中考数学压轴题专题复习——反比例函数的综合及详细答案

∵ 反比例函数 ∴ k=1×2=2，
的图象过点 A（1，2）．
∴ 反比例函数关系式是：y=
（2）解：反比例函数 y= ，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减少， 而当 x=1 时，y=2，当
x=6 时，y= ，
∴ 当 1≤x≤6 时，反比例函数 y 的值： ≤y≤2 【解析】【分析】（1）根据题意首先把点 B（﹣1，0）代入一次函数 y=x+b 求出一次函数 解析式，又点 A（1，n）在一次函数 y=x+b 的图象上，再利用一次函数解析式求出点 A 的 坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出 当 x=1，x=6 时的 y 值，即可得到答案．
（2）如图 2，若某函数是反比例函数
（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为 ABCD，
点 D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求 m 的值及反比例函数的解析式；
（3）如图 3，若某函数是二次函数 y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为 ABCD，
C，D 中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．
把 x=4 代入 y= x，得到点 B 的坐标为（4，1），
把点 B（4，1）代入 y= ，得 k=4．
解方程组
，得到点 A 的坐标为（﹣4，﹣1），
则点 A 与点 B 关于原点对称，
∴ OA=OB，
∴ S△ AOP=S△ BOP ，
∴ S△ PAB=2S△ AOP ．
设直线 AP 的解析式为 y=mx+n，
【答案】（1）解：（I）当点 A 在 x 轴正半轴、点 B 在 y 轴负半轴上时：
正方形 ABCD 的边长为 ．
（II）当点 A 在 x 轴负半轴、点 B 在 y 轴正半轴上时：
设正方形边长为 a，易得 3a= ，
解得 a= ，此时正方形的边长为 ．
∴ 所求“伴侣正方形”的边长为 或 （2）解：如图，作 DE⊥x 轴，CF⊥y 轴，垂足分别为点 E、F，
点为（4，1），对应的函数解析式是 y=﹣ x2+ ； b、当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点 D 坐标为（3，4）时：不存在， c、当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 C 坐标为（3，4）时：不存在 d、当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 D 坐标为（3，4）时：另外一个顶
= = ，根据一次函数的解析式可以用含 b 的式子表示出 OA,OB,由此即可得出线段 CE,AE 的长，利用 OE=AE﹣AO 求出 OE 的长，再借助反比例函数 K 的几何意义得出关于 b 的一元 二次方程，解方程即可得出结论。
5．如图，点 P（ +1， ﹣1）在双曲线 y= （x＞0）上．
（1）求 k 的值；
（3）解：∠ PAQ=∠ PBQ． 理由如下：
过点 Q 作 QT⊥x 轴于 T，设 AQ 交 x 轴于 D，QB 的延长线交 x 轴于 E，如图 3． 可设点 Q 为（c， ），直线 AQ 的解析式为 y=px+q，则有
，
解得：
，
∴ 直线 AQ 的解析式为 y= x+ ﹣1．
当 y=0 时， x+ ﹣1=0， 解得：x=c﹣4， ∴ D（c﹣4，0）． 同理可得 E（c+4，0）， ∴ DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4， ∴ DT=ET， ∴ QT 垂直平分 DE， ∴ QD=QE， ∴ ∠ QDE=∠ QED． ∵ ∠ MDA=∠ QDE， ∴ ∠ MDA=∠ QED． ∵ PM=PN，∴ ∠ PMN=∠ PNM． ∵ ∠ PAQ=∠ PMN﹣∠ MDA，∠ PBQ=∠ NBE=∠ PNM﹣∠ QED， ∴ ∠ PAQ=∠ PBQ．
【解析】【分析】（1）过点 A 作 AR⊥y 轴于 R，过点 P 作 PS⊥y 轴于 S，连接 PO，设 AP 与 y 轴交于点 C，如图 1，可根据条件先求出点 B 的坐标，然后把点 B 的坐标代入反比例 函数的解析式，即可求出 k，然后求出直线 AB 与反比例函数的交点 A 的坐标，从而得到
OA=OB，由此可得 S△ PAB=2S△ AOP ， 要求△ PAB 的面积，只需求△ PAO 的面积，只需用割补 法就可解决问题；（2）过点 P 作 PH⊥x 轴于 H，如图 2．可用待定系数法求出直线 PB 的 解析式，从而得到点 N 的坐标，同理可得到点 M 的坐标，进而得到 MH=NH，根据垂直平 分线的性质可得 PM=PN，即△ PMN 是等腰三角形；（3）过点 Q 作 QT⊥x 轴于 T，设 AQ
∵ △ AOB∽ △ AEC，且
=，
∴
．
∴ AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．
∵ OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4， 解得：b=3 ，或 b=﹣3 （舍去）． 故答案为：3 ． 【分析】（1）设出点 P 的坐标，根据平移的特性写出 Q 点的坐标，由点 P,Q 均在一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，且 k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于 k,m,n,b 的四元次一方程 组，两式作差即可求出 k 的值； （2）由 BO⊥x 轴，CE⊥x 轴，找出△ AOB∽ △ AEC．再由给定图形的面积比即可求出
（2）若正方形 ABCD 的顶点 C，D 在双曲线 y= （x＞0）上，顶点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，求点 C 的坐标．
【答案】（1）解：点 P（
，
）在双曲线
将 x=
，y=
k=2；
代入解析式可得：
上，
（2）解：过点 D 作 DE⊥OA 于点 E，过点 C 作 CF⊥OB 于点 F， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB=AD=BC，∠ CBA=90°， ∴ ∠ FBC+∠ OBA=90°， ∵ ∠ CFB=∠ BOA=90°， ∴ ∠ FCB+∠ FBC=90°， ∴ ∠ FBC=∠ OAB， 在△ CFB 和△ AOB 中，
点 C 为（﹣1，3），对应的函数的解析式是 y= x2+ ； e、当点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 C 坐标为（3，4）时，另一个顶点 D
的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是 y=﹣ x2+ ； f、当点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 C 坐标为（3，4）时，另一个顶点 D
把点 A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入 y=mx+n，
求得直线 AP 的解析式为 y=x+3，
则点 C 的坐标（0，3），OC=3，
∴ S△ AOP=S△ AOC+S△ POC
= OC•AR+ OC•PS
= ×3×4+ ×3×1= ， ∴ S△ PAB=2S△ AOP=15；
（2）解：过点 P 作 PH⊥x 轴于 H，如图 2． B（4，1），则反比例函数解析式为 y= ， 设 P（m， ），直线 PA 的方程为 y=ax+b，直线 PB 的方程为 y=px+q，
2．如图，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y= x 的图象交于点 A、B，点 B 的横坐标是
4．点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线 AB 的上方．
（1）若点 P 的坐标是（1，4），直接写出 k 的值和△ PAB 的面积； （2）设直线 PA、PB 与 x 轴分别交于点 M、N，求证：△ PMN 是等腰三角形； （3）设点 Q 是反比例函数图象上位于 P、B 之间的动点（与点 P、B 不重合），连接 AQ、 BQ，比较∠ PAQ 与∠ PBQ 的大小，并说明理由． 【答案】（1）解：k=4，S△ PAB=15． 提示：过点 A 作 AR⊥y 轴于 R，过点 P 作 PS⊥y 轴于 S，连接 PO， 设 AP 与 y 轴交于点 C，如图 1，
的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为 y= x2+ ；
故二次函数的解析式分别为：y= x2+ 或 y=﹣ x2+ 或 y=﹣ x2+ 或 y= x2+ 【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计 算正方形的边长. （2）因为 ABCD 为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点 D（2，m）的坐标 表示出点 C 的坐标，可求出 m 的值 ，即可得到反比例函数的解析式． （3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点
3．已知点 A，B 分别是 x 轴、y 轴上的动点，点 C，D 是某个函数图象上的点，当四边形 ABCD（A，B，C，D 各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣 正方形”． 例如：在图 1 中，正方形 ABCD 是一次函数 y=x+1 图象的其中一个“伴侣正方形”．
（1）如图 1，若某函数是一次函数 y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；
易证△ ADE≌ △ BAO≌ △ CBF． ∵ 点 D 的坐标为（2，m），m＜2， ∴ DE=OA=BF=m， ∴ OB=AE=CF=2﹣m． ∴ OF=BF+OB=2， ∴ 点 C 的坐标为（2﹣m，2）． ∴ 2m=2（2﹣m），解得 m=1．
∴ 反比例函数的解析式为 y= （3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开 口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合 a、当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点 C 坐标为（3，4）时：另外一个顶
（2）如图，该一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，且与反比例函数 y= 图象交于 C，D 两点（点 C 在第二象限内），过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，记 S1 为四边形
CEOB 的面积，S2 为△ OAB 的面积，若 = ，则 b 的值是________．
【答案】（1）﹣2 （2）3 【解析】【解答】解：（1）设点 P 的坐标为（m，n），则点 Q 的坐标为（m﹣1， n+2），
联立
，解得直线 PA 的方程为 y= x+ ﹣1，
联立
，解得直线 PB 的方程为 y=﹣ x+ +1，
∴ M（m﹣4，0），N（m+4，0），
∴ H（m，0），
∴ MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，
∴ MH=NH，
∴ PH 垂直平分 MN，
∴ PM=PN，
∴ △ PMN 是等腰三角形；
也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点 （3，4）向 x 轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐 标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．
4．已知点 P 在一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，且 k＜0，b＞0）的图象上，将点 P 向左平 移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到点 Q，点 Q 也在该函数 y=kx+b 的图象上． （1）k 的值是________；
交 x 轴于 D，QB 的延长线交 x 轴于 E，如图 3．可设点 Q 为（c， ），运用待定系数法求 出直线 AQ 的解析式，即可得到点 D 的坐标为（c﹣4，0），同理可得 E（c+4，0），从而 得到 DT=ET，根据垂直平分线的性质可得 QD=QE，则有∠ QDE=∠ QED．然后根据对顶角相 等及三角形外角的性质，就可得到∠ PAQ=∠ PBQ．
依题意得：
，
解得：k=﹣2．
故答案为：﹣2．
（2）∵ BO⊥x 轴，CE⊥x 轴，
∴ BO∥ CE，
∴ △ AOB∽ △ AEC．
又∵ = ，
∴
=
=．
令一次函数 y=﹣2x+b 中 x=0，则 y=b，
∴ BO=b；
令一次函数 y=﹣2x+b 中 y=0，则 0=﹣2x+b，
解得：x= ，即 AO= ．
中考数学压轴题专题复习——反比例函数的综合及详细答案 一、反比例函数
1．如图．一次函数 y=x+b 的图象经过点 B（﹣1，0），且与反比例函数
（k 为不等
于 0 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数）的图象在第一象限交于点 A（1，n）．求： （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）当 1≤x≤6 时，反比例函数 y 的取值范围． 【答案】（1）解：把点 B（﹣1，0）代入一次函数 y=x+b 得： 0=﹣1+b， ∴ b=1， ∴ 一次函数解析式为：y=x+1， ∵ 点 A（1，n）在一次函数 y=x+b 的图象上， ∴ n=1+1， ∴ n=2， ∴ 点 A 的坐标是（1，2）．