考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

第一章概率论的基本概念

定义：随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件．

事件

关系：1．A⊂B，A发生必导致B

发生．

2．A Y B和事件，A，B至

少一个发生，A Y B发生．3．A I B记AB积事件，A，

B同时发生，AB发生．

4．A－B差事件，A发生，

B不发生，A－B发生．5．A I B=Ø，A与B互不

相容(互斥)，A与B不能

同时发生，基本事件两两

互不相容．

6．A Y B=S且A I B=Ø，A与

B互为逆事件或对立事件，A

与B中必有且仅有一个发

生，记B=A

S

A-

=．

事件

运算：交换律、结合律、分

配率略．

德摩根律：B

A

B

A I

Y=，B

A

B

A Y

I=．

概率：概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)．

概率性质: 1．P(Ø)=

0．

2．(有限可加性)P(A1Y A2Y…

Y A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)，A i互不相容．3．若A⊂B，则P(B

－A)=P(B)－P(A)．

4．对任意事件A，有)A(

1

)

A

(P

P-

=．5．P(A Y B)=P(A)+P(

B)－P(AB)．

泊松分布：记X~π（λ），

!

}

{

k

e

k

X

P

kλ

λ-

=

=，Λ,2,1,0=k．

泊松定理：

!

)

1(

lim

k

e

p

p

C

k

k

n

k

k

n

n

λ

λ-

-

∞

→

=

-，其中λ=

np．当20≥n，05.0≤p应用泊松定理近似效果颇佳．

随机变量

分布函数：

}

{

)

(x

X

P

x

F≤

=，+∞

<

<

∞

-x．)(

)

(

}

{

1

2

2

1

x

F

x

F

x

X

x

P-

=

≤

<．

连续

型随机变量：

⎰∞-=x t

t

f

x

F d)(

)

(，X为连续型随机变量，)(x f为X的概率密度函数，简称概率密度．

概率密度性质：1．0

)

(≥

x

f；2．1

d)

(=

⎰+∞∞-x

x

f；3．⎰=

-

=

≤

<2

1

d)

(

)

(

)

(

}

{

1

2

2

1

x

x

x

x

f

x

F

x

F

x

X

x

P；

4．)(

)

(x

f

x

F=

'，f(x)在x点连续；5．P{X=a}=0．

均匀分布：记X~U(a，b)；

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

<

-

=

其它

，

，

1

)

(

b

x

a

a

b

x

f；

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

<

≤

-

-

<

=

b

x

b

x

a

a

b

a

x

a

x

x

F

，

，

，

1

)

(．

性质：对

a≤c

有

a

b

l

l

c

X

c

P

-

=

+

≤

<}

{

指数分布：

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

=

-

其它

，

，

1

)

(

x

e

x

f

xθ

θ

；

⎩

⎨

⎧>

-

=

-

其它

，

，

1

)

(

x

e

x

F

xθ．

无记忆性：

}

{

}

{t

X

P

s

X

t

s

X

P>

=

>

+

>．