五校联考高三数学试卷答案

2015届高三第四次模拟考试答案数学(I)(满分160分，考试时间120分钟)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ▲ ．【答案】(0,1)2. 复数z ＝a ＋i 1－i为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】13. 某学校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ▲ ． 【答案】84. 执行如图所示流程图，得到的结果是 ▲ ．【答案】785. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，那【答案】536. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为 ▲ ． 【答案】347. 若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 ▲ ．【答案】15π8. 直线l 过点(－1,0)，且与直线3x ＋y －1＝0垂直，直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1交于M 、N 两点，则MN ＝ ▲ ．【答案】1059. 已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值为 ▲ ．【答案】410. 函数sin (sin cos )([,0])2y παααα=-∈-的最大值为 ▲ ．【答案】122+ 11. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足AB u u u r ＋12AC u u u r ＝AD u u ur ，且|CD uuu r |＝3，那么DA DC ⋅u u u r u u u r＝ ▲ ．【答案】312. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5(x ＞1)，若∃x 1,x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(－∞,4)13. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】⎣⎢⎡ln33,⎭⎪⎫1e14. 各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有 ▲ 项． 【答案】7解：a 21＋a 2＋a 3＋···＋a n ＝a 21＋(n －1)(a 2＋a n )2＝a 21＋(n －1)(a 1＋n )＝a 21＋(n －1)a 1＋n (n－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －122＋n (n －1)－(n －1)24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －122＋(n －1)(3n ＋1)4≤33 为了使得n 尽量大，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －122＝0，∴(n －1)(3n ＋1)4≤33 ∴(n －1)(3n ＋1)≤132，当n ＝6时，5×19＜132；当n ＝7时，6×22＝132， 故n max ＝7．【注】不易猜测：－3，－1，1，3，5，7，9．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分14分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． （1）求f (x )的解析式；（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)………2分∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π∴π3＜π3＋φ＜4π3∴π3＋φ＝5π6即φ＝π2……5分∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ．………6分注意：不写φ的范围，直接得φ的值扣1分，f (x )的解析式不化简不扣分．（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513，∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15.………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84．………14分注意：其他解法参照给分 16. （本小题满分14分）在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点． （1）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；（2）设M 为棱CC 的点，且满足BM ⊥B D ，1A 1B 1C求证：平面AB 1D ⊥平面ABM ．证明：(1) 记A 1B ∩AB 1＝O ，连接OD .∵四边形AA 1B 1B 为矩形，∴O 是A 1B 的中点， 又∵D 是BC 的中点，∴A 1C ∥OD .………2分 又∵A 1C ⊂∕平面AB 1D ，OD ⊂平面AB 1D ， ∴A 1C ∥平面AB 1D .………6分注意：条件“A 1C ⊂∕平面AB 1D ，OD ⊂平面AB 1D ”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！(2)∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC .………8分 ∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C .【或利用CC 1⊥平面ABC 证明AD ⊥平面BB 1C 1C .】………10分 ∵BM ⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥BM .………12分 又∵BM ⊥B 1D ，AD ∩B 1D ＝D ，AD ,B 1D ⊂平面AB 1D ， ∴BM ⊥平面AB 1D .又∵BM ⊂平面ABM ，∴平面AB 1D ⊥平面ABM ．………14分 17. （本小题满分15分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为55，短轴长为4，F 1、F 2为椭圆左、右焦点，点B 为下顶点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P (x 0,y 0)是椭圆C 上第一象限的点．①若M 为线段BF 1上一点，且满足→PO ＝6·→OM ， 求直线OP 的斜率；②设点O 到直线PF 1、PF 2的距离分别为d 1、d 2， 求证：y 0d 1＋y 0d 2为定值，并求出该定值． ADMC1A 1B 1CO解：（1）由题意知，2b ＝4，∴b ＝2，又∵e ＝c a ＝55，且a 2＝b 2＋c 2， 解得：a ＝5，c ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 25＋y 24＝1；………4分（2）①由（1）知：B (0,－2)，F 1(－1,0)，∴BF 1：y ＝－2x －2………5分设M (t ,－2t －2)，由→PO ＝6·→OM 得：⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6t y 0＝26(t ＋1)………7分代入椭圆方程得：6t 25＋6(t ＋1)2＝1，∴36t 2＋60t ＋25＝0，∴(6t ＋5)2＝0，∴t ＝－56，∴M (－56，－13)………9分∴OM 的斜率为25，即直线OP 的斜率为25；………10分【或】设直线OP 的方程为y kx =，由22154y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得P x =6分 由22y kx y x =⎧⎨=--⎩得22M x k -=+，………8分由→PO ＝6·→OM 得P M x =解得：25k =………10分②由题意，PF 1：y ＝y 0x 0＋1(x ＋1)，即y 0x －(x 0＋1)y ＋y 0＝0………11分∴d 1＝y 0y 20＋(x 0＋1)2，同理可得：d 2＝y 0y 20＋(x 0－1)2∴y 0d 1＋y 0d 2＝y 20＋(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＝PF 1＋PF 2＝2a ＝15分【或】∵S △OPF 1＝12PF 1·d 1＝12OF 1·y 0，∴PF 1·d 1＝y 0，∴y 0d 1＝PF 1．同理在△OPF 2中，有y 0d 2＝PF 2．∴y 0d 1＋y 0d2＝PF 1＋PF 2＝2a ＝………15分18. （本小题满分15分）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB 内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（02θπ<<），其中半径较大的花坛⊙P 内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q 与⊙P 外切，且与OA 、OB 相切． （1）求半径较大的花坛⊙P 的半径（用θ表示）； （2）求半径较小的花坛⊙Q 的半径的最大值．解：(1)设⊙P 切OA 于M ，连PM ，⊙Q 切OA 于N ，连QN ，记⊙P 、⊙Q 的半径分别为r P 、r Q ． ∵⊙P 与⊙O 内切，∴|OP |＝80－r P ， ∴r Psin θ＋r P ＝80，………4分 ∴r P ＝80·sin θ1＋sin θ(0＜θ＜π2)………6分(2)∵|PQ |＝r P ＋r Q ∴|OP |－|OQ |＝r P sin θ－r Qsin θ＝r P ＋r Q∴r Q ＝80·sin θ(1－sin θ)1＋sin θ(0＜θ＜π2)………10分法一：令t ＝1＋sin θ∈(1,2)，∴r Q ＝80·(t －1)(2－t )t2＝80⎝⎛⎭⎪⎫－1－2t2＋3t令m ＝1t ∈（12,1)，r Q ＝80(－2m 2＋3m －1)∴m ＝34时，有最大值10．………14分注意：换元不写范围扣1分 法二：∵2sin θ(1－sin θ)≤2sin θ＋(1－sin θ)2＝1＋sin θ2∴sin θ(1－sin θ)≤(1＋sin θ)28∴r Q ≤10．此时sin θ＝13………14分注意：不指出取等号的条件扣1分法三：令t ＝sin θ∈(0,1)，r Q ＝80(t －t 2)(1＋t )2，∴r Q '＝80(1－3t )(1＋t )3令r Q '＝0得：t ＝13，【列表略】故t ＝13时，⊙Q 的半径的最大值为10．………14分注意：不列表扣1分答：⊙Q 的半径的最大值为10．………15分 注意：应用题不写答扣1分 19. （本小题满分16分）已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ．（1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论； （2）若函数f (x )在[2,3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； （3）设g (x )＝212ln 5aa x x x x++--，若存在x 0∈[1,e ]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋ax假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2，………2分 此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值．………4分 （2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立；………6分 ②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a2或x ＜1－1－a2， ∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增，∵f (x )在[2,3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：－6＜a ＜2 综上，a ＞－6．………10分（3）在[]1e ，上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[]1e ，上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数()1ln ah x x a x x+=+-在[]1e ，上的最小值小于零． 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]1e ，上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由()10ah e e a e +=+-<可得211e a e +>-， 因为2111e e e +>--，所以211e a e +>-；………12分 ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1e ，上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <-；………14分③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为()()12ln 1h a a a a +=+-+， 因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<故()()12ln 12h a a a a +=+-+> 此时不存在0x 使()00h x <成立．综上可得所求a 的范围是：211e a e +>-或2a <-．………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1,e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1,e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0,m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1,x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1,e]时，m (x )＞0故存在x ∈[1,x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1,e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆)………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F '(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1 ∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0 ∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F '(x )＜0∴F (x )在[1,x 1)上单调递减，在(x 1,e]上也是单调递减，………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2．………16分20. （本小题满分16分）已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足12n n a a +-=，2214n n b b +=，且111,1a b ==-．（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数()r r N *∈，使得1r r c c +<，称数列{}n c 为“梦{}{}①若数列{}n a 为“梦5数列”，求n S ；②若{}n a 为“梦1r 数列”，{}n b 为“梦2r 数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）数列{}{},n n a b 都为递增数列，∴12n n a a +-=，21212,2,n n b b b b n N *++=-=∈，∴21n a n =-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩；………4分（2）①∵数列{}n a 满足：存在唯一的正整数=5r ，使得1r r a a +<，且12n n a a +-=，∴数列{}n a 必为1,3,5,7,9,7,9,11,⋅⋅⋅，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，故22,5420,6n n n S n n n ⎧≤⎪=⎨-+≥⎪⎩；………8分②∵2214n n b b +=即12n n b b +=±，1||2n n b -∴=………9分而数列{}n b 为“梦数列”且11b =-，∴数列{}n b 中有且只有两个负项．假设存在正整数m ，使得+1m m S T =，显然1m ≠，且m T 为奇数，而{}n a 中各项均为奇数，∴m 必为偶数．………10分 首先证明：6m ≤．若7m >，数列{}n a 中()()21max 1321(1)m S m m +=++⋅⋅⋅++=+，而数列{}n b 中，m b 必然为正，否则()()1121212122230m m m m T b ---=-++⋅⋅⋅+-≤-++⋅⋅⋅++-=-<，显然矛盾；（※） ∴()()()13211min 12+22223m m m m m T ----=-++⋅⋅⋅++-+=-，设122(1)3m m c m -=-+-，易得11223,m m m m d c c m -+=-=-- 而11220m m m d d -+-=->，()7m >，∴{}m d ()7m >为增数列，且70d >进而{}m c ()7m >为增数列，而80c >， ∴()()min max m m T S >， 即6m ≤．………14分当6m =时，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9,⋅⋅⋅，{}n b 为1,2,4,8,16,32,64,--⋅⋅⋅ 此时12r =，24r =所以max 6m =，对应的12r =，24r =………16分。