高三数学棱柱复习导学案试题讲义资料

棱 柱

一. 知识回顾:

1. 棱柱.

⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.

②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. ⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.

⑶棱柱具有的性质：

①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等

．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.

注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）

（直棱柱不能保证底面是钜形可如图） ②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体：

定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.

定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα. [注]： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）

②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．

棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）

④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）

二. 基础训练:

1、棱柱成为直棱柱的一个必要而不充分条件是…………………………………………………( ). （A ）它的一条侧棱垂直于底面 （B ）它的一条侧棱与底面两条边垂直 （C ）它的一个侧面与底面都是矩形 （D ）它的一个侧面与底面的一条边垂直

2、一个长方体的全面积是22，体积为8，则这样的长方体…………………………………………（ ）

（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）有无数多个 （D ）不存在

3、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点,在A 1B 1上,则直线PQ 与直线AM 所成的角为______.

4、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为2、3、6，这个长方体对角线的长是…（ ） （A ）32 （B ）23 （C ）６ （D ）6

三.例题讲解:

例1、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为6，B 1C ＝10，D 为AC 的中点E 、F 分别在侧棱A 1A 和BB 1上,且AF

＝2BE ＝BC ． (1)求证：AB 1∥平面C 1BD ； (2)求异面直线AB 1和BC 1所成的角； (3)求直线AB 1到平面C 1BD 的距离

(4)求过F 、E 、C 的平面与棱柱下底面所成二面角的大小．

例2、如图．已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC 、D 为AB 的中点，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，异面直线BC 1与AB 1互相垂直．

（1）求证：AB 1⊥CD ； （2）求证：AB 1⊥平面A 1CD ；

（3）若AB 1＝５，求点A 到平面A 1CD 的距离．

例3如图正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱均相等，D 是BC 上的一点，AD ⊥C 1D （1）求证：面ADC 1⊥侧面BCC 1B 1

（2）求二面角C －AC 1－D 的大小（用反正弦表示）； （3）若AB=2，求直线A 1B 与截面ADC 1之间的距离

例4.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90 ，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G .

（1）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求点A 1到平面AED 的距离.

E

A

C

A 1

B 1

C 1 F B

D A C

A 1

B 1

C 1

B D

A

C

A 1

B 1

C 1

B

A 1

C 1

B 1

D

四、作业 同步练习 棱柱

1、设有如下三个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体。其中真命题的个数是（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

2、长方体全面积为11，十二条棱长之和为24，则长方体的一条对角线长为（ ） A 、32 B 、14 C 、 5 D 、6

3、正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若12BB AB =,则AB 1与C 1B 所成角的大小是（ ） A 、︒60 B 、︒90 C 、︒105 D 、︒75

4、平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，且︒=∠=∠=∠6011BAD AD A AB A ，则对角面11BDD B 是（ ） A 、平行四边形 B 、菱形 C 、矩形 D 、正方形

5、已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为4cm ，过BC 作一截面，截面与底面ABC 成︒60角，则截面的面积是（ ）

A 、4cm 2

B 、32 cm 2

C 、23 cm 2

D 、

2

33 cm 2

6、已知长方体ABCD A B C D ''''-中，棱5AA '=，12AB =，那么直线B C ''和平面A BCD ''的距离是 .

7、三棱柱111ABC A B C -，侧棱1BB 在下底面上的射影平行于AC ，如果侧棱1BB 与底面所成的角为0

30，

160B BC ∠=，则ACB ∠的余弦为 。

8、一个斜棱柱的高为h ，直截面周长是c ，侧棱与底面所成的角为α，其侧面积为

9、直平行六面体C A 1的底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ,侧面是正方形，E 、F 分别是111,AA B A 的中点，M 是AC 与BD 的交点，则EF 与M B 1所成角的大小 .