电动力学习题答案第一章 电磁现象的普遍规律
电动力学习题解答1
电动力学习题解答若干运算公式的证明ϕψψϕϕψψϕϕψψϕϕψ∇+∇=∇+∇=∇+∇=∇c c c c )()()(f f f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕϕϕϕϕ)()()()()(c c c c f f f f f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕϕϕϕϕ)()()()()(c c c c )()()(g f g f g f ⨯⋅∇+⨯⋅∇=⨯⋅∇c c )()(g f f g ⨯∇⋅-⨯∇⋅=c c)()(g f g f ⨯∇⋅-⋅⨯∇=)()()(g f g f g f ⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇c cg f f g g f f g )()()()(∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=c c c cg f f g g f f g )()()()(∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=)()()(c c g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇)()(c c g f f g ⋅∇+⋅∇=（利用公式b a c b a c c b a )()()(⋅+⨯⨯=⋅得）f g f g g f g f )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cf g f g g f g f )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )( ， uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明： （1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x zu u f yu u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d du uf zu y u xuu f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e（2）zu A yu A xu A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zu u A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d uu zu yu x u uA uA uA z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A e e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=（3）uA uA uA z u y u x u uu z y x zyxd /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e A zx y y z x x y z y u u A x u u A x u u A z u u A z u u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z yu A xu A xu A zu A zu A yu A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
(完整版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
郭硕鸿《电动力学》课后答案
( A A) 2 A ( A) 2( A ) A ， 所以 A ( A) 1 2 ( A A) ( A ) A
2 A ( A ) 1 2 A ( A ) A 2. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明： df dA dA f (u ) u ， A(u ) u ， A(u ) u du du du
电动力学习题解答
电பைடு நூலகம்力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式：
( A B) B ( A) ( B ) A A ( B ) ( A ) B A ( A) 1 A 2 ( A ) A 2
3.
设r
( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离， r 的方向规定为
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电动力学习题解答
从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r ' r r / r ； (1 / r ) ' (1 / r ) r / r 3 ； (r / r 3 ) 0 ； (r / r 3 ) '(r / r 3 ) 0 ， (r 0) 。 （2）求 r ， r ， (a )r ， (a r ) ， [ E 0 sin( k r )] 及 [ E 0 sin( k r )] ，其中 a 、 k 及 E 0 均为常向量。
所以
c dV f dV [c ( f )] dV ( f c ) ( f c ) dS
电动力学_郭硕鸿版_全部答案
由电荷 ρ f 1 2 解 1
空间各点的电场 极化体电荷和极化面电荷分布
r r D ∫ ⋅ dS = ∫ ρ f dV ,
S
(r2>r>r1)
即
D ⋅ 4πr 2 =
4π 3 (r − r13 ) ρ f 3
(最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节) 2 求
r r r r r r r r r r r r r r r ∇ ⋅ r , ∇ × r , (a ⋅ ∇)r , ∇(a ⋅ r ), ∇ ⋅ [ E 0 sin(k ⋅ r )]及∇ × [ E 0 sin(k ⋅ r )], 其中a , k 及E 0 均为常矢量
证明
r ∂( x − x ' ) ∂( y − y ' ) ∂( z − z ' ) ∇⋅r = + + =3 ∂x ∂y ∂z r ex r ∂ ∇×r = ∂x x − x' r ey ∂ ∂y y − y' r ez ∂ =0 ∂z z − z'
r r ∂ v ∂ v ∂ v v v v v v v (a ⋅ ∇)r = [(a x e x + a y e y + a z e z ) ⋅ ( e x + e y + e z )][( x − x' )e x + ( y − y ' )e y + ( z − z ' )e z ] ∂x ∂y ∂z
而 dl φ = (φ i dl x + φ j dl y + φ k dl z )
l l
郭硕鸿《电动力学》课后答案
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇AA A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 AA A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯ 即 AA A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(AA ⨯∇=⨯∇ 证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d uu z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++= （3）uA u A u A z u y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
郭硕鸿《电动力学》习题解答完全版（章）
= (µµ −1)∇× Hr = ( µ −1)rj f ,(r1 < r < r2)
0
µ0
αrM = nr× (Mr 2 − Mr 1),(n从介质1指向介质2
3ε
r3
= − ε −ε 0 ρ f (3− 0) = −(ε −ε 0 )ρ f
3ε
ε
σ P = P1n − P2n
考虑外球壳时 r r2 n从介质 1指向介质 2 介质指向真空 P2n = 0
-5-
电动力学习题解答
第一章 电磁现象的普遍规律
σ P = P1n = (ε −ε 0)
r 3 − r13 ρ f rr r=r2 3εr 3
= cos(kr ⋅rr)(kxerx + k yery + kzerz )Er0 = cos(kr ⋅rr)(kr ⋅ Er) ∇×[Er0 sin(kr ⋅rr)] = [∇sin(kr ⋅rr)]×Er 0+sin(kr ⋅rr)∇× Er0
4. 应用高斯定理证明
∫ dV∇× fr = ∫S dSr× fr
V
应用斯托克斯 Stokes 定理证明
∫S dSr×∇φ = ∫Ldlrφ
证明 1)由高斯定理
dV∇⋅ gr = ∫S dSr ⋅ gr
∫
∫ ∫ 即
V
(∂ g x ∂x V
+ ∂g y ∂y
+ ∂g zz )dV = ∂
g
S
xdS x + g ydS y + g zdS z
而 ∇× frdV = [(∂ f z − ∂∂z f y )ir ∂+ ( f x − ∂∂x f z )rj∂+ ( f y − ∂∂y f x )kr]dV
电动力学习题解答-郭硕鸿
由电荷 ρ f 1 2 解 1
空间各点的电场 极化体电荷和极化面电荷分布
r r D ∫ ⋅ dS = ∫ ρ f dV ,
S
(r2>r>r1)
即
D ⋅ 4πr 2 =
4π 3 (r − r13 ) ρ f 3
l S
r
r r
r
r
∫ f ⋅ dl = ∫ ( f
l l
r
x
dl x + f y dl y + f z dl z )
r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f y )dS x + ( f x − f z )dS y + ( f y − f x )dS z ∇ × ⋅ dS = ∫ ( f z − ∫S S ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
首先 算符 ∇ 是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题
v v ∇ 将作用于 A和B
又 ∇ 是一个矢量算符 因此 具有矢量的所有性质
利用公式 c × ( a × b ) = a ⋅ (c ⋅ b ) − (c ⋅ a )b 可得上式 后两项是 ∇ 作用于 B
v
v
v
v v v
v v v
4. 应用高斯定理证明
∫
应用斯托克斯
V
r r r dV∇ × f = ∫ dS × f
S
Stokes 定理证明
∫
证明
S
r r dS × ∇φ = ∫ dl φ
L
1)由高斯定理
∫
即
V
r r r dV∇ ⋅ g = ∫ dS ⋅ g
(完整word版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
《电动力学》课后答案
电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇A A A A )()(221∇⋅−∇=×∇×A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇BA B A A B A B )()()()(∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=c c c c BA B A A B A B )()()()(∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+×∇×=⋅∇，所以A A A A A A )()()(21∇⋅−⋅∇=×∇×即A A A A )()(221∇⋅−∇=×∇×A2.设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )(，u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(AA ×∇=×∇证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(zy x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d uu z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=（3）uA u A u A zu y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=×∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=zx y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=)(u A ×∇=3.设222)'()'()'(z z y y x x r −+−+−=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
电动力学课后习题解答(参考)
∂ ∂y
∂ ∂z
=
(
∂Az ∂y
−
∂Ay ∂z
)ex
+
(
∂Ax ∂z
−
∂Az ∂x
)ey
+
(
∂Ay ∂x
−
∂Ax ∂y
)ez
Ax(u) Ay(u) Az(u)
=
(
∂Az du
∂u ∂y
−
∂Ay du
∂u ∂z
)ex
+
(
∂Ax du
∂u ∂z
−
∂Az du
∂ ∂
u x
)ey
+
(
∂Ay du
∂u ∂x
−
(dl2
·
dl1)
11、平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1和l2，电容率为ε1和ε2，今在两板接上电 动势为E的的电池，求
(1)电容器两板上的自由电荷密度ωf (2)介质分界面上的自由电荷密度ωf 若介质是漏电的，电导率分别为σ1和σ2，当电流达到恒定时，上述问题的结果如何？ 解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向，
[∇
1 r
·
∇]m
=
−(m
·
∇)∇
1 r
∴ ∇ × A = −∇ϕ
7、有一个内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止自由 电荷ρf ，求 （1）空间各点的电场 （2）极化体电荷和极化面电荷分布 解：1) S D · dS = ρf dV ，(r2 > r > r1)
R
)
=
(∇
·
m)∇
1 r
+(m源自·m)∇1 r
北大电动力学课的作业～
电动力学习题（2008年9月）第一章 电磁现象普遍规律1.1. 设 u 是空间坐标 x , y , z 的函数，证明：∇f (u ) = ,df u du ∇ (),d u u du ∇=∇A A ()d u u du∇⨯=∇⨯A A 1.2. 根据算符 ∇ 的微分性和矢量性，推导下列公式∇(A ∙B ) = B ⨯(∇⨯ A ) + (B ∙∇) A + A ⨯(∇⨯ B ) + ( A ∙∇)B ,A ⨯(∇⨯ A ) =12∇ A 2-( A ∙∇) A .1.3. 设 R =x ' 到场点 x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
(1) 证明下列结果，并体会对源变数求微商()x y z x y z∂∂∂'∇=++'''∂∂∂e e e 与对场变量求微商()x y z x y z∂∂∂∇=++∂∂∂e e e 的关系： ,R R R '∇=-∇=R 311,R R R'∇=-∇=-R 30,R ∇⨯=R 330.(0)R R R '∇=-∇=≠R R (2) 求∇∙R, ∇⨯R , (a ∙∇)R , ∇(a ∙ R ), ∇∙ [E 0sin(k ∙r )] 以及 ∇⨯[E 0sin(k ∙r )]， 其中 a , k 及E 0 均为常矢量。
1.4. 若m 是常矢量，证明除 R=0 点外，矢量 3R ⨯=m R A 的旋度等于标量 3R ϕ=m R 的梯度的负值，即 ϕ∇⨯=-∇A 。
其中 R 为原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
1.5. 应用高斯定理证明,V S dv d ∇⨯=⨯⎰⎰⎰⎰⎰f s f 利用斯托克斯定理(用曲面积分来表示曲线积分) ,L S d d =∇⨯⎰⎰⎰f l f s 证明 S Ld d ϕϕ⨯∇=⎰⎰⎰s l 1.6. 球心为O 半径为 R 的均匀带电球，电荷密度为ρ，在O' 处挖去一个半 径为R/2的空洞，OO'=R/2，试算出空洞内的电场强度。
电动力学《电磁现象的普遍规律》习题附答案
1. 半径为a 的球形区域内充满分布不均匀的体密度电荷，设其体密度为ρ（r ）。
若已知电场分布为e r (r 3+Ar 2) r≤ae r (a 5+Aa 4)r -2 r>a 式中的A 为常数，试求电荷体密度ρ（r ）。
解 0<r ≤a ()()[]Ar r Ar r r rr E r r r E r45112232222+=+∂∂=∂∂=⋅∇ r >a ()()[]0112452222=+∂∂=∂∂=⋅∇-r Aa a r rr E r r r E r 是一个电荷球体，球内电荷密度()Ar r 4520+=ερ 总的电荷量()[]()45002024454Aa a dr Ar r r Q a+=+=⎰πεεπ因此球外电场为204re Q E rπε=2. 海水的电导率σ=4 S/m ,相对介电常数εr =81。
求频率f=1MH z 时，海水中的位移电流与传导电流的振幅之比。
解 设传导电流密度cos m J E J t σω== 位移电流200sin r r D m D JJ J t A m t t εεωεεωσσ∂∂===-∂∂61202108.8510481r D J J ωεεπσ-⨯⨯⨯⨯==3. 自由空间的磁场强度为H =e x H m cos(ωt -kz)A/m ,式中的k 为常数。
试求位移电流密度和电场强度。
E =()sin x x D y z m y H H DJ H e e kH t kz e t z yω∂∂∂==∇⨯=-=-∂∂∂ ()0011sin m y E H kH t kz e t ωεε∂=∇⨯=-∂ 对t 积分得()01cos m y E kH t kz e ωεω=--4. 铜的电导率σ=5.8×107S/m ，相对介电常数εr =1。
设铜中的传导电流密度为J =e x J m cosωt A/m 2。
试证明在无线电频率范围内铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。
大学物理通用教程.电动力学.郭硕鸿.第三版.答案
3. 设 r =
( x − x ' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从 r ∂ r ∂ r ∂ + e y ' + e z ' ) 与对场变数求 ∂x ' ∂y ∂z
源点指向场点 1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 (∇ = e x
(最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节) 2 求
r r r r r r r r r r r r r r r ∇ ⋅ r , ∇ × r , (a ⋅ ∇)r , ∇(a ⋅ r ), ∇ ⋅ [ E 0 sin(k ⋅ r )]及∇ × [ E 0 sin(k ⋅ r )], 其中a , k 及E 0 均为常矢量
若令 H x = f y k − f z j , H y = f z i − f x k , H Z = f x j − f y i 则上式就是
r
r
r
r
r
r
r r r ∇ ⋅ H dV = d S ∫ ∫ ⋅ H ,高斯定理 则证毕
V S
2)由斯托克斯公式有
∫ f ⋅ dl = ∫ ∇ × f ⋅ dS
r r r r r r r r ∂Ax (u ) ∂A y (u ) ∂Az z (u ) dAx (u ) ∂u dA y (u ) ∂u dAz (u ) ∂u dA ∇ ⋅ A(u ) = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∇u ⋅ ∂x ∂y ∂z du ∂x du ∂y dz ∂z du
l S
r
r r
r
电动力学答案chapter1
r r r r r r r r ∂Ax (u ) ∂A y (u ) ∂Az z (u ) dAx (u ) ∂u dA y (u ) ∂u dAz (u ) ∂u dA ∇ ⋅ A(u ) = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∇u ⋅ ∂x ∂y ∂z du ∂x du ∂y dz ∂z du
S
若 S → ∞, 则 ( xj ) ⋅ dS = 0, ( j 同理
(
r ∂ρ ) ∂t
∫
r
r
r
S
= 0)
y
= ∫ j y dV ' , (
r ∂ρ ) z = ∫ j z dV ' ∂t
即
r r r dP = ∫ j ( x ' , t )dV ' V dt
r r r r r m ×R m⋅R r 的旋度等于标量 ϕ = 的梯 6. 若 m 是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量 A = R3 R3
电动力学习题解答 1. 根据算符 ∇ 的微分性与矢量性 推导下列公式
Байду номын сангаас
第一章
电磁现象的普遍规律
r r r r r r r r r r ∇( A ⋅ B) = B × (∇ × A) + ( B ⋅ ∇) A + A × (∇ × B) + ( A ⋅ ∇) B r r r r 1 r A × (∇ × A) = ∇A 2 − ( A ⋅ ∇) A 2 v v v v v v v v v v 解 1 ∇( A ⋅ B ) = B × (∇ × A) + ( B ⋅ ∇) A + A × (∇ × B ) + ( A ⋅ ∇) B
电动力学第二版_郭硕宏_khdaw
r r r r r r = ∫ ( f y k − f z j )dS x + ( f z i − f x k )dS y + ( f x j − f y i )dS z r r r r
若令 H x = f y k − f z j , H y = f z i − f x k , H Z = f x j − f y i
v v v v = a x ex + a y e y + a z ez = a
v v v v v v r v v v ∇(a ⋅ r ) = a × (∇ × r ) + (a ⋅ ∇)r + r × (∇ × a ) + (r ⋅ ∇) ⋅ a v v v v v r v = (a ⋅ ∇)r + r × (∇ × a ) + (r ⋅ a ) ⋅ a v v v v v = a + r × (∇ × a ) + (r ⋅ ∇) ⋅ a r r r r r r r r r ∇ ⋅ [ E 0 sin(k ⋅ r )] = [∇(sin(k ⋅ r )] ⋅ E 0 + sin(k ⋅ r )(∇ ⋅ E 0 )
首先 算符 ∇ 是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题
v v ∇ 将作用于 A和B v v v v v v v v v
因此
利用公式 c × ( a × b ) = a ⋅ (c ⋅ b ) − (c ⋅ a )b 可得上式 后两项是 ∇ 作用于 B
其中右边前两项是 ∇ 作用于
v A
即
度的负值
其中 R 为坐标原点到场点的距离 证明
w.
即
同理
(
r ∂ρ ) ∂t
《电动力学》答案
(r / r 3 ) [(1 / r 3 )r ] (1 / r 3 ) r (1 / r 3 ) r
d 1 3 r 3 r r 0 4 r 0 dr r r r 1 3 3 3 4 (r / r ) [(1 / r )r ] (1 / r ) r 3 r ○ r 3 r 3 4 r 3 0 ， (r 0) r r r
3. 设r
( x x' ) 2 ( y y' ) 2 ( z z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离， r 的方向规定为
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电动力学习题解答
从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r ' r r / r ； (1 / r ) ' (1 / r ) r / r 3 ； (r / r 3 ) 0 ；
ex ey ez dA （3） u u / x u / y u / z du dAx / du dAy / du dAz / du
dAy u dAx u dA u dAz u dAz u dAy u )e x ( x )e y ( )e z du y du z du z du x du x du y Ay (u ) Ax (u ) A (u ) Az (u ) A (u ) Ay (u ) [ z ]e x [ x ]e y [ ]e z y z z x x y A(u) (
即
2 A ( A) 1 2 A ( A ) A 2. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明： df dA dA ， A(u ) u f (u ) u ， A(u ) u du du du
电动力学答案L1
（3）静电t情an况θ1：导E体1t 内E2nEv1
σ1 =0
稳恒电∴流情E2况t =：E对1t绝=缘0 介，质即，导体σ 外= 的0 ，电场Jv2线=总0 是垂直于导体表面。
1-14
∴ J1n = J 2n = 0
解（1）由边值关系
即导体内只有平行于导体表面的电场。
evn
×
(
v H
2
−
v H1
)
=
=
Q
S
ε0
∴E
=
Q 4πε0r 2
，即
v E
=
Q 4πε0r 3
rv
∫ ∫ r < a 时，
v E
⋅
v dS
=
4π
r
2
E
=
1
ρdV = 1 ⋅ ρ ⋅ 4 π r3
S
ε0 V
ε0 3
r
a
=
∴
v E
1⋅ Q
ε0 =
(4 3)π Qrv
4πε 0 a 3
a3
⋅
4π 3
r3
=
1 ε0
⋅
Qr 3 a3
求散度、旋度
∴∇ × Bv
=
−
∂Bθ ∂z
evr
+
1 r
∂ ∂r
(rBθ )evz
=
μ0I 2πR12
1 r
∂r 2 ∂r
evz
=
μ0I πR12
evz
=
μ0 Jv
R1
<
r
<
R2 时， B
=
Bθ
=
μ0I 2πr
2
r
电动力学复习总结第一章电磁现象的普遍规律答案
第一章电磁现象的普遍规律一、填空题1.已知介质中的极化强度，其中A为常数，介质外为真空，介质中的极化电荷体密度；与垂直的表面处的极化电荷面密度分别等于和。
答案: 0, A, -A2.已知真空中的的电位移矢量=<5xy+）cos500t，空间的自由电荷体密度为。
答案:3.变化磁场激发的感应电场的旋度等于。
答案:4.介电常数为的均匀介质球，极化强度A为常数，则球内的极化电表面极化电荷密度等于荷密度为，答案0,5.一个半径为R的电介质球,极化强度为,则介质中的自由电荷体密度为,介质中的电场强度等于.答案:二、选择题1.半径为R的均匀磁化介质球，磁化强度为，则介质球的总磁矩为A． B. C. D. 0答案:B2.下列函数中能描述静电场电场强度的是A． B.C. D.<为非零常数）答案:D3.充满电容率为的介质平行板电容器，当两极板上的电量<很小），若电容器的电容为C，两极板间距离为d，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为：A． B. C. D.答案:A4.下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度?式中的为非零常数A．(柱坐标> B. C. D.答案:A5.变化磁场激发的感应电场是A.有旋场,电场线不闭和B.无旋场,电场线闭和C.有旋场,电场线闭和D.无旋场,电场线不闭和答案:C6.在非稳恒电流的电流线的起点.终点处,电荷密度满足A. B. C. D.答案:D7.处于静电平衡状态下的导体,关于表面电场说法正确的是:A.只有法向分量。
B.只有切向分量。
C.表面外无电场。
D.既有法向分量,又有切向分量答案:A8.介质中静电场满足的微分方程是A. B.。
C. D.答案:B9.对于铁磁质成立的关系是A. B. C. D.答案:C10.线性介质中,电场的能量密度可表示为A. 。
B.。
C.D.答案:B三、思考题1、有人说：“当电荷分布具有某种对称性时，仅要根据高斯定理的积分形式这一个方程就可以求解静电场的分布。
电动力学《电磁现象的普遍规律》习题附答案
1. 半径为a的球形区域充满分布不均匀的体密度电荷，设其体密度为ρ（r）。
若已知电场分布为er(r3+Ar2) r≤aer(a5+Aa4)r-2 r>a式中的A为常数，试求电荷体密度ρ（r）。
解 0<r≤a ()()[]ArrArrrrrErrrEr45112232222+=+∂∂=∂∂=⋅∇r>a ()()[]0112452222=+∂∂=∂∂=⋅∇-rAaarrrErrrEr是一个电荷球体，球电荷密度()Arr452+=ερ总的电荷量()[]()45224454AaadrArrrQ a+=+=⎰πεεπ因此球外电场为24reQE rπε=2. 海水的电导率σ=4 S/m,相对介电常数εr=81。
求频率f=1MH z时，海水中的位移电流与传导电流的振幅之比。
解设传导电流密度cosmJ E J tσω==位移电流200sinr rD mD JJ J t A mt tεεωεεωσσ∂∂===-∂∂6122108.8510481rDJJωεεπσ-⨯⨯⨯⨯==3. 自由空间的磁场强度为H=e x H m cos(ωt-kz)A/m,式中的k为常数。
试求位移电流密度和电场强度。
()sin x x D y z m y H H DJ H e ekH t kz e t z yω∂∂∂==∇⨯=-=-∂∂∂ ()0011sin m y E H kH t kz e t ωεε∂=∇⨯=-∂ 对t 积分得()01cos m y E kH t kz e ωεω=--4. 铜的电导率σ=5.8×107S/m ，相对介电常数εr =1。
设铜中的传导电流密度为J =e x J m cosωt A/m 2。
试证明在无线电频率围铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。
由J E σ=得JE σ=位移电流200sin D m D JJ J t A m t t εωεωσσ∂∂===-∂∂12078.851015.810r D J J ωεεωσ-⨯⨯⨯==⨯5. 正弦交流电压源u=U m sinωt 连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。
电动力学判断题
电动⼒学判断题判断题第⼀章电磁现象的普遍规律1. ⽆论是稳恒磁场还是变化的磁场，磁感应强度总是⽆源的。
(√)2. ⽆论是静电场还是感应电场，都是⽆旋的。
(×)3. 在任何情况下电场总是有源⽆旋场。
(×)4. 在⽆电荷分布的区域内电场强度的散度总为零。
(√)5. 任何包围电荷的曲⾯都有电通量，但是散度只存在于有电荷分布的区域内。
(√)6. 电荷只直接激发其临近的场，⽽远处的场则是通过场本⾝的内部作⽤传递出去的。
(√)7. 稳恒传导电流的电流线总是闭合的。
(√)8. 在任何情况下传导电流总是闭合的。
(×)9. ⾮稳恒电流的电流线起⾃于正电荷减少的地⽅。
(√)10. 极化强度⽮量p 的⽮量线起⾃于正的极化电荷，终⽌于负的极化电荷。
(×)11. 均匀介质内部各点极化电荷为零，则该区域中⽆⾃由电荷分布。
(√)12. 在两介质的界⾯处，电场强度的切向分量总是连续的。
(√)13. 在两均匀介质分界⾯上电场强度的法向分量总是连续的。
(×)14. 在两介质的界⾯处，磁感应强度的法向分量总是连续的。
(√)15. ⽆论任何情况下，在两导电介质的界⾯处，电流线的法向分量总是连续的。
(×)16. 两不同介质表⾯的⾯极化电荷密度同时使电场强度和电位移⽮量沿界⾯的法向分量不连续。
(×)17. 电介质中，电位移⽮量D 的散度仅由⾃由电荷密度决定，⽽电场的散度则由⾃由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。
(√)18. 两不同介质界⾯的⾯电流密度不改变磁场强度和磁感应强度的连续性。
(×)19. 关系式P E D +=0ε适⽤于各种介质。
(√)20. 静电场的能量密度为ρ?21。
(×) 21. 稳恒电流场中，电流线是闭合的。
（ √ ）22. 电介质中E D ε=的关系是普遍成⽴的。
（ × ）23. 跨过介质分界⾯两侧，电场强度E 的切向分量⼀定连续。
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第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∆的微分性与矢量性，推导下列公式：()()()()()A B B A B A A B A B ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇21()()2A A A A A⨯∇⨯=∇-⋅∇解：矢量性为()()()a b c b c a c a b ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯ ①()()()c a b b c a c a b ⨯⨯=⋅-⋅ ②()()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅⋅③微商性()d d a dba b b a dtdt dt ⋅=⋅+⋅④ 【()d d a db a b b a dt dt dt ⨯=⨯+⨯⑤由②得()()()c c c B A B A B A ⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇ ⑥()()()c c c A B A B A B ⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇⑦⑥+⑦得()()()()()()c c c c c c B A A B B A A B B A A B ⎡⎤⎡⎤⨯∇⨯+⨯∇⨯=∇⋅+∇⋅-⋅∇+⋅∇⎣⎦⎣⎦()()()c c A B A B A B ∇⋅=∇⋅+∇⋅因为∴上式得()()()()()c c c c A B B A A B B A A B ∇⋅=⨯∇⨯+⨯∇⨯+⋅∇+⋅∇令B A =得）22()2()A A A A A ∇=⨯∇⨯+⋅∇21()()2A A A A A ∴⨯∇⨯=∇-⋅∇2.设μ是空间坐标x ，y ，z 的函数，证明：()()()df f u u dxud AA u u du d AA u u du ∇=∇∇⋅=∇⋅∇⨯=∇⨯解：①()()()()()()()()()()x y z x y zx y z f u f u e f u e f u e x y z f u u f u u f u u e e e u x u y u z f u u u u e e e x x y z df u u du ∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂=∇②()x y z y x z A u A A A x y zdA dA dA u u u du x du y du z d A u du∂∂∂∇⋅=++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂=∇⋅③，()()()()()()()xy z xyz yy x x z z x y zy y x x z z x y ze e e A u x y z A A A A A A A A A e e e y z z x x ydA dA dA dA dA dA u uu u u u e e e du y du z du z du x du x du y d A u du⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪∇⨯= ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂=∇⨯3.设()r y y =+-'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从原点指向场点。
⑴ 证明下列结果，并体会对原变数求微商（''''xy z e e e x y z ∂∂∂∇=++∂∂∂） 与对场变数求微商（xy z e e e x y z ∂∂∂∇=++∂∂∂）的关系'''333311,,0,0,(0)r r r r rr r r r r r r r r r ∇=-∇=∇=-∇=-∇⨯=∇⋅=-∇⋅=≠（最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节）⑵ 求,,(),(),[sin()]r r a r a r E k r ∇⋅∇⨯⋅∇∇⋅∇⋅⋅。
及[sin()]E k r ∇⨯⋅。
，其中,a k 及E 。
均为常矢量。
—解：⑴'''2'2'2'2''2'2'2()()(()()()x y z x yz r r r r e e e x y ze e x x y y z e x x y y z z r r∂∂∂∇=++∂∂∂=+-+-++-+-+-=''''''''2'2'2'2'2'2'2()x y z x yzr r r r e e e x y z e e e x x r r r ∂∂∂∇=++∂∂∂=++-=-=-∇231111()()()1()x y zx y z e e e r x r y r z r r r r e e e r x y z r r ∂∂∂∇=++∂∂∂-∂∂∂=++∂∂∂=-''''2'''31111()()()1()1x y zx y z e e e r x r y r z r r r r e e e r x y z r r r∂∂∂∇=++∂∂∂-∂∂∂=++∂∂∂==-∇33334411()13030r r r r r r r r r r r r r r ∇⨯=∇⨯+∇⨯-=⨯+∇⨯-=⨯=323343431()113131()30r r r r r rr r r r r r r r r r r r ∇⋅=∇⋅=∇⋅+∇⋅-=∇⋅+∇⋅-=⋅+⨯=''3'3'33433'31()1131()(3)00(0)r r r r r rr r r r r r r r r r r r ∇⋅=∇=∇⋅+∇⋅--=⋅+⨯-=∴∇⋅=-∇=≠ ⑵'''()()()3r x x y y z z x y z ∇⋅∂∂∂=-+-+-∂∂∂='''0x y z e e e r x y z x x y y z z ⎛⎫⎪∂∂∂ ⎪∇⨯== ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪---⎝⎭()()x y z xy z x x y y z z a ra a a rx y z r r r a a a x y za e a e a e a⋅∇∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂=++=()()()()()00()()x y z x y z a r a r a r r a r aa r r r a a rx y z r r r a a a x y za∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇∂∂∂=⨯+++++⋅∇∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂=~''''''''''[sin()][sin()]sin()[sin(()()())]cos[()()()]cos[()()()]cos[()(x y z ox x x y z oy y x y z oz z x y E k r k r E k r E k x x k y y k z z E E k k x x k y y k z z E k k x x k y y k z z E k k x x k ∇⋅⋅=∇⋅⋅+⋅∇⋅=∇-+-+-⋅=-+-+-+-+-+-+-+。
''''')()]()cos[()()()]cos()z ox x oy y oz z x y z y y k z z E k E k E k k x x k y y k z z k r E k-+-=++-+-+-=⋅⋅。
[sin()][sin()]sin()[cos()cos()cos()]cos()()cos()()x x y y z z x x y y z z E k r k r E k r E k k r e k k r e k k r e E k r k e k e k e E k r k E ∇⨯⋅=∇⋅⨯+⋅∇⨯=⋅+⋅+⋅⨯=⋅++⨯=⋅⨯。
4. 4.⑴ 应用高斯定理证明VSdV f dS f ∇⨯=⨯⎰⎰⑵ 应用斯托克斯（Stokes ）定理证明SLd S d L φφ⨯∇=⎰⎰解：⑴()()()SSV VdS f cf c d S f c dV dV f c ⨯⋅=⨯⋅=∇⋅⨯=∇⨯⋅⎰⎰⎰⎰ S VdS f dV f∴⨯=∇⨯⎰⎰⑵@()LLS S Sd L cc d L c d S c d S dS cφφφφφ⋅=⋅=∇⨯⋅=∇⨯⋅=⨯∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰L Sd L dS φφ∴=⨯∇⎰⎰5. 5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为'''()(,)VP t x t x dV ρ=⎰利用电荷守恒定律0J t ρ∂∇⋅+=∂证明P 的变化率为''(,)V d PJ x t dV dt =⎰解：''''''''''''[(,)]()()V VVVd Pdtx dV J x t x dV t J x dV J x dV ρ∂==-∇∂=-∇⋅+⋅∇⎰⎰⎰⎰|''''''''()SVSVJ x d S J x dV J x d S JdV =-+⋅∇⋅=-+⎰⎰⎰⎰取被积区域大于电荷系统的区域，即V 的边界S 上的(,)0J x t =，则''''0.(,)SV J x d S d P J x t dV dt =∴=⎰⎰。
6. 若m 是常矢量，证明除R=0点以外矢量3m R A R ⨯=的旋度等于标量3m RR ϕ⋅=的梯度的负值，即(0)A R ϕ∇⨯=-∇≠,其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
解：333333333()()()()()()()0()R m R R R R Rm m m mR R R R R Rm m R R R RRm R ϕ∇=∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+∇=⨯∇⨯+⋅∇∇⨯=∴=⋅∇上式 7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止自由电荷f ρ，求⑴ 空间各点的电场； ⑵ 极化体电荷和极化面电荷分布。
解：⑴对空间Ⅰ做高斯面，由： @E dS Q ⋅=⎰233211444()33I f r E r r πππρε︒∴=- 3321233212()3()3fI fI r r E r r r E rrρερε︒∧︒-∴=-∴=对空间Ⅱ：做高斯面，由D d S σε︒⋅=⎰2331444()33fr D r r πππρ∴=-ⅡD E ε=3312()3f r r E r r ρε∧-∴=对空间Ⅲ:做高斯面，由.240r E π=Ⅲ0E ∴=Ⅲ⑵ 由0D E P ε=+0P D E ε∴=-333310122()()33f fr r r r P r r r ρερε∧⎛⎫--∴=- ⎪ ⎪⎝⎭3013()()3fr r P r r εερε-∴=-301300()()3()(30)(1)3P f ff P r rr r ρεερεεερερεε∴=-∇⋅--=∇⋅-∇⋅--=-=--2r r =时,由边值条件:21n n P P P σ-=-(P 由1指向2)￥1243202132332102233021*********1321()()3()()3(1),()3()0()30()P n nf ff P n n f P P r r r r r r r r r r r r P P r r r r r r σεερεεερεερεσεερε=---=--=-=-==--=--==8. 内外半径分别为 和 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流 ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。