力学4角动量功和能

行星
以近似地认为是图中阴影所示的三角形的面积，
即
dS
面积速度
1 2
rr
dS
drr
1
sin
rr drr
1 2
rr drr
1 rr vr
太阳
rr
r
dS dr
rr drr
dt 2 dt 2
由于行星对太阳中心的角动量守恒，即
r L
rr
mvr＝恒矢量
所以面积速度 dS 1 rr vr 也是恒量。开普勒第二定律得证。 dt 2
比如：重力、弹性力、万有引力等。
非保守力：对质点做功的大小不但与质点的始
末位置有关，而且还与路径有关。
如：摩擦力、粘滞力等。
p
如图: 当质点在保守力的作用下 a
沿闭合路径apbqa绕行一周时 ，
r F
d
rr
r F
d
rr
r F
d
rr
r F
drr
rq
F
drr
0
b
a pb
即：
arqb r
ÑL F dr 0
b qa
apb
bqa
保守力的环流为零
2.保守力的功
保守力：重力、弹力、万有引力等.
* 弹力的功
F
弹力是变力
F kx
0
xb Aab ? xa
x
Aab
xb Fdx
xa
xb kxdx
xa
(
1 2
kxb2
1 2
kxa2
)
令
Ep
1 kx2 2
是位置的函数, “弹性势能”
Aab (E pb E pa ) E p
O
R
B
60o
N R
摩擦力的功:
F
Af
Af
S 0
f
dS
mg
60o 0
mg
cos
Rd
3 2
mgR
路面支持力N的功为零。 AF Ag Af 0
例2.
力
r F
6t
r i(
N
)作用在质量为m＝2kg的质点上，
使质点由静止开始运动,试求最初2s内这个力
所做的功。
解: 质点做直线运动
v
v0
t 0
a(t
)dt
作业： 2—T6，T7 ， T8 ， T9 ， T10
功和能
Work & Energy
第1节 功 功率 第2节 动能 动能定理 第3节 保守力 势能 第4节 功能原理 机械能守恒定律
第1节 功 功率
Work & Power
1. 功 ——力的空间积累效应
力F 将质点由
相应于元位移
darr移, 动力到F对b，质点所做的功为:
GMm r
是位置的函数， “引力势能” 结论：保守力作的功，
Aab (E pb E pa ) E p 等于势能增量的负值。
注：势能是属于物体系统的,不为单个物体所具有。
（1）保守力(如: 重力,弹力,万有引力)的功与路
径无关, 由此可以引入的势能概念。
（2）质点在任一位置的势能, 等于把质点由该位置
力单矩位：：Mrkgrrm2Frs1
M Fr sin Fr
M
0 r
r
F
质点作圆周运动时对圆心的角动量的大小：
Lrmv mr2
注意:同一质点对不同定点的角动量是不同的。
2. 质点的角动量定理
r L
rr
r P
对ddLLtr求时dd间t (的rr 导Pr数) ： ddrrt
r P
r dL dt
rr
平均功率：
P
A t
dA
r F
drr
瞬时功率(功率)：
P
lim
t0
A t
dA dt
P
r F
vr
r F
drr dt
r F
vr
A=
t2 Pdt
t1
在SI制中, 功率的单位是瓦特, 符号是W:
1W＝1J·s－1
当额定功率一定时,负荷力越大,可达到的速率 就越小;负荷力越小,可达到的速率就越大。这就是 为什么汽车在上坡时走得慢,下坡时走得快的道理。
第一篇 力学
角动量 功和能
上节课内容回顾
动量定理：
rr r
dI Fdt dP
r I
t2
t1
r Fdt
r P2
r P1
rr dI dP (微分形式) rr
I P (积分形式)
合外力的冲量等于动量的改变。
适用于质点和质点系。 非惯性系中还须考虑惯性力的冲量。
质点系的动量守恒定律：
普遍适用
当 F 0时，P 0
wk.baidu.com
r F2 ...) drr ...
drr
A1 A2 ...
可见:合力对物体所做的功等于其中各个分力分别
对该物体所做功的代数和。
注意：
(1) 力对质点所做的功, 不仅与始、末位置有关， 而且往往与路径有关。
(2) 功是标量，但有正负，且与参考系有关。
2. 功率 ——做功的快慢
功率：力在单位时间内所做的功。
移到势Aab能为ab零Fr 的drr点 的(E过pb程 E中pa,)保守设力：所E做pb的0功:
(0 E pa ) E pa
原则上, 势能零点可任选。
（3）保守力将质点由 a 沿任意路径移动到 b 再由
b 沿任意路径移回到 a 点，那么
b
Aaba 即：Aaba
(Era
Ea) r
0
F保 dr 0
0
t 0
6t m
dt
3 m
t2
x
x0
t t0
v(t )dt
0
t 0
3 t2dt m
t3 m
dx 3t2 dt
A
ab
r F
mdrr
ab 6t
dx
2 0
6t
3t2 m
dt
36J
或者：
P
r F
vr
6t
3t2 m
18t 3 m
A
02 Pdt
2 0
18t m
3
dt
36J
第2节 动能 动能定理
Kinetic Energy & Theorem of Kinetic Energy
a
保守力的环流为零
3. 由势能求保守力
保守力做功等于势能增量的负值
dA dEP (x, y,z)
dA
又 dA
(
r
EP
rx
F drr
dx r
EP y
r
dy r
EP z
r
dz) r
(Fxi Fy j Fzk ) (idx jdy kdz)
* 重力的功 可以证明：
y
Aab (mgyb mgya )
令 E p mgy
是位置的函数， a “重力势能” 0
ya
mg
yb b
x
Aab (E pb E pa ) E p
a
b
* 万有引力的功
m
r F
G
Mm r2
r er
可以证明：
F
Aab
[( GMm ) ( GMm )]
rb
ra
M
令
Ep
dA dt
A = t2 Pdt t1
质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质
A
ab
r F
drr
点动能的增量。
1 2
mvb2
1 2
mva2
第3节 保守力 势能
Conservative Force & Potential Energy
1. 保守力与非保守力 保守力：对质点做功的大小只与质点的始末
位置有关，而与路径无关。
W
1 2
mv22
1 2
mv12
3J
上节课内容回顾
质 角 角点 动 动的量量角定守动 理 恒量 ： 定： 律Mr ：L当ddrLtrMrP00t ，MrLrd力t rr矩L：rPrt Mr恒Lr0rr矢量Fr
有心力：
rr
∥
r F
质点对力心的角动量守恒。
功——力的空间积累效应：
Aab
b
a
r F
drr
功率——做功的快慢：P
r dP dt
rr
r F
=
r M
rr
0
r
dP dt
r F=
r dP dt
质点的角动量定理：质点对任一固定点的角动量的时
间变化率，等于质点所受的合外力对该固定点的力矩。
r
r
ot
r Mdt
r
rLt Lo
Mr dtr
dL r
dL Lt Lo
(微分形式) (积分形式)
注意: 冲量矩
适用于惯性系，对非惯性系，需引入“惯性力”。
（4）质点对某点的角动量守恒, 对另一点不一定守恒.
若角Lr 动Mrr量守0Pr恒则定恒Lr律t矢：量Lr0
0t
r Mdt
r Lt
r L0
0t Mxdt Lxt Lx0
角动量定理分量式：
0t M ydt Lyt Ly0
角动量守恒定律在直角
t
0
Mzdt
Lzt
Lz0
坐标系中的分量式可表示为：
Mi 0时,Li守恒
3.
若或质点MLr 的0rr角动Pr则量 L恒守rt 矢恒Lr量定0 律——角动量0t守Mr恒dt定律Lrt
r L0
注意:
（1）是普遍规律,宏观、微观均适用。 F
r r
F
（2）
M
rF 0
Frr// F0，rr 0
力心
（3）质有点心对力力：心运的动角质动点量所守受恒的。力总rr是/通/ F过r一个固定点。
矢量和,称为质点系对该给定参考点的角动量。
r
r
rr
L Li ri pi
i
i
质点系的合外力矩:
质点系中的各个质点相对于给定参考点的外力
力矩的矢量和, 称为质点系对该给定参考点的
合外力矩。r
M
r ri
r Fi
i
第i个质点受到 的来自质点系
外的作用力 。
质点系：
r
r r
r
M ri Fi fij
(i x, y,z)
当总角动量不守恒时， 角动量在某些 方向上的分量可以 是守恒的。
例5. 在光滑的水平桌面上有一小孔O,一细绳穿过
小孔, 其一端系一小球放在桌面上,另一端用
r 动画
手拉绳，开始时小球绕孔运动, 速率为v1, 半
径为r1, 当半径变为r2时, 求小球的速率v2. v
解：小球受力
O f拉
f拉—— 有心力
角动量守恒：
rr
O
L2 L1 L2 L1
r1mv1 r2mv2
v2
r1 r2
v1
显然: v2 v1
问题：若取O′为参考点呢？
例6.用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律:
行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积,
即行星的矢径的面积速度为恒量。
动画
解：在很短的时间dt内，行星的矢径扫过的面积可
t 4s 这段时间内，外力对质点作的功.
解法1:
ax
d2 x dt 2
0，
ay
d2 y dt 2
1，
Fx max 0，Fy may 0.5，
由功的定义：W =
4
Fydy
0.5tdt 3J
2
解法2:
vx
dx dt
5，v y
dy dt
t，
v
v
2 x
v
2 y
t 2 25
应用动能定理，得
在切向与法向有:
拉力的功: F
Af
F f mg sin 0
N mg cos 0
而 f N
AF
B A
FdS
mg
60o 0
mg(
cos
sin
)
Rd
F mg cos sin
f mgcos
mgR
[
1 2
3 2
]
重力的功:
Ag
60o 0
mg sin
Rd
mgR
60o 0
d(cos
)
mgR / 2
（高低速、宏微观）。
Pi
mivi
恒矢量
i
i
第3节 角动量定理 角动量守恒定律
Angular Momentum Theorem & Principle
of Conservation of Angular Momentum
1. 质点的角动量
定义：L
r
P
(线)动量
r P
mvr
L
O
r
P
角动量也叫 动量矩。
同一亦参可考写点成的:总Lr力t 矩Lr。0 ——0t M质r d点t 系的角动量定理
因此, 当质点系相对于某一给定参考点的合外力矩 为零时, 该质点系相对于该给定参考点的角动量不 随时间变化。——质点系的角动量守恒定律
与质点的情形类似,若质点系对某固定点的合外 力矩不为零，但此合外力矩在某一方向上的分量为零， 则尽管质点系对此固定点的总角动量不守恒， 但质点系的角动量在该方向上的分量却是守恒的。
i
i
j i
Fi
内力矩总是成对出现：
rr rr ri fij rj f ji
fi j
fj i
ri
j
rj
r (ri
r rj
)
r fij
0
O
r r ri fij 0 i ji
r
M
i
r ri
r Fi
d dt
(
i
r Li
)
dL dt
r M
r dL
dt
这表明:质点系对惯性系中某给定参考点的角动量 的时间变化率, 等于作用在该质点系上所有外力对
质点由a运动到b, 合外力做的功为:
A
ab
r F
drr
ab
F
drr
mab a
drr
a
dv dt
r dr
dS
vdt
vb
drr
b
F
A
m ab
dv dt
vdt
va a
m ab
vdv
1 2
mvb2
1 2
mva2
质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质 点动能的增量。
动能:
Ek
1 mv2 2
A Ek
例3.质量为m 0.5 kg的质点, 在平面内运动, 方程为 x 5tm，y 0.5t 2m ，求从 t 2s 到
例1.如图所示,一匹马以平行于圆弧形路面的拉力 拉着质量为m的车沿半径为R的圆弧形路面极
缓慢地匀速移动,车与路面的滑动摩擦系数为，
求：车由底端A被拉上顶端B时,各力对车所做的功。
解: 车受4个力的作用： 拉力F , 摩擦力f，沿切向；
O
R
B
60o
路面支持力N，指向圆心O； 重力mg，竖直向下。
N R
另外，由行星对太阳中心的角动量守恒还可以得出行星运动的另一特点。
根据角动量的定义，行星对太阳的角动量应垂直于它对太阳的位置矢量
和动量所决定的平面，角动量守恒，则角动量的方向不变，所以行星绕
太阳的运动必然是平面运动。
4. 质点系的角动量定理和角动量守恒定律
质点系的角动量:
质点系中的各个质点对给定参考点的角动量的
dA
r F
drr
——元功
在SI制中, 功的单位是焦耳, 符
号是J:
r t+dt
t
dr
r
b
1J＝1N·m
所A做ab的总a功b Fr:
ab F
drr drr cos
ab
r
a
FcosdS
F
o
合力做的功：
Aab
ab
r F
drr
若有多个力同时作用在质点上，则
Aab
ababFFrr1
d rdrrrabab(FFrr12