黎曼积分的概念

一、小结

1、 黎曼积分的概念

从利用定积分、二重积分、对弧长的曲线积分及对面积的曲面积分计算非均匀分布物体质量问题的研究中，我们不难发现它们有以下共同点：

(1) 它们都是非均匀变化问题.当把它们看成是均匀变化的时候，可以表示为某两个量的乘积形式.

(2) 它们具有对区域的可加性：设Q 是一个与点X 的变化区域Ω有关的量，将 Ω分成n 个无公共内点的小区域1:n

i i i =ΩΩ=Ω∑时，Q 相应地也被分成n 个部

分量(1,2,,)i Q i n = ，且1

n

i i Q Q ==∑.

(3) 运用“分割——近似——求和——取极限”的方法来处理问题时，都出现同一种类型和式的极限.

这就表明，我们可以将上述各种积分抽象为同一类数学模型，该数学模型通常称为函数的黎曼（Riemann ）积分.

空间(3)n R n ≤中的区间、曲线、曲面以及由曲线围成的平面区域和由曲面围成的空间区域等统称为空间 (3)n R n ≤中的几何形体，并统一记为Ω. 如果几何形体Ω或者是可求长的（如区间、曲线等）；或者是可求面积的（如曲面、平面区域等）；或者是可求体积的（如空间区域等），则称几何形体Ω是可度量的，将其度量值亿为Ω，或仍记为Ω.

我们来给出几何形体Ω上黎曼积分的定义.

设Ω为空间 (3)n R n ≤中的可度量的几何形体，()f X 是定义在Ω上的有界函数.将Ω任意分割成为n 个可度量的小几何形体(1,2,,)i i n Ω= ，

它们的度量值相应地记为i ∆Ω，记{}1max ,(1,2,,)i i i i n

X i n λ≤≤=∆Ω∀∈Ω= ，作下列和式（称为黎

曼和，或称为积分和）1

()n

i i i f X =∆Ω∑，若不论运用何种方法对几何形体Ω进行分

割，也不论采用何种方式在i Ω上选取点i X ，当0λ→时，和式(1)恒有惟一的极限值I 存在：0

1lim ()n

i i i I f X λ→==∆Ω∑，则称函数()f x 在几何形体Ω上是黎曼可积的

（简称可积），记为()()f x R ∈Ω，极限值I 称为()f x 在几何形体Ω上的黎曼积分值，记为()f x d Ω

Ω⎰，即0

1

()lim ()n

i i i I f x d f X λ→=Ω

=Ω=∆Ω∑⎰，其中()f x 称为被积函

数，Ω称为积分区域，d Ω称为积分元素，Ω

⎰称为黎曼积分号.根据几何形体Ω的

形态不同，我们可以进一步给出Ω上积分的具体表示式和名称. 我们以前讨论的那些积分都是几何形状上的积分的特例：假设以下所涉及的积分都存在，则

(1) 当Ω为空间R 中的区间[,]a b 时，[,]X x a b =∈，d dx Ω=，黎曼积分表示的就是定积分：0

1

()()lim ()n

b

i i a i f X d f x dx f x x λ→=Ω

Ω==∆∑⎰⎰.

(2) 当Ω为空间2R 中的平面区域D 时，(,)X x y D =∈，d d σΩ=为2R 中平面区域的面积元素，黎曼积分表示的就是二重积分：

1

()(,)lim (,)n

i

i

i

i D

f X d f x y d f x y λ

σσ→=Ω

Ω==∆∑⎰⎰⎰.

(3) 当Ω为空间3R 中的空间区域Ω时，(,,)X x y z =∈Ω，d dv Ω=为3R 中的体积元素，黎曼积分表示的就是三重积分：

1

()(,,)lim (,,)n

i

i

i

i

i f X d f x y z dv f x y z v λ

→=Ω

Ω

Ω==∆∑⎰⎰⎰⎰. (4) 当Ω为2R 中的平面曲线L 时，(,)X x y L =∈，d ds Ω=为2R 中曲线的弧长元素，黎曼积分表示的就是对弧长的曲面积分：

1

()(,)lim (,)n

i

i

i

i L

f X d f x y ds f x y s λ

→=Ω

Ω==∆∑⎰⎰. (5) 当Ω为空间3R 中的曲面∑时，(,,)X x y z =∈∑，d dS Ω=为3R 中曲面的面积元素，黎曼积分表示的就是对面积的曲面积分：

1

()(,,)lim (,,)n

i

i

i

i

i f X d f x y z dS f x y z S λ

→=Ω

∑

Ω==∆∑⎰⎰⎰

3、 黎曼积分的性质

设12,,ΩΩΩ为(3)n R n ≤中可度量的有界闭几何体， (),()()f X g X R ∈Ω，Ω表Ω的度量值.

性质1

()f X d Ω

Ω=Ω⎰.

性质2 设,a b 为常数，则[()()]()()af X bg X d a f X d b g X d Ω

Ω

Ω

+Ω=Ω+Ω⎰⎰⎰. 性质3 设 12Ω=ΩΩ ，12,ΩΩ无公共内点，则

12

()()()f X d f X d f X d Ω

ΩΩΩ=Ω+

Ω⎰⎰

⎰

.

性质4 若在Ω上，()0f X ≥，则()0f X d Ω

Ω≥⎰.

推论1 若在Ω上，()()f X g X ≤，则()()f X d g X d Ω

Ω

Ω≤Ω⎰⎰.

推论2

()()f X d f X d Ω

Ω

Ω≤Ω⎰⎰

.

性质5 若在Ω上，()m f X M ≤≤，则()m f X d M Ω

Ω≤Ω≤Ω⎰.

性质6 若()()f X C ∈Ω，则0X ∃∈Ω，使0()()f X d f X Ω

Ω=Ω⎰.

二、测试题