通州区2018高三一模考试

2通州区2018高三一模考试数 学（理） 2018.4本试卷分第一部分和第二部分两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合{}|10A x x =-<，{}0,1,2B =，那么()U A B I ð等于 A ．{}0,1,2 B ．{}1,2 C ．{}0,1 D ．{}22．已知x ，y 满足0,1,2,x y x x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩那么2z x y =+的最小值是A. 1-B. 0C. 1D. 23．执行如右图所示的程序框图，若输出m 的值是25， 则输入k 的值可以是A ．4B ．6C ．8D ．104．设131log 6a =，31log 2b =，123c -=，那么A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b >>5．“x ∀∈R ,210x bx -+>成立”是“[]0,1b ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知抛物线28y x =的准线与圆心为C 的圆22280x y x ++-=交于A ，B 两点，那么CA CB -u u u r u u u r等于A ．2B ．．．7．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且它的正视图如图所示， 则该四棱锥侧视图的面积是A ．．4 C ．．28．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺. 起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底. 描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹. 现甲、乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每则完成这三件原料的描金工作最少需要A ．43小时B ．46小时C ．47小时D ．49小时第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．已知复数()()1i 1i a -+是纯虚数，那么实数a =_______. 10．若直线l 的参数方程为1,1x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则点()4,0P 到直线l 的距离是_______.11．已知数列{}n a 是等比数列，34a =，632a =，那么86a a =_______；记数列{}2n a n - 的前n 项和为n S ，则n S =_______.12．2位教师和4名学生站成一排合影，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为_______（结果用数字表示）.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =， 下列判断：①若c =C 有两个解；②若12BC BA ⋅=u u u r u u u r，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是_______.14．设函数2()cos f x x a x =+，a ∈R ，非空集合{}|()0,M x f x x ==∈R . ①M 中所有元素之和为_______；②若集合()(){}|0,N x f f x x ==∈R ，且M N =，则a 的值是_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）已知函数()2sin cos 222x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值．16．（本题满分13分）作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目. 2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9 亿元，比上年增长17.4％，下面给出的是通州区2011-2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一. 又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长12.2％. （Ⅰ）在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；（Ⅱ）通过计算2011-2017这7年的平均增长率约为17.2％，现从2011-2017这7年中随机选取2个年份，记X 为“选取的2个年份中，增长率高于17.2％的年份个数”，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）设2011-2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为0x ，平均数为x ，比较0x 与x 的大小（只需写出结论）. 17．（本题满分14分）如图所示的几何体中，平面PAD ⊥平面ABCD ,PAD △为等腰直角三角形， 90APD ∠=o ，四边形ABCD 为直角梯形，//AB DC ，AB AD ⊥，2AB AD ==，//PQ DC ，1PQ DC ==. （Ⅰ）求证：//PD 平面QBC ； （Ⅱ）求二面角Q BC A --的余弦值； （Ⅲ）在线段QB 上是否存在点M ，使得AM ⊥平面QBC ，若存在，求QM QB的值；若不存在，请说明理由.18．（本题满分13分）已知函数xxe x f =)(,)1()(-=xe a x g ，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求证：)()(x g x f ≥；（Ⅱ）当1>a 时，求关于x 的方程)()(x g x f =的实根个数. 19．（本题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为A ，B ，且2AB =，离心率为2，O 为坐标原点.Q BCD AP图一（亿元）（％）2011-2016年全社会固定资产投资及增长率201620152014201320122011（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P ，Q 是椭圆C 上的两个动点（不与A ，B 重合），且关于y 轴对称，M ，N 分别是OP ，BP 的中点，直线AM 与椭圆C 的另一个交点为D . 求证：D ，N ，Q 三点共线. 20．（本题满分14分）已知数列{}n a ，设()11,2,3,n n n a a a n +∆=-=L ，若数列{}n a ∆为单调增数列或常数列时，则{}n a 为凸数列.（Ⅰ）判断首项01>a ，公比0>q ，且1≠q 的等比数列{}n a 是否为凸数列，并说明理由； （Ⅱ）若{}n a 为凸数列，求证：对任意的1k m n ≤<<，且k ，m ，n ∈N ， 均有1n m m k m m a a a aa a n m m k+--≥-≥--，且{}1max ,m n a a a ≤；其中{}1max ,n a a 表示1a ，n a 中较大的数；（Ⅲ）若{}n a 为凸数列，且存在()1,t t n t <<∈N ，使得0t a a ≤，n t a a ≤， 求证：12n a a a ===L .通州区2018高三一模考试参考答案一、选择题二、填空题9．1-11.4，221n n n ---12. 2413.②③14.0，0 三、解答题15. 解：（Ⅰ）因为()2sin cos 222x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin cos 222x x x +=1si n 2x x =++sin ++32x π⎛⎫= ⎪⎝⎭．……………………4分 所以()f x 的最小正周期2.T π=……………………6分 （Ⅱ）因为[],0x π∈-，所以2+,333x πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以当33x ππ+=，即0x =时，函数)(x f取得最大值sin+32π= 当32x ππ+=-，即56x π=-时，函数取得最小值- 所以()f x 在区间[],0π-和-………………13分 16. 解：（Ⅰ）……………………4分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2. ……………………5分24272(0)7C P X C ===，1134274(1)7C C P X C ===，23271(2)7C P X C ===. ………………8分所以X 的分布列为图二（％）201725.020.015.010.05.00.0（亿元）2011-2017年全社会固定资产投资及增长率201620152014201320122011……………………9分所以X 的数学期望()2416012.7777E X =⨯+⨯+⨯=……………………10分 （Ⅲ）0x <. ……………………13分17. 解：（Ⅰ）因为//PQ CD ，PQ CD =，所以四边形PQCD 是平行四边形. 所以//.PD QC因为PD ⊄平面QBC ，QC ⊂平面QBC ， 所以//PD 平面.QBC ……………………4分 （Ⅱ）取AD 的中点为O ， 因为PA PD =，所以.OP AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ,OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面.ABCD ……………………5分以点O 为坐标原点，分别以直线OD ，OP 为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则x 轴在平面ABCD 内．因为90APD ∠=︒，2AB AD ===，1PQ CD ==， 所以(),,A -010，(),,B -210，(),,C 110，(),,Q 101，所以()1,1,1BQ =-u u u r ，()0,1,1CQ =-u u u r. ……………………7分设平面QBC 的法向量为(),,n x y z =r ，所以,,n BQ n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r 00即,.x y z y z -++=⎧⎨-+=⎩00 所以,.x y z y z =+⎧⎨=⎩令1z =，则1y =，2x =.所以()2,1,1n =r. ……………………8分设平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =u r，所以cos ,n m ==r u r又因为二面角Q BC A --为锐角，所以二面角Q BC A --……………………10分（Ⅲ）存在. 设点(),,M a b c ，QM QBλ=，[]01.λ∈,所以()1,,1QM a b c =--u u u u r ，()1,1,1.QB =--u u u r所以+1a λ=，b λ=-，+1c λ=-.所以点(),,.M λλλ+--+11所以(),,.AM λλλ=+-+-+u u u u r111又平面QBC 的法向量为()2,1,1n =r ，AM ⊥平面QBC ，所以.λλ+-+=1121所以.λ=13所以在线段QB 上存在点M ，使AM ⊥平面QBC ，且QM QB的值是.13……………14分18. 解：（Ⅰ）设函数()()().xxF x f x g x xe ae a =-=-+当1=a 时，()1x x F x xe e =-+，所以'()xF x xe =.所以)0(，-∞∈x 时，'()0F x <；)0(∞+∈，x 时，'()0F x >. 所以()F x 在)0(，-∞上单调递减，在)0(∞+，上单调递增. 所以当0=x 时，()F x 取得最小值(0)0F =. 所以()0F x ≥，即)()(x g x f ≥．……………………4分 （Ⅱ）当1>a 时，'()(1)xF x x a e =-+，令'()0F x >，即(1)0xx a e -+>，解得1x a >-； 令'()0F x <，即(1)0x x a e -+<，解得 1.x a <-所以()F x 在(1)a -∞-，上单调递减，在(1)a -+∞，上单调递增. 所以当1-=a x 时，()F x 取得极小值，即1(1)a F a a e --=-. ……………………6分令1()a h a a e-=-，则1'()1a h a e-=-.因为1>a ，所以'()0h a <. 所以()h a 在(1,)+∞上单调递减.所以()(1)0h a h <<. 所以(1)0F a -<.又因为()0F a a =>，所以()F x 在区间),1(a a -上存在一个零点. 所以在),1[+∞-a 上存在唯一的零点.……………………10分 又因为()F x 在区间)1,(--∞a 上单调递减，且(0)0F =，所以()F x 在区间)1,(--∞a 上存在唯一的零点0.……………………12分 所以函数)(x h 有且仅有两个零点，即使)()(x g x f =成立的x 的个数是两个. ……………………13分19.解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，2AB =，离心率2e =， 所以1b =，2c a =所以由222a b c =+，得2 4.a = 所以椭圆C 的标准方程是22 1.4x y +=……………………3分 （Ⅱ）设点P 的坐标为()00,x y ，所以Q 的坐标为()00,x y -. 因为M ，N 分别是OP ，BP 的中点， 所以M 点的坐标为00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭，N 点的坐标为001,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭.……………………4分 所以直线AD 的方程为0021y y x x -=+. ……………………6分 代入椭圆方程2214x y +=中，整理得()()222000042820.x y x x y x ⎡⎤+-+-=⎣⎦ 所以0x =，或()()()0000220008222=.5442x y x y x y x y --=-+-所以()2000000002222431.5454x y y y y y x y y ---+-=⋅+=--所以D 的坐标为()200000022243,5454x y y y y y -⎛⎫-+- ⎪--⎝⎭.……………………10分所以000000112.32QNy y y k x x x --+==-+又()20000000000243541.22354QD y y y y y k x y x x y -+---+==--+-所以D ，N ，Q 三点共线.……………………13分20.解：（Ⅰ）因为+12+1n n n a a a +∆=-，1n n n a a a +∆=-，所以+12+12n n n n n a a a a a +∆-∆=+-22n n n a q a a q =+-()()22121.n n a q q a q =+-=-因为，公比，且，所以0n a >，()210.q ->所以()210.n a q ->所以等比数列{}n a 为凸数列.……………………3分 （Ⅱ）因为数列}{n a 为凸数列，所以11=m m m m a a a a ++--，211m m m m a a a a +++-≥-，321m m m m a a a a +++-≥-，…，11.m n m m n m m m a a a a +-+--+-≥-叠加得()1()n m m m a a n m a a +-≥--. 所以1.n mm m a a a a n m+-≥--同理可证1.m km m a a a a m k+-≤--综上所述，1n m m k m m a a a aa a n m m k+--≥-≥--.……………………7分因为n m m k a a a a n m m k--≥--，所以()()()().n m m k m k a k m a n m a m n a -+-≥-+-所以()()().n k m m k a n m a n k a -+-≥-令1k =，()()11()1.n m m a n m a n a -+-≥-所以11.11m n m n m a a a n n --⎛⎫≤+ ⎪--⎝⎭若1n a a ≤，则111()().1111m n n n n m n m m n ma a a a a a n n n n ----≤+≤+=----若1n a a ≥，则111111()().1111m n m n m m n ma a a a a a n n n n ----≤+≤+=---- 所以{}1max ,.m n a a a ≤……………………10分 （Ⅲ）设p a 为凸数列}{n a 中任意一项， 由（Ⅱ）可知，1max{,}.p n t a a a a ≤≤再由（Ⅱ）可知，对任意的1p m n ≤<<均有1m p n mm ma a a a a a n m m p+--≥-≥--， （1）当1p t n ≤<<时，t pn t a a a a n t t p--≥--. 又因为n t a a ≤，所以0.t pn t a a a a n t t p --≥≥--所以.p t a a ≥ （2）当1t p n <<≤时，11p t t a a a a p t t --≥--. 又因为1t a a ≤，所以10.1p t t a a a a p tt --≥≥--所以.p t a a ≥ （3）当p t =时，.p t a a = 所以.p t a a ≥ 综上所述，.p t a a =所以12n a a a ===L .……………………14分。