划正矢的计算（1）缓和曲线正矢递增率f s= f c/n式中：f c----圆曲线正矢（mm）；n----缓和曲线的分段数，其值为l0/ , 其中l0为缓曲长， 为测点间的距离，一般为10m。
（2）缓和曲线各点的计划正矢缓和曲线始点0点（ZH）点的正矢f0=f s/6缓和曲线第1点的正失f1=f s缓和曲线第2点的正失f2=2f s缓和曲线第3点的正失f3=3f s。
缓和曲线终点(HY)的正矢f hy=f c- f03、测点不在曲线始、终点时计划正矢的计算前述缓和曲线和圆曲线的长度都假定是10m的整数倍，但在实际工作中，缓和曲线的长度一般都设置成10m的整数倍，而圆曲线的长度一般都不是10m的整数倍，因此第二缓和曲线的始、终点就不可能恰好落在测点上。
这样缓和曲线始、终点左右相邻测点的计划正矢，都要作为一种特殊情况另行计算。
（1）第二缓和曲线始点（HZ）左右邻点计划正矢的计算HZ不在测点上，位于缓和曲线上的n点和直线上的n+1点之间，n点距HZ点的距离为b，n+1距HZ点的距离为a，相应的正矢分别为f n和f n+1， 为测点间的距离，等于弦长的一半，a+b= ，则：f n=1/6 f s[（1+b/ ）3-2（b/ ）3]f n+1=1/6 f s（b/ ）3（2）第二缓和曲线终点（YH）左右邻点计划正矢的计算第二缓和曲线终点（YH）不在测点上，位于圆曲线上的n点和缓和曲线上的n+1点之间，n点距YH点的距离为a，n+1点距YH点的距离为b,相应的正矢分别为f n和f ，则：n+1f n = f c－1/6 f s（b/ ）3f n+1= f c－1/6 f s[（1+b/ ）3-2（b/ ）3]（3）第二缓和曲线上其他各点计划正矢的计算第二缓和曲线上其他各点计划正矢，可根据各点正矢与其距终点HZ距离成直线比例的关系，按下式求取：f i= f c/ l0*l i式中：f i----缓和曲线上距HZ点为l i的测点正矢；二、算例1、圆曲线长度为10m整数倍的曲线计划正矢的计算已知某曲线半径R=600m，两端缓和曲线长l0=50m，求曲线各测点的计划正矢解：（1）圆曲线计划正矢：f c=L2/8R=20*20/8R=50000/R=50000/600=83.3mm，取84mm（2）缓和曲线正矢递增率：f s= f c/n=84/5=16.8mm（3）直缓（缓直）点正矢：f0=f s/6=16.8/6=2.8mm，取3mm（4）缓和曲线中间各点的正矢：缓和曲线第1点的正失f1=f s=16.8mm，取17mm缓和曲线第2点的正失f2=2f s=2*16.8=33.6mm，取34mm缓和曲线第3点的正失f3=3f s=3*16.8=50.4mm，取50mm缓和曲线第4点的正失f4=4f s=4*16.8=67.2mm，取67mm（5）缓圆（圆缓）点正矢：f hy=f c- f0=84-3=81mm2、圆曲线长度不是10m整数倍的曲线计划正矢的计算已知某曲线半径R=600m，两端缓和曲线l0=50m，圆曲线长304m,求各测点的计划正矢解：（1）第一缓和曲线和圆曲线的计划正矢算法同上；（2）第二缓和曲线各点计划正矢的计算：①第二缓和曲线始（HZ）点相邻测点的计划正矢因为圆曲线长L=304m，故第二缓和曲线始（HZ）点距缓和曲线和直线上相邻点（40点、41点）的距离分别为b≈4m，a≈6m， 为测点间的距离，等于弦长的一半，a+b= 则f40=1/6 f s[（1+b/ ）3-2（b/ ）3]=1/6*16.8*[（1+4/10）3-2*（4/10）3]=7.32mm，取7mmf41=1/6 f s（b/ ）3=1/6*16.8*（4/10）3=0.18mm，取0mm②第二缓和曲线终点（YH）相邻测点的计划正矢第二缓和曲线终点（YH）距圆曲线和缓和曲线上相邻点（35点、36点）的距离分别为a≈4m，b≈6m， 为测点间的距离，等于弦长的一半，a+b=则f35 = f c－1/6 f s（b/ ）3=84－1/6*16.8*（6/10）3=84－0.6=83.4mm，取84mmf36= f c－1/6 f s[（1+b/ ）3-2（b/ ）3]=84－1/6*16.8*[（1+6/10）3-2*（6/10）3]=73.74mm，取74mm③第二缓和曲线上其他各点计划正矢的计算其他各点计划正矢，可根据各点正矢与其距终点（HZ）距离成直线比例的关系，按下式求取：f i=f c/l0*l i则第37点、38点、39点的计划正矢分别为：f37=f c/l0*l37=84/50*34=57.12mm，取57mmf38=f c/l0*l38=84/50*24=40.32mm，取40mmf39=f c/l0*l39=84/50*14=23.52mm，取24mm3、辅助点计划正矢的计算辅助点计划正矢的计算按圆曲线长度不是10m整数倍时缓和曲线的算法计算（1）圆曲线长度为10m整数倍时辅助点计划正矢的计算已知某曲线半径R=600m，两端缓和曲线长l0=50m，求缓和曲线辅助点的计划正矢解：辅助点与测点相距5m，即a=b=5m，①缓和曲线上与始点（ZH、HZ）相邻辅助点计划正矢为：f=1/6 f s[（1+b/ ）3-2（b/ ）3]=1/6*16.8*[（1+5/10）3-2*（5/10）3]=8.75mm，取9mm②缓和曲线上与终点（YH、HY）相邻辅助点计划正矢为：f= f c－1/6 f s[（1+b/ ）3-2（b/ ）3]=84－1/6*16.8*[（1+5/10）3-2*（5/10）3]=75.25mm，取75mm③缓和曲线其他各中间辅助点的计划正矢：分别取l i=15、25、35，按f i=f c/l0*l i算得辅助点计划正矢分别为：25mm、42mm、59mm（2）圆曲线长度不是10m整数倍时辅助点计划正矢的计算曲线半径R=600m，缓和曲线长l0=50m，圆曲线长304m,求缓和曲线辅助点的计划正矢解：第一个缓和曲线辅助点的算法同上，第二个缓和曲线上辅助点计划正矢的计算按B=b±5计算，即：①缓和曲线上与始点（ZH、HZ）相邻辅助点计划正矢为（B=4+5=9）：f=1/6 f s[（1+B/ ）3-2（B/ ）3]=1/6*16.8*[（1+9/10）3-2*（9/10）3]=15.12mm，取15mm②缓和曲线上与终点（YH、HY）相邻辅助点计划正矢为（B=6-5=1）：f= f c－1/6 f s[（1+B/ ）3-2（B/ ）3]=84－1/6*16.8*[（1+1/10）3-2*（1/10）3]=80.3mm，取80mm③缓和曲线其他各中间辅助点的计划正矢：分别取l i=19、29、39，按f i=f c/l0*l i算得辅助点计划正矢分别为：32mm、49mm、66mm。
曲线正矢计算资料
曲线正矢计算资料曲线正矢计算资料无缓和曲线的圆曲线：曲线外轨较线路中线增长值（缩短量）:∆l=(S*k)/2R , 其中“S”表示两钢轨之间的距离，通常采用1500；“K”表示圆曲线长度；“R”表示圆曲线半径；圆曲线上任意点的正矢计算：f_c=c^2/(8*R) ,其中“c”表示弦长，通常采用20m，个别小半径曲线采用10m；“R”表示圆曲线半径；计算时“c”“R”的单位必须统一。
圆曲线始、终点正矢计算；○1、当测点正好位于圆曲线始、终点时，f_zy 或f_yz=f_c/2，○2、当测点两端分别位于圆曲线及相邻端直线上时，如图1所示则测点1、2的计算正矢计算分别为：f_1=(2*〖L_2〗^2*f_c)/c^2 f_2=(1-2*〖L_1〗^2)/c^2 *f_c附图1：有缓和曲线的曲线正矢计算1、曲线外轨较线路中线增长值:∆l=(S*(L-l_0))/2R , 其中“S”表示两钢轨之间的距离，通常采用1500；“L”表示曲线总长度；“l_0”表示缓和曲线长度；“R”表示圆曲线半径；2、圆曲线上任意点的正矢计算：f_c=c^2/(8*R) ,其中“c”表示弦长，通常采用20m，个别小半径曲线采用10m；“R”表示圆曲线半径；计算时“c”“R”的单位必须统一。
3、缓和曲线正矢递增量计算：f_a=(f_c*c)/(2l_0 ) “l_0”表示缓和曲线长度；缓和曲线始、终点正矢计算：f_ZH=f_HZ=f_c/6 f_HY=f_YH=f_c-f_ZH当测量点两端分别位于缓和曲线及相邻端直线上时，如图2所示，则测点1、2的正矢计算分别为：f_1=(4*〖L_2〗^3*f_a)/(3c^3 ) f_2=((2*L_2)/C+(4*〖L_1〗^3)/(3C^3 ))*f_a当测点两端分别位于圆曲线及相邻缓和曲线上时，如图2所示，则测点n、n+1的正矢计算分别为：f_n=f_c-((2*L_4)/C+(4*〖L_3〗^3)/(3C^3 ))*f_a f_(n+1)=f_c-(4*〖L_4〗^3*f_a)/(3c^3 )缓和曲线中间点正矢计算：f_(j+1)=f_i+f_a或f_i=i*f_a ,i为缓和曲线上测点至缓和曲线始点的段数。
曲线正矢计算
第一讲:曲线正矢计算一、曲线得分类:目前我段主要曲线类型有:1、由两端缓与曲线与圆曲线组成得曲线,如正线曲线。
容许行车速度高。
2、由圆曲线构成得曲线。
如道岔导曲线、附带曲线。
二、圆曲线正矢得计算1、曲线头尾正好位于起终点桩上F C=L２/8ＲL=2０Ｍ时,ＦC=50００0/RF ZY=ＦYZ= F C/22、曲线头尾不在起终点桩上ＺY前点:Fμ=（ＦC/2) *（δ／１0)2ZY后点:Fη=FC－{（ＦC/２) *(τ/10)2}FC：圆曲线正矢δ：ZY点到后点得距离τ:ZＹ点到前点得距离三、缓与曲线上整点正矢得计算(起始点正好就是测点)（1）缓与曲线头尾得计算:Ｆ0＝F1/6（缓与曲线起点) F终=F C－F0 (缓与曲线终点）(2)缓与曲线中间点正矢得计算:Ｆ1=F S= F C/N (Ｎ＝L0/B:缓与曲线分段数)Ｆ２=２Ｆ１F3=3Ｆ1 ＦI=IF1(I为中间任意点)四、半点(5米桩)正矢得计算:a)ZH点后半点正矢得计算：F后＝25/４８*Ｆ1因为ＺH点正矢ｆ0＝f1／６,很小一般为1~２MM，其前半点很小(小于1ＭM)因此不作计算。
b)HY(YH)点前半点计划正矢得计算Ｆ前=１/2{[L03+(L0－１5)3]/６R L0+[5L０+2５］／2R}-(L0－５）3/６R L０c)HY(YH）点后半点计划正矢得计算F后＝1/２｛[(L０-５)3－L０３]/６R L０+［5L0+17５]/２R}d)中间点(５米桩）正矢得计算F中＝（Ｆ前+F后)/2五、测点不在曲线始终点时缓与曲线计划正矢得计算a)缓与曲线始点(ZH点)处相邻测点得计划正矢Fμ=αυF S(直缓点外点）αυ＝1/6（δ/Ｂ)３Fη=αηＦＳ(直缓点内点) αη＝1/6[(1+δ/B)３-(δ／B)3](2）缓圆点处相邻测点得计划正矢Fφ=ＦC－αυＦS (缓圆点外点,缓与曲线之外)Fθ=FＣ－αηF S (缓圆点内点,缓与曲线之内)（αυ、αη查纵距率表《曲线设备与曲线整正》附表二)（3)缓与曲线中间点各点计划正矢得计算F I=(F C／L0)L I(I为中间任意点)说明：B：半弦长δ:缓与曲线内点到ZH、ＨＹ(YH)距离L0:缓与曲线长F C:圆曲线正矢第二讲:曲线拨道一、绳正法基本原理１、基本假定:(1)假定拨道前后两端切线方向不变,或起始点位置不变,即曲线终点拨量为零。
缓和曲线知识与计算公式
缓和曲线知识与计算公式一、缓和曲线缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形 , 是道路平面线形要素之一。
1 ．缓和曲线的作用1 ）便于驾驶员操纵方向盘2 ）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化3 ）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车4 ）与圆曲线配合得当，增加线形美观2 ．缓和曲线的性质为简便可作两个假定：一是汽车作匀速行驶；二是驾驶员操作方向盘作匀角速转动，即汽车的前轮转向角从直线上的0 °均匀地增加到圆曲线上。
S=A2/ρ（ A ：与汽车有关的参数）ρ=C/s C=A2由上式可以看出，汽车行驶轨迹半径随其行驶距离递减，即轨迹线上任一点的半径与其离开轨迹线起点的距离成反比，此方程即回旋线方程。
3 ．回旋线基本方程即用回旋线作为缓和曲线的数学模型。
令：ρ=R ， lh =s 则 lh=A2/R4 ．缓和曲线最小长度缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。
缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定：1 ）根据离心加速度变化率求缓和曲线最小长度为了保证乘客的舒适性，就需控制离心力的变化率。
a1=0,a2=v2/ ρ ,as= Δ a/t ≤ 0.62 ）依驾驶员操纵方向盘所需时间求缓和曲线长度 (t=3s)3 ）根据超高附加纵坡不宜过陡来确定缓和曲线最小长度超高附加纵坡（即超高渐变率）是指在缓和曲线上设置超高缓和段后，因路基外侧由双向横坡逐渐变成单向超高横坡，所产生的附加纵坡。
4 ）从视觉上应有平顺感的要求计算缓和曲线最小长度缓和曲线的起点和终点的切线角β最好在3° ——29° 之间，视觉效果好。
《公路工程技术标准》规定：按行车速度来求缓和曲线最小长度，同时考虑行车时间和附加纵坡的要求。
5 ．直角坐标及要素计算1 ）回旋线切线角（ 1 ）缓和曲线上任意点的切线角缓和曲线上任一点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角。
曲线正矢计算
第一讲：曲线正矢计算一、曲线的分类：目前我段主要曲线类型有：1、由两端缓和曲线和圆曲线组成的曲线，如正线曲线。
容许行车速度高。
2、由圆曲线构成的曲线。
如道岔导曲线、附带曲线。
二、圆曲线正矢的计算1、曲线头尾正好位于起终点桩上F C=L 2/8RL=20M 时， F C=50000/RF ZY =F YZ = F C/22、曲线头尾不在起终点桩上ZY 前点： Fμ=（FC/2） * （δ /10）2ZY 后点： Fη=FC-{ （FC/2） * （τ /10）2}FC：圆曲线正矢δ： ZY 点到后点的距离τ： ZY 点到前点的距离三、缓和曲线上整点正矢的计算（起始点正好是测点）（1）缓和曲线头尾的计算：终= F C 0 1 （缓和曲线起点）F-F 0 （缓和曲线终点）F=F/6（2）缓和曲线中间点正矢的计算：F1=F S= F C/N（N=L 0/B：缓和曲线分段数）2131I=IF 1（ I 为中间任意点）F=2F F =3F F四、半点（5米桩）正矢的计算：a)ZH 点后半点正矢的计算：F 后=25/48*F 1很小一般为，其前半点很小（小于）因为 ZH 点正矢 f 0 11~2MM1MM=f /6,因此不作计算。
b)HY （YH ）点前半点计划正矢的计算F 前 =1/2{[L 03+（L 0-15）3]/6R L 0+[5L 0+25]/2R}- （L 0-5）3/6R L0c)HY （YH ）点后半点计划正矢的计算F 后=1/2{[（L0-5）3-L03]/6R L0+[5L0+175]/2R}d)中间点（ 5 米桩）正矢的计算F 中=（F 前 +F 后）/2五、测点不在曲线始终点时缓和曲线计划正矢的计算a)缓和曲线始点 (ZH 点)处相邻测点的计划正矢Fμ=αυ F S(直缓点外点 )αυ =1/6(δ/B)3Fη=αη F S(直缓点内点 )αη =1/6[(1+ δ/B) 3-(δ/B) 3](2)缓圆点处相邻测点的计划正矢Fφ=F C-αυF S(缓圆点外点，缓和曲线之外 )Fθ= F C-αηF S(缓圆点内点，缓和曲线之内 )(αυ、αη查纵距率表《曲线设备与曲线整正》附表二 )(3)缓和曲线中间点各点计划正矢的计算F I=(F C/L 0)L I（I 为中间任意点）说明： B：半弦长δ：缓和曲线内点到 ZH、HY （YH ）距离L 0：缓和曲线长F C：圆曲线正矢第二讲：曲线拨道一、绳正法基本原理1、基本假定：（1）假定拨道前后两端切线方向不变，或起始点位置不变，即曲线终点拨量为零。
曲线正矢、付矢、超高、加宽的计算方法
一、曲线（有缓）正矢、付矢、超高、加宽计算方法（例）：例：已知某曲线R＝310m，α＝26°38′09″，l1＝70m，l2＝70m，H ＝125mm，S＝5mm，V max＝70km / h，求该曲线L全，L外，内距D，外距C，内距B，外距A，F Y及曲线各点F，f，H，S？解：L全＝π×α×R/ 180＋l1 / 2＋l2 / 2 ＝214.114L外＝π×α×R外/ 180＋l1 / 2＋l2 / 2＝214.447内距D＝(π×α×R外/ 180＋l1 / 2－l2 / 2)－INT((π×α×R外/ 180＋l1 / 2－l2 / 2)/10) ×10＝4.447 外距C＝10－D＝5.553内距B＝L外－INT(L外/ 10)×10 ＝4.447外距A＝10－B＝5.553外距系数a＝A/10＝0.5553，内距系数b＝B/10＝0.4447外距系数c＝C/10＝0.5553，内距系数d＝D/10＝0.4447F Y＝λ2/2 R外＝50000/（R＋0.7175）＝160.918，取161F d1＝F Y /（l1/λ）＝22.988F d2＝F Y /（l2/λ）＝22.988因 H d1＝H /l1＝1.786＞H d＝1/（9×V max）＝1.587H d2＝H /l2＝1.786＞H d＝1/（9×V max）＝1.587故始端、终端超高顺坡各向直线延伸9m，则 H d1＝H /（l1＋9）＝1.582≤H dH d2＝H /（l2＋9）＝1.582≤H dS d1＝S /l1＝0.071S d2＝S /l2＝0.071★始端正矢计算：(整桩)F ZH＝F0＝F d1/6＝3.831，取4因 F n＝n d×F d1＝（D n / 10）×F d1故 F1＝23、F2＝46、F3＝69、F4＝92、F5＝115、F6＝138F HY＝F7＝F Y－F d1/6＝157.086，取157★始端付矢计算：因 f n＝0.75×F n＋0.125×F d1故 f1＝20、f2＝37、f3＝55、f4＝72、f5＝89、f6＝106★始端超高、加宽计算：（略）H n＝D n ×H d1S n＝D n×S d1★终端正矢计算：(破桩)F D＝F14＝F Y－c3 /6×F d2＝160.262，取160＝F Y－C3/(12×R外×l2)F C＝F15＝F Y－(c+d3 /6)×F d2＝147.816，取148＝F Y－（600C＋D3）/(12×R外×l2)因 F n＝n d×F d2＝（D n / 10）×F d2＝（50×D n ）/(R外×l2)故 F16＝125、F17＝102、F18＝79、F19＝56、F20＝33F B＝F21＝（b+a3 /6）×F d2＝10.879，取11＝（600B＋A3）/(12×R外×l2)F A＝F22＝b3 /6×F d2＝0.337，取0＝B2/(12×R外×l2)★终端付矢计算：因 C＞5m，故 f YH＝f15即 f15＝(300×(l2＋D)－(D3＋2500))/(8×R外×l2)=113因 f n＝0.75×F n＋0.125×F d2故 f16＝97、f17＝80、f18＝62、f19＝45、f20＝28f HZ＝f21＝（2500＋600B＋30B2－B3）/(24×R外×l2)=11★终端超高、轨距计算：（略）H n＝D n ×H d2S n＝D n ×S d2二、曲线（无缓）正矢计算方法：曲线全长 L全＝π×α×R/ 180曲线外长 L外＝π×α×R外/ 180内距 B＝L外－INT(L外/ 10)×10外距 A＝10－B圆曲线正矢 F Y＝λ2/2 R外＝50000/（R＋0.7175）始端正矢：(整桩) F ZY＝1/2×F Y终端正矢：(破桩) F A＝1/2×B2/2 R外F B＝1/2×(λ+B)2/2 R外－B2/2 R外＝F Y－1/2×A 2/2 R外三、曲线（附带）正矢计算方法：曲线全长 L全＝π×α×R/ 180（α为辙叉角）曲线外长 L外＝π×α×R外/ 180内距 B＝L外－INT(L外/ 5)×5外距 A＝5－B圆曲线正矢 F Y＝λ2/2 R外＝12500/（R＋0.7175）始端正矢：(整桩) F ZY＝1/2×F Y终端正矢：(破桩) F A＝1/2×B2/2 R外F B＝1/2×(λ+B)2/2 R外－B2/2 R外＝F Y－1/2×A 2/2 R外四、曲线（有缓）正矢、付矢、超高、加宽（自动）计算表：五、曲线（无缓）正矢（自动）计算表：六、常用附带曲线正矢（自动计算）表：。
缓和曲线上各测点的计划正矢
缓和曲线上各测点的计划正矢曲线正矢计算教案新乡桥工段教师课堂教学教案一、曲线正矢的计算(1)、圆曲线正矢的计算公式：f=C2/(8R) f—正矢；C—弦长；R—曲线半径。
如果弦长是20m，则：f=202×1000/(8R)=50000/R 如果弦长是10m，则：f=102×1000/(8R)=12500/R圆曲线始终点附近两邻点的正矢=圆曲线正矢×相应的正矢系数；（2）、缓和曲线正矢的计算：fx=nfc/m 式中fx—缓和曲线正矢；n—测点点号；m—缓和曲线分段数；fc —圆曲线正矢。
缓和曲线各测点正矢递增量=圆曲线正矢/缓和曲线分段数缓和曲线始终点正矢的确定：测点在缓和曲线始终点时：缓和曲线始点（直缓、缓直）的正矢=缓和曲线递增量/6；缓和曲线终点（缓圆、圆缓）的正矢=圆曲线正矢－缓和曲线正矢递增量/6新乡桥工段教师课堂教学教案测点不在缓和曲线始终点时：缓和曲线始点（直缓、缓直）的两相邻点的正矢=缓和曲线递增量×正矢系数缓和曲线终点（缓圆、圆缓）的两相邻点的正矢=圆曲线正矢－缓和曲线正矢递增量×正矢系数例如：半径为1000米，圆曲线正矢为50毫米，缓和曲线长为50米，甲为6米，乙为4米，丙为4米，丁为6米，求相邻各测点的正矢? 缓和曲线正矢递增量=50/5=10毫米查正矢系数表：当甲为6米、乙为4米时：测点直正矢系数为0．0107；测点缓正矢系数为0．4360。
当丙为4米、丁为6米时：测点圆正矢系数为0．0360；测点缓正矢系数为0．6107。
根据查得正矢系数计算：起点的测点直正矢=10×0．0107=0．1≈0起点的测点缓正矢=10×0．4360=4．3=4毫米终点的测点缓正矢=50一(10 ×0．6107)新乡桥工段教师课堂教学教案=50—6．1≈44毫米终点的测点圆正矢=50一(10 ×0．0360) =50—0．36≈50毫米在查表时需注意：不要把甲、乙、丙、丁位置搞错。
缓和曲线的计算步骤概要
缓和曲线的计算步骤在缓和曲线的计算中，首先要判断缓和曲线的完整性。
判断公式为L 0=C/R上式中，L 0为缓和曲线的计算长度，C 为缓和曲线参数，C ＝A 2，A 也是缓和曲线的一个参数，R 为设计给的缓和曲线起、终点半径中的最小值。
若计算出来的L 0与设计给的缓和曲线长度l 一样，那么该曲线即是完整的，若L 0比设计给的缓和曲线长度要大，那么设计给的缓和曲线就不是完整的。
下面就完整缓和曲线与不完整缓和曲线的计算方法作一个说明。
一、完整缓和曲线的计算方法：完整缓和曲线有一个特征，就是它的起点或终点半径中有一个是无穷大（该点不是ZH 点就一定是HZ 点），我们称的“缓和曲线起点”就从这个半径为无穷大的点开始的。
计算过程如下：1、根据交点（JD ）的桩号推求直缓点、缓圆点、曲中点、圆缓点、缓直点的桩号。
有时设计已经给出这些数据。
2、 建立切线坐标系，求曲线中线点的切线坐标。
切线坐标系，即以ZH 点（或HZ ）为原点、以该点切线方向为X1轴的坐标系。
为了使第一缓和曲线和第二缓和曲线具有通式，我们在ZH 点和HZ 点采用同样的左手坐标系（图1）。
在缓和曲线段，中线点切线坐标X 1=l -l 5/40C 2+l 9/3456C 4+…Y 1=l 3/6C- l 7/336C 3+l 11/42240C 5+…(1)式中 l 为ZH 或HZ 至所求点的曲线长。
(1)式是第一缓和曲线和第二缓和曲线的计算通式，仅注意在计算第二缓和曲线时计算的方向相反，C 的符号也相反。
在通常情况下，（1）式取前两项即可满足精度要求；但是当曲线半径过小时，必须顾及第三项，例如匝道或试车场以及山区公路可能有这种情况。
3、将中线点的切线坐标转换为施工测量坐标系坐标一条公路（或工程工地）往往采取统一的施工测量坐标系。
我们必须将曲线中线点的切 线坐标X 1 、Y 1，通过平移和旋转转换为施工测量坐标系坐标X 、Y 。
转换公式如下： 将上式展开，即是：X ＝X 0+X 1COSA 0－Y 1SINA 0Y ＝Y 0+X 1 SINA 0+Y 1 COSA 0(2)式中 ：A 0是过ZH 点的切线方位角，或HZ 点的切线方位角加减180°；X 0、Y 0为ZH 或HZ 的施工测量系坐标。
缓和曲线)计算公式
高速公路的线路(缓和曲线)计算公式一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反x Z ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反x Z ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R 2——曲线终点处的半径P——曲线起点处的曲率1——曲线终点处的曲率P2α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i(上坡为“＋”，下坡为“－”)1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y⑤曲线起点切线方位角：α⑥曲线起点处曲率：P(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：。
缓和曲线要素及公式介绍
11.2.1 带缓和曲线的圆曲线的测设为了保障车辆行驶安全，在直线与圆曲线之间加入一段半径由∞逐渐变化到R的曲线，这种曲线称为缓和曲线。
目前常用的缓和曲线多为螺旋线，它有一个特性，曲率半径ρ与曲线长度l成反比。
数学表达为：ρ∝1/l 或ρ·l = k ( k为常数)若缓和曲线长度为l0，与它相连的圆曲线半径为R，则有：ρ·l = R·l0 = k目前我国公路采用k = 0.035V3（V为车速，单位为km/h），铁路采用k = 0.09808V3，则公路缓和曲线的长度为l0 = 0.035V3/R ,铁路缓和曲线的长度为：l0 = 0.09808V3/R 。
11.2.2 带缓和曲线的圆曲线的主点及主元素的计算带缓和曲线的圆曲线的主点有直缓点ZH、缓圆点HY、曲中点QZ、圆缓点YH、缓直点HZ 。
带缓和曲线的圆曲线的主元素及计算公式：切线长 T h = q＋(R＋p)·tan(α/2)曲线长 L h = 2l0＋R·(α－2β0)·π/180°外矢距 E h = (R＋p)·sec(α/2)－R切线加长 q = l0/2－l03/(240R2)圆曲线相对切线内移量 p = l02/(24R)切曲差 D h = 2T h －L h式中：α 为线路转向角；β0为缓和曲线角；其中q、p、β0缓和曲线参数。
11.2.3 缓和曲线参数推导dβ = dl/ρ = l/k·dl两边分别积分，得：β= l2/(2k) = l/(2ρ)当ρ = R时，则β =β0β0 = l0/(2R)若选用点为ZH原点，切线方向为X轴，垂直切线的方向为Y轴，建立坐标系，则：dx = dl·cosβ = cos[l2/(2k)]·dldy = dl·sinβ = si n[l2/(2k)]·dl考虑β很小，sinβ和cosβ即sin(l2/(2k))和cos(l2/(2k))可以用级数展开，等式两边分别积分，并把k = R·l0代入，得以曲线长度l为参数的缓和曲线方程式：X = l－l5/(40R2l02)＋……Y = l3/(6Rl0)＋……通常应用上式时，只取前一、二项，即：X = l－l5/(40R2l02)Y = l3/(6Rl0)另外，由图可知，q = X HY－R·sinβ0p = Y HY－R(1－cosβ0)以β0= l0/(2R)代入，并对sin[l0/(2R)]、cos[l0/(2R)]进行级数展开，取前一、二项整理可得：q = l0/2－l03/(240R2)p = l02/(24R)若仍用上述坐标系，对于圆曲线上任意一点i，则i点的坐标X i、Y i可以表示为：Xi = R·sinψi＋qYi = R·(1－cosψi)＋p11.2.4 带缓和曲线的圆曲线的主点桩号计算及检核ZH桩号 = JD桩号－T hHY桩号 = ZH桩号＋l0QZ桩号 = HY桩号＋L/2YH桩号 = QZ桩号＋L/2 = HY桩号＋L = ZH桩号＋l0＋LHZ桩号 = YH桩号＋l0 = ZH桩号＋L hJD桩号 = ZY桩号－T h＋D h（检核）11.2.5 带缓和曲线的圆曲线的主点的测设过程：(1)在JD点安置经纬仪（对中、整平），用盘左瞄准直圆方向，将水平度盘的读数配到0°00′00″，在此方向量取T h，定出ZH点；(2)从JD沿切线方向量取T h－X HY，然后再从此点沿切线垂直方向量取Y HY , 定出HY点；(3)倒转望远镜，转动照准部到度盘读数为α，量取T h，定出HZ点；(4)从JD沿切线方向量取T h－X HY，然后再从此点沿切线垂直方向量取Y HY , 定出YH点；(5)继续转动照准部到度盘读数为（α＋180°）/2，量取E h，定出QZ点。
曲线正矢计算
曲线半径、弦长、正矢之间的关系：当 时, mm 当 时, mm 式中 —圆曲线正矢mm—圆曲线半径m现场正线曲线取弦长为20 m 计算正矢值;现场站线曲线取弦长为10 m 计算正矢值;一圆曲线上各测点计划正矢圆曲线计划正矢 mm 圆曲线始终点的计划正矢 mm 二缓和曲线正矢是从直线往圆曲线方向逐渐由小变大的,由直缓点向缓圆点方向变化的大小,叫缓和曲线的正矢递增率;1.缓和曲线始终点计划正矢R L f 82=m L 20=Rf 50000=m L 10=Rf 12500=f R Rf c 50000=2c ）（f f =终始()()()N f f c N 一端缓和曲线分段数圆曲线计划正矢缓和曲线的正矢递增率=()6N f ）（f 缓和曲线正矢递增率缓和曲线始点正矢始=()始终缓和曲线始点正矢缓和曲线终点正矢f f ）（f c -=2.缓和曲线中间各测点计划正矢式中 —缓和曲线中间各测点的计划正矢 ； —测点距缓和曲线始点的段数—缓和曲线的正矢递增率例题 已知曲线半径R=300m,缓和曲线长为70 m 如图3所示求缓和曲线上各测点计划正矢值;解mmmm mmmm 0缓和曲线中间各测点的计划正矢为图2缓和曲线Ni i f N f =i f 1,21-=N i ，i N N f 1673005000050000≈==R f c ()()247167≈==N f f c N 一端缓和曲线分段数圆曲线计划正矢()46246===N f ）（f ZH 始正矢直缓点()1634167=-=-=始终正矢缓圆点f f ）（f HY cmm mm mm mm mm mm 2424111=⨯==N f N f 4824222=⨯==N f N f 7224333=⨯==N f N f 9624444=⨯==N f N f 12024555=⨯==N f N f 14424666=⨯==N f N f。
中插回旋线缓和曲线的复曲线要素计算与连接方式
中插回旋线缓和曲线的复曲线要素计算与连接方式一、基本概念复曲线至少是由两个不同半径曲线相连接而成的曲线。
其连接点称为公切点，过公切点且垂直于公切点切线的线称为共用径向线。
共用径向线也是两个圆心的连线。
若复曲线两个圆的半径分别为R1与R2，且R1>R2，两圆的圆心距为S。
当S<R1- R2时，表示两圆之间没有切点，但共用径向线依然存在，此时两圆之间可用中插缓和曲线来连接。
设复曲线中插缓和曲线的全长为l M。
因为终点与半径为R1的圆曲线相连接的缓和曲线，从起点至终点，其半径在∞～R1范围内变化，不可能含有半径为R2的那一点。
只有终点与半径为R2的圆曲线相连接的缓和曲线，因其半径在∞～R2范围内变化，其中必含有半径为R1的那一点。
这就是说，中插缓和曲线应是其终点与半径为R2的圆曲线相连接的缓和曲线l M中，半径为R1～R2的那一部分，如图。
图中，FW′为大圆的一段弧；MW″为小圆的一段弧；FM为中插缓和曲线的插入段；0’0”及其延长线为两圆的共用径向线；w′w″为两圆之间的最小间距(e=R1－S－R2)；β′为大圆中插角；β″为小圆中插角。
这里所述的缓和曲线为我国通常采用的回旋线型缓和曲线，缓和曲线上任意点坐标及其回旋角如下l5 l9 l13x=l - ——— + ———— - ————— (1) 40C2 3456C4 599040C6l3 l7 l9 l15y=—— - ———＋———— - ————— (2) 6C 336C3 42240C5 9676800C7l2β= ——2C如果中插缓和曲线的起点至半径为R1那一点的长度为l F，中插缓和曲线的全长为l M，因缓和曲线的曲率变化率C= l F×R1=l M×R2，所以有l M·R2l F = ———R1那么，在中插缓和曲线上，半径为R1那一点的回旋角为R2βF=——— l M2R12半径为R2那一点的回旋角为l MβM=———2R2要插入复曲线中缓和曲线的夹角为R12－R22βFM=————— l M2R12R2在中插缓和曲线上，设半径为R1那一点的坐标为(x F，y F)；半径为R2那一点的坐标为(x M，y M)，那么，0′及0″点的坐标可表示如下0x′=x F-R1×SinβF0y′=y F+R1×CosβF0x″=x M-R2×SinβM0y″=y M+R2×CosβM两圆的圆心距S=[(0x″-0x′)2+(0y′-0y″)2]1/2以共用径向线为界，大、小圆的中插角β′、β″分别为0x″-0x′β′=arctg———— - βF0y′-0y″β″=βFM - β′二、复曲线综合要素当复曲线大、小圆的半径R1以及R2、偏角α1，α2、旁插缓和曲线的长度l 01，l 02已知，那么，大、小圆的切线长T 1，T 2、旁插缓和曲线的回旋角β01，β02、圆曲线内移量p 1，p 2 等均可按大、小圆设值缓和曲线的要求分别计算。
主线及互通匝道复曲线中间缓和曲线坐标计算法
要从事交通土建工程。 黄乐乐， 出生于 １９８１ 年 ５ 月， 毕业于长沙理工大学， 本科学历， 主要从事交
②方木的另一侧用砂砾或碎石回填约 ３ 米长， 其高度应略高出方 木。
③将混合料碾压密实。 ④在重新开始摊铺混合料之前， 将砂砾或碎石和方木撤除， 并将 作业面顶面清扫干净。 ⑤摊铺机返回到已压实层的末端， 重新开始摊铺混合料。 五 、养 生 及 交 通 管 制 （ １） 每一段碾压完成以后应立即开始养生， 并同时进行压实度检 查。 （ ２） 养生方法： 应将草袋或麻布湿润， 然后人工覆盖在碾压完成的 基层顶面。覆盖 ２ 小时后， 再用洒水车洒水。
第二步： 求 ｒ 半径中间缓和曲 线 角 β０、１／３β０、２／３β０、弦 长 Ｃ 及 弦 线 方位角 θｃｘ；
①计算 ｒ 半径圆曲线第一缓和曲线角：
β０＝９０Ｓ１／πｒ＝９０×３００／２０００π＝４°１７＇ ４９．８６＂
１／３β０＝１°２５＇ ５６．６２＂
２／３β０＝２°５１＇ ５３．２４＂
②计算 ｒ 半径缓和曲线弦长 Ｃ 及弦线方位角 θｃｘ：
③ＺＨ 点桩号等于 ｒ 半径 ＨＹ 点桩号减第一缓和曲 Ｓ１ 即 ＬＫ５＋０４８．６９３－ ３００＝ＬＫ４＋７４８．６９３
第四步： ①．计算中间缓和曲线上任意点切线支距：
以 ｒ 半径缓和曲线起点 ＺＨ 点为坐标原点 ， 以 切 线 为 Ｘ 轴 ， 过 ＺＨ
点且垂直于切线的垂线为 Ｙ 轴， 利用缓和曲线参数方程：
Ｘ＝Ｌ―Ｌ５／（４０ｒ２ｓ１２）＋Ｌ９／３４５６ｒ４ｓ１４（注： 半径大时可略去高次项） ｙ＝Ｌ３／６ｒｓ１－ Ｌ７／３３６ｒ３ｓ１３ 计算出所求桩号切线支距。 ②利用坐标变换公式： 计算中间缓和曲线中桩坐标
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复曲线中间缓和曲线正矢计算新方法
摘要：通过实例提出一种计算复曲线中间缓和曲线的方法，并对该方法作了简要分析和论证
关键词：复曲线 中间缓和曲线 正矢计算方法
一、引 言
目前铁路线路仍有相当数量的复曲线存在，其中间缓和曲线的正矢计算方法，很多教科书以及铁路专业书，包括《铁路工务技术手册（线路业务）》，以及崔恩波、娄永录所著论述曲线的专著《曲线设备与曲线整正》（中国铁道出版社）等，均没有提及。
本文在此提出一种计算复曲线中间缓和曲线的方法，即计算曲线上任一点的直角坐标，来间接计算曲线上任意弦长、任意两点间的正矢。
这种方法的优点在于原理简单，计算精确，消除了传统计算方法的误差，可以将计算结果控制在任意需要的精度。
二、复曲线中间缓和曲线正矢的计算方法推导
对于复曲线的中间缓和曲线，无论采用哪种布设方法，均应满足如下条件：
1、中间缓和曲线与两端圆曲线在连接处半径相等。
2、中间缓和曲线与两端圆曲线在连接处具有公共的切线。
我国采用的常用缓和曲线其长度和半径的关系为：
00
00l R l R l R l R l ⋅=⋅----缓和曲线上距始点长度为处的半径缓和曲线上任意一点距始点的距离
缓和曲线终点处半径缓和曲线长度
如图1，两圆半径为1R ，2R 且12R R >；延长中间缓和曲线至ZH '，使
其半径从2R 渐变到R =+∞，则可求得中间缓和曲线的全长L
21()n L R L l R ⨯=-⨯ ∴ 1
12
n R L l R R =
⨯- L -中间缓和曲线全长
n l -中间缓和曲线长度
图1
如图1，曲线上A B C 、、均为测点，有两各情况：
1、测点的始、终点均不位于中间缓和曲线上。
则正矢的计算与普通曲线一样，在此不作论述。
2、测点的始、终点有一个或均位于中间缓和曲线上，其正矢的计算在此提出如下的方法，假设A B C 、、的位置如图所示。
如果A B C 、、在同一坐标系内的坐标能够求出，则A B 、（或B C 、）
点的正矢可以用坐标计算。
连接A B 、及B C 、，AB 的中点为1
P ， AB 的中点为D ，BC 的中点为2P ， BC 的中点为E ，则1P D 、2
P E 即为A B 、及B C 、点的正矢。
采用这一方法计算正矢，关键在于计算曲线上各点的坐标。
以ZH '为原点，以ZH '的切线方向为x 轴建立坐标系，A 点位于1R 上，设A 点的坐标为()A A A x y ，。
为计算A 点的坐标，首先计算1YH 点的坐标。
因为计算出的L 可能很长，为保证有足够的精度，在缓和曲线L 上，取：
59
2244
223
7
11
3355
222403456633642240l l x l R L R L l l l y R L R L R L
=-+=-+ （11-）
上式中：0l L ≤≤
1YH 点位于L 上，当l l '=时，即为1YH 点的坐标111()YH x y ，，同样，当l L
=时，即为2HY 点的坐标222()HY x y ，。
过1YH 作L 及1R 的公切线，连接点A 与1YH ，如图2。
则A 点的坐标：
1111cos()
2
sin()
2
A A x x a y y a α
ϕα
ϕ=-⋅-=-⋅-
（12-）
图2
其中： 2
111122sin 22AYH l a R R R L
α
αϕ'=⋅==，，
B D E 、、均在n l 上，其坐标参见式（11-）计算。
C 点位于2R 上，设C 点的坐标为()C C C x y ，。
过2HY 点作2R 及n l 的公
切线，连接点C 与2HY ，如图3。
则C 点的坐标：
图3
2222cos()
2
sin()
2
C C x x c y y c β
ϕβ
ϕ=+⋅+
=+⋅+
（13-）
其中： 2
2222
2sin 22HY C L c R R R β
βϕ=⋅==，，
有了A B C D E 、、、、的坐标，则：
1P 点的坐标为：1(
)22A B A B
x x y y P ++， 2P 点的坐标为：2()22
B C B C
x x y y P ++，
则A B 、
点的正矢1PD = B C 、
点的正矢2P E =这种方法计算量较大，但具有前述的优点，且现在计算机应用普遍，可以用EXCEL 表格或高级语言编程实现自动计算。
三、计算实例
以成昆线白石岩3#隧道内曲线为例（单位：除正矢为mm ，角度为弧度外，其余均为m ），其曲线要素及各点里程如下：
112212123:360950.069:361050.069
:362537.729:362557.729:362932.557
:363062.557
45040010020130
ZH K HY K YH K HY K YH K HZ K R R L L L ++++++=====（中间缓和曲线起点）（中间缓和曲线终点），，，，
按传统的以ZH 点为正点，每10米点布置，则中间缓和曲线上及相邻各测点分别为：
159:362530.069160:362540.069
161:362550.069162:362560.069
F K F K F K F K ++++
159F 位于1R 上，160F 、161F 位于中间缓和曲线上，162F 位于2R 上。
下面计算这四点的正矢。
11245020180450400
n R L l R R =⨯=⨯=--，18020160n l L l '=-=-=
按（11-）式，取160l l '==，及180l L ==得：
11159.4959.460x y ==，； 22179.09113.451x y ==，
158F 点的坐标，按（12-）式，
11537.729-520.0690.0392450
AYH R α===
10.03922sin 2450sin()17.6622
a R α
==⨯⨯=
22
121600.17777822400180
l R L ϕ'===⨯⨯
158159.49517.66cos(0.1777780.0196)142.055F x =-⨯-= 1589.46017.66sin(0.1777780.0196) 6.679F y =-⨯-= 同样由式（12-）得：
159159.4957.66cos(0.1777780.00851)151.944F x =-⨯-= 1599.4607.66sin(0.1777780.00851)8.170F y =-⨯-= 由式（11-）取(540.069537.729)162.34l l '=+-=得：
160160161.7979.880F F x y ==， 161161171.60811.813F F x y ==， 由式（13-）计算162F 点的坐标：
221800.22522400L R ϕ=
==⨯，560.069557.7290.00585400
β-== 22sin
2400sin(0.002925) 2.3402
c R β
==⨯⨯=
162179.091 2.34cos(0.2250.002925)181.370F x =+⨯+= 16213.451 2.34sin(0.2250.002925)13.980F y =+⨯+= 163179.09112.34cos(0.2250.015425)191.076F x =+⨯+= 16313.45112.34sin(0.2250.015425)16.389F y =+⨯+= 则159F 、160F 、161F 、162F 的正矢分别为：
159111F mm ==
160113F mm ==
161120F mm ==
162124F mm ==
四、结语
由以上计算可知，用这种方法计算复曲线中间缓和曲线的正矢，计算量较大，但方法单一、固定，极适合使用电子表格计算。
另外，加以变通后，所有曲线正矢均可用此法，省去了计算各种系数的麻烦。