两直线的位置关系--垂直_

1 1 2 2
代入上式，得
x1x2(1+
A1 A 2 B1 B 2
)=0.
因为A，B都不在y轴上，所以x1x2≠0，因此
1+
即
A1 A 2 B1 B2
=0，（*）
A1A2+B1B2=0（**）
由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由(**)式 可以证明两条直线L1’与L2’垂直。从而也就证明了 L1与L2垂直。

l1 l2
二、斜率都存在情况下的垂直
L 1 L 2 k 1 k 2 1( k 1 , k 2 均 存 在 )
三、直线方程为一般式时
L1 : A1 x B1 y C1 0 L2 : A2 x B2 y C2 0 若L1 L2，则
例1：求过点A（2，1），且与直线 2 x 垂直的直线 l 的方程。
l2 : 4 x 3 y 7
(3)
l1 : x 8
l2 : y 3
例3、已知直线L与直线2x+3y-1=0垂直，且在 两坐标轴上的截距之和为2，求直线L的方程. 例4、已知直线L1:(m+2)x+3my+1=0与直线 L2:(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直，求实数m 的值.
分析：
两直线垂直
求出
y 10 0
斜率互为负倒数
其中一条直线的 斜率知道
另一条直线的斜率
由点斜式求出 所求直线的方程
另解：设所求直线方程为x+2y+C=0.
因为直线过点（1,2），代入方程，得C=3， 所以所求直线方程为
x-2y+3=0.
求解方法：待定系数法
结论：
与直线Ax By C 0垂直的直线可设为 : Bx Ay m 0
1 2 2 1
二、探究引入:
在同一坐标系内画出下列方程的直线，并观察它们的位置关系。
1 ) l1 : y 2 x 1 2 ) l1 : x 3
y
l1
l2 : y l2 : y 2
1 2
x 1
y
l2
x
0
l1
0
x
l2
1)
2)
归纳:
一、特殊情况下的垂直
k 1不 存 在 , 且 k 2 0
例5、求点P（3，5）关于直线L:x-3y+2=0的 对称点P0的坐标.
四、课堂小结：
1、若两条直线斜率都存在，直线L1与L2的斜率分别为 k1,k2则： L1⊥L2 k1k2=-1 2、两直线若一条直线无斜率另一条直线斜率为0，则 这二直线互相垂直。 3、直线方程为一般式时
L1 : A1 x B1 y C1 0 L2 : A2 x B2 y C2 0 若L1 L2，则
A1 A 2 B 1 B 2 0
例 2(1） 已 知 四 点 A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11) 求 证 ： AB CD；
一条光线通过点 A(1,-2), 遇直线 方程 . l : x y - 2 0 反射后 , 经过点 B(-2,-1), 求反射光线所在的直线
三、讲授新知:
特殊情况下的垂直
k 1不 存 在 , 且 k 2 0
y
l1 l2
y2
0
x1
x

l1 l2
已知两条直线：
L1:A1x+B1y+C1=0， L2: A2x+B2y+C2=0。
L1
-1百度文库 -10 -5
10
8
L1
6
L2
4
2
5
10
15
L2
-2
-4
可转化为研究直线L1’： A1x+B1y=0 L2’： A2x+B2y=0 垂直的条件。
b=
-2
.
例3、已知三角形的顶点A(2,4),B(1,-2),C(-2,3), 求BC边上的高AD所在的直线方程.
y
C
D -4
分析:
A 确定直线方程需要几个条件? 已知什么?
3
o
-3
2
x 还缺什么?
怎么解决?
B
与两坐标轴围成的四边 求实数 a 的值 .
已知直线
２、已知直线l1 :ax+by+2a=0与直 线l2:(a-1)x+y+b=0互相垂直，且 直线l1过点（-1，1），则a= 2 ,
l 1 : (a 2)x (1 - a)y - 1 0 和直线 l 2 : (a - 1)x (2a 3)y 2 0 形有一个外接圆 (圆内接四边形的对角互 补)
两直线斜率存在吗?
已知两直线 上的截距为
l 1 : mx 8y n 0 和 l 2 : 2x my - 1 0, 若 l 1 l 2 , , 且 l1 在 y 轴 1, 则 m n
斜率存在时,怎样确定两直线垂直?
例 2 ( 2 ） 已 知 直 线 L 1的 斜 率 k 1
① 假定L1，L2都不与坐标轴平行或重合。 当L1⊥L2时，通过坐标原点作直线L1’∥ L1和 L2’∥ L2，则L和L2’互相垂直。 在直线L1’，L2’上分别取两点A（x1,y1）、B （x2,y2）(不含原点)。由勾股定理 ，得 x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2 化简，得 x1x2+y1y2=0. 由假定可知B1≠0，B2 ≠0,因此 A A y1=- B x1,y2=- B x2.
课堂练习：
1. 求过点A(3,2)且垂直于直线 4x+5y-8=0的直线方程. 2 . 和直线x+3y+1=0垂直，且在x轴上 的截距为2的直线方程。
例2：判断下列两直线是否垂直,并说明理由.
(1)
l1 : y
3x 1
l2 : y
1
x 8
(2) l1
3 : 3x 4 y 6
②假定L1，L2中有一条直线与坐标轴平行或重合。 当L1⊥L2时，可以推出L1，L2中的另外一条也与坐标 轴平行或重合，因此同样有 A1A2+B1B2=0. 反过来，由条件A1 A2 +B1 B2 =0也可以推出L1⊥L2。 总结以上结论，我们得到，对坐标平面内的任意两 条直线L1和L2，有 L1⊥L2 A1A2+B1B2=0 A A ③如果B1B2≠0，则L1的斜率k1=- B ，L2的斜率k2=- B ， 又可以得出： L1⊥Lfk1k2=-1
两直线的位置关系
--两直线垂直
一、复习提问:
直线 直线
l1 l1 : y k 1 x b1
b1
y l 1
l2

2
l2 : y k 2 x b2
1
0
x
//
l2
k1 k 2
且
b1 b 2
b2
l1
y l2
x
当两直线的斜率都不存在时，
两直线平行
0
当直线方程为一般式时:
l1：A1x + B1y +C1 = 0，l2：A2x + B2y +C2 = 0 （A1与B1不全为零、A2与B2也不全为零） l1∥l2 A1 B2 – A2 B1= 0且A1 C2 – A2 C1 0 或A1 B2 – A2 B1= 0且B1 C2 – B2 C1 0
2
3 4
, 直 线 L 2经 过 点 A ( 3 a , - 2 ) ,
B ( 0 , a + 1 ) , 且 L 1 L 2， 求 实 数 a 的 值 .
由两直线垂直,能得到什么结论?
它与a有关系吗?
二.基础练习：
0或4/3 １、当m为_____时，直线mx-(3m2)y=7与2x+my=1互相垂直。