第2章_2 弹性力学基础与地震波—波动方程的解汇总
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※ＳＨ波的振动方向与Ｐ波和ＳＶ波的振动方向都是垂直的，ＳＨ波将 独立传播，不会与Ｐ波或ＳＶ波间发生波型相互转换或能量交换。而Ｐ 波与ＳＶ波的振动方向由于都在传播平面内，当波传播至垂直于传播平 面的介质速度间断面时，Ｐ波与ＳＶ波间可能会发生相互转换和能量交 换，即可能产生反射或折射的转换波。
Ｐ波、ＳＶ波及ＳＨ波偏振方向（左）和三分量远震原记录及旋转后的地震图（右）
H
0(1)和H
(2)是零阶
0
Hankel
函数
当kr 1时，
H (1) 0
(k r)
~
2
i (kr - )
e4
源自文库
k r
H (2) 0
(k r)
~
-i (kr - )
2e 4
k r
※分别表示以速度向极轴汇聚和离开的柱面波。柱面波的振幅是 r-1/2，可以从物理上分析得到理解；
当柱面波向外传播时，波前面的面积与r成正比，因此每单位 面积上的能流按r-1减少。又因能流与振幅的平方成正比，所以振幅 应与r-1/2成正比。
柱坐标系下波场的一般形式(不满足轴对称时)：
波动方程为：
u ez ez
2 22
t 2
2 22
t 2
2 22
t 2
4. 波动方程的球面波解
Ｐ波势函数表示的波动方程 均匀各向同性介质中，球对称爆炸点源激发的波的波动方程可以简化为
球对称波动问题的纵波位移势的解
地震学名词
非均匀杆
当地震波传播速度的空间变化量大大小于感兴趣的频率，即不均匀一维介质 中高频地震波的波动方程解可以表达为
2. 三维均匀空间中波动方程的平面波解
其中
ki
n i
同样
注：无论是Ｐ波还是Ｓ波，其波数矢量的方向代 表的是平面波的播方向，上述波动方程的解中波 数矢量前只需取单一的‘－’号。
地震学中将垂直于传播平面的ｘ２ 方向上的Ｓ波分量记为ＳＨ 波，传播平面 上的Ｓ波分量记为ＳＶ波。
uS=uSV+uSH
入射面
uS在X2轴的投影分量为 uSH＝uSHe2
uS在X1 X3坐标基平面(入射面)上的投影分量为 uSV＝uSV1e1 + uSV2e3
SV 波阵面
界面
SH
X1
X2
垂直于传播平面的ｘ２ 方向上的 Ｓ波分量记为ＳＨ 波，传播平面
第二章 弹性力学基础与地震波
•弹性力学基础 •波动方程的解
五、波动方程的解
1. 不均匀弹性杆的一维波动方程的解
分离变量法求解
均匀杆 c(x)=c C1、C2、C3、C4 为任意函数。是D’Alembert形式解
地面运动 是实函数
注：ω是可以任取的常数，波动方程的解表示由无数频率成分的简谐波合 成的任意形状的函数。地震仪记录的地震波的频带范围可从0.0001~200Hz 。地震波的波速在地壳中约为5km/s，因此记录的地震波信号的波长范围 在0.025~50000km之间。
三分量地震仪记录的地面振动通常分别记录的波动矢量是：垂直向振动 （向上为正），北南向振动（向北为正）和东西向振动（向东为正）。通 过对两个水平振动分量的坐标旋转，不难将波动矢量旋转为：垂直向振动 ，径向振动（由源到记录台的连线的水平投影，Ｒ分量）和切向振动（与 径向正交的水平分量，Ｔ分量）。右图显示了一个地震记录的实例，切向 分量上记录的Ｓ波显然是ＳＨ波；垂直分量上，P波最清晰，只有很少能 量在切向上
上的Ｓ波分量记为ＳＶ波。
X3
ＳＨ波的位移函数Ｖ也满足波动方程 则有
ＳＶ波势函数的解有 ＳＶ波的位移为
※尽管ＳＶ的振动局限在波的传播平面内，但其振动方向与传播方 向是垂直的。
波的总位移为
※弹性介质中可以同时存在两种振动方向互相正交的不同类型的 波—Ｐ波和Ｓ波，它们在介质中是以不同速度独立传播的，互不干涉 ※Ｓ波分解成振动方向相互正交的两个分量：ＳＶ波和ＳＨ 波；
定义波矢量方向与ｘ３ 轴方向的夹角为入射角，并记为ｉ
射线参数或水平慢度
垂直慢度
在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｓ波，同样也有 又 对在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｐ波，则有 ※Ｐ波的质元运动（振动）方向与波矢量方向（传播方向）是平行的
在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｓ波，则有
※在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｓ波的振动，并不像Ｐ波一样，只局 限在传播平面上，在垂直于传播平面的ｘ２ 方向上也存在Ｓ波分量。
举例：X1X3 平面内传播的平面波解
一组在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｐ波，其相位函数为
波阵面方程 的表达式—在
x1x3 平面上的一条 直线，该直线所代表 的是一个垂直于x1x3
平面的等相面
※固定ｔ时刻的一系列不同相位的波阵面 ※等相位的波阵面在不同时刻的空间位置 ※波数矢量ｋα＝（kα1，０，ｋα3）与波阵面是正交的
SKS、PS、SKKS从P 波转换为SV波； Sdiff或Sd表示S波
沿核幔边界衍射， 为SH波。
3. 波动方程的柱面波解
轴对称波场，柱坐标系下，波动方程化为：
2 t 2
2
2 r 2
1 r
r
设ϕ＝R(r)T(t)，代入求解，可以得到：
T Ceikt R AH0(1) (kr) BH0(2) (kr)
Ｐ波、ＳＶ波及ＳＨ波偏振方向（左）和三分量远震原记录及旋转后的地震图（右）
H
0(1)和H
(2)是零阶
0
Hankel
函数
当kr 1时，
H (1) 0
(k r)
~
2
i (kr - )
e4
源自文库
k r
H (2) 0
(k r)
~
-i (kr - )
2e 4
k r
※分别表示以速度向极轴汇聚和离开的柱面波。柱面波的振幅是 r-1/2，可以从物理上分析得到理解；
当柱面波向外传播时，波前面的面积与r成正比，因此每单位 面积上的能流按r-1减少。又因能流与振幅的平方成正比，所以振幅 应与r-1/2成正比。
柱坐标系下波场的一般形式(不满足轴对称时)：
波动方程为：
u ez ez
2 22
t 2
2 22
t 2
2 22
t 2
4. 波动方程的球面波解
Ｐ波势函数表示的波动方程 均匀各向同性介质中，球对称爆炸点源激发的波的波动方程可以简化为
球对称波动问题的纵波位移势的解
地震学名词
非均匀杆
当地震波传播速度的空间变化量大大小于感兴趣的频率，即不均匀一维介质 中高频地震波的波动方程解可以表达为
2. 三维均匀空间中波动方程的平面波解
其中
ki
n i
同样
注：无论是Ｐ波还是Ｓ波，其波数矢量的方向代 表的是平面波的播方向，上述波动方程的解中波 数矢量前只需取单一的‘－’号。
地震学中将垂直于传播平面的ｘ２ 方向上的Ｓ波分量记为ＳＨ 波，传播平面 上的Ｓ波分量记为ＳＶ波。
uS=uSV+uSH
入射面
uS在X2轴的投影分量为 uSH＝uSHe2
uS在X1 X3坐标基平面(入射面)上的投影分量为 uSV＝uSV1e1 + uSV2e3
SV 波阵面
界面
SH
X1
X2
垂直于传播平面的ｘ２ 方向上的 Ｓ波分量记为ＳＨ 波，传播平面
第二章 弹性力学基础与地震波
•弹性力学基础 •波动方程的解
五、波动方程的解
1. 不均匀弹性杆的一维波动方程的解
分离变量法求解
均匀杆 c(x)=c C1、C2、C3、C4 为任意函数。是D’Alembert形式解
地面运动 是实函数
注：ω是可以任取的常数，波动方程的解表示由无数频率成分的简谐波合 成的任意形状的函数。地震仪记录的地震波的频带范围可从0.0001~200Hz 。地震波的波速在地壳中约为5km/s，因此记录的地震波信号的波长范围 在0.025~50000km之间。
三分量地震仪记录的地面振动通常分别记录的波动矢量是：垂直向振动 （向上为正），北南向振动（向北为正）和东西向振动（向东为正）。通 过对两个水平振动分量的坐标旋转，不难将波动矢量旋转为：垂直向振动 ，径向振动（由源到记录台的连线的水平投影，Ｒ分量）和切向振动（与 径向正交的水平分量，Ｔ分量）。右图显示了一个地震记录的实例，切向 分量上记录的Ｓ波显然是ＳＨ波；垂直分量上，P波最清晰，只有很少能 量在切向上
上的Ｓ波分量记为ＳＶ波。
X3
ＳＨ波的位移函数Ｖ也满足波动方程 则有
ＳＶ波势函数的解有 ＳＶ波的位移为
※尽管ＳＶ的振动局限在波的传播平面内，但其振动方向与传播方 向是垂直的。
波的总位移为
※弹性介质中可以同时存在两种振动方向互相正交的不同类型的 波—Ｐ波和Ｓ波，它们在介质中是以不同速度独立传播的，互不干涉 ※Ｓ波分解成振动方向相互正交的两个分量：ＳＶ波和ＳＨ 波；
定义波矢量方向与ｘ３ 轴方向的夹角为入射角，并记为ｉ
射线参数或水平慢度
垂直慢度
在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｓ波，同样也有 又 对在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｐ波，则有 ※Ｐ波的质元运动（振动）方向与波矢量方向（传播方向）是平行的
在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｓ波，则有
※在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｓ波的振动，并不像Ｐ波一样，只局 限在传播平面上，在垂直于传播平面的ｘ２ 方向上也存在Ｓ波分量。
举例：X1X3 平面内传播的平面波解
一组在ｘ１ｘ３ 平面内传播的平面Ｐ波，其相位函数为
波阵面方程 的表达式—在
x1x3 平面上的一条 直线，该直线所代表 的是一个垂直于x1x3
平面的等相面
※固定ｔ时刻的一系列不同相位的波阵面 ※等相位的波阵面在不同时刻的空间位置 ※波数矢量ｋα＝（kα1，０，ｋα3）与波阵面是正交的
SKS、PS、SKKS从P 波转换为SV波； Sdiff或Sd表示S波
沿核幔边界衍射， 为SH波。
3. 波动方程的柱面波解
轴对称波场，柱坐标系下，波动方程化为：
2 t 2
2
2 r 2
1 r
r
设ϕ＝R(r)T(t)，代入求解，可以得到：
T Ceikt R AH0(1) (kr) BH0(2) (kr)