第十三讲 正交投影
正交投影与透视投影的性质分析
正交投影与透视投影的性质分析正交投影与透视投影是我们在日常生活中常常接触到的两种投影方式。
它们在绘画、建筑设计、计算机图形学等领域中起着重要的作用。
本文将分析正交投影与透视投影的性质，探讨它们在不同领域中的应用。
首先，我们来了解一下正交投影。
正交投影是一种保持物体形状和大小不变的投影方式。
在正交投影中，光线垂直于投影平面，物体与投影平面之间的夹角为90度。
由于光线的直线传播特性，物体在投影平面上呈现出等比例缩小的效果。
正交投影常用于工程制图、平面设计等领域。
正交投影具有以下几个性质。
首先，正交投影保持了物体的形状和大小，因此可以准确地表达物体的尺寸和比例关系。
这使得正交投影在建筑设计、机械制图等领域中得到广泛应用。
其次，正交投影的投影线是平行的，这使得投影结果更加清晰和易于理解。
此外，正交投影还具有投影线长度相等的特点，这有助于准确测量和计算。
接下来，我们来探讨透视投影。
透视投影是一种模拟人眼视觉效果的投影方式。
在透视投影中，光线从物体上的某一点射向观察者的眼睛。
由于光线的折射和散射，物体在投影平面上呈现出大小和形状的变化。
透视投影常用于绘画、摄影等艺术领域。
透视投影具有以下几个性质。
首先，透视投影能够真实地模拟物体在空间中的位置和距离关系。
这使得透视投影在绘画中能够呈现出立体感和逼真的效果。
其次，透视投影的投影结果呈现出近大远小的效果，这与人眼的视觉感知相符合。
此外，透视投影还能够通过调整视点的位置和角度来改变投影效果，增加艺术创造性。
正交投影和透视投影在不同领域中有着各自的应用。
在建筑设计中，正交投影常用于制作平面图和立面图，以准确表达建筑物的尺寸和比例关系。
而透视投影则常用于制作透视图，以展示建筑物的立体感和空间布局。
在绘画领域，正交投影和透视投影也各有用武之地。
正交投影常用于绘制技术图，以准确表达物体的形状和结构。
而透视投影则常用于绘制逼真的景物和人物，以营造出立体感和深度感。
在计算机图形学中，正交投影和透视投影被广泛应用于三维建模和渲染。
内积空间的正交基与正交投影
内积空间的正交基与正交投影内积空间是数学中一个重要的概念，它在向量空间中定义了向量之间的内积运算。
在内积空间中，有两个重要的概念：正交基和正交投影。
本文将介绍内积空间的概念，探讨正交基的性质以及正交投影的应用。
一、内积空间的定义和性质内积空间是一个向量空间，其中定义了向量间的内积运算。
一个内积空间必须满足以下条件：1. 正定性：对于任意非零向量x，有内积⟨x, x⟩大于0，并且仅当x 为零向量时等于0。
2. 线性性：对于任意向量x、y和标量a，有内积的线性性质：⟨ax + y, z⟩ = a⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩。
3. 对称性：对于任意向量x和y，有内积的对称性质：⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩。
内积空间的一个重要性质是Cauchy-Schwarz不等式，它表明对于任意向量x和y，有|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥，其中∥x∥和∥y∥分别表示向量x和y的范数。
二、正交基的定义和性质在内积空间中，如果一个向量组中的向量两两正交且非零，那么这个向量组称为正交基。
正交基的一个重要性质是，内积空间中的任意向量都可以由正交基线性表示。
假设V是一个n维内积空间，{v_1, v_2, ..., v_n}是V的一个正交基，那么对于任意向量x ∈ V，可以将x表示为线性组合的形式：x =c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n，其中c_1, c_2, ..., c_n为常数。
三、正交投影的定义和应用正交投影是内积空间中的一个重要应用，它可以将一个向量投影到另一个向量上，得到其在后者上的正交投影。
设V是一个内积空间，W是V的一个子空间，对于任意向量x ∈V，将其正交投影到W上的向量记作Proj_W(x)。
那么Proj_W(x)满足以下两个条件：1. Proj_W(x) ∈ W，即正交投影的结果在子空间W中。
2. 向量x - Proj_W(x)与W上的所有向量正交，即内积⟨x -Proj_W(x), w⟩ = 0，对于任意w ∈ W成立。
内积空间中的正交和投影
投影的性质
投影是非扩张的，即 $|mathbf{P}_{U}(mathbf{a})| leq
|mathbf{a}|$。
正交在解析几何、线性代数和物理等领域中都有广泛的应用，例如在解决物理问题、 图像处理和机器学习等领域中经常需要用到向量的正交。
02
内积空间中的投影
投影的定义
投影是将一个向量从内积空间投影到另一个子空间的过程。具体来说，给定向量$mathbf{a}$和子空间 $U$，投影$mathbf{P}_{U}(mathbf{a})$是满足$mathbf{P}_{U}(mathbf{a}) in U$且使 $mathbf{P}_{U}(mathbf{a}) perp mathbf{u}$的向量，其中$mathbf{u} in U$。
当子空间是超平面时，投影表示将向量投射到超平面 的法线方向上，使向量与超平面的距离最近。
投影在优化和机器学习中有广泛应用，例如在求解约 束优化问题时，可以将目标函数在约束条件下的解看
作是原问题解在约束子空间上的投影。
03
投影和正交的应用
在线性代数中的应用
线性子空间
投影可以将一个向量投射到指定的线性子空间上，通过计算向量的投影，可以得 到向量在子空间上的分量。
内积空间中的正交和投影的重要性
• 正交和投影是内积空间中的重要概念，它们在数学、物理和工程等领域中有着广泛的应用。正交表示两个向量相互垂直， 而投影则表示一个向量在另一个向量上的分量。这些概念在解决实际问题时非常有用，例如在信号处理、图像处理、量子 力学等领域中都有广泛的应用。
内积空间正交与投影
内积空间正交与投影内积空间是线性代数中的一个重要概念，它在理论和应用中都有广泛的应用。
在内积空间中，正交和投影是两个重要的概念和操作。
本文将介绍内积空间中正交和投影的概念，以及它们的性质和应用。
一、内积空间内积空间是一个定义了内积运算的线性空间。
内积是一种将向量对应到一个复数的运算，它满足线性性、对称性、正定性和共轭对称性。
内积运算可以用来衡量向量之间的夹角、长度和相似性。
在内积空间中，我们可以定义向量的正交性。
如果两个向量的内积为零，则称它们是正交的。
内积为零意味着两个向量之间没有共享的部分，它们在空间中相互垂直。
二、正交性的性质正交的向量在内积空间中具有一些重要的性质。
1. 任意向量与零向量正交：对于任意向量v，它与零向量的内积为零，即< v, 0 > = 0。
这是因为零向量不包含任何信息，与任意向量都没有共享的部分。
2. 向量与自身正交：对于任意向量v，它与自身的内积等于它的长度的平方，即< v, v > = ||v||^2。
这是因为内积可以表示向量的长度和夹角，向量与自身夹角为零。
3. 三角不等式：对于任意两个向量v和w，它们的内积的绝对值不超过它们的长度的乘积，即|< v, w > | ≤ ||v|| ||w||。
这个性质表明，内积可以衡量向量之间的相似性和夹角，两个向量之间的内积越大，它们越相似。
三、投影在内积空间中，我们可以利用向量的投影来进行向量的近似表示和问题的简化。
投影可以将一个向量分解成两个正交向量的和，其中一个向量是原向量在另一个向量上的投影，另一个向量是原向量与投影正交的部分。
投影的计算公式为：projv(w) = < w, v > / ||v||^2 * v。
其中，projv(w)表示向量w在向量v上的投影。
投影的应用非常广泛，例如在最小二乘法中，可以利用向量的投影来寻找一个向量在一个子空间上的最佳近似；在图像处理中，可以利用投影来实现图像的压缩和重构。
高中数学必备技巧平面向量的投影与正交性质
高中数学必备技巧平面向量的投影与正交性质高中数学必备技巧：平面向量的投影与正交性质在高中数学的学习过程中，平面向量是一个重要的概念。
掌握平面向量的性质与技巧，对于解决各类几何问题和代数运算都具有重要意义。
本文将介绍平面向量的投影与正交性质，帮助读者深入理解和应用这些数学技巧。
1. 平面向量的投影性质在平面向量中，投影是一个重要的概念。
给定一个向量a和一个非零向量b，向量b在向量a上的投影记为proj_ab。
投影的计算方法可以通过向量的点乘来求解。
投影的计算公式如下：proj_ab = (a・b)/|a|^2 * a其中，a・b表示向量a和向量b的点乘，|a|表示向量a的模长。
通过投影，我们可以计算出一个向量在另一个向量上的分解。
这在解决几何问题时非常有用，比如计算一个向量在某个方向上的投影或者求解平面上的最优解等。
2. 平面向量的正交性质在平面向量中，正交是另一个重要的概念。
两个向量正交的意思是它们的点乘为零，即a・b = 0。
正交的向量在几何上意味着它们互相垂直。
正交性质在解决几何问题时也经常被应用。
例如，我们可以利用正交的性质求解两条直线是否相交、判断两个向量是否平行等。
利用投影和正交的性质，我们可以进行向量的运算和分解。
下面将通过几个例子来说明这些用法。
示例一：已知向量a = (2, 3)和向量b = (1, 1)，求向量b在向量a上的投影。
解：首先，计算向量a的模长：|a| = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13然后，计算投影proj_ab：proj_ab = (a・b)/|a|^2 * a= (2*1 + 3*1)/(√13)^2 * (2, 3)= 5/13 * (2, 3)= (10/13, 15/13)所以，向量b在向量a上的投影为(10/13, 15/13)。
示例二：判断向量a = (2, 3)和向量b = (-3, 2)是否正交。
解：计算向量a和向量b的点乘：a・b = 2*(-3) + 3*2= -6 + 6= 0由于a・b = 0，所以向量a和向量b正交。
正交投影法的定义与性质
卡尔曼滤波算法推导⏹正交投影的定义与性质⏹算法的推导⏹算法总结假定x 为M ⨯1的随机矢量，z 为N ⨯1的随机矢量，它们都具有二阶矩，如果存在一个与x 同维的矢量，满足下列三个条件：ˆx（a ）线性性，即可用z 线性表示，ˆxˆ=+x Az b （b ）无偏性ˆ()()E E =xx （c ）正交性ˆ[()]TE -=x x z 0则称为x 在z 上的正交投影，记为ˆx ˆˆ(|)E =xx z 1. 正交投影的定义与性质正交投影的定义：很显然，x 的线性最小均方估计符合以上三个条件，所以，正交投影是存在的。
反过来也可以证明，如果满足正交投影的三条性质，那么它作为x 的估计，其估计的均方误差是最小的。
因此，正交投影也是唯一的。
ˆx xzˆ(|)E x z ˆ(|)Ex x z 正交投影的几何解释:1ˆ(|)()[()]xz z E E E -=+-x z x P P z z {}[()][()]T xz E E E =--P x x z z {}[()][()]T z E E E =--P z z z z （1）其中：（2）ˆˆ(|)(|)E E =Ax z A x z 1212ˆˆˆ[()|](|)(|)E E E +=+x x z x z x z 也即，如果把正交投影看作为一个算子，那这是一个线性算子。
正交投影的性质：（3）设1[]k k k -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦z z z 111ˆˆˆ(|)(|)(|[])ˆ(|)([]){([][])}[]k k k T T E E Ek E E k E k k k ---=+=+x z x z x z x z xz z z z 1ˆ[][]([]|)k k k E k -=-z z z z 1ˆ(|)k E -=-x x x z 其中证明留着习题。
z k-11ˆ[|]k E-x z z [k]x1ˆ[()|]k E k -z z 1ˆ[][]([]|)k k k E k -=-z z z z ˆ(|[])E k x z ˆ[|]k E x z ˆ[|()]E k x z 1ˆ[|]k E -=-x x x z 第三条性质的几何解释。
(正交)投影
投影变换P是在线m上的正交投影。
在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间映射到自身的一种线性变换，是日常生活中“平行投影”概念的形式化和一般化。
同现实中阳光将事物投影到地面上一样，投影变换将整个向量空间映射到一个它的一个子空间，并且在这个子空间中是恒等变换[1]。
定义投影的严格定义是：一个从向量空间V射到它自身的线性变换P是投影，当且仅当。
另外一个定义则较为直观：P是投影，当且仅当存在V的一个子空间W，使得P将所有V中的元素都映射到W 中，而且P在W上是恒等变换。
用数学的语言描述，就是：，使得，并且简单例子在现实生活中，阳光在地面上留下各种影子。
这就是投影变换最直白的例子。
可以理想化地假设阳光都是沿着同一个方向（比如说垂直于地面的角度）照射而来，大地是严格的平面，那么，对于任意一个物体（比如说一只正在飞行的鸟），它的位置可以用向量 (x, y, z) 来表示，而这只鸟在阳光下对应着一个影子，也就是 (x, y, 0)。
这样的一个变换就是一个投影变换。
它将三维空间中的向量 (x, y, z) 到映射到向量 (x, y, 0) 。
这是在x-y平面上的投影。
这个变换可以用矩阵表示为因为对任意一个向量 (x, y, z) ，这个矩阵的作用是：注意到如果一个向量原来就是表示地面上的一点的话（也就是说它的z分量等于0），那么经过变换P后不会有改变。
也就是说这个变换在子空间x-y平面上是恒等变换，这证明了P的确是一个投影。
另外，所以P = P2，这也证明P的确是投影。
基本性质变换T是沿着k方向到直线m上的投影。
T的像空间是m而零空间是k。
这里假定投影所在的向量空间V是有限维的（因此不需要考虑如投影的连续性之类的问题）。
假设子空间U与W分别为P的像空间与零空间（也叫做核）。
那么按照定义，有如下的基本性质:1.P在像空间U上是恒等变换：2.整个向量空间可以分解成子空间U与W的直和：。
也就是说，空间里的每一个向量，都可以以唯一的方式写成两个向量与的和：，并且满足、。
向量的投影与正交性
向量的投影与正交性向量的投影与正交性是线性代数中非常重要的概念，可以帮助我们理解向量空间中的向量之间的关系。
在本文中，我将详细介绍向量的投影和正交性的含义、性质以及相关的定理。
首先，我们来看一下向量的投影。
在二维平面上，我们可以将一个向量P投影到另一个向量Q上。
将向量P投影到向量Q上的过程可以看作是将向量P的投影在向量Q上的补偿部分加到向量Q上，从而得到一个新的向量R。
具体来说，向量的投影可以通过向量的点乘运算来实现。
假设向量P的坐标为（x1，y1），向量Q的坐标为（x2，y2），向量P在向量Q上的投影向量为R，那么我们可以通过下面的公式来计算R的坐标：R = (P•Q / |Q|^2) * Q其中，P•Q表示向量P和向量Q的点乘，|Q|表示向量Q的模长。
通过这个公式，我们可以看出，向量的投影具有以下几个性质：1. 投影向量R与向量Q垂直：根据公式可以得到，P•Q / |Q|^2表示的是P在Q方向上的分量，乘以向量Q本身，就可以得到投影向量R。
由于向量P的投影在向量Q上的补偿部分为零，所以投影向量R与向量Q垂直。
2. 投影向量R的模长小于等于向量P的模长：由于投影向量R只是向量P在向量Q上的部分补偿，所以其模长小于向量P的模长。
具体而言，投影向量R的模长等于向量P与向量Q之间的夹角的余弦值乘以向量P的模长。
3. 投影向量R的方向与向量Q相同：由于我们是将向量P投影到向量Q上，所以投影向量R的方向与向量Q相同。
接下来，我们来谈谈向量的正交性。
在向量空间中，如果两个向量之间的夹角为90度（即两个向量垂直），我们称这两个向量为正交向量。
具体来说，如果两个向量的点乘为零，即向量P•Q=0，那么向量P 和向量Q就是正交的。
正交性在很多实际应用中具有非常重要的意义。
例如在计算机图形学中，我们可以利用向量的正交性来计算光线的反射、投影等问题。
在信号处理中，正交向量可以作为基函数来表示信号，从而简化计算过程。
此外，与向量投影和正交性相关的一些重要的定理也值得一提。
正交补与正交投影
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在物理和工程中的应用
运动学和动力学
在物理中的运动学和动力学中，正交 投影被用于描述物体在空间中的位置、 速度和加速度，以及力的作用方向和 大小。
控制系统
信号处理
在信号处理中，正交投影被用于信号 的滤波、降噪和特征提取等任务，以 提高信号的质量和识别准确率。
在工程中的控制系统领域，正交投影 被用于描述系统的状态变化，以及系 统输入和输出的关系。
Part
05
正交补与正交投影的实例分析
线性代数中的实例分析
线性子空间的正交补
在向量空间中，如果一个子空间A的补集与A正交，则称A的正交补为A的极小正交补。例如，在三维空间中，平 面A由向量(1,0,0)和(0,1,0)张成，则A的正交补是垂直于A的直线，即(0,0,z)。
正交投影
对于任意一个向量x，在子空间A上的正交投影记作P_A(x)，它是一个向量，满足x-P_A(x)属于A的正交补。例如， 在二维平面中，点(2,3)到直线x+y=1上的正交投影是点(1,-1)。
正交补与正交投影
• 正交补的定义与性质 • 正交投影的定义与性质 • 正交补与正交投影的应用 • 正交补与正交投影的关系 • 正交补与正交投影的实例分析
目录
Part
01
正交补的定义与性质
正交补的定义
正交补的定义
对于一个给定的向量空间V，如果一个 子空间U满足U的正交补定义为V中与 U正交的所有向量的集合，则称U为V 的一个正交补。
正交补
将一个向量或一个子空间的正交补转 化为投影，即该向量或子空间在另一 个指定子空间上的投影。
正交补与正交投影的异同点
相同点
正交补和正交投影都是基于向量的正交关系，都涉及到将一个向量或子空间转换到另一个子空间的过 程。
正交投影
正交投影田军(吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）摘要：为了应用定理证明的方法，首先对格拉姆—施密特方法在理论上给出证明。
其次是利用低等数学“设而不求”的思想进行高等数学的求解。
由于高等数学引入了矩阵的概念，考虑用矩阵的方法进行求解。
关键词：正交化；单位正交基；投影；矩阵Orthogonal projectionTian Jun(College of mathematics and computer science, Jishou University,Jishou Hunan 416000)Abstract : In order to apply the theorem proving approach, first Gram -Schmidt method of proof is given in theory. Secondly, the use of low-math"demand-based rather than" thinking to the solution of advanced mathematics. Since the introduction of a matrix of higher mathematics concepts, consider the matrix method to solve it.Key words : orthogonal; unit orthogonal basis; projection; matrix引言 :在解决正交投影这类问题，如果要用定理证明的方法求出线性空间的一个规范正交基。
那么首先就应该对定理进行证明，在理论上作必要的准备！例1.1,在标准欧几里得空间V=R 中有向量α=（1，-1，-1， 1） 2∂=（1，-1 ，0，1）3∂=(1,-1,0,1)线性空间W=L(1∂,2,αα)求向量 =（2，4，1，2）在W 上的正交投影。
正交和投影的理解
正交和投影的理解数学是⼀门抽象的学科，意义在于在数学家们见识了很多具体事例之后可以从这些有相同特性的事例中找到共同点，并且加以模型概括。
就⽐如⾼等代数，其实就是对我们平常⼗分熟悉的坐标系的变换，向量的⽮量加法，函数的相加，多项式的处理等⽅⾯将其中计算抽象出来，正如三蓝⼀棕所说，空间的本质就是数学家们对满⾜⼀些计算的性质加以概括，对于⼀个对象的集合和我们定义的封闭在内的运算，数学家们提炼出最本质的⼀些性质（数乘，加法，交换律，结合律这种），然后基于这些已定义的底层的基本性质再向上推导⼀些结论和性质，这就是空间的作⽤，⽐如线性空间，我们⼏乎可以把所有满⾜线性运算的对象都放在⼀个空间中，（类⽐⾯向对象⽅法中的实例化），结果这些性质是⼀定成⽴的，因为只要这些对象满⾜那些基本性质之后就可以基于这些基本性质推导出来你所熟悉的运算，只不过数学的公理和定义中给了⼀个抽象的名字，⽽你遇到的⽐如向量函数这类对象是实际存在的，当你把对象和抽象的名字替换就可以理解这些运算了。
从正交来看，正交具有很良好的性质，使得我们基于数字构成的坐标来表⽰空间中的运算更加⽅便。
可以发现，如果我们选定了⼀组正交基，在这个基上的坐标来表⽰空间中的任何⼀个向量（要注意，向量是⼴义的），然后我们在进⾏⽐如内积这样的运算的时候就计算更加简便了，以上的解释就是为了说明为什么我们在直⾓坐标系中可以直接通过坐标分量的乘积之和表⽰内积，如果我们没有选定直⾓坐标系（⾮正交）那么内积的计算就不会如此容易。
⼀个正交分解就可以产⽣⼀个投影函数（空间直和），然后我们熟知的两点之间线段最短和点到直线最短距离是直线的外推抽象（请仔细品）：学过⼀点⾼等代数，算是稍微理解了⼀下数学并不是仅仅考虑怎么计算，还考虑为什么这样计算，为什么可以这样计算。
（抽象的道理啊……）。
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13.1 引言
上一讲中，我们得到如下结果：
设为阶阵，
1.
2.
3.设有解，则在中有唯一解.
设是的解. 则
直观上，
13.1 引言
例：
直观上， 是 在 这条直线上投影. 另一方面，若 无解，此时我们可以考虑问题： 求 使得 极小(或最小)？
直观上， 无解 上述问题意味着求 上距离 最近的点 它是 在 上的投影点.
有解
13.1 引言
例：
即 平面
在平面上投影点为
则
这一讲，我们讨论点(或向量)在空间投影问题. 则 无解
13.2 点在直线和平面上的投影
如右图，我们求在上的投影向量
即在上投影向量为
( 表示相应列向量.)
13.2 点在直线和平面上的投影
因此，
称为投影矩阵. 是 在 上投影向量.
设 是 所在直线，我们得到一个映射(向量空间之间的映射)：
(注意： 是一个 矩阵
.)
13.2 点在直线和平面上的投影
例：
即在轴上的投影.
13.2 点在直线和平面上的投影三维空间情形是类似的.
求在直线上投影
令
满足：
我们得到一个映射：
13.2 点在直线和平面上的投影
下面我们考虑点在平面上的投影.
给定平面
设是在上的投影. 求
令是平面上两无关向量, 即
的基础解系或
的一组基.
令则平面
求投影求关于的分解
其中，
13.2 点在直线和平面上的投影
即是的解.
是可逆阵( 列满秩)
则
此时称为投影矩阵.
13.2 点在直线和平面上的投影
例：求使得是在
上的投影向量.
解：
注：可逆，因为的列线性无关.
13.3 一般情形
问题：为阶阵. 设求在上的投影
即
即是的解.
1. 总有解.
2.设是的两个解, 则
是唯一的.
注：一般情形中, 未必是可逆阵，除非列满秩.
13.3 一般情形
若可逆，投影阵满足
一般地，一个矩阵满足则称为投影矩阵.
自然问题：关于哪个空间的投影矩阵？
检查投影的例子. 设为投影阵，则
定理：设是一个投影矩阵，则。