第十三讲 正交投影

13.1 引言

上一讲中，我们得到如下结果：

设为阶阵，

1.

2.

3.设有解，则在中有唯一解.

设是的解. 则

直观上，

13.1 引言

例：

直观上， 是 在 这条直线上投影. 另一方面，若 无解，此时我们可以考虑问题： 求 使得 极小(或最小)？

直观上， 无解 上述问题意味着求 上距离 最近的点 它是 在 上的投影点.

有解

13.1 引言

例：

即 平面

在平面上投影点为

则

这一讲，我们讨论点(或向量)在空间投影问题. 则 无解

13.2 点在直线和平面上的投影

如右图，我们求在上的投影向量

即在上投影向量为

( 表示相应列向量.)

13.2 点在直线和平面上的投影

因此，

称为投影矩阵. 是 在 上投影向量.

设 是 所在直线，我们得到一个映射(向量空间之间的映射)：

(注意： 是一个 矩阵

.)

13.2 点在直线和平面上的投影

例：

即在轴上的投影.

13.2 点在直线和平面上的投影三维空间情形是类似的.

求在直线上投影

令

满足：

我们得到一个映射：

13.2 点在直线和平面上的投影

下面我们考虑点在平面上的投影.

给定平面

设是在上的投影. 求

令是平面上两无关向量, 即

的基础解系或

的一组基.

令则平面

求投影求关于的分解

其中，

13.2 点在直线和平面上的投影

即是的解.

是可逆阵( 列满秩)

则

此时称为投影矩阵.

13.2 点在直线和平面上的投影

例：求使得是在

上的投影向量.

解：

注：可逆，因为的列线性无关.

13.3 一般情形

问题：为阶阵. 设求在上的投影

即

即是的解.

1. 总有解.

2.设是的两个解, 则

是唯一的.

注：一般情形中, 未必是可逆阵，除非列满秩.

13.3 一般情形

若可逆，投影阵满足

一般地，一个矩阵满足则称为投影矩阵.

自然问题：关于哪个空间的投影矩阵？

检查投影的例子. 设为投影阵，则

定理：设是一个投影矩阵，则