高中数学变化率问题、导数精选题目(附答案)

高中数学变化率问题、导数精选题目（附答案）

(1)函数的平均变化率

对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2

时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f(x2)－f(x1)

x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2

的平均变化率．

习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率

可表示为Δy Δx.

(2)瞬时速度

①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)

在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f(t0＋Δt)－f(t0)

Δt趋近于常数，我们就把这个常数

叫做物体在t0时刻的瞬时速度．

(3)导数的定义

一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：

lim Δx→0Δy

Δx＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，

记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim

Δx→0Δy

Δx＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

(4)导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝lim

Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

(5)导函数

从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝

lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)

Δx.

1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．

2．已知函数f (x )＝x ＋1

x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．

3．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎨⎧

29＋3(t －3)2，0≤t <3，

3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时

间单位：S )．求：

(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．

求瞬时速度的步骤

(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；

(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度

Δs Δt

； (4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0

Δs Δt

. 4．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．

[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？

解：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．

因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎨⎧

1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，Δy Δx 的极限

不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．

5．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．

求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤

简称：一差、二比、三极限．

6．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．

7．已知曲线y＝x2，

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．

利用导数的几何意义求切线方程的方法

(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．8．已知曲线y＝2x2－7，求：

(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?

(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．

9．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．

10．已知抛物线y＝2x2＋1，求

(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?

(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?

11．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()

(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()

12．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂

线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为

下图中的()

参考答案：

1.解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，

所以从0.1到0.2的平均变化率为

3×0.22＋5－3×0.12－5

0.2－0.1＝0.9.

(2)f(x0＋Δx)－f(x0)

＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)