中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇

中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇
以微课堂
初中精品微课，数学奥林匹克国家一级教练执教。

一、模型展现
(1)直线型
模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．
原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最小值即为AB长．
模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．
原理：和最小，同侧转异侧．两点之间，线段最短．
模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．
原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长．
模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．
原理：差最大，异侧转同侧．两边之差小于第三边．
变式：在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同．
模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小．
原理：|PA－PB|最小为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等．
(2)角型
模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小．
原理：作两次对称，两点之间，线段最短．
模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小．
原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短．
模型8：在OA，OB上求作点M，N，
(1)使PM＋MN最小．
(2)使PN＋MN最小．
原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短．
模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM ＋MQ最小．
原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最小值即为P’Q’的长．
(3)平移型
模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最小．
原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．)
模型11(造桥选址)：
直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN ＋NB最小．
原理：
将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先走过桥的路，再直达点B．)
二、典型例题
例1：(模型2)
从点A(0，2)发出的一束光线，经x轴反射，过点B(4，3)，求从点A到点B所经过的路径长．
解析：
例2：(模型4)
已知点A(1，3)、B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为______
解析：
例3：(模型10)
如图，当四边形PABN的周长最小时，a＝______
解析：
例4：(模型11)
解析：
例5：(结合勾股)
如图，在等边△ABC中，AB＝6，N为AB上一点，且AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM＋MN的最小值是_____
解析：
小结：
所有类型已归纳完，更多内容，详见
八上11讲期中专题一将军饮马类题型全覆盖暑假特辑10《轴对称》之“将军饮马”（上）暑假特辑11《轴对称》之“将军饮马”（下）本讲思考题：
已知点A(－3，－4)和B(－2，1)．
(1)试在y轴上求一点P，使PA＋PB的值最小
(2)试在y轴上求一点P，使|QA－QB|的值最大
(3)若C(0，m)，D(0，m－2)，当m为何值时，
四边形ABCD的周长最小．
答案：(1) P (0，－1)
(2) Q (0，11)
(3) m = －0.2
End
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欢迎收看《以微课堂》微课，作者简介：四星级重点中学高级教师、数学名师。

多次获市优质课一等奖，市教学能手，数学奥林匹克国家一级教练员（最高级别）。