您的位置：360文档中心› 初三数学-证明练习题及答案 最新

初三数学-证明练习题及答案 最新

合集下载

初三几何证明练习题和答案

初三几何证明练习题和答案

初三几何证明练习题和答案几何证明是初中数学中的重要内容，通过练习不同类型的几何证明题，可以帮助学生理解并掌握几何证明的基本方法与技巧。

本文将为大家提供一些初三几何证明的练习题和答案，希望对同学们的学习有所帮助。

1. 题目：已知ABCD是平行四边形，证明∠ABC + ∠ADC = 180°。

证明：解：连接AC，根据平行四边形的性质可知∠ADC = ∠ACB，所以要证明∠ABC + ∠ADC = 180°，只需证明∠ABC + ∠ACB = 180°。

由角的内外（对顶、同旁）定理可知∠ACB + ∠ABC = 180°，即∠ABC + ∠ACB = 180°。

所以，∠ABC + ∠ADC = 180°得证。

2. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = 5cm，BC= 12cm，证明AB = 13cm。

证明：解：根据勾股定理可得AB² = AC² + BC²。

代入已知条件，即可得AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169。

开方可得AB = 13cm。

所以，AB = 13cm得证。

3. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，证明∠ABC = 45°。

证明：解：连接AB，根据等腰直角三角形的性质可知∠ACB = ∠CAB。

所以，∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠CAB = 180° - ∠ACB - ∠ACB = 180° - 2∠ACB。

由于∠ACB = 90°，代入得∠ABC = 180° - 2 × 90° = 0°。

所以，∠ABC = 0°，即∠ABC = 45°得证。

4. 题目：已知ABCD是一个平行四边形，E为AD的中点，证明BE平分∠CBD。

初三几何证明练习题含答案

初三几何证明练习题含答案

初三几何证明题经典题一1、已知：如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO．求证：CD＝GF．2、已知：如图,P是正方形ABCD内部的一点,∠PAD＝∠PDA＝15°;求证：△PBC是正三角形．初二3、已知：如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典题二1、已知：△ABC中,H为垂心各边高线的交点,O为外心,且OM⊥BC于M．1求证：AH＝2OM；2若∠BAC＝600,求证：AH＝AO．2、设MN是圆O外一条直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.求证：AP＝AQ．3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE,点O是DF 的中点,OP⊥BC求证：BC=2OP证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线,垂足分别是L、M、N∵OF=OD,DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题三1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC,AE ＝AC,AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．证明：连接BD 交AC 于O;过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC 又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG=OD=21BD=21AC=21AE ∴∠EAG=30° ∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75° ∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC,且CE ＝CA,直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．证明：连接BD,过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC,又EG ⊥AC∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG =OD =21BD=21AC=21CE ∴∠GCE=30° ∵AC=EC3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP,CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．初二证明：过点F 作FG ⊥CE 于G,FH ⊥CD 于H ∵CD ⊥CG ∴HCGF 是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF 是正方形 ∴CG=GF ∵AP ⊥FP∴∠APB+∠FPG=90° ∵∠APB+∠BAP=90° ∴∠FPG=∠BAP 又∠FGP=∠PBA ∴△FGP ∽△PBA ∴FG ：PB=PG ：AB4、如图,PC 切圆O 于C,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ． 求证：AB ＝DC,BC ＝AD ．初三证明：过点E 作EK ∥BD,分别交AC 、AF 于M 、K,取EF 的中点H, 连接OH 、MH 、EC设AB=x ,BP=y ,CG=zz ：y=x-y+z ：x化简得x-y ·y =x-y ·z ∵x-y ≠0 ∴y=z 即BP=FG ∴△ABP ≌△PGF∴∠CAE=∠CEA=21∠GCE=15° 在△AFC 中∠F =180°-∠FAC-∠ACF =180°-∠FAC-∠GCE=180°-135°-30°=15°∵EH=FH∴OH ⊥EF,∴∠PHO=90° 又PC ⊥OC,∴∠POC=90° ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO又EK ∥BD,∴∠HPO=∠HEK ∴∠HCM=∠HEM ∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM ∥AC ∵EH=FH经典题四1、已知：△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA ＝3,PB ＝4,PC ＝求∠APB 的度数．初二解：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BCQ,连接PQ 则△BPQ 是正三角形 ∴∠BQP=60°,PQ=PB=3在△PQC 中,PQ=4,CQ=AP=3,PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=90°∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150°2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．初二∴EM=KM ∵EK ∥BD ∴KMODAM AO EM OB == ∴OB=OD 又AO=CO∴四边形ABCD 的对角证明：过点P 作AD 的平行线,过点A 作PD 的平行线, 两平行线相交于点E,连接BE ∵PE ∥AD,AE ∥PD ∴ADPE 是平行四边形 ∴PE=AD,又ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ∴PE=BC又PE ∥AD,AD ∥BC ∴PE ∥BC∴BCPE 是平行四边形 ∴∠BEP=∠PCB ∵ADPE 是平行四边形 ∴∠ADP=∠AEP3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．初三 证明：在BD 上去一点E,使∠BCE=∠ACD ∵错误!=错误!∴∠CAD=∠CBD ∴△BEC ∽△ADC ∴ACBCAD BE∴AD ·BC=BE ·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD∵错误!=错误!,∴∠BAC=∠BDC △BAC ∽△EDC又∠ADP=∠ABP ∴∠AEP=∠ABP ∴A 、E 、B 、P 四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB ∴∠PAB=∠PCB∴CDACDE AB∴AB ·CD=DE ·AC ……………………②4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P,且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．初二证明：过点D 作DG ⊥AE 于G,作DH ⊥FC 于H,连接DF 、∴S △ADE =错误!AE ·DG,S △FDC =错误!FC ·DH 又S △ADE =S △FDC =错误!S □ABCD ∴AE ·DG=FC ·DH 又AE=CF ∴DG=DH∴点D 在∠APC 的角平分线上 ∴∠DPA ＝∠DPC经典题五1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L ＝PA ＋PB ＋PC,求证：3≤L ＜2． 证明：1将△BPC 绕B 点顺时针旋转60°的△BEF,连接PE,∵BP=BE,∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形; ∴PE=PB 又EF=PC ∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA 、PE 、EF 在一条直线上的时候,L=PA+PE+EF 的值最小如图在△ABF 中,∠ABP=120°∴AF=3BGB∴L=PA+PB+PC ≤32过点P 作BC 的平行线分别交AB 、AC 于D 、G 则△ADG 是正三角形 ∴∠ADP=∠AGP,AG=DG ∵∠APD ＞∠AGP ∴∠APD ＞∠ADP∴AD ＞PA …………………………① 又BD+PD ＞PB ……………………② CG+PG ＞PC ……………………③①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG ＞PA+PB+PC ∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC ＞PA+PB+PC=L ∵AB=AC=1∴L ＜2 由12可知：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA ＋PB ＋PC 的最小值．解：将△BCP 绕点B 顺时针旋转60°得△BEF,连接PE, 则△BPE 是正三角形 ∴PE=PB∴PA ＋PB ＋PC=PA+PE+EF∴要使PA ＋PB ＋PC 最小,则PA 、PE 、EF 应该在一条直线上如图此时AF=PA+PE+EF过点F 作FG ⊥AB 的延长线于G则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30° ∴GF=错误!,BG=23∴AF=22AG GF +=2212321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=32+∴PA ＋PB ＋PC 的最小值是32+3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA ＝a,PB ＝2a,PC ＝3a,求正方形的边长． 证明：将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得△BCQ,连接PQ 则△BPQ 是等腰直角三角形, ∴PQ=2PB=2×2a=22a 又QC=AP=a∴QP 2+QC 2=22a 2+a 2=9a 2=PC 2∴△PQC 是直角三角形 ∴∠BQC=135°∵BC 2=BQ 2+CQ 2-2BQ ·CQ ·cos ∠BQC=PB 2+PA 2-2PB ·PAcos135°=4a 2+a 2-2×2a ×a ×-22解得BC=a 225+∴正方形的边长为a 225+4、如图,△ABC 中,∠ABC ＝∠ACB ＝80°,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,∠DCA ＝30°,∠EBA ＝20°,求∠BED 的度数．解：在AB 上取一点F,使∠BCF=60°,CF 交BE 于G,连接EF 、DG ∵∠ABC=80°,∠ABE=20°,∴∠EBC=60°,又∠BCG=60° ∴△BCG 是正三角形∴BG=BC∵∠ACB=80°,∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA 又∵∠A=∠A,AB=AC ∴△ABE ≌ACF ∴AE=AF ∴∠AFE=∠AEF=错误!180°-∠A=80°又∵∠ABC=80°=∠AFE ∴EF ∥BC ∴∠EFG=∠BCG=60° ∴△EFG 是等边三角形∴EF=EG,∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°∵ACB=80°,∠DCA=30°∴∠BCD=50°∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50° ∴∠BCD=∠BDC ∴BC=BD 前已证BG=BC ∴BD=BG ∠BGD=∠BDG=错误!180°-∠ABE=80°∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40° 又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°∴∠FGD=∠DFG ∴DF=DG 又EF=EG,DE=DE ∴△EFD ≌△EGD ∴∠BED=∠FED=错误!∠FEG=错误!×60°=30°5、如图,△ABC 内接于⊙O,且AB 为⊙O 的直径,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D,过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P,过点A 作AE ⊥CD 于点E,过点B 作BF ⊥CD 于点F,若AC=6,BC=8,求线段PD 的长; 解：∵∠ACD=∠BCD ∴错误!=错误!∴AD=BD ∵AB 为⊙O 的直径∴∠ADB=90° ∴△ABD 是等腰直角三角形∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8 ∴AB=10∴AD=AB ·cos ∠DAB=10×22=52 又AE ⊥CD,∠ACD=45°∴△ACE 是等腰直角三角形∴CE=AE=AC ·cos ∠CAE=6×22=32 在△ADE 中,DE 2=AD 2-AE 2∴DE 2=32232522=）（）（-∴DE=24 ∴CD=CE+DE=32+24=27∵∠PDA=∠PCD,∠P=∠P ∴△PDA ∽△PCD ∴752725====CD AD PD PA PC PD ∴PC=57PD,PA=75PD ∵PC=PA+AC ∴57PD=75PD+6解得PD=435 1证明：过点G 作GH ⊥AB 于H,连接OE ∵EG ⊥CO,EF ⊥AB ∴∠EGO=90°,∠EFO=90°∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB,CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴CD COHG GO =∴CDCOFG EO =∵EO=CO ∴CD=GF2证明：作正三角形ADM,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD,MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3证明:连接AC,取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN,CG=DG ∴GN ∥AD,GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM,AG=CG ∴GM ∥BC,GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F1证明：1延长AD 交圆于F,连接BF,过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵错误!=错误! ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC,BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90°∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2GH+DH=2GD 又AD ⊥BC,OM ⊥BC,OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM 2连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC,OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由1知AH=2OM ∴AH=BO=AO2证明：作点E 关于AG 的对称点F,连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF ∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG,PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE ∴∠AFE=∠AEF∴∠AEF=∠PAF∵∠PAF+∠QAF=180°∴∠FCQ=∠QAF∴F、C、A、Q四点共圆∴∠AFQ=∠ACQ又∠AEP=∠ACQ∴∠AFQ=∠AEP在△AEP和△AFQ中∠AFQ=∠AEPAF=AE∠QAF=∠PAE∴△AEP≌△AFQ∴AP=AQ。

中考数学精选汇编几何证明---13道题目(含答案)(优选.)

中考数学精选汇编几何证明---13道题目(含答案)(优选.)

01如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D. BF平分∠ABC交AD于点E，交AC 于点F. 求证：AE=AF..证明：∵∠BAC=90°，∴∠FBA+∠AFB=90°.-------------------1分∵AD⊥BC，∴∠DBE+∠DEB=90°．---------------- 2分∵BE平分∠ABC,∴∠DBE=∠FBA. -------------------3分∴∠AFB=∠DEB.-------------------4分∵∠DEB=∠FEA，∴∠AFB=∠FEA.∴AE=AF.-------------------5分02如图，AD平分BAC∠，BD AD⊥于点D，AB的中点为E，AE AC<．（1）求证：DE AC∥．（2）点F在线段AC上运动，当AF AE=时，图中与ADF△全等的三角形是__________．ED CBA【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=︒， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =，2ABDE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥． （2）ADE △．321ECBA03如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．FE DCBA证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，12CD AB BD==∴ABC DCB ∠=∠.…………… ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠.∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC 平分ABF ∠.FE DCBA04如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：DE = DF．AEFBC证明：连接AD.∵AB＝BC，D是BC边上的中点，∴∠BAD=∠CAD. ………………………3分∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF．………………………5分（其他证法相应给分）AE FB C05问题:将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .OH GFE DCBA解：3，2，1；………………2分EB、BF；FC、CG；GD、DH；HA.………………4分06如图，在△ACB中，AC=BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线.求证：∠DAB=∠ACE.证明：∵AC＝BC，CE为△ACB的中线，∴∠CAB＝∠B，CE⊥AB.……………………………………………2分∴∠CAB＋∠ACE＝90°.………………………………………………3分∵AD为△ACB的高线，∴∠D＝90°.∴∠DAB＋∠B＝90°. ……………………………………………………4分∴∠DAB＝∠ACE. ………………………………………………………5分07文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。

中考数学证明题集锦及答案

中考数学证明题集锦及答案

中考数学证明题精选1.如图，两相交圆的公共弦AB为32，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。

2.扇形的圆心角为1500，弧长为π20，求扇形的面积。

3.如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝600，求阴影局部的周长。

4.如图，直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP∥AO交⋂AB于P，求⋂AB与半圆弧及MP围成的阴影局部面积阴S。

5.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，假设∠C＝900，AD＝4，BD＝6，求图中阴影局部的面积。

第1题图6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，O点在AB上，半圆O切AC于D，切BC于E，AO＝15cm，BO＝20cm，求⋂DE的长。

2O1O••例1图BA例3图例4图OBA•第2题图EA BOCD7.如图，有一个直径是1米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形ABC ，求：〔1〕被剪掉〔阴影〕局部的面积；〔2〕用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？8.如图，⊙O 与⊙O '外切于M ，AB 、CD 是它们的外公切线，A 、B 、C 、D 为切点，E O '⊥OA 于E ，且∠AOC ＝1200。

〔1〕求证：⊙O '的周长等于⋂AMC 的弧长；〔2〕假设⊙O '的半径为1cm ，求图中阴影局部的面积。

9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC;(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形状，并证明你的结论； (3) 在〔2〕的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.10.：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． 〔1〕求证：△ADE ≌△CBF ；〔2〕假设四边形 BEDF 是菱形，那么四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．11.如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O 〔点O 也是BD 中点〕按顺时针方向旋转．〔1〕如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜测BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜测； 〔2〕假设三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，〔1〕中的猜测还成立吗？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由． E BF CD A D F O N D FN CO•第3题图AB OCO '第4题图MDEA B O C12.如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。

人教版九年级数学上册《圆的综合》期末证明题练习-附带答案

人教版九年级数学上册《圆的综合》期末证明题练习-附带答案

人教版年九年级数学上册《圆的综合》期末证明题练习-附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，在O 的内接正八边形ABCDEFGH 中，AB=2，连接DG ．(1)求证DG AB ∥；(2)DG 的长为 ．2．如图①，在Rt ABC △中，,90,CA CB ACB CD =∠=︒为AB 边上的中线，以点D 为顶点的直角绕点D 旋转，两边分别与BC AC 、交于点E F 、，连接EF ．(1)求证：CDF BDE ≌；(2)若4AB =，则DEF 面积的最小值为_______；(3)拓展应用：如图②，点O 是半径为2的正十二边形的中心，点A B 、在此正十二边形的边上，连接OA OB 、，若90AOB ∠=︒，则阴影部分面积为______．3．如图，AB 是O 的直径，6AB =，AC 是O 的弦，30BAC ∠=︒，延长AB 到D ，连接CD ，AC=CD ．(1)求证：CD是O的切线；(2)以BC为边的圆内接正多边形的周长等于．4．如图，正方形ABCD内接于O，E是BC的中点，连接AE DE CE，，．(1)求证：AE DE=；(2)若1CE=，求四边形AECD的面积．5．如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，O是PAD的外接圆，O交边AB于点E．(1)求证：PA PD=；(2)当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：AE EP=．6．如图，O是ABC的外接圆，AB=AC．点D在AC上，连结AD，BD，延长CD至点E．求证：AD平分BDE∠．7．如图，四边形ABCD内接于O，AB=AC，BD AC⊥垂足为E．（1）若40=，求ADCBAC∠︒∠的度数；（2）求证：2BAC DAC∠=∠．8．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知AB＝AC，延长CD至点E，使CE＝BD，连结AE．（1）求证：AD平分∠BDE；（2）若AB∥CD，求证：AE是⊙O的切线．10．如图1，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作直线l，AD⊥l于点D．（1）连接AC、BC，若∠DAC=∠BAC，求证:直线l是⊙O的切线；（2）将图1的直线l向上平移，使得直线l与⊙O交于C、E两点，连接AC、AE、BE，得到图2．若∠DAC=45°，AD=2cm，CE=4cm，求图2中阴影部分(弓形)的面积．11．如图所示，圆内接ABC中AB BC CA==，OD和OE为O的半径，OD BC⊥于点F，OE AC⊥倍．于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是ABC的面积的1312．如图，正方形ABCD内接于O E，是BC的中点，连接AE DE CE，，.(1)求证：AE DE=；(2)求证：2+=；AE CE DE答案： 1．（1）证明：连接AD ，正八边形ABCDEFGH ∴AB BC CD DE EF FG GH AH =======1802458BAD ︒∠=⨯=︒ 1802458ADG ︒∠=⨯=︒ ∴BAD ADG ∠=∠∴DG AB ∥．（2）∵2DE EF FG AB ==== 同理可证：EF DG ∥ EF AB ∥∴四边形DGFE 为等腰梯形∴135GFE DEF ∠=∠=︒ 作EP DG ⊥ FQ DG ⊥∵EF DG ∥∴18013545DGF ∠=︒-︒=︒在Rt QGF 中45DGF ∠=︒ 2GF =2QG QF ∴==同理可得2DP EP ==∵EF DG ∥ EP DG ⊥ FQ DG ⊥ ∴四边形PQFE 是矩形2PQ EF ∴==222222DG ∴=++=+．2．解、（1）证明：在Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ 90A B ∴∠+∠=︒CA CB =45A B ∠CD 为AB 边上的中线12CD AB BD ∴== 1452ACD ACB ∠=∠=︒ CD AB ⊥ ,90ACD B CDB EDF ∴∠=∠∠=∠=︒ FDC EDB ∴∠=∠()AAS CDF BDE ∴△≌△；（2）解：∵CDF BDE ≌∴DF DE =∵21122DEF S DF DE DF =⨯⨯= ∴当DF 最短时 DEF 面积最小 根据垂线段最短 即DF AC ⊥ DEF 面积最小 如图∵DF AC ⊥ 45A ∠=︒∴ADF △是等腰直角三角形 AF DF = ∴22222AF DF DF AD +==∵CD 为AB 边上的中线 4AB =∴122AD AB == ∴2224DF AD ==解得：2DF =即min 2DF = ∴2min min 112DEF S DF =⨯= ∴DEF 面积的最小值为1；（3）作辅助线如图所示 其中DF OE ⊥由正十二变形的性质可得：,2OCA ODB OC OD ∠=∠==，90COD ∠=︒ 又∵90AOB ∠=︒∴AOB BOC COD BOC ∠-∠=∠-∠ 即AOC BOD ∠=∠∵,OCA ODB OC OD AOC BOD ∠=∠=∠=∠， ∴()ASA AOC BOD ≌∴AOC BOD S S =△△∴3OCG OGH ODH ODE S S S S S =++=阴影∵DF OE ⊥ 13603012DOE ∠=⨯︒=︒ ∴112DF OD ==∵112DOE S OE DF∴阴影面积33DOE S； 3．解、（1）证明：如图 连接OC∵OA OC =∴30OAC OCA ∠=∠=︒∵AC CD =∴30OAC ODC ∠=∠=︒∴180306090OCD ∠=︒-︒-︒=︒ 即OC CD ⊥又∵OC 是半径∴CD 是O 的切线；（2）解：∵60BOC ∠=︒ ∴以BC 为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形 ∵90OCD ∠=︒ 30D ∠=︒ 6AB = ∴132BC AB ==∴以BC 为边的圆内接正六边形的周长为1863=⨯． 故答案为：18．4．解、（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB CD =∴AB CD =∵E 是BC 的中点∴BE EC =∴AE DE =∴AE DE =．（2）解：连接BD AO ， 过点D 作DF DE ⊥交EC 的延长线于F ． ∵四边形ABCD 是正方形 ∴45DBC DEC DA DC ∠=∠=︒=， ∵90EDF ∠=︒∴904545F EDF DEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∴DE DF =∵1452AED AOD ∠=∠=︒ ∴45AED F ∠=∠=︒∵90ADC EDF ∠=∠=︒∴90ADE EDC CDF EDC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴ADE CDF ∠=∠∴ADE CDF ≌∴AE CF =∴ADE CDF S S =△△∴DEF AECD S S =四边形∵21EF DE EC DE EC ==+=， ∴12DE DE +=∴21DE =+∴212DEF AECD S S DE ==四边形322=+．5．解、（1）四边形ABCD 是矩形 且点P 是边BC 的中点 AB DC B C BP CP ∠∠∴===，，， 在ABP 和DCP 中BP CP B C AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABP DCP SAS ≅， PA PD ∴=；（2）证明：如图 连接,OA OE OD OP ，， 并延长PO 交AD 于点M四边形ABCD 是矩形 ∴90BAD ∠=︒∵OA OD = PA PD =∴点P 、O 都在线段AD 的垂直平分线上 ∴PO 垂直平分AD∴90DMP BAD ∠∠=︒=OP AB ∴∥AE 是以点O 为中心的正六边形的一边 ∴由正六边形性质可得∶60∠AOE=∵OA OE =AOE ∴是等边三角形60AEO ∠∴=又OP AB ∥60EOP AEO ∠∠∴==60AOE EOP ∠∠∴==AE EP ∴=．6．解、∵AB AC =∴A ABC CB =∠∠∵O 是ABC 的外接圆 点D 在AC 上 ∴180ABC ADC ∠+∠=︒∵180ADE ADC ∠+∠=︒∴ABC ADE ∠=∠∵∠ACB 和∠ADB 是AB 所对圆周角∴ACB ADB∴ADE ADB ∠=∠∴AD 平分BDE ∠．7．（1）解：AB AC=40∠︒=BAC∴∠=∠=︒ABC ACB70四边形ABCD是O的内接四边形ADC BAC∴∠=︒-∠=︒180110（2）证明：BD AC⊥AEB BEC∴∠=∠=︒90ACB CBD∴∠=︒-∠90=AB AC∴∠=∠=︒-∠90ABC ACB CBD∴∠=︒-∠=∠BAC ABC CBD18022∠=∠DAC CBD∴；∠=∠BAC DAC28．（1）证明：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是BC对的圆周角∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角∴∠BAC＝∠CPB∠ABC＝∠APC又∵∠APC＝∠CPB＝60°∴∠ABC＝∠BAC＝60°∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D 连接OB则∠OBD＝30°∠ODB＝90°∵OB＝2∴OD＝1∴等边△ABC的边心距为1．9．（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠ABC＋∠ADC＝180°∴∠ABC＝∠ADE∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB∵∠ACB＝∠ADB∴∠ADB＝∠ADE∴AD平分∠BDE（2）解：AB∥CD∴∠ADE=∠DAB∵∠ADB=∠ADE∴∠BAD=∠ADB∴AB=BD∵CE＝BD∴AB=CE∵AC=AB∴=AC AB连接OA并延长交BC于T∴AT⊥BC∵AB∥CE AB=CE∴四边形ABCE是平行四边形∴AE∥BC∴AT⊥AE∴AE是⊙O的切线．10．（1）连接OC∵OA OC=∴BAC OCA∠=∠∵∠DAC=∠BAC∴DAC OCA∠=∠∵在Rt△ADC中∠DAC+∠ACD=90°∴90ACD OCA∠+∠=︒即直线l⊥OC∴直线l是⊙O的切线；（2）∵ 四边形ACEB内接于圆∴1809045∠=︒-∠=∠=︒-∠=︒B ACE ACD DAC又∵直径AB所对圆周角90∠=︒AEB∴△ADC 与△ABE 都是等腰直角三角形 ∴2222()2(24)210BE AE AD DC DE cm ==++=++=∴221(210)202ABE S cm ∆=⨯= ∵22112522OB AB AE BE cm ==+= 连接OE 则90BOE ∠=︒∴2290(25)5360OBE S cm ππ⨯==扇形 ∴图中阴影部分面积=21(510)2OBE ABE OBE OBE S S S S cm π∆∆-=-=-扇形扇形．11． 解、连OA 、OB 和OC 如图(2)所示图(2)则OA OB OC == 又AB BC CA ==．∴ OAB OBC OCA ≌≌又OD BC ⊥于F OE AC ⊥于G 由垂径定理得AG =12AC FC =12BC∴ AG CF =．∴ Rt Rt AOG COF ≌ ∴ 13OCG OCF OCG AOG AOC ABC OFCG S S S S S S S =+=+==四边形．即阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC 的面积的13倍．12．解、（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB CD =∴AB CD =．∵E 是BC 的中点∴BE EC =∴AE DE =∴AE DE =．（2）解：连接BD 过点D 作DF DE ⊥交EC 的延长线于F ．∵四边形ABCD 是正方形 ∴45DBC DEC DA DC ∠=∠=︒=，． ∵90EDF ∠=︒∴904545F ∠=︒-︒=︒ ∴DE DF =．∵90ADC EDF ∠=∠=︒ ∴ADE CDF ∠=∠． 在ADE 和CDF 中ADE CDFAED FDA DC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ADE CDF AAS ≌（） ∴AE CF =∴2EF DE EC CF EC AE ==+=+ 即2AE CE DE +=．。

几何证明练习题带答案

几何证明练习题带答案

几何证明练习题带答案一、选择题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。

求证：∠BAD=∠CAD。

A. 利用等腰三角形性质B. 利用角平分线定理C. 利用等边三角形性质D. 利用相似三角形性质答案：B2. 已知线段AB和CD平行，且M是线段AB上的一点，N是线段CD上的一点，MN与AB、CD不平行。

求证：∠AMN≠∠CNM。

A. 利用平行线性质B. 利用内错角定理C. 利用同位角定理D. 利用补角定理答案：A二、填空题1. 在三角形ABC中，若∠A=90°，AB=AC，那么∠B=∠C=______。

答案：45°2. 已知三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=6，根据勾股定理可知这是一个______三角形。

答案：直角三、简答题1. 如何证明三角形内角和定理？答案：在三角形ABC中，延长BC至点D，根据外角定理，∠ACD=∠A+∠B。

又因为∠ACD+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，证明了三角形内角和为180°。

2. 如何证明圆内接四边形的对角互补？答案：设圆内接四边形ABCD，连接对角线AC和BD，由于AC和BD 都是圆的直径，根据圆周角定理，∠A+∠C=90°，∠B+∠D=90°。

因此，对角互补。

四、证明题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。

证明∠BAD=∠CAD。

证明：由于AB=AC，根据等腰三角形性质，∠ABC=∠ACB。

又因为BD=DC，根据等边三角形性质，∠ABD=∠ACD。

因此，∠BAD=∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD=∠CAD。

2. 已知圆O中，弦AB和CD相交于点P，PA=PB，PC=PD。

证明：OP垂直于AB和CD。

证明：由于PA=PB，根据圆周角定理，∠APB=∠PBA。

同理，∠CPD=∠PDC。

因为∠APB+∠CPD=180°，所以∠OPB+∠OPD=90°。

全等三角形证明题及答案15道

全等三角形证明题及答案15道
1.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证： BC=ED．
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即：∠EAD=∠BAC，
在△EAD和△BAC中
∠B=∠E AB=AE
∠BAC=∠EAD ，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC=ED．
全等三角形的判定与性质．
如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF， AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．
∴△BCF≌△CBD（ASA）． 全等三角形的判定．
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF． 求证：AD是△ABC的角平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE=Rt△DCF=90°． BD=DC BE=CF ， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴DE=DF， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是角平分线．
直角三角形全等的判定
如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点 P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D， E，已知DC=2，求BE的长．
∵∠ABC=∠BAC=45° ∴∠ACB=90°，AC=BC ∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90° ∴∠DAC=∠BCE 又∵∠ADC=∠CEB ∴△ACD≌△CEB ∴BE=CD=2．
：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ABC和△ADC 中， AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AC ， ∴Fra bibliotekABC≌△ADC．
全等三角形的判定．
9.如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF， AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF．

(完整版)初中数学全等三角形的证明题含答案

(完整版)初中数学全等三角形的证明题含答案

1. 已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD至U E,使AD=DE•/ D是BC中点••• BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC•△ ACD ◎△ BDE•AC=BE=2•••在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE•/ AB=4即4-2 V 2AD V 4+21V AD V 3•AD=22. 已知：D 是AB 中点，/ ACB=90 °，求证：CD - AB2A延长CD与P,使D为CP中点。

连接AP,BP•/ DP=DC,DA=DB•ACBP为平行四边形又/ ACB=90•平行四边形ACBP为矩形•AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE，/ B= / E ,Z C= / D, F 是CD 中点，求证：/ 1 = / 2证明：连接BF 和EF•/ BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF•••三角形BCF 全等于三角形 EDF （边角边）••• BF=EF, / CBF= / DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF• / EBF= / BEF 。

•/ / ABC= / AED 。

• / ABE= / AEB 。

AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形 AEF 中AB=AE,BF=EF,/ ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF•三角形ABF 和三角形AEF 全等。

• / BAF= / EAF （ / 1 = / 2）。

4. 已知：/ 仁/2, CD=DE , EF//AB ，求证:CG // EF ,可得，/ EFD = CGDDE = DC/ FDE =Z GDC （对顶角）• △ EFD ^A CGDEF = CG 过C 作CG // EF 交AD 的延长线于点 GEF=AC/ CGD=Z EFD又，EF// AB•••,/ EFD=Z 1/ 1= / 2•••/ CGD=Z 2•△ AGC为等腰三角形,AC= CG又EF= CG•EF= AC5. 已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD，求证：/ B=2 / C证明：延长AB取点E,使AE = AC,连接DE•/ AD 平分/ BAC•••/ EAD = Z CAD•/ AE = AC , AD = AD•△ AED ◎△ ACD ( SAS)•••/ E=Z C•/ AC = AB+BD•AE =AB+BD•/ AE = AB+BE•BD = BE•••/ BDE = Z E•••/ ABC = Z E+ / BDE•••/ ABC = 2 / E•••/ ABC = 2 / C6. 已知：AC 平分/ BAD , CE丄AB，/ B+ / D=180 °，求证：AE=AD+BEc证明：在AE上取F,使EF = EB，连接CF•/ CE 丄AB•••/CEB = Z CEF = 90 °•/ EB = EF, CE = CE,•••△CEB ◎△ CEF•••/ B =Z CFE•••/ B +Z D= 180°,/ CFE + Z CFA = 180°•••/ D = / CFA•/ AC 平分/ BAD•••/ DAC = / FAC•/ AC = AC•△ADC ◎△ AFC (SAS)•AD = AF•AE = AF + FE= AD + BE7. 已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD至U E,使AD=DE•/ D是BC中点• BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC•••△ ACD ◎△ BDE••• AC=BE=2•••在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE•/ AB=4即4-2 V 2AD V 4+21 V AD V 3• AD=28. 已知：D 是AB 中点，/ ACB=90 °，求证:CD -AB2解：延长AD至U E,使AD=DE•/ D是BC中点•BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC•△ ACD ◎△ BDE•AC=BE=2•••在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE•/ AB=4即4-2 V 2AD V 4+21 V AD V 3•AD=29. 已知：BC=DE，/ B= / E ,Z C= / D, F 是CD 中点，求证：/ 1 = / 2证明：连接BF 和EF 。

人教版九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附答案

人教版九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附答案

人教版年九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在ABC中90C∠=︒，点D是AB边上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH AB⊥于点H，连接BE(1)求证：EH EC=；(2)若4AB=，2A=求AD的长．sin32．如图，以AB为直径的O经过ABC的顶点C，AE，BE分别平分BAC∠，AE的延∠和ABC长线交O于点D，连接BD．(1)判断BDE△的形状，并证明你的结论；(2)若10AB=，210BE=求BC的长．3．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，D是AC的中点，过点D作直线l AC∥，AF⊥直线l，垂足为F，BC的延长线交直线l于点E．(1)求证：直线l是O的切线．(2)若O的半径为1，求AF BE+的值．4．如图，将含30︒角的直角三角板ABC放入半圆O中90∠=︒，A，B，C三点恰好在半圆OACB上，延长AB到点E，作直线CE，使得30∠=∠=︒·BCE BAC(1)求证：EC是半圆O的切线.(2)若8AB=，求阴影部分的面积.5．如图，以ABC的边AB为直径作O，交边AC于点D，BC为O的切线，弦DE AB⊥于点F，连接BE．(1)求证：ABE C∠∠=．(2)若点F为OB中点，且1OF=，求线段ED的长．6．如图，ABC内接于O，CD与AB的延长线相交于点D，且BCD BAC∠=∠．求证：CD是O 的切线．7．如图，在ABC中AB BC=，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．(1)求证：DF BC⊥；(2)已知6BE=求O的半径．DE=，38．如图，O是ABC的外接圆，BD是O的直径AB AC=，AE//BC，E为BD的延长线与AE 的交点．(1)求证：AE是O的切线；(2)若75∠=︒，BC=2，求CD和AE长．ABC9．如图，在ABC中90∠=︒，AD是ABC的角平分线，以AD为弦，圆心O在边AB上作OC交AC于E．(1)判断BC 与O 的位置关系并说明理由；(2)若30B ∠=︒，AE=2，求DE 的长．10．如图1，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，连接AC ，半径OD ∥弦AC(1)求证：弧BD =弧CD 的长．(2)在如图1上，连接BC 、AD 相交于点F ，BC 与OD 相交于点E ，连接CD ，若O 的半径为5，6AC =求CD 的长．(3)如图2，在OD 的延长线上取一点P ，使12CAP BAP ∠=∠，AP 交弧BC 于点.G 若10AB =，61CP =求AG 的长．11．如图，O 的直径AB 垂直弦CD 于点F ，点P 在AB 的延长线上，CP 与O 相切于点C ．(1)求证：PCB PAD ∠=∠；(2)若O 的直径为4，弦DC 平分半径，求图中阴影部分的面积．12．如图，在ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，延长BO交O于点D，连接CD，AB CD且CAB CBD∠=∠．(1)求证：AB是O的切线；(2)若6BC=，求图中阴影部分的面积．13．如图，已知四边形ABCD是O的内接四边形，连接AB，CD，且DA平分EDC∠．求证：(1)ABC是等腰三角形．(2)若45∠=︒，O的半径为6cm，求点O到BC的距离．BDC14．如图O是ABC的外接圆=45∥，AB交OC于∠︒，延长BC于D，连接AD，使得AD OCABCE．(1)求证：AD 与O 相切；(2)若25AE =，CE=2．①求O 的半径；②求AB 的长度．15．如图，在O 中，AB 是直径，点C 是圆上一点，在AB 的延长线上取一点D ，连接CD ，使BCD A ∠=∠．求：(1)求证：直线CD 是O 的切线；(2)若120,9ACD AD ∠=︒=，求扇形OAC 的面积16．如图，AB 为O 的直径，点C 、D 都在O 上，且BD 平分ABC ∠，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)延长ED 交BA 的延长线于点F ．若30F ∠=︒，AB=8，则BE 的长为______．答案： 1．解、（1）如图，连接OEAC 与O 相切∴OE AC ⊥，且BC AC ⊥∴OE BC ∥∴CBE OEB ∠=∠EO OB =∴EBO OEB ∠=∠∴CBE EBO ∠=∠，且CE BC ⊥ EH AB ⊥ ∴CE EH =；（2）2sin3OE A OA== ∴设2OE a = ()30AO a a =≠∴2OB OE a ==324AB AO OB a a =+=+=∴45a =44AD AB BD a =-=-∴45AD =． 2．（1）解：BDE 为等腰直角三角形，证明如下： 证明：∵AE 平分BAC ∠ BE 平分ABC ∠ ∴BAE CAD CBD ∠=∠=∠ ABE EBC ∠=∠．∵BED BAE ABE ∠=∠+∠ DBE DBC CBE ∠=∠+∠ ∴BED DBE ∠=∠．∴BD ED =．∵AB 为直径∴90ADB ∠=︒．∴BDE 是等腰直角三角形．（2）解：如图：连接OC CD OD OD 交BC 于点F ．∵DBC CAD BAD BCD ∠=∠=∠=∠ ∴BD DC =．∵OB OC =∴OD 垂直平分BC ．∵BDE 是等腰直角三角形 210BE = ∴25BD =．∵10AB =∴5OB OD ==．设OF t = 则5DF t =-．在Rt BOF △和Rt BDF △中 22225(25)(5)t t -=--．解得 3t =． ∴4BF =．∴8BC=．3．解、（1）证明：如图所示连接OD CD OC，，．∵D是AC的中点∴AD CD=∴AD CD=又∵OA OC=∴点O和点D都在线段AC的垂直平分线上即OD垂直平分线AC ∴OD AC⊥．又∵直线l AC∥∴直线l OD⊥∵OD是O的半径∴直线l是O的切线．（2）解：如图过点D作DM AB⊥垂足为M由（1）得90ODF∠=︒∵AB为半圆O的直径∴90∠=∠=︒ADB ACB∴90∠=∠=︒FDO ADB∴FDO ADO ADB ADO∠=∠∠∠即FDA ODB∠-=∠-∵OD OB=∴FDA ODB OBD ∠=∠=∠． 又∵DM AB ⊥∴90OBD BDM ∠+∠=︒． ∵90ADM BDM ∠+∠=︒ ∴ADM OBD ∠=∠∴ADF ADM ∠=∠又∵AF EF ⊥∴AF AM =．同理可得BDE BDM ∠=∠ ∵D 是AC 的中点∴AD CD =∴DBM DBE ∠=∠又∵BD BD =∴()ASA BDM BDE ≌ ∴MB BE =∴AF BE AM MB AB +=+= 即2AF BE +=．4．解、（1）证明：如图 连接OC∵90ACB ∠=︒∴AB 是O 的直径 即O 在AB 上 ∵,OA OC =30BAC ∠=︒,∴30,OCA OAC ∠∠==︒∴903060OCB ∠=︒-︒=︒∵30BCE ∠=︒,∴306090,OCE ∠=︒+︒=︒∴OC CE ⊥∴EC 是半圆O 的切线；（2）解：∵30,90,BAC ACB ∠∠=︒=︒ ∴903060,ABC ∠=︒-︒=︒∵OB OC =∴BOC 是等边三角形∵8AB =∴4OB =∴2260483603603OAC n r S πππ⨯===扇形 13444322BOC S =⨯⨯⨯= ∴8433BOC OBC S S S π=-=-阴影扇形． 5解、（1）证明：∵BC 为O 的切线 ∴BC AB ⊥∵DE AB⊥∴BC DE∥∴C ADE∠=∠∵ABE ADE∠=∠∴ABE C∠=∠；（2）解：连接OE∵点F为OB中点且1OF=∴22==OB OF∴2==OE OB根据勾股定理可得：223=-=EF OE OF∵DE AB⊥∴223==．DE EF6．解、证明：如图过点C作O的直径CE连接BE 则90∠=︒CBE∴∠+∠=︒BEC BCE90∠=∠∠=∠,BEC BAC BAC BCDBCD BEC∴∠=∠BCD BCE∴∠+∠=︒90∴⊥CD CEOC是O的半径∴CD是O的切线．7．解、（1）证明：如图连接OD∵DE是O的切线⊥∴90∠=︒即OD DEODE∵AB BC=∴A C∠=∠∵OA OD=∴A ADO∠=∠∴C ADO∠=∠∴∥OD BC∴DF BC⊥；（2）设O的半径为r则OB OD r==∵3BE=∴3=+OE r在Rt DOE△中222DE=+=6OD DE OE∴()22263r r +=+ 解得： 4.5r =即O 的半径为4.5．8．（1）证明：连接并延长AO 交BC 于点F 连接OC 则OA OB OC ==∴1802AOB OAB OBA -∠∠=∠=1802AOC OAC OCA -∠∠=∠= ∵AB AC =∴ACB ABC ∵2AOB ACB ∠=∠ 2AOC ABC =∠∠ ∴AOB AOC ∠=∠∴18018022AOB AOC -∠-∠= ∴OAB OAC ∠=∠∴AF BC ⊥∵AE BC ∥∴90OAE AFB ∠=∠=︒∴OA 是O 的半径 且AE OA ⊥ ∴AE 是O 的切线；（2）∵75ACB ABC ∠=∠=︒ ∴18030BAC ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒∴223060BOC BAC ∠=∠=⨯︒=︒ ∴BOC 是等边三角形 180120COD BOC ∠=︒-∠=︒ ∴2OC OA BC ===∴CD 的长为120π24π1803⨯= ∵AE 是O 的切线∴90OAE ∠=︒在Rt OAE △中 1302AOE BOF BOC ∠==∠=∠= ∴2OE AE =由勾股定理得：233AE =． 9．（1）解（1）BC 与O 相切 理由如下： 连接OD∵OA OD =∴OAD ODA ∠∠= 又∵AD 是ABC 的角平分线 ∴OAD CAD ∠∠=∴ODA CAD ∠∠=∴OD AC∴90ODB C ∠∠==︒∴OD BC ⊥∵OD 是O 的半径∴BC 与O 相切；（2）连接OE∵90ODB C ∠∠==︒ 30B ∠=︒ ∴60BOD BAC ∠∠==︒ ∵OA OE =∴OAE 是等边三角形 2AE = ∴2OA OE == 60AOE ∠=︒ ∴60EOD ∠=︒∴DE 的长为：6022=1803ππ⨯10．（1）解：连接BC ．OD ∥AC 90ACB ∠=︒ OD BC ∴⊥∴弧BD =弧CD 的长．（2）90ACB ∠=︒2222(25)68BC AB AC ∴=-=⨯-=．由（1）可知 OD BC ⊥ 118422CE BE BC ∴===⨯=．又OA BO =∴点E 和O 分别是BC 和AB 的中点 116322OE AC ∴==⨯=532DE OD OE ∴=-=-=． 90CED ∠=︒22224225CD CE DE ∴=+=+=．（3）连接OG 、BG 、BP ． 设CAP α∠= 则2BAP α∠=． OA OG =2AGO BAP α∴∠=∠=． OD //ACAPO CAP α∴∠=∠=2GOP AGO APO ααα∴∠=∠-∠=-= 1110522GP GO AB ∴===⨯=．OP 垂直平分BC61BP CP ∴==．90BGP ∠=︒222612536BG BP GP ∴=-=-=22100368AG AB BG ∴=-=-=．11．解、（1）连接OC∵CP 与O 相切∴OC PC ⊥∴90PCB OCB ∠+∠=︒ ∵AB DC ⊥∴90∠+∠=︒PAD ADF ∵OB OC =∴OBC OCB ∠=∠由圆周角定理得：ADF OBC ∠=∠ ∴PCB PAD ∠=∠；（2）连接OD DB ，∵,,OB CD OF BF ⊥=∴,DO DB =∵OB OD =∴,OB OD DB ==∴ODB △是等边三角形 ∴60DOB ∠=︒∵AB DC ⊥∴DF FC =∵BF OF AB DC =⊥， ∴CFB DFO S S =△△∴260223603BOD S S ππ⨯===阴影部分扇形．12．（1）解：过点O 作OF AB ⊥∵BC 与O 相切∴OC BC ⊥∴90OCB OFB ∠=∠=︒ ∵AB CD∴CAB ACD ∠=∠ CDB ABD ∠=∠ ∵OC OD =∴OCD ODC ∠=∠∴CAB ABD ∠=∠∵CAB CBD ∠=∠∴CBD ABD ∠=∠∵OB OB =∴OCB OFB ≌∴OF OC =为O 的半径AB是O 的切线；）由（1）知：ABD +∠+∠30=︒OCB S S -解、（1）解：四边形是O 的内接四边形ACB +∠又ADB ∠+∠ADE ∴∠=∠DA 平分∠ADC ∴∠=∠ADC ∠=∠ADE ∴∠=即ABC ∠ABC ∴是等腰三角形；（2）解：连接6cm OB OC ∴==45BDC ∠=︒90BOC ∴∠=︒在Rt BOC 中 由勾股定理得： 22226662cm BC BO CO =+=+= 设点O 到BC 的距离为h 1122BOC S BO CO BC h =⨯⨯=⨯⨯ 即11666222h ⨯⨯=⨯⨯解得：32h =∴点O 到BC 的距离为32cm ． 14．（1）证明：连接OA ∵=45ABC ∠︒∴290AOC ABC ∠=∠=︒ ∵AD OC ∥∴180AOC OAD ∠+∠=︒ ∴90OAD ∠=︒ 即OA AD ⊥ ∴AD 与O 相切；（2）解：①设O 的半径为r 则OA OC r == ∵2CE =∴2OE r =-∵=90AOC ︒∠∴222OE OA AE +=即()()222225r r -+= 解得：4r =或2r =-（舍去） ∴O 的半径4；②过点O 作OF AB ⊥于点F∵=90AOC ︒∠ OF AB ⊥ ∴1122AOE S OE OA AE OF =⋅=⋅ 则2425OF ⨯=解得：455OF = 根据勾股定理可得：22855=-=AF OA OF ∵OF AB ⊥∴16525AB AF ==． 15．（1）证明：连接OC 则：OB OC =∴OBC OCB∠=∠∵AB是直径∴90∠=︒ACB∴90∠+∠=︒A ABC∠=∠∵BCD A∴90DCB OCB∠+∠=︒即：90∠=︒OCD∴OC CD⊥∵OC是O的半径∴直线CD是O的切线；（2）∵120∠=︒90ACD∠=︒OCD∴30∠=︒OCA∵OA OC=∴30∠=∠=︒A OCA∴60∠=︒DOC∴30D∠=︒∴22==OD OC OA∵9=+=AD OA OD∴3OA=∵60∠=︒DOC∴120COA ∠=︒∴扇形OAC 的面积为212033360ππ⨯=．16．（1）证明：连结OD 如图BD 平分ABC ∠OBD EBD ∴∠=∠OB OD =ODB OBD ∴∠=∠ODB EBD ∴∠=∠OD BE ∴∥DE BE ⊥DE OD ∴⊥DE ∴是O 的切线；（2）解：8AB =4OA OB OD ∴===OD EF ⊥90ODF ∴∠=︒在Rt ODF △中30F ∠=︒28OF OD ∴==8412BF OF OB ∴=+=+= BE EF ⊥90E ∴∠=︒在Rt EFB △中 30F ∠=︒ 162BE BF ∴==． 故答案为：6．。

初三数学证明题练习(3套)含答案

初三数学证明题练习(3套)含答案

证明（一）一、选择题1. 下列句子中，不是命题的是（ ）（A ）三角形的内角和等于180度 （B ）对顶角相等 （C ）过一点作已知直线的平行线 （D ）两点确定一条直线 2. 下列说法中正确的是（ ）（A ）两腰对应相等的两个等腰三角形全等 （B ）两锐角对应相等的两个直角三角形全等 （C ）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 （D ）面积相等的两个三角形全等 3. 下列命题是假命题的是（ ）（A ）如果∥a b ，∥b c ，那么∥a c （B ）锐角三角形中最大的角一定大于或等于60° （C ）两条直线被第三条直线所截，内错角相等 （D ）矩形的对角线相等且互相平分 4. △ABC 中，∠∠+=A B 120，∠∠=C A ，则△ABC 是（ ）． （A ）钝角三角形（B ）等腰直角三角形（C ）直角三角形（D ）等边三角形5. 在△ABC 中，∠A ，∠B 的外角分别是120°、150°，则∠=C （ ）． （A ）120°（B ）150°（C ）60°（D ）90°6．如图1，l 1∥l 2，∠1=50°, 则∠2的度数是（ ） （A ）135° （B ）130° （C ）50° （D ）40° 7．如图2所示，不能推出∥AD BC 的是（ ） （A ）∠∠+=DAB ABC 180 （B ）∠∠=24（C ）∠∠=13 （D ）∠∠=CBE DAE8. 如图3，∥a b ，⊥c a ，∠=1130，则∠2等于（ ） （A ）30°（B ）40°（C ）50°（D ）60°9. 如图4，∥AB CD ，⊥AC BC ，图中与∠CAB 互余的角 有（ ）1（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个10．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是（ ） （A ）锐角三角形（B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）都有可能二、填空题11．将命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：如果 ，那么 ．12．如图5所示，如果BD 平分∠ABC ，补上 一个条件 作为已知，就能推出∥AB CD ．13．如图6，∥AB CD ，AF 交AB 、CD 于，A C ，CE 平分∠DCF ，∠=1120，则∠=2 ．14. 如图7，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠∠+=12 ．15. 若一个三角形的三个内角之比为4∶3∶2，则这个三角形的最大内角的外角为 ．三、解答题16. 如图8，直线AB 、CD 相交与点O ，∠AOD =70º，OE 平分∠BOC ，求∠DOE 的度数。

2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题（含答案解析）类型一三角形全等1.(2022·西藏)如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC.求证：△ABD≌△ACD．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)．2.(2022·湖南省益阳市)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD/​/AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≌△ABC．【答案】证明：∵DE⊥AC，∠B=90°，∴∠DEC =∠B =90°，∵CD/​/AB ，∴∠A =∠DCE ，在△CED 和△ABC 中，∠DCE =∠A CE =AB ∠DEC =∠B ，∴△CED≌△ABC(ASA)．3.(2022·江苏省南通市)如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．(1)求证：∠A =∠C ；(2)求证：AB//CD ．【答案】证明：(1)在△AOB 和△COD 中，OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD ,∴△AOB≌△COD(SAS)，∴∠A =∠C ；(2)由(1)得∠A =∠C ，∴AB//CD ．4.(2022·上海市)如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF =BE ，AE 2=AQ ⋅AB ．求证：(1)∠CAE =∠BAF ；(2)CF ⋅FQ =AF ⋅BQ ．【答案】证明：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CF−EF=BE−EF，即CE=BF，在△ACE和△ABF中，AC=AB∠C=∠BCE=BF，∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠CAE=∠BAF；(2)∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠CAE=∠BAF，∵AE2=AQ⋅AB，AC=AB，∴AE AQ=AC AF，∴△ACE∽AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴CF BQ=AF FQ，即CF⋅FQ=AF⋅BQ．5.(2022·贵州省铜仁市)如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.求证：△ABC≌△CDE．【答案】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，∴∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∠BCA=∠DEC∠B=∠DAB=CD，∴△ABC≌△CDE(AAS)．6.(2022·广东省云浮市)如图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：△OPD≌△OPE．【答案】证明：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OPPD=PE，∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)．7.(2022·四川省宜宾市)已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB/​/DE，∠B=∠E，BC=EF.求证：AD=CF．【答案】证明：∵AB//DE，∴∠A=∠EDF．在△ABC和△DEF中，∠A=∠EDF∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC=DF，∴AC−DC=DF−DC，即：AD=CF．8.(2022·陕西省)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE/​/AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC．【答案】.证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠B，在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠BCD=AB∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA)，∴DE=BC．9.(2022·湖南省衡阳市)如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE.求证：AD=AE．【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠CBD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE．10.(2022·四川省乐山市)如图，B是线段AC的中点，AD/​/BE，BD//CE.求证：△ABD≌△BCE．【答案】证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB=BC，∵AD/​/BE，∴∠A =∠EBC ，∵BD/​/CE ，∴∠C =∠DBA ，在△ABD 与△BCE 中，∠A =∠EBC AB =BC ∠DBA =∠C ，∴△ABD≌△BCE.(ASA)．11.（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DFBC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【答案】见解析【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上∵//,//AC DF BC EF∴,A FDE ABC DEF∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABC DEF ASA △≌△【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．12.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知AB DC =，A D ∠=∠，AC 与DB 相交于点O ，求证：OBC OCB ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的性质，通过证明ABO DCO △≌△，得OB OC =，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵A D AOB DOC AB DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴ABO DCO △≌△（AAS ），∴OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．13.（2021·四川泸州市·中考真题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BD=CE【答案】证明见详解．【分析】根据“ASA”证明△ABE ≌△ACD ，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中，∵A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,△ABE ≌△ACD (ASA)，∴AE=AD ，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．14.（2021·云南中考真题）如图，在四边形ABCD 中，,,AD BC AC BD AC ==与BD 相交于点E ．求证：DAC CBD ∠=∠．【答案】见解析【分析】直接利用SSS 证明△ACD ≌△BDC ，即可证明．【详解】解：在△ACD 和△BDC 中，AD BC AC BD CD DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BDC （SSS ），∴∠DAC=∠CBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS 的方法．15.（2020•菏泽）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 在AC 的延长线上，ED ⊥AB 于点D ，若BC ＝ED ，求证：CE ＝DB．【分析】由“AAS ”可证△ABC ≌△AED ，可得AE ＝AB ，AC ＝AD ，由线段的和差关系可得结论．【解答】证明：∵ED ⊥AB ，∴∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△AED （AAS ），∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∴CE ＝BD ．16.（2020•南充）如图，点C 在线段BD 上，且AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC ＝DE ．求证：AB ＝CD ．【分析】证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED．在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．17.（2020•硚口区模拟）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．【分析】要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE．【解答】证明：在△ABE与△ACD中∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD．∴AD ＝AE ．∴BD ＝CE ．18.（2020•铜仁市）如图，∠B ＝∠E ，BF ＝EC ，AC ∥DF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB ＝∠DFE ，进而利用全等三角形的判定定理ASA ，进而得出答案．【解答】证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∠B =∠E BC =EF ∠ACB =∠DFE ，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．19.（2020•无锡）如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）AF ∥DE ．【分析】（1）先由平行线的性质得∠B ＝∠C ，从而利用SAS 判定△ABF ≌△DCE ；（2）根据全等三角形的性质得∠AFB ＝∠DEC ，由等角的补角相等可得∠AFE ＝∠DEF ，再由平行线的判定可得结论．【解答】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∵BE ＝CF ，∴BE ﹣EF ＝CF ﹣EF ，即BF ＝CE ，在△ABF 和△DCE 中，∵AB =CD ∠B =∠C BF =CE ，∴△ABF ≌△DCE （SAS ）；（2）∵△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB ＝∠DEC ，∴∠AFE ＝∠DEF ，∴AF ∥DE ．20.（2020•台州）如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）判断△BOC 的形状，并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE ，由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．21.如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40°）＝70°．类型二特殊四边形判定及性质22.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC/​/EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．23.(2022·青海省西宁市)如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D ，∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD ，在△ABE 和△ADF 中，∠AEB =∠AFD ∠B =∠D AB =AD ，∴△ABE≌△ADF(AAS)；(2)解：设菱形的边长为x ，∵AB =CD =x ，CF =2，∴DF =x −2，∵△ABE≌△ADF ，∴BE =DF =x −2，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得，AE 2+BE 2=AB 2，即42+(x −2)2=x 2，解得x =5，∴菱形的边长是5．24.(2022·江苏省无锡市)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=22，BC=4，点E在BC 上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．【答案】解：(1)∵CE=AE，∴∠ECA=∠EAC，根据翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF，∵四边形ABCD是矩形，∴DA//CB，∴∠ECA=∠CAD，∴∠EAC=∠CAD，∴∠DAF=∠BAE，∵∠BAD=90°，∴∠EAF=90°，设CE=AE=x，则BE=4−x，在△BAE中，根据勾股定理可得：BA2+BE2=AE2，即：(22)2+(4−x)2= x2，解得：x=3，在Rt△EAF中，EF=AF2+AE2=17．(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G，设CG=x，则GB=3−x，∵FC=4，FE=17，∴FG2=FC2−CG2=FE2−EG2，即：16−x2=17−(3−x)2，解得：x=43，∴FG=FC2−CG2∴sin∠CEF=FG EF=25.(2022·湖北省荆门市)如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=x(0<x<8)，将△ACB 沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．(1)求证：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示)．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，BC=AD，根据折叠的性质得：BC=CE，∠E=∠B=90°，∴∠E=∠D=90°，AD=CE，在△CEF与△ADF中，∠ CFE=∠AFD∠D=∠E=90°AD=CE，∴△CEF≌△ADF(AAS)；(2)解：设DF=a，则CF=8−a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD=BC=x，∴∠DCA=∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC=∠BAC，∴∠DCA=∠EAC，∴AF=CF=8−a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2=AF2，∴x2+a2=(8−a)2，∴a=64−x216，∴tan∠DAF=DF AD=64−x216x．26.(2022·四川省遂宁市)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF//AC交OE的延长线于点F，连接AF．(1)求证：△AOE≌△DFE；(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵DF//AC，∴∠OAD=∠ADF，∵∠AEO=∠DEF，∴△AOE≌△DFE(ASA)．(2)解：四边形AODF为矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO=DF，∵DF//AC，∴四边形AODF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，∴平行四边形AODF为矩形．27.(2022·湖北省)如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE=DF(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，且AD=BC，∴AF//EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如图所示：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°−∠2，∠4=90°−∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=12BC=5．28.(2022·云南省)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE 与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°．(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．【答案】.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA//CD，∴∠BAE=∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE=DE，在△BEA和△FED中，∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED，∴△BEA≌△FED(ASA)，∴EF=EB，又∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF=90°．∴四边形ABDF是矩形；(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD=90°，AB=DF=3，AF=BD，∴AF=AD2−DF2=52−32=4，∴S矩形ABDF=DF⋅AF=3×4=12，BD=AF=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=3，∴S△BCD=12BD⋅CD=12×4×3=6，∴四边形ABCF的面积S=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18，答：四边形ABCF的面积S为18．29.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC//EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．30.(2022·湖南省郴州市)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCB，AC平分∠DAB，AC平分∠DCB，∴∠DAC=∠BAC=12∠DAB，∠DCA=∠ACB=12∠DCB，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB，∵AE=CF，∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS)，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形．31.(2022·山东省聊城市)如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C 作CF//AB，交DE的延长线于点F．(1)求证：AD=CF；(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形，证明你的结论．【答案】(1)证明：∵CF//AB，∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE=CE，∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD=CF；(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由(1)知，AD=CF，∵AD//CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴四边形ADCF是菱形．32.(2022·北京市)如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．【答案】证明：(1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，∵AE=CF．∴OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴DA=DC，∵OA=OC，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形．33.(2022·湖南省张家界市)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF．(1)求证：△ODE≌△FCE；(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．【答案】.(1)证明：∵点E是CD的中点，∴CE=DE，又∵CF//BD∴∠ODE=∠FCE，在△ODE和△FCE中，∠ODE=∠FCEDE=CE∠DEO=∠CEF，∴△ODE≌△FCE(ASA)；(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下：∵△ODE≌△FCE，∴OE=FE，又∵CE=DE，∴四边形ODFC为平行四边形，又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC=90°，∴四边形ODFC为矩形．34.(2022·四川省内江市)如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)由(1)可知，△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴180°−∠AEB=180°−∠CFD，即∠AEF=∠CFE，∴AE//CF，∵AE=CF，AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形．35.(2022·湖南省长沙市)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．(1)求证：AC⊥BD；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD 的周长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD；(2)解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴OD=2EF=3，由(1)可知，四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，BD=2OD=6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=AO2+OD2=22+32=13，∴菱形ABCD的周长=4AD=41336.（2021·四川广安市·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD=．连接CE、CF．的延长线上，且BE DF求证：CE CF=．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD ，∠ADC=∠ABC ，∴∠CDF=∠CBE ，在△BEC 和△DFC 中，BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△DFC （SAS ），∴CE=CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．37.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABC 中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，//,//DE AB DF AC．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且AD =，求四边形AFDE 的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE ∥AB ，DF ∥AC 判定四边形AFDE 是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD ，可得AE=DE ，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=，=2，∴∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．38.（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；，求证：四边形ACED是矩形．（2）如果AB AE【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．39.（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF ⊥BD 或EB ＝ED ，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌，则可得到AE ＝CF ；（2）连接BF ，DE ，由AOE COF V V ≌，得到OE=OF ，又AO=CO ，所以四边形AECF 是平行四边形，则根据EF ⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC ，BE ∥DF∴∠E ＝∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE ＝CF（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：如图：连结BF ，DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．40（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD ＝CE ．【分析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；【解答】证明：∵O是CD的中点，∴OD＝CO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，∠D=∠OCEOD=OC∠AOD=∠EOC，∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE．41.（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=32，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．42.（2020•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC ⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．43.（2020•新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD＝CB，AD∥CB，从而可以得到∠DAE＝∠BCF，再根据DE∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED＝∠CFB，然后即可证明△ADE和△CBF全等，从而可以得到AE＝CF；（2）根据（1）中的△ADE和△CBF全等，可以得到DE＝BF，再根据DE∥BF，即可得到四边形EBFD是平行四边形，再根据BE＝DE，即可得到四边形EBFD为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠AED ＝∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，∠DAE =∠BCF ∠AED =∠CFB AD =CB ，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）证明：由（1）知△ADE ≌△CBF ，则DE ＝BF ，又∵DE ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BE ＝DE ，∴四边形EBFD 为菱形．类型三与相似有关的证明44.（2021·广东中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点．连接BE ，将ABE △沿BE 折叠得到,FBE BF 交AC 于点G ，求CG 的长．【答案】CG =【分析】根据题意，延长BF 交CD 于H 连EH ，通过证明()Rt EDH Rt EFH HL ≌、DHE AEB ∽得到34CH =，再由HGC BGA ∽得到()34CG AC CG =-，进而即可求得CG 的长．【详解】解：延长BF 交CD 于H 连EH ，∵FBE 由ABE △沿BE 折叠得到，∴EA EF =，90EFB EAB ∠=∠=︒，∵E 为AD 中点，正方形ABCD 边长为1，∴12EA ED ==，∴12ED EF ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D EFB EFH ∠=∠=∠=︒，在Rt EDH △和Rt EFH 中，ED EF EH EH=⎧⎨=⎩，∴()Rt EDH Rt EFH HL ≌，又∵AEB FEB ∠=∠，∴90DEH AEB ∠+∠=︒，∵90ABE AEB ∠+∠=︒，∴ABE DEH ∠=∠，∴DHE AEB ∽，∴12DH AE DE AB ==，∴14DH =，∴13144CH CD DH =-=-=，∵CH AB ∥，∴HGC BGA ∽，∴34CG CH AG AB ==，∴()3344CG AG AC CG ==-，∵1AB =，1CB =，90CBA ∠=︒，∴AC =，∴)34CG CG =，∴CG =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．45.（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若23AGOG=，4AE=，求BC的长．【答案】（1）平行四边形，见解析；（2）16【分析】（1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明；（2）根据23AGOG=，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可．【详解】（1）四边形BEDF为平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形∴ABC ADC∠=∠∵ABE CDF∠=∠∴EBF EDF∠=∠∵四边形ABCD为平行四边形∴//AD BC∴EDF DFC EBF∠=∠=∠∴//BE DF∵//AD BC∴四边形BEDF 为平行四边形（2）设2AG a =，∵23AG OG =∴3OG a =，5AO a=∵四边形ABCD 为平行四边形∴5AO CO a ==，10AC a =，8CG a=∵//AD BC,,AGE CGB AEG CBG EAG BCG ∠=∠∠=∠∠=∠，∴AGE CGB∆∆∽∴14AE AG BC GC ==∵4AE =∴16BC =．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理，能进行相关的证明．46.（2021·北京中考真题）如图，在ABC 中，,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ．（1）比较BAE ∠与CAD ∠的大小；用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系，并证明；（2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明．【答案】（1）BAE CAD ∠=∠，BM BE MD =+，理由见详解；（2）DN EN =，理由见详解．【分析】（1）由题意及旋转的性质易得BAC EAD α∠=∠=，AE AD =，然后可证ABE ACD △≌△，进而问题可求解；（2）过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点Q ，交AB 于点H ，由（1）可得ABE ACD ∠=∠，BE CD =，易证BH BE CD ==，进而可得HM DM =，然后可得DMN DHE ∽，最后根据相似三角形的性质可求证．【详解】（1）证明：∵BAC EAD α∠=∠=，∴BAE BAD BAD CAD α∠+∠=∠+∠=，∴BAE CAD ∠=∠，由旋转的性质可得AE AD =，∵AB AC =，∴()ABE ACD SAS ≌，∴BE CD =，∵点M 为BC 的中点，∴BM CM =，∵CM MD CD MD BE =+=+，∴BM BE MD =+；（2）证明：DN EN =，理由如下：过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点Q ，交AB 于点H ，如图所示：∴90EQB HQB ∠=∠=︒，由（1）可得ABE ACD △≌△，∴ABE ACD ∠=∠，BE CD =，∵AB AC =，∴ABC C ABE ∠=∠=∠，∵BQ BQ =，∴()BQE BQH ASA ≌，∴BH BE CD ==，∵MB MC =，∴HM DM =，∵MN AB ⊥，∴//MN EH ，∴DMN DHE ∽，∴12DM DN DH DE ==，∴DN EN =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键．47.（2020•长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝23，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）设EC＝x，证明△ABF∽△FCE，可得AB CF=BF EC，由此即可解决问题．（3）首先证明tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，解直角三角形求出a，b之间的关系即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=AF2−AB2=16−12=2，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，∴2322，∴x=∴EC=（3）∵△ABF∽△FCE，∴AF EF=AB CF，∴tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=b2−a2，CF=x2−(a−x)2=2ax−a2，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，−(a−x)=b2−a2a−x，∴a2﹣ax=b2−a2•2ax−a2，∴14b2=b2−a2•整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴b a=233，∴tanα+tanβ=BC AB=48.（2020•怀化）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD ＝CA，且∠D＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．【分析】（1）连接OC，∠CAD＝∠D＝30°，由OC＝OA，进而得到∠OCA＝∠CAD＝30°，由三角形外角定理得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD＝90°即可证明；（2）证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE＝CG，CF＝CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．【解答】（1）证明：连接OC，如右图所示，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的角平分线，∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），∴CF＝CG．∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的角平分线，∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，。

中考数学证明题附答案（免费）

中考数学证明题附答案（免费）

中考数学证明题附答案（免费）第一篇：中考数学证明题附答案(免费)中考中的“ 旋转、平移和翻折”平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换．所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系．这类实体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力．在这一理念的引导下，近几年中考加大了这方面的考察力度，特别是2006年中考，这一部分的分值比前两年大幅度提高．为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关的问题，下面已近几年中考题为例说明其解法，供大家参考．一．平移、旋转平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离．平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角．旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角．例1．（2006年乐山市中考题）如图（1），直线l经过点A（－3，1）、B（0，－2），将该直线向右平移2个单位得到直线l'．（1）在图（1）中画出直线l'的图象；（2）求直线l的解析式．解：（1）l'的图象如图．（2）点A向右平移两个单位得A´（－1，1），点B向右平移两个单位B´（2，－2），即直线l'经过点A´（－1，1）和B´（2，－2）设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0)所以⎨⎧1=-k+b⎩-2=2k+b'''，解这个方程组，得k=-1，b=0∴直线l的解析式为y=-x．点评：抓住A、B两点平移前后坐标的关系是解题的例2．（2006年绵阳市中考试题）如图，将ΔABC绕顶点A顺时针旋转60º后得到ΔAB´C´，且C´为BC的中点，则C´D:DB´=（）A．1:2B．1:22C．1: 3D．1:3C´ CB 分析：由于ΔAB´C´是ΔABC绕顶点A顺时针旋转60º后得到的，所以，旋转角∠CAC′=60º，ΔAB´C´≌ΔABC，∴AC´=AC，∠CAC′=60º，∴ΔAC´C是等边三角形，∴AC´=AC´．又C´为BC的中点，∴BC´=CC´，易得ΔAB´C、ΔABC是含30º角的直角三角形，从而ΔAC´D也是含30º角的直角三角形，∴C´D=12AC´，AC´=12B´C´，∴C´D=14B´C´，故C´D:DB´= 1:3点评：本例考查灵活运用旋转前后两个图形是全等的性质、等边三角形的判断和含30 º角的直角三角形的性质的能力，解题的关键是发现ΔAC´C是等边三角形．二、翻折翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180º后所形成的新的图形的变化．翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴．解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素．翻折在三大图形运动中是比较重要的，考查得较多．另外，从运动变化得图形得特殊位置探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的，值得大家留意．例3．（2006年江苏省宿迁市）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′ 等于（）A．30°B．45°C．60°D．75° 分析：由已知条件∠BAD′＝30°，易得∠DAD′=60º，又∵D、D′D′ACB关于AE对称，∴∠EAD=∠EAD′=30º，∴∠AED=∠AED′=60º．故选C点评：本例考查灵活运用翻折前后两个图形是全等的性质的能力，解题的关键是发现∠EAD=∠EAD′，∠AED=∠AED′．例4．（2006年南京市）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，AF=3，求DE的长；(2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．解：(1)在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=3，∠D=90º．根据轴对称的性质，得 EF=AF=∴DF=AD-AF=2212在ΔDEF中DE=()-()=(2)设AE与FG的交点为O．NAGB根据轴对称的性质，得AO=EO．取AD的中点M，连接MO．则mO=DE，MO∥DC．12x．设DE= x，则MO=在矩形ABCD中，∠C=∠D=90º，∴AE为ΔAED的外接圆的直径，O为圆心．延长MO交BC于点N，则ON∥CD ∴∠CNM=180º-∠C=90º．∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形．∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-12x，根据轴对称的性质，得AE⊥FG．∴∠FOE=∠D=90º．∵∠FEO=∠AED，∴ΔFEO∽ΔAED．∴FOAD=OEDE．∵ΔAED的外接圆与BC相切，∴ON是ΔAED的外接圆的半径．∴OE=ON=2-12x，∴FO=OEDE•AD．可得FO=1730．AE=2ON=4-x．在RtΔAED中，AD2+DE2=AE2，∴12+x2=(4-x)又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．∴ΔFEO≌ΔGAO．∴FO=GO．∴FG=2FO= 171解这个方程，得x=∴DE=158．1716．1715，OE=2-x=．∴折痕FG的长是．点评：图形沿某条线折叠，这条线就是对称轴，利用轴对称的性质并借助方程的的知识就能较快得到计算结果．由此看出，近几年中考，重点突出，试题贴近考生，贴近初中数学教学，图形运动的思想(图形的旋转、翻折、平移三大运动)都一一考查到了．因此在平时抓住这三种运动的特征和基本解题思路来指导我们的复习，将是一种事半功倍的好方法．例4．（2006年南京市）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，AF=3，求DE的长；(2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．：(1)在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=2，=90º．∠D根据轴对称的性质，得 EF=AF=∴DF=AD-AF=13在ΔDEF中DE=(221233)-(3)=(2)设AE与FG的交点为O．根据轴对称的性质，得AO=EO．取AD的中点M，连接MO．则mO=DE，MO∥DC．设DE= x，则MO=在矩形ABCD中，∠C=∠D=90º，∴AE为ΔAED的外接圆的直径，O为圆心．延长MO交BC于点N，则ON∥CD ∴∠CNM=180º-∠C=90º．∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形．∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-12x，∵ΔAED的外接圆与BC相切，∴ON是ΔAED的外接圆的半径．∴OE=ON=2-12x，AE=2ON=4-x．在RtΔAED中，AD2+DE2=AE2，∴12+x2=(4-x)．解这个方程，得x=158．∴DE=1518，OE=2-2x=1716．NAGB根据轴对称的性质，得AE⊥FG．∴∠FOE=∠D=90º．∵∠FEO=∠AED，∴ΔFEO∽ΔAED．∴FOOEAD=DE．∴FO=OEDE•AD．可得FO=．又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．∴ΔFEO≌ΔGAO．∴FO=GO．∴FG=2FO=1715．∴折痕FG的长是1715．解第二篇：科学证明题附答案证明题1．液体内部存在压强。

中考数学经典几何证明题60例附试题分析和参考答案

中考数学经典几何证明题60例附试题分析和参考答案

中考数学经典几何证明题60例一、解答题（共60小题）1．（遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．2．（珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．3．（镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=°时，四边形BFDE是正方形．4．（漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．5．（玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O 的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．6．（永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．7．（营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．8．（徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=时，四边形BFCE是菱形．9．（宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．10．（湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．11．（咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．12．（咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．13．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．14．（威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．15．（铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．16．（通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．17．（铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．18．（天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：（1）AC•PD=AP•BC；（2）PE=PD．19．（泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．20．（随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．21．（绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E．（1）求证：BD+2DE=BM．（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=．22．（苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．23．（上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．24．（厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．25．（庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．（1）当AB=2时，求△GEC的面积；（2）求证：AE=EF．26．（青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．27．（钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．28．（黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．（1）求证：PN与⊙O相切；（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．29．（潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．30．（盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；（2）求证：直线BF是⊙O的切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．31．（内江）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC 于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．32．（南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．33．（南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）34．（南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．35．（南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．36．（南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D 的形状为A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．①求证：四边形AFF′D是菱形．②求四边形AFF′D的两条对角线的长．37．（梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．38．（龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：AE=DC；（2）已知DC=，求BE的长．39．（柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．40．（辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．41．（连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F 处，DF交AB于点E．（1）求证；∠EDB=∠EBD；（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．42．（莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD 交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．43．（酒泉）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE=cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE=cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）44．（荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O 于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．45．（吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？46．（黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．47．（黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠BCP=∠BAN（2）求证：=．48．（湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．49．（葫芦岛）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？50．（呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．51．（呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径．52．（贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）．53．（贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8．（1）求证：AF=EF；（2）求证：BF平分∠ABD．54．（河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形．55．（桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．56．（贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E 是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）（2）求证：四边形ABMC是菱形．57．（甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．（1）求证：CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．58．（东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．59．（大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．（1）证明：AB=CD；（2）证明：DP•BD=AD•BC；（2）证明：BD2=AB2+AD•BC．60．（赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO 交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是的切线．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．中考数学经典几何证明题60例参考答案与试题解析一、解答题（共60小题）1．（遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；（2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．解答：（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）解：设菱形DC边上的高为h，∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形的面积计算，主要考查学生的推理能力．2．（珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD=AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．专题：证明题．分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．解答：（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．在△ABF和△DFB中，，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF；（2）证明：如图：MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF．在△BMH和△FNG中，，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．3．（镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=20°时，四边形BFDE是正方形．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．专题：证明题．分析：（1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又因为BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF；（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要∠EBF=90°即得四边形BFDE 是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．解答：（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE与△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）；（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°．故答案为：20．点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．本题关键是根据SAS证明△BAE≌△BCF．4．（漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．解答：（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；（2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．点评：本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．5．（玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O 的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．考点：切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算．专题：证明题．分析：（1）由∠BOD=60°E为的中点，得到，于是得到DE∥BC，根据CD 是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；（2）连接OE，由（1）知，，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．解答：解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E为的中点，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形；（2）连接OE，由（1）知，，∴∠BOE=120°，∵阴影部分面积为6π，∴=6π，∴r=6．点评：本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明是解题的关键．6．（永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；（2）根据“边角边”证明即可．解答：（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．7．（营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．考点：切线的判定；扇形面积的计算．专题：证明题．分析：（1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论；（2）证明△ADP∽△PDA，得到成比例线段求出BC的长，根据S阴=S⊙O﹣S△ABC 求出答案；（3）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案．解答：（1）证明：如图1，连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切线；（2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD•DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD为△的中位线，∴BC=6，OD=6，AB=10．∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；（3）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵点E是的中点，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB•cos45°=5，∴EM==4，则CE=CM+EM=7．点评：本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和相似三角形的判定和性质，灵活运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键．8．（徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=4时，四边形BFCE是菱形．考点：平行四边形的判定；菱形的判定．专题：证明题．分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．解答：（1）证明：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴当BE=4 时，四边形BFCE是菱形，故答案为：4．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．9．（宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB 是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．解答：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC与△FED中，，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是边CD的中点，∴CE=DE，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四边形BDFC的面积=3×=3；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．10．（湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．解答：证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．点评：此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．11．（咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．专题：证明题．分析：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．解答：（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．12．（咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．考点：切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC•AF，进而求出AD．解答：（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．∵BC与⊙O相切于一点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE=AO=0D，∴四边形AODE是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形AODE是菱形．（2）解：设⊙O的半径为r．∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴，即10r=6（10﹣r）．解得r=，∴⊙O的半径为．如图2，连接OD、DF．∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC•AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．13．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：证明题．分析：（1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．解答：（1）证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP===4．∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2×=．由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．点评：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．14．（威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．专题：证明题．分析：（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．解答：（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．15．（铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．解答：证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：则∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，。

几何证明练习题及答案

几何证明练习题及答案

几何证明练习题及答案题目1：已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD垂直于BC。

证明：三角形ABD与三角形ACD全等。

答案：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，角BAD等于角CAD。

又因为AD垂直于BC，所以角ADB和角ADC都是直角。

因此，我们有：- AD=AD（公共边）- ∠BAD=∠CAD（等腰三角形的性质）- ∠ADB=∠ADC=90°（直角）根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD与三角形ACD全等。

题目2：已知三角形ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC上，且BE=CF。

证明：三角形AEF是等腰三角形。

答案：由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，角ABC等于角ACB。

又因为BE=CF，我们可以得出：- AB=AC（已知）- BE=CF（已知）- ∠ABC=∠ACB（等腰三角形的性质）根据SSS（边边边）全等条件，三角形BEC与三角形CFB全等。

因此，角BEC等于角CFB。

由于角AEF是三角形AEF的外角，根据外角定理，角AEF等于角BEC加角CFB。

因此：- ∠AEF=∠BEC+∠CFB- ∠AEF=2∠BEC（因为∠BEC=∠CFB）由于角AEF是三角形AEF的两个相等的角，所以三角形AEF是等腰三角形。

题目3：已知四边形ABCD中，AB平行于CD，BC平行于AD，且AB=CD。

证明：四边形ABCD是平行四边形。

答案：由于AB平行于CD且BC平行于AD，根据平行四边形的定义，我们可以推断出AD也平行于BC。

因此，四边形ABCD的对边都是平行的。

又因为AB=CD，根据平行四边形的判定条件，我们可以得出四边形ABCD是平行四边形。

题目4：已知三角形ABC中，角A等于角C，点D在BC上，且AD垂直于BC。

证明：三角形ABD与三角形CBD是等腰三角形。

答案：由于角A等于角C，根据三角形内角和定理，我们可以得出角A+角C+角B=180°。

九年级数学相似证明题专项训练题练习题含答案.doc

九年级数学相似证明题专项训练题练习题含答案.doc

【本文由书林工作坊整理发布，如有疑问可关注私信。

谢谢！】相似专项训练专训 1 证比例式或等积式的技巧点拨： 证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角 形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中， 可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明 显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ ABC 中，D 为AB 的中点， DF 交AC 于点 E ，交BC 的延长线于点 F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·E C.2．如图，已知△ ABC 的边 AB 上有一点 D ，边 BC 的延长线上有一点 E ，且 AD ＝CE ， DE 交 AC 于点 F ，试证明： AB ·DF ＝BC ·EF.三点找三角形相似法3．如图，在?ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点， DE 交BC 于 F.DC ＝CF .AE ＝AD .4．如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， M 为BC 的中点， DM ⊥BC 交CA 的延长线于 D ，交 AB 于 E.求证： AM 2＝MD ·ME.等比过渡法6．如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点 F 在边 AC 上， DF 与 BE 相交于点 G ，且∠ EDF ＝∠ ABE.求证： (1) △DEF ∽△ BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7．如图， CE 是 Rt △ABC 斜边上的高，在 EC 的延长线上任取一点 P ，连接 AP ，作 BG⊥AP 于点 G ，交 CE 于点 D.求证：CE 2＝DE ·P E. （第 7题） 两次相似法8．如图，在 Rt △ABC AD 是斜边 BC 上的高，∠ ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E ，交 AD 于构造相似三角形法5．如图，在等边三角形 ABC中， AC 于点 M，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN. 点 P 是 BC 边上任意一点， AP的垂直平分线分别交 AB ， （第 5题）（第 6题）BF ＝AB .BE ＝BC .9．如图，在 ?ABCD 中， AM ⊥BC ， AN ⊥CD ，垂足分别为 M ，N.求证：(1) △AMB ∽△ AND ；AM ＝MN(2) AB ＝ AC .等积代换法10．如图，在△ ABC 中，AD ⊥ BC 于 D ，DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥AC 于 F.等线段代换法11．如图，等腰△ ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点 D ，点 P 是 AD 上一点，CF ∥AB ，延长 BP 交 AC 于点 E ，交 CF 于点 F ，求证： BP 2＝PE ·PF.F.求证： AE ＝AC .AF ＝AB .(第 8题)(第 10题)12．已知：如图，AD平分∠ BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P. 求证：PD2＝PB·PC.（第12题）专训 2 巧用“基本图形”探索相似条件点拨几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1. 平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ ABC 中，BE 平分∠ ABC 交AC 于点 E ，过点 E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1) 求证： AE ·BC ＝BD ·AC ；(2) 如果 S △ADE ＝ 3， S △BDE ＝2，DE ＝ 6，求 BC 的长．相交线型△ ADE 与△ ABC 相似吗？请说明理由．2．如图，点 D ，E 分别为△ ABC 的边 AC ，AB 上的点， BD ，CE 交于点 O ，且 E B O O ＝D CO O ， 试问子母型3．如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90 ， AD ⊥ BC 于点 D ，E 为 AC 的中点， ED 的延长线交AB的延长线于点 F.求证： AB＝DFAC ＝AF .(第 1题)(第 2题)旋转型4．如图，已知∠ DAB ＝∠EAC ，∠ ADE ＝∠ ABC. 求证： (1) △ADE ∽△ ABC ；AD BD (2) AE ＝ CE .(第 4题)专训 3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 点拨 判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或 垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方 法．证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点 O ，直线 AO 与BC 边交于点 M ，与 DE 交于点 N.求证： BM ＝MC.2．如图，一直线和△ ABC 的边 AB ，AC 分别交于点 D ，E ，和 BC 的延长线交于点 F ，且 AE CE ＝ BF CF.求证： AD ＝DB.类型2：证明两线段的倍分关系1 3．如图，在△ ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∠ A＝60°，求证：DE＝BC.24．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E. 求证：AC＝2CE.证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥ CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.6．在△ ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE 和AD，分别交DF，EF 于点N，M.(1) 如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2) 如图②，若 E 不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明．类型2：证明两线垂直7．如图，在△ ABC 中，D 是 AB 上一点，且 AC 2＝AB ·AD ， BC 2＝BA ·BD ，求证： CD ⊥AB.8．如图，已知矩形 ABCD ，AD ＝13AB ，点 E ，F 把AB 三等分， DF 交AC 于点 G ，求证： EG ⊥专训 4 相似三角形与函数的综合应用 点拨 解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题 形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝－x ＋3与 x 轴交于点 C ，与直线 AD 交于点 ，1）．（1） 求直线 AD 的解析式；（2） 直线AD 与x 轴交于点 B ，若点 E 是直线AD 上一动点（不与点 B 重合） ，当△1 求 k 的值及点 E 的坐标；DF.（第 6题）（第 7题）（第 8题），35 ，点 D 的坐标为（0BOD与△ BCE 相似时，求点E 的坐标．相似三角形与二次函数2．如图，直线y＝－x＋3 交x 轴于点A，交y 轴于点B，抛物线y＝ax1 2＋bx＋ c 经过A，B，C(1，0)三点．(1) 求抛物线对应的函数解析式；(2) 若点D的坐标为( －1，0)，在直线y＝－x＋3 上有一点P，使△ ABO与△ ADP相似，求出点P 的坐标．(第2题)3．如图，直线y＝2x＋2 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，把△ AOB沿y 轴翻折，点A2落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c 与直线BC交于点D(3，－4) ．(1) 求直线BD和抛物线对应的函数解析式；(2) 在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x 轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△ BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x 轴和y 轴上，点B的坐标为(2 ，3) ，双曲线y k＝x(x>0) 经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(2)若点F是OC边上一点，且△ FBC∽△ DEB，求直线FB对应的函数解析式．专训 5 全章热门考点整合应用点拨 本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法 等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为： 3 个概念、 2 个性质、 1 个判定、 2 个应用、 1 个作图、 1 个技巧．3 个概念概念1：成比例线段有一块三角形的草地，它的一条边长为 25 m ，在图纸上，这条边的长为 5 cm ，其他两 条边的长都为 4 cm ，则其他两边的实际长度都是 _____________ m.概念2：相似多边形3．如图，已知∠ 1′＝∠ 1，∠2′＝∠ 2，∠3′＝∠ 3，∠4′＝∠4，∠D ′＝∠ D ，试判 断四边形 A ′B ′C ′D ′与四边形 ABCD 是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4．如图，在△ ABC 中，A ，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是 （－1，0）．以点 C 为 位似中心，在 x 轴的下方作△ ABC 的位似图形，并把△ ABC 的边放大到原来的 2 倍，记所得的 像是△A ′B ′C.设点 B 的对应点 B ′的坐标是（a ，b ），求点 B 的坐标． A．3 cm， 6 cm ， 7 cm ， cm B ． 2 cm，5 cm ， 0.6 dm ， 8 cm C ． 3 cm ，9 cm ， 1.8 dm ， 6 cm D ． 1 cm ， 2 cm ，3 cm ， cm （第 4题）1． 2． 列各组线段，是成比例线段的是 （ ）2 个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图，在 Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6.若动点 D 从点 B 出发，沿线段 BA 运动到点 A 为止，运动速度为每秒 2个单位长度．过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点 D 运 动的时间为 x 秒， AE 的长为 y.(1) 求出 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；(2) 当 x 为何值时，△ BDE 的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6．如图，已知 D 是 BC 边上的中点，且 AD ＝AC ，DE ⊥ BC ，DE 与 BA 相交于点 E ，EC 与 AD 相交于点 F.(1) 求证：△ ABC ∽△ FCD ；(2) 若 S △FCD ＝ 5， BC ＝10，求 DE 的长．1 个判定——相似三角形的判定7．如图，△ ACB 为等腰直角三角形，点 D 为斜边 AB 上一点，连接 CD ，DE ⊥ CD ，DE ＝CD ， 连接 AE ，过 C 作 CO ⊥AB 于 O.求证：△ ACE ∽△ OCD.(第 7题)(第 5题)8.如图，在⊙ O的内接△ ABC中，∠ ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l 交⊙O于另一点D，垂足为点 E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l 于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1) 求证：△ PAC∽△ PDF；(2) 若AB＝5，＝，求PD的长．2 个应用应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻， 1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为 2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为 2 m，那么这棵树的高度是多少？(第9题)应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．（第 10题）1个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中 (每个小方格的边长都是 1个单位长度)有一点 O 和△ ABC.请以点 O 为位似中心，把△ ABC 缩小为原来的一半 ( 不改变方向 ) ，画出△ ABC 的位似图形．1 个技巧 ——证明四条线段成比例的技巧12．如图，已知△ ABC ，∠ BAC 的平分线与∠ DAC 的平分线分别交BC 及 BC的延长线于点 P ，Q.(1) 求∠ PAQ 的度数；(2) 若点 M 为 PQ 的中点，求证： PM 2＝CM ·BM.1．证明：如图，过点 C 作CM ∥AB 交DF 于点 M.∵CM ∥AB ，∴△ CMF ∽△BDF.专训1答案（第 11题）（第 12题）2．证明：过点 D 作DG ∥BC ，交 AC 于点 G ， ∴△ DGF ∽△ ECF ，△ ADG ∽△ ABC.EF ＝CE ，AB ＝AD .DF ＝DG ，BC ＝DG .CE AD AB EF∵AD ＝CE ，∴ DG ＝ DG . ∴BC ＝DF ，即 AB ·DF ＝ BC ·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“ A ”型或“ X ”型的基本图形，通过相似三角形转化 线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形．∴AE ∥DC ，∠ A ＝∠ C.∴∠ CDF ＝∠ E ，4．证明：∵ DM ⊥BC ，∠ BAC ＝90°，∴∠ B ＋∠ BEM ＝90°，∠ D ＋∠ DEA ＝90°. ∵∠ BEM ＝∠ DEA ，∴∠ B ＝∠D. 又∵M 为 BC 的中点，∠ BAC ＝90°，∴ BM ＝AM. ∴∠ B ＝∠ BAM.∴∠ BAM ＝∠ D. 又∵∠ AME ＝∠ DMA ∴. △ AME ∽△ DMA.AM ME 2 ∴MD ＝AM . ∴AM ＝MD ·ME.5．证明：如图，连接 PM ，PN. ∵MN 是 AP的垂直平分线， ∴MA ＝MP ，NA ＝NP. ∴∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4.BF ＝BD .CF ＝CM .又∵ CM ∥AD ， ∴△ ADE ∽△ CME ∴. AE ＝AD EC ＝CM .∵D 为 AB 的中点， ∴BD ＝AD . ∴BF ＝AE ，∴CM ＝CM . ∴CF ＝EC ， 即 AE · CF ＝ BF · EC.∴△ DAE ∽△ FCD ，DC ＝CF . AE ＝AD .（第 5题）又∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ B ＝∠ C ＝∠ 1＋∠ 3＝60°.∴∠ 2＋∠ 4＝60°.∴∠ 5＋∠ 6＝120°.又∵∠ 6＋∠ 7＝180°－∠ C ＝120° ∴∠5＝∠7. ∴△ BPM ∽△ CNP.6．证明： (1) ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BDE ＝180°，∠ ACB ＋ ∠CED ＝180°，∴∠ CED ＝∠ BDE.又∵∠ EDF ＝∠ ABE ，∴△ DEF ∽△BDE.∴DE 3＝DB ·EF.又由△ DEF ∽△ BDE ，得∠ BED ＝∠ DFE.∵DG DE 2∠GDE ＝∠EDF ，∴△ GDE ∽△EDF.∴DE ＝DF ，∴DE 2＝DG ·DF ，∴DG ·DF ＝DB ·EF.7．证明：∵ BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠ AEP ＝∠ BED ＝∠ AGB ＝90°.∴∠ P ＋∠ PAB ＝90°，∠ PAB ＋∠ ABG ＝90°.∴∠ P ＝∠ ABG.∴△ AEP ∽△ DEB.又∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠ CAB ＋∠ ACE ＝90 又∵∠ ACB ＝90°，∴∠ CAB ＋∠CBE ＝90°.∴∠ ACE ＝∠ CBE.∴△ AEC ∽△ CEB. 8．证明：易得∠ BAC ＝∠ BDF ＝90°∵BE 平分∠ ABC ，∴∠ ABE ＝∠DBF ，∵∠ BAC ＝∠ BDA ＝90°，∠ ABC ＝∠DBA.9．证明： (1) ∵四边形 ABCD 为平行四边形．∴∠ B ＝∠D. ∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°， ∴△ AMB ∽△ AND.3 由△ AMB ∽△AND 得A AN M ＝A AB D ，∴BP ＝BM ， ∴CN ＝CP ，即 BP ·CP ＝ BM ·CN.(2) 由△DEF ∽△ BDE 得B D D E ＝E D F E ， AE ＝PE ， DE ＝BE ，即 AE ·BE ＝ PE ·DE. AE ＝CE， CE ＝BE ，即 CE 2＝AE ·BE.∴ CE 2＝DE ·PE. BD BF∴△ BDF ∽△ BAE ，得AB BE∴△ ABC ∽△ DBA ，得 AB ＝BD ，∴BF ＝AB . BC ＝AB ，∴BE ＝BC . ∠ BAM ＝∠ DAN.AM AB又 AD ＝BC ，∴ AN ＝ BC .∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠MAD ＝90°.∴∠ B ＋∠ BAM ＝∠ MAN ＋∠ NAD ＝90°，∴∠ B ＝∠ MAN.AM MN∴△ AMN ∽△ BAC ，∴ AB ＝AC .10．证明：∵ AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ ADB ＝∠ AED ＝90°.又∵∠ BAD ＝∠ DAE ，∴△ ADE ∽△ ABD ，得 AD 2 ＝AE ·AB ，同理可得 AD 2＝AF ·AC ，∴ AE ACAE ·AB ＝AF ·AC ，∴ AF ＝AB .11．证明：连接 PC ，如图．∵ AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分 BC ，∠ABC ＝∠ ACB ，∴BP ＝ CP ，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ ABC －∠1＝∠ ACB －∠2，即∠ 3＝∠4. ∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F ，∴∠CP PF 2 24＝∠ F.又∵∠ CPF ＝∠ CPE ，∴△ CPF ∽△EPC ，∴ PE ＝ CP ，即 CP 2＝PF ·PE.∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE ·PF.（第 12题） 12．证明：如图，连接 PA ，则 PA ＝PD ，∴∠ PDA ＝∠PAD. ∴∠ B ＋∠ BAD ＝∠ DAC ＋∠ CAP. 又∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ DAC.∴∠ B ＝∠ CAP.又∵∠ APC ＝∠ BPA ，∴△ PAC ∽△PBA ，即 PA 2＝PB ·PC ，∴ PD 2＝PB ·PC. PA ＝PC ，PB ＝PA ，专训2∵BE 平分∠ ABC ，∴∠ DBE ＝∠EBC. ∵ED ∥BC ，∴∠ DEB ＝∠ EBC.AE BD∴∠ DBE ＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴ ＝ ，AC BC即 AE ·BC ＝ BD ·AC.(2) 解：设 h △ADE 表示△ ADE 中 DE 边上的高， h △BD E 表示△ BDE 中 DE 边上的高， h △AB C 表示△ ABC 中 BC 边上的高．S △ ADE h △ ADE 3 S △ADE ＝3，S △BDE ＝ 2，∴ ＝ ＝S △ BDE h △ BDE 2h △ ADE 3h △ ABC 5∵DE ＝6，∴BC ＝10.COD ，△ DOE ∽△ COB 所. 以∠ EBO ＝∠ DCO ，∠ DEO ＝∠ CBO.因为∠ ADE ＝∠ DCO ＋∠ DEO ，∠ ABC ＝ ∠EBO ＋∠CBO.所以∠ADE ＝∠ABC.又因为∠ A ＝∠ A ，所以△ ADE ∽△ ABC.3．证明：∵∠ BAC ＝90°， AD ⊥BC 于点 D ，∴∠ BAC ＝∠ ADB ＝90°.又∵∠ CBA ＝∠ ABD(公共角 ) ，AB DB∴△ABC ∽△DBA.∴A AB C ＝D D A B ，∠BAD ＝∠C.∵AD ⊥BC 于点 D ， E 为 AC 的中点，∴ DE ＝EC. ∴∠ BDF ＝∠ CDE ＝∠ C.∴∠ BDF ＝∠ BAD. 又∵∠ F ＝∠F ，DB DF AB DF∴△DBF ∽△ADF.∴AD ＝AF.∴AC ＝AF.(第 3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又1．(1) 证明：∵ ED ∥BC ， AE DE △ADE ∽△ABC.∴AC ＝BC .∵△ ADE ∽△ ABC ， DE ＝h △ADE ＝3BC h △ ABC 52．解：相似．理由如下：因为 EO ＝ DO ，BO ＝ CO ， ∠ BOE ＝∠ COD ，∠ DOE ＝∠ COB ，所以△BOE ∽△不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB ＝AF·AC.4．证明：(1) ∵∠ DAB＝∠ EAC，∴∠ DAE＝∠ BAC.又∵∠ ADE＝∠ ABC，∴△ ADE∽△ ABC.(2) ∵△ADE∽△ABC，∴ A A E D＝A A B C.∵∠ DAB＝∠EAC，∴△ ADB∽△ AEC.∴AAED＝B C D E.专训3NE ON1．证明：∵ DE∥BC.∴△NEO∽△ MBO∴. MB＝OM.DN ON DN NE DN MC 同理可得＝. ∴ ＝. ∴ ＝.MC OM MC BM NE BM∴△ ANE∽△ AMC∴. AN＝NE.AM MCAN DN DN NE DN BM 同理可得AM＝BM，∴BM＝MC.∴NE＝MC.2．证明：如图，过C作CG∥AB交DF于G点．AD＝AE，BD＝BF，CG＝CE，CG＝CF，AE＝BF，∴AD＝BD，CE＝CF，∴CG＝CG，∵DE∥BC，∴MC＝BM∴∴BM＝MC. ∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.∵CG∥AB，(第2题)∴AD ＝BD.AD AE DE AD 1 1AB ＝AC . 又∠ A ＝∠ A ，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴BC ＝AB ＝2，∴DE ＝2BC.4．证明：如图，延长 CE ，交 AM 的延长线于 F. ∵ AB ∥CF ，∴∠ BAM ＝∠ F ，△ BDM ∽△BAC ，∴∠ BAM ＝∠ CAM ，∴∠ CAM ＝∠F ，∴AC ＝CF ，∴AC ＝2CE.（第 5题）5．证明：如图，过点 C 作CO ⊥AB 于点 O.∵DE ＝CD ，DE ⊥CD ，∴∠ ECD ＝∠ CED ＝45°. ∵△ ABC 是等腰直角三角形，∴∠ CAB ＝∠ B ＝45°. ∴∠ CAB ＝∠又∵∠ ACE ＋∠ ECO ＝∠OCD ＋∠ ECO ＝45°，∴∠ ACE ＝∠OCD ∴. △ ACE ∽△ OCD ∴. ∠CAE ＝ ∠COD ＝90°.又∵∠ ACB ＝90°，∴∠ CAE ＋∠ACB ＝180°.∴AE ∥BC.6．解：(1)MN ∥AC ∥ED.证明如下：∵ EF ∥BC ，∴△ AEM ∽△ ABD ，△ AMF ∽△ ADC ，∴ EM ＝BDA ADM ＝D M C F .∵E 为AB 的中点，EF ∥BC ，∴F 为 AC 的中点．又∵ DF ∥AB ，∴D 为BC 的中点，∴EM＝MF.∵F 为AC 的中点， FN ∥AE ，∴ N 为EC 的中点，从而 MN ∥AC.又∵D 为 BC 的中点， E 为AB 的中点，∴ ED ∥AC ，∴ MN ∥AC ∥ED.3．证明：∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∠A ＝60°，∠ ABD ＝∠ ACE ＝30 AD ＝1，AB ＝2，AE 1AC ＝2，BD BM BA BMCEM ，△BAM ∽△CFM ，∴B C D E ＝B M M C ，B C A F ＝B M MC ， BD BA∴ B C D E ＝B C A F .又∵BA ＝2BD ，∴ CF ＝2CE.又 AM 平分∠CED.又∵∠ AOC ＝∠ EDC ＝90 AC EC∴△ ACO ∽△ECD.∴A C CO(2)MN ∥AC.证明如下：∵ EF ∥BC ，∴△ AEM ∽△ ABD ，△ AMF ∽△ ADC ，∴B E D M ＝A ADM ＝D M C F ，BD AD DCEM BD BD EN EM EN EM EN＝ . 又∵ DF ∥AB ，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ . 又∵∠ MEN ＝∠ FEC ， MF＝DC . 又∵DF ∥AB ，∴DC ＝NC ，∴MF ＝NC ，∴EF ＝EC. 又∵∠ MEN ＝∠ FEC ，∴∠ EMN ＝∠ EFC.∴ MN ∥AC.AC AB7．证明：∵ AC 2＝AB ·AD ，∴ AD ＝AC . 又∵∠ A ＝∠A ，∴△ ACD ∽△ ABC.∴∠ ADC ＝∠ ACB.2BC BA又∵BC 2＝BA ·BD ，∴BD ＝BC . 又∵∠ B ＝∠ B ，∴△ BCD ∽△ BAC.∴∠ BDC ＝∠ BCA. ∴∠ ADC ＝∠ BDC.∵∠ BDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ ADC ＝∠BDC ＝90°. ∴CD ⊥AB.18．证明：∵ AD ＝3AB ，点 E ，F 把 AB 三等分，∴设 AE ＝ EF ＝FB ＝AD ＝k ，则 AB ＝CD ＝3k.∵CD ∥AB ，∴∠ DCG ＝∠ FAG ，∠ CDG ＝∠ AFG.FG AF 2∴△AFG ∽△CDG ，∴F D G G ＝A C F D ＝23.设 FG ＝2m ，则 DG ＝3m ，∴ DF ＝FG ＋DG ＝2m ＋3m ＝5m. 在 Rt △AFD 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝5k 2，∴ DF ＝ 5k.又∠ AFD ＝∠ GFE ，∴△ AFD ∽△ GFE.∴∠ EGF ＝∠ DAF ＝90°. ∴ EG ⊥ DF.专训41．解： (1)设直线 AD 的解析式为 y ＝kx ＋b(k ≠0) 将 D(0，1) A 43， 35 代入解析式得：∴5m ＝ 5k.AF 2k∴F A G F ＝252k 5k ＝ 5，DF 5k AF DF EF ＝ k ＝ 5. ∴FG ＝EF .∴△ MEN ∽△ FEC.b ＝ 1b ＝ 15＝4k ＋b 解得k ＝11∴直线 AD 的解析式为 y ＝ 2x ＋1.1（2） 直线 AD 的解析式为 y ＝2x ＋1.令 y ＝0，得 x ＝－2.得 B （－2，0） ，即 OB ＝2. 直线 AC 为 y ＝－ x ＋3. 令 y ＝ 0，得∴ x ＝3. 得 C （3，0） ，即 BC ＝51设 E x ， 2x ＋1①当 E 1C ⊥BC 时，如图，∠ BOD ＝∠ BCE 1＝90°，∠ DBO ＝∠ E 1BC.∴△ BOD ∽△ BCE 1. 此时点 C 和点 E 1 的横坐标相同．15将 x ＝ 3 代入 y ＝2x ＋1，解得 y ＝2.∴E 1 3， 2②当 CE 2⊥AD 时，如图，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠ DBO ＝∠CBE 2， ∴△ BOD ∽△ BE 2C.过点 E 2作 EF ⊥x 轴于点 F ，则∠ E 2FC ＝∠ BFE 2＝90 又∵∠ E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°， ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°. ∴∠ E 2BF ＝∠ CE 2F.E 2F CF∴△ E 2BF ∽△ CE 2F ，则 ＝ .BF E 2F解得： x 1＝2，x 2＝－ 2（舍去 ） ∴E 2（2，2）当∠ EBC ＝90°时，此情况不存在．5综上所述： E 1 3，2 或 E 2（2，2） ．即 E 2F 2＝CF ·BF. 12x ＋ 1 2＝（3 －x ）（x ＋2）（第 1题）（第 2题）2．解： （1） 由题意得 A （3，0），B （0，3），∵抛物线经过 A ，B ，C 三点，∴把 A（3，0） ， 9a ＋3b ＋c ＝ 0， B （0， 3） ， C （1，0） 三点的坐标分别代入 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，得方程组 c ＝3， 解得 a ＋ b ＋ c ＝0， a ＝1， b ＝－ 4，∴抛物线对应的函数解析式为 y ＝x 2－4x ＋3. c ＝3， （2） 如图，由题意可得△ ABO 为等腰直角三角形．若△ ABO ∽△ AP 1D ，则 A A D O ＝D O P B，∴ DP 1＝ AD DP 1AD ＝4，∴P 1（ －1，4）；若△ ABO ∽△ ADP 2，过点 P 2作 P 2M ⊥x 轴于 M ，∵△ ABO 为等腰直角三角 形，∴△ ADP 2是等腰直角三角形，由三线合一可得 DM ＝AM ＝2＝P 2M ，即点 M 与点 C 重合，∴ P 2（1 ，2） ，∴点 P 的坐标为 （－1，4）或（1，2）． 3．解： （1） 易得A （－1，0），B （0，2），C （1，0）． 设直线 BD 对应的函数解析式为 y ＝kx ＋ m. 把 B （0，2），C （1，0） 的坐标分别代入 y ＝kx ＋m ， m ＝2 k ＋m ＝0， k ＝－2 解得 m ＝2. ∴直线 BD 对应的函数解析式为 y ＝－ 2x ＋2. ∵抛物线对应的函数解析式为 y ＝－ x 2＋bx ＋c. 2∴把 B （0，2），D （3，－4） 的坐标分别代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ， c －＝92＋，3b ＋c ＝－4，解得－9＋3b ＋ c ＝－ 4，b ＝1，c ＝2.∴抛物线对应的函数解析式为 y ＝－ x 2＋x ＋2.（2） 存在，①如图①，当△ MON ∽△ BCO 时， C O O N ＝B M O N ，即O 1N ＝M 2N ，∴ MN ＝2ON.设 ON ＝a ，则2M （a ， 2a ） ，∴－ a 2＋a ＋2＝2a ，解得 a 1＝－ 2（不合题意，舍去 ） ，a 2＝1，∴ M （1，2） ；②如图4．解： （1）在矩形 OABC 中，∵点 B 的坐标为（2 ， 3） ，∴ BC 边的中点 D 的坐标为（1 ， k k 33） ．∵双曲线 y ＝x 经过点 D （1， 3） ，∴ 3＝1，∴ k ＝ 3，∴ y ＝x . ∵点 E 在 AB 上，∴点 E 的横坐3 3 3 标为 2.又∵双曲线 y ＝x 经过点 E ，∴点 E 的纵坐标为 y ＝2，∴点 E 的坐标为 2，2.33 BD BE 1 2 4（2） 易得 BD ＝1，BE ＝2，CB ＝2. ∵△FBC ∽△DEB ，∴CF ＝CB ，即CF ＝2，∴CF ＝3，∴OF 55＝3，即点 F 的坐标为 0，3 .设直线FB 对应的函数解析式为 y ＝k 1x ＋b ，而直线 FB 经过B （2，25∴ k 1＝3，b ＝3，∴直线 FB 对应的函数解析式为②，当△ MON ∽△ CBO 时，ON＝MN ，即ON ＝MN ， BO CO 2 1 ∴－ n 2＋ n＋2＝2，解得 n 1＝ 4 （ 不合题意，舍去 ） ，n 2＝ 4 ，∴M(1＋ 33，1＋ 338） ．∴存在3)，F 0，53 ，25 y ＝3x ＋3.∴ MN ＝12ON.设 ON ＝n ，则 2n， 这样的点 M （1，2） 或1．C3．解：四边形 ABCD 与四边形 A ′B ′C ′D ′ 相似．由已知条件知，∠DAB ＝∠ AB BC CD D ′A ′B ′，∠ B ＝∠B ′，∠ BCD ＝∠B ′C ′D ′，∠ D ＝∠D ′，且 A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝DA 5＝ ，所以四边形 ABCD 与四边形 A ′ B ′C ′D ′相似．D ′ A ′ 6 4．解：如图，过点 B 作 BM ⊥x 轴于点 M ，过点 B ′作 B ′N ⊥x 轴于点 N ，则△CBM ∽△CB ′N.所以 MC NC ＝BM B ′N ＝BC B ′C.又由已知条件知 NC ＝a ＋1，B ′N ＝－ b ， BC 1bB ′C ＝1 2，所以 MC （a ＋1）＝BM （－b ）＝1 2.所以 MC ＝2（a ＋1） ， BM ＝－ 2. 所以MO ＝ 1 a ＋ 32（a ＋ 1） ＋1＝ 2 .所以点 B 的坐标为1 1 3 3 2(2) ∵S △BDE ＝2·2x ·y ＝2·2x · 6－2x ＝－2(x －2) ＋6，∴当 x ＝2时，最大值为 6.6．（1） 证明：如图，∵ D 是 BC 边上的中点， DE ⊥BC ， ∴EB ＝EC ，∴∠ B ＝∠1. 又∵ AD ＝AC ，∴∠ ACD ＝∠ 2，∴△ ABC ∽△FCD. （2） 解：如图，过点 A 作AM ⊥CB 于点 M. ∵D 是 BC 边上的中点，∴ BC ＝2CD.1 2S △ ABC 2× 20∵S △ABC ＝2BC ·AM ，∴AM ＝ BC ＝ 10 ＝4.∵DE ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴DE ∥AM ，a ＋ 3，2，b －2. 5．解： (1) ∵DE ∥ BC ，AD ＝AE，AB ＝AC ，8－ 2x y 3∴ －8 ＝6，∴ y ＝－2x ＋6(0≤x ≤4)．S △BDE 有最大值，由(1) 知△ ABC ∽△ FCD ，S △ABCS △FCDBC2＝4. CD ＝1.又∵ S △FCD ＝5，∴ S △ABC ＝20. （第 4题）由 AD ＝AC ，AM ⊥BC ，知 DM ＝21CD ＝ 41BC ＝25.点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．7．证明：∵△ ACB 为等腰直角三角形， AB 为斜边， ∴∠ CAB ＝45°. ∵CO ⊥AB.∴∠AOC ＝90°.又∵DE ⊥CD ，DE ＝CD ，∴∠ CED ＝45°，∠ CDE ＝90 ∴∠ CAO ＝∠ CED ，∠ AOC ＝∠ EDC. AC CE∴△ACO ∽△ECD.∴∠ACO ＝∠ECD ，CO ＝CD .∴∠ ACE ＝∠ OCD ∴. △ACE ∽△ OCD.8．(1) 证明：由四边形 APCB 内接于圆 O ，得∠ FPC ＝∠ B. 又∠ B ＝∠ ACE ＝90°－∠ BCE ，∠ ACE ＝∠ APD ， 所以∠ APD ＝∠ FPC ，所以∠ APD ＋∠ DPC ＝∠ FPC ＋∠ DPC ， 即∠ APC ＝∠ FPD. 又∠ PAC ＝∠ PDC ， 所以△ PAC ∽△ PDF.(2) 解：由(1) 知△ PAC ∽△ PDF ，所以∠ PCA ＝∠ PFD. 又∠ PAC ＝∠ CAF ，所以△ PAC ∽△ CAF ，所以△ CAF ∽△PDF ，由 AB ＝5，AC ＝2BC ，∠ ACB ＝90°，知 BC ＝ 5，AC ＝2 5. 由 OE ⊥CD ，∠ACB ＝90°知 CB 2＝BE ·AB ， CE ＝DE.CB 2 5所以 BE ＝ AB ＝5＝1.所以 AE ＝ 4，CE ＝ CB －BE ＝ 5－1＝2，∴△ BDE ∽△BMA.∴DE ＝BD . AM ＝BM .DE 55 5＋52∴DE ＝83.所以P A D C ＝A D F F ， 则 PD · AF ＝ AC · DF.所以DE＝ 2.又＝，∠ AFD＝∠ PCA，所以∠ AFD＝∠ PCA＝45 所以FE＝AE＝4，AF＝4 2，所以PD＝AC A·F DF＝2 5×4（42＋2）＝3210.9．解：（方法一：作延长线）延长AD，与地面交于点M，如图① .（第9题）由AM∥FH知∠ AMB＝∠FHG.又因为AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG，因为CD＝ 2 m，FG＝1.2 m，GH＝ 2 m，2 1.2 10 所以CM＝2，解得CM＝3m.所以BM＝BC＋CM＝4＋130＝232（m）．33故这棵树的高度是 4.4 m.（方法二：作垂线）过点D作DM⊥AB于点M，如图② .所以A D M M＝F G G H.而DM＝BC＝4 m，AM＝AB－CD＝AB－2（m），FG＝1.2 m，GH＝2 m，故这棵树的高度是 4.4 m.10．解：如图，过点A 作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC于点G. ∵DE∥BC，∴△ ADE∽△ ABC.AF DE 30 24∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC，∴A AF G＝B D C E，∴3A0G＝2640解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，即河的宽度为45 m.所以AB－241.22 解得AB＝4.4 m.所以△ ABM∽△ DCM∽△ FGH，所以AB＝CD＝FG.BM＝CM＝GH.因为BC＝ 4 m，所以2A2B＝1.2解得AB＝4.4 m.(第11题)11．思路导引：本题位似中心为O，先连接CO，因为要把原三角形缩小为原来的一半，1可确定C′O＝2CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形，如图中的△ A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．12．思路导引：(1) 由角平分线的定义及∠ BAD 为平角直接可得．(2) 由于线段PM，CM，BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ ACM与△ ABM相似即可．1(1) 解：∵ AP平分∠ BAC，∴∠ PAC＝2∠BAC.1又∵ AQ平分∠ CAD，∴∠CAQ＝2∠CAD.111∴∠PAC＋∠CAQ＝2∠BAC＋2∠CAD＝2(∠BAC＋∠CAD)．又∵∠ BAC＋∠ CAD＝180°，∴∠ PAC＋∠ CAQ＝90°，即∠ PAQ＝90°. (2) 证明：由(1) 知∠ PAQ＝90°，又∵ M是线段PQ的中点，∴PM＝AM，∴∠ APM＝∠ PAM.∵∠ APM＝∠ B＋∠ BAP，∠ PAM＝∠ CAM＋∠ PAC，∠BAP＝∠ PAC，∴∠ B ＝∠ CAM.又∵∠ AMC＝∠ BMA，∴△ ACM∽△ BAM.点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形 进行求解．CM ＝AM ， AM ＝BM ， ∴ AM 2＝CM ·BM ，即 PM 2＝CM ·BM.。

初三数学图形与证明试题答案及解析

初三数学图形与证明试题答案及解析

初三数学图形与证明试题答案及解析1.顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是（）A．邻边不等的平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形【答案】D【解析】如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH=HD=BF=CF，AE=BE=CG=DG，在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH=HD，AE=DG，所以△AEH≌△DGH，因此根据全等三角形的性质可得EH=HG，同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF，因此可得EH=HG=GF=EF，所以四边形EFGH为菱形．故选A【考点】菱形的判定2.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上。

（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高。

（，结果精确到0.1m）【答案】(1) 8m．(2) 4.5m．【解析】（1）根据坡度定义直接解答即可；（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH=∠SBH，根据，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS．试题解析：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m.（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H.∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH，∵DG=EF=2m，∴GH=1m，∴DH=m，BH=BF+FH=3.5+（2.5-1）=5m，设HS=xm，则BS=2xm，∴x2+（2x）2=52，∴x=m，∴DS=+=2m≈4.5m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．3.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（）A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝D．AF＝EF【答案】D．【解析】∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，∵∠AEF=∠FEC，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∴选项A正确；∵ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵AG=DC，∠G=∠C，∴∠B=∠G=90°，AB=AG，∵AE=AF，∴△ABE≌△AGF，∴选项B正确；设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=8﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x=3，∴AE=8﹣3=5，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=4，AH=BE=3，∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，在Rt△EFH中，EF=，∴选项C正确；由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D．【考点】翻折变换（折叠问题）．4.（7分）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形；（直接写出答案，不需要说明理由）【答案】（1）证明见解析；（2）①当AE＝3．5cm时，四边形CEDF是矩形．②当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形．【解析】（1）利用“ASA”即可得证；①当四边形CEDF是矩形时，则有EG=DG=1．5cm，又由已知可得∠ADC＝60°，从而得△EGD为等边三角形，从而得DE=1．5cm，从而得AE=3．5cm；②．当四边形CEDF是菱形时，则有EF⊥CD，由已知可知∠ADC=60°，从而可得∠DEG＝30°，从而得DE＝2DG＝3，从而得AE＝2．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵ G是CD的中点，∴ CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG ≌△EDG（ASA），∴ FG＝EG，∵ CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE＝3．5cm时，四边形CEDF是矩形．②当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形．【考点】1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的判定；4．菱形的判定．5.如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 度．【答案】60°．【解析】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后由三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．试题解析：连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B="∠AOC，"∵∠AOC="2∠ADC，"∴∠B="2∠ADC，"∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC="180°，"∴3∠ADC="180°，"∴∠ADC="60°，"∴∠B="∠AOC=120°，"∵∠1="∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，"∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）-（∠ADO+∠CDO）=∠AOC-∠ADC=120°-60°=60°．【考点】1．圆周角定理；2．平行四边形的性质．6.下列四个命题中真命题是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．四边都相等的四边形是正方形【答案】C【解析】因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以A错误；因为对角线垂直且相等的四边形可能是菱形也可能是等腰梯形，所以B错误；因为对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以C正确；因为四边都相等的四边形是菱形，所以D错误；故选：C．【考点】特殊的平行四边形的判定．7.挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走。

初三证明题练习题及答案

初三证明题练习题及答案

初三证明题练习题及答案1. 已知直角三角形ABC中，AB = 3 cm，BC = 4 cm，求证：∠B = 90°。

证明：首先，我们知道直角三角形的定义是其中一个角为90°。

所以，我们需要证明∠B = 90°。

假设∠B ≠ 90°，即角B为锐角或钝角。

若∠B为锐角，则根据三角形内角和为180°的性质，∠A + ∠B + ∠C = 180°，因为∠B是一个锐角，所以∠A + ∠C > 90°。

但根据余弦定理，我们可以计算出AB^2 + BC^2 = AC^2：3^2 +4^2 = 9 + 16 = 25 = AC^2。

然而，当∠A + ∠C > 90°时，对于一个给定的直角三角形，AC的长度必定大于5（根据三角不等式），但根据计算结果AC = 5。

这与实际情况不符，所以假设不成立，∠B不能是一个锐角。

若∠B为钝角，则根据三角形内角和为180°的性质，∠A + ∠B + ∠C = 180°，因为∠B是一个钝角，所以∠A + ∠C < 90°。

但根据余弦定理，我们可以计算出AB^2 + BC^2 = AC^2：3^2 +4^2 = 9 + 16 = 25 = AC^2。

然而，当∠A + ∠C < 90°时，对于一个给定的直角三角形，AC的长度必定小于5（根据三角不等式），但根据计算结果AC = 5。

这同样与实际情况不符，所以假设不成立，∠B不能是一个钝角。

综上所述，假设∠B ≠ 90°不成立，所以∠B = 90°，即三角形ABC 是一个直角三角形。

2. 已知直角三角形ABC中，AC = 5 cm，BC = 12 cm，求证：AB = 13 cm。

证明：为了证明AB = 13 cm，我们可以利用勾股定理。

根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和。

初三数学图形与证明试题答案及解析

初三数学图形与证明试题答案及解析

初三数学图形与证明试题答案及解析1.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20o，那么∠2的度数是（▲ )A．30o B．25oC．20o D．15o【答案】B【解析】略2.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．【答案】．【解析】如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB=AC=，BC=，AD=，可以得知△ABC是等腰三角形，由面积相等可得，BC•AD=AB•CE，即CE=，sinA===，故答案为：．【考点】1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理．3.如图，AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点E、F，若∠AEF=40°，则∠EFD的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．140°【答案】B【解析】根据AB∥CD可得∠EFD=∠AEF=40°．【考点】平行线的性质．4.如图，已知点A（-1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B．【解析】当∠BPA=90°时，即点P的位置有2个；当∠ABP=90°时，点P的位置有1个；当∠BAP=90°时，在y轴上共有1个交点．试题解析：如图：（1）以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与ｙ轴交于一点，这一点符合点P的要求；（2）以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与ｙ轴交于一点，这一点符合点P的要求；（3）以P为直角顶点，与y轴共有2个交点．所以满足条件的点P共有4个．故选B．【考点】一次函数综合题．5.两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm,两圆的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．内含【答案】C．【解析】圆心距为2cm,小于两圆的半径和7cm，大于两圆的半径差1cm，根据圆和圆的位置关系可得，两圆的位置关系是相交，故答案选C．【考点】圆和圆的位置关系．6.如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）A．25°B．50°C．60°D．30°【答案】A．【解析】∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC=50°，∴∠BAC=25°，∵AC∥OB，∴∠BAC=∠B=25°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=25°，故选A．【考点】1．圆周角定理；2．平行线的性质．7.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（）．A．50°B．40°C．30°D．25°【答案】B．【解析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．试题解析：解：如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°．故选B．点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．【考点】平行线的性质．8.如图，AB∥CD，CP交AB于点O，AO=PO，∠C=50°，则∠A＝ °．【答案】25【解析】∵AB//CD，∴∠POB=∠C=50°，∵OA=OP，∴∠A=∠P，∵∠A+∠P=∠POB，∴∠A＝25°．【考点】1．平行线的性质；2．三角形外角的性质．9.如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD= cm．【答案】2．【解析】先根据垂径定理求出AD的长，在Rt△AOD中由勾股定理求出OD的长，进而利用CD=OC-OD可得出结论．试题解析：∵⊙O的半径是10cm，弦AB的长是12cm，OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，∴OA=OC=10cm，AD=AB=×12=6cm，∵在Rt△AOD中，OA=10cm，AD=6cm，∴OD==8cm，∴CD=OC-OD=10-8=2cm．【考点】1．垂径定理；2．勾股定理．10.（8分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE 的延长线于F点，连接AD、CF．当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？【答案】当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，理由见解析【解析】根据三角形的中位线定理以及条件先证明四边形ADCF是平行四边形，然后再证明对角线垂直即可．试题解析：当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形。

初三证明几何练习题和答案

初三证明几何练习题和答案

初三证明几何练习题和答案在初三的数学学习中，证明几何是一个重要的内容。

通过证明几何的练习，不仅可以提高学生的逻辑思维和推理能力，还能加深对几何概念的理解。

本文将提供一些初三常见的证明几何练习题和答案，以供学生参考。

1. 设AO和BO是直线段垂直平分线，点C在直线AB上。

证明：∠ACO = ∠BCO。

解答：首先，根据直线段垂直平分线的定义，AO和BO互相垂直且平分直线段AB。

设∠ACO的度数为x，∠BCO的度数为y。

则根据垂直平分线的性质可知∠COA = ∠COB = 90°。

再根据直线上的角平分线性质可知∠COA = ∠AOC = x/2，∠COB= ∠BOC = y/2。

又由于∠COA = 90°，则x/2 + y/2 = 90°，即x + y = 180°。

因此，根据等量关系可得∠ACO = ∠BCO，证明完成。

2. 在△ABC中，垂直平分线BD交边AC于点E，证明：AE = EC。

解答：根据垂直平分线的定义，BD是边AC的垂直平分线，即BD垂直于AC且平分边AC。

设AE的长度为x，EC的长度为y。

根据垂直平分线的性质可知∠BDE = ∠BDE = 90°，∠BED =∠CED。

由于△BDE和△BEC中∠BDE = ∠BEC = 90°，则两个三角形中的另外两个角也相等，即∠BDE = ∠BEC。

又由于∠BDE = ∠BEC，三角形内角和为180°，则∠BED + ∠BDE + ∠BEC = 180°。

代入角度的数值可得∠BED + 90° + ∠BED = 180°，即∠BED = 45°。

进一步，根据角平分线的性质可知∠AEB = ∠BEC，即∠AEB = 45°。

因为∠AEB为三角形△AEB的内角，所以△AEB的另外两个角之和也为180°。

因此，180° = 45° + x + 45°，化简得180° = x + 90°，即x = 90°，即AE的长度为90°。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第27章 证明全章标准检测卷(100分 90分钟)一、选择题:(每题2分,共22分)1.如图1所示,AB∥CD,EG⊥AB,若∠1=58°,则∠E 的度数等于( ) A.122° B.58° C.32° D.29°C A B1EDG CA E D F③②①CA BOD(1) (2) (3) (4) 2.如图2所示,DE∥BC,EF∥AB,图中与∠BFE 互补的角共有( ) A.3个 B.2个 C.5个 D.4个3.在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c=( ) A.1:2:3 B.1:2: C.1:4.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是( ) A.30° B.60°; C.30°或150° D.不能确定5.如图3所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那最省事的办法是( )A.带①去B.带②去;C.带③去D.带①和②去6.等腰三角形周长是32cm,一边长为10cm,则其他两边的长分别为( )A.10cm,12cm;B.11cm,11cm;C.11cm,11cm 或10cm,12cmD.不能确定 7.若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长,那么它的最小内角为( ) A.10° B.20° C.30° D.60°8.如图4所示,在等腰梯形ABCD 中,AD∥BC,AC,BD 相交于点O, 则图中全等三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对9.矩形ABCD 中,E 在AD 上,AE=ED,F 在BC 上,若EF 把矩形ABCD 的面积分为1:2,则BF:FC=( )(BF<FC)A.1:3B.1:4C.1:5D.2:910.梯形的一腰长为10cm,这腰和底边所成的角为300,中位线长12cm, 则此梯形的面积为( )A.30cm 2B.40cm 2C.50cm 2D.60cm 211.已知四边形ABCD 中,AC⊥BD,E、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点, 则四边形EFGH 是( )A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形 二、填空题:(每题2分,共26分)12.如图所示,直线AB 、CD 被直线EF 所截,若∠1=∠2,则∠AEF+∠CFE=____ 度. 13.若等腰三角形的两边长分别为3和4,则其周长为_________. 14.等腰三角形一个内角为80°,则其他两角是_________. 15.已知三角形的三个内角的度数比为2:3:4, 则这个三角形三个内角的度数为________. C A B21E DF16.三角形两边的长分别为5和7,则最短边长的取值范围是_________.17.三角形的一个外角是100°,则与它不相邻的两内角平分线夹角(钝角) 是______度. 18.如果△ABC≌△A′B′C′,AB=24, '''A B C S ∆=180,那么△ABC 中AB 边上的高是____. 19.等腰三角形一腰上的中线分三角形的周长为6cm 和15cm 的两部分, 则它的腰长是________,底边长为________.20.若平行四边形的周长是100cm,且一组邻边的差是30cm, 则较短的边长是___cm;若平行四边形的周长为56cm,两条邻边的比是4:3,则较长边是_____cm.21.已知菱形的一条对角线的长为12cm,面积是30cm 2,则这个菱形的另一条对角线的长为________cm.22.命题“如果一个四边形的四边都相等,那么这个四边形是菱形”的逆命题是_________________________________________________.23.如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,AC、BD 交于O 点, AOD S ∆：COB S ∆ 1:9,则DOC S ∆: BOC S ∆=___________.24.等腰梯形的中位线长为8cm,腰长为6cm,则梯形的周长是________. 三、解答题:(每题7分,共42分)25.已知一个多边形的内角和等于1180°,求这个多边形的边形.26.如图所示,△ABD、△ACE 都是等边三角形,求证:CD=BE.CAE D27.已知:如图所示,ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,EF 经过点O 并且分别和AB 、CD 相交于点E 、F 、G 、H 分别为OA 、OC 的中点.求证:四边形EHFG 是平行四边形.CABEODF G HCA BOD28.已知:如图所示,在梯形ABCD 中,AD∥BC,对角线AC 和BD 相交于点E,且AC= AB,BD=BC,BA⊥AC 于点C,求证:CD=CE.CABED29.如图所示,在△ABC 中,AB=AC,D 是AB 上任意一点,且BD=CE,连结DE 交BC 于F. 求证:FD=FE.C ABD F30.如图所示,以△ABC 的三边为边,分别作三个等边三角形. (1)求证四边形ADEF 是平行四边形.(2)△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是菱形?是矩形? (3)这样的ADEF 是否总是存在?CABEDF四、学科间综合题:(10分)31.如图所示是一个半径为R,重为G 的均匀圆柱体,现在其边缘上作用一拉力,使它能滚上高为h 的台阶,则拉力应作用于哪一点?沿哪个方向才能最省力?最小拉力为多大?答案:一、1.C 2.D 3.C 4.C 5.C 6.C 7.C 8.C 9.C 10.D 11.B二、12.180° 13.10或11 14.80°,20°或50°,50° 15.40°,60°,80 ° 16.大于2且小于或等于5 17.130° 18.15 19.10cm,1cm 20.10,16 21.5 22.如果一个四边形是菱形,那么它的四条边都相等. 23.1:3 24.28cm 三、25.解:设这个多边形是n 边形,由题意知,(n-2)×180°=1180°,∴n=8, 故该多边形的边数为8.26.证明:∵△ABD,△ACE 都是等边三角形,∴AC=AE,AD=AB,∵∠EAC=∠DAB=60°,∠EAC+∠BAC=∠DAB+∠BAC, 即∠EAB=∠CAD. 在△EAB 和△CAD 中,AE=AC,∠EAB=∠CAD,AB=AD, ∴△EAB≌△CAD. ∴BE=CD.27.证明:如答图所示,∵点O 为ABCD 对角线AC,BD 的交点,∴OA=OC,OB=OD.∵G,H 分别为OA,OC 的中点,∴OG=12OA,OH=12OC, ∴OG=OH.又∵AB∥CD,∴∠1=∠2.在△OEB 和△OFD 中,∠1=∠2,OB=OD,∠3=∠4, ∴△OEB≌△OFD, ∴OE=OF.∴四边形EHFG 为平行四边形.CAB4321EODFG H28.证明:如答图所示,作AN⊥BC 于N,DM⊥BC 于M, ∵AB=AC,∴AN 为BC 的中线, 又∵∠BAC=90°,∴AN=12BC.∵AN⊥BC,DM⊥BC,AD∥BC, ∴四边形ANMD 为矩形.∴AN=DM.∴DM=12BC. ∵BC=BD,∴DM=12BD.又∵∠DMB=90°, ∴∠DBC=30°,∴∠BDC=∠BCD=75°. ∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠ACB=45°.∴∠DEC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°. ∴∠EDC=∠DEC=75°, ∴CD=CE.ABED29.证明:如答图所示,过D 作DH∥AC 交BC 于H, 则∠ACB=∠DHB,DH∥CE. ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠DHB, ∴DB=DH.∵BD=CE,∴DH=CE. ∵DH∥CE,∴△HDF∽△CEF.∴1FD DHFE EC==, 即FD=FE.C ABED FH30.证明:如答图所示,(1)∵△ABD,△BCE,△ACF 都是等边三角形,∴AB=BD=AD, ∠ABD=∠EBC=∠BCE=∠ACF=60°, BC=BE=CE,AC=AF=FC. ∵∠ABD=∠EBC=60°,∴∠ABD -∠ABE=∠EBC -∠ABE.∴∠DBE=∠ABC, ∴△DBE≌△ABC, ∴DE=AC.∵AC=AF,∴DE=AF.同理可得,△EFC≌△BAC,得EF=AB, ∴EF=AD,∴四边形ADEF 是平行四边形.(2)解:当AB=AC 时 ,四边形ADEF 是菱形,理由如下:∵AB=AD,AF=AC, 又AB=AC,∴AD=AF.又∵四边形ADEF 为平行四边形,∴ADEF 是菱形.当∠BAC=150°时, 四边形ADEF 是矩形. 理由如下:∵∠BAD=∠CAF=60°,∠BAC=150°,∠BAD+∠CAF+∠BAC+∠DAF= 360°, ∠DAF=90°.又∵四边形ADEF 是平行四边形, ∴四边形ADEF 是矩形.(3)当∠BAC=60°时,不存在这样的ADEF.理由如下: ∵当∠BAC=60°时,有∠DAF=60°+60°+60°=180°,即D,A,F 三点在同一直线上时,不存在这样的ADEF.CABEDF四、31.解:如答图所示,使圆柱体滚上台阶,拉力最小时,力臂应最长,即为圆柱体的直径AB=2R,方向垂直于过A 点的直径斜向上,那么重力的力臂为AC, 由AC == ,再由杠杆平衡条件,得F ·2R=G ·AC,答:拉力应作用在垂直于地A 点的直径斜向上,最小拉力为B。

相关文档
最新文档