第三章 混合策略纳什均衡

§ 第三章 混合策略纳什均衡
• • • • • • • 混合策略与期望支付 计算混合策略纳什均衡的三种方法 支付最大值法 支付等值法 反应函数法 多重纳什均衡及其甄别 混合博弈在现实经济中的运用案例
§剪刀、石头、布的游戏
• 每个同学跟后面一排对应的同学玩剪刀、石 头、布的游戏. • 玩二十次,将结果记下来 • 赢了十次以上同学举起手来 • 告诉我你有什么秘决 • 怎么样才能赢得多？
讨论
• 尽管混合策略不像纯策略那样直观，但它确实是 一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比赛、 垒球比赛、划拳就是这样的例子，在这一类博弈 中，参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不 被对方所预测。 • 经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收 检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等都 可以看成猜谜博弈。
• 答案是否定的。 • 事实上，局中人的选择仍然是很有讲究的， 策略选择的好坏对局中人的利益仍然有很大 的影响。 • 在这个零和博弈里，无论双方采用哪种策略 组合，结果都是一方输一方赢，而输的一方 又总是可以通过单独改变策略而反输为赢。 如果哪个局中人能找到对手方的规律或者偏 好，他就能猜测到对手的策略而采用针对性 策略从而保证赢。

1 0 1

4 1
如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味 着政府在救济与不救济之间是无差异的，即： v G 1, 4 1 v G 0 ,


0 .2
• 解二:支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意 味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的， 即：
§扑克牌对色游戏
• 甲乙玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张 扑克牌，约定如果出牌颜色一样，甲输乙赢， 如果出牌颜色不一样，则甲赢乙输。 • 找到这个博弈的纳什均衡。
乙 红 黑 1， -1 -1， 1
红
甲
-1， 1 1， -1
黑
§ 反应函数法
• 假设甲、乙均采用混和策略,随机地以p的概率出 红牌和以(1-p)的概率出黑牌,而乙则随机地以q的 概率出红牌和以(1-q)的概率出黑牌。
策略 得益 博弈方1 （0.8，0.2） 2.6 博弈方2 （0.8，0.2） 2.6
夫妻之争的混合策略纳什均衡
看看这个博弈有几个均衡?
丈夫 时装 时装 妻 子 2， 1 足球 0， 0
之二
• 假设采用混合策略是税务机关的最优选择 那么给定p ,纳税人选择逃税和不逃税的期 望收益相等： • -(a+F) p +0(1- p)= -a • 得p *=a/(a+F)
说明
• • • • • • 如果税收机关检查概率小于p*, 即p<a/（a+F），纳税人的最优选择是逃税； 如果税收机关检查的概率大于p*, 即p=a/（a+F），纳税人的最优选择是不逃税； 如果税收机关检查的概率等于p*, 即p=a/（a+F），纳税人的选择无差异。
混合战略纳什均衡
• p *=a/（a+F）， q*=C/（a+F）即税收机关以a/ （a+F）的概率检查，纳税人以C/（a+F）的概率 选择逃税。 • 这个均衡的另一个可能的解释是，经济中有许多 个纳税人，其中有C/（a+F）的比例的纳税人选 择逃税，（1- C/（a+F））比例选择不逃税；税 收机关随机地检查a/（a+F）比例的纳税人的纳 税情况。 • 思考一下:在这个博弈中,检查成本C,罚款F和应纳 税款数额a对纳税人逃税的影响是怎么样的?为什 么会有这样的影响?
2 q (1 2 p ) ( 2 p 1)
乙 红q 红p 甲 黑1-p -1， 1 1， -1 黑1-q 1， -1 -1， 1
§ 反应函数
• A的目标是期望支付越大越好。我们之所以把A的 期望支付整理成不含p的一项和含p的一项这个样 子，是因为A只能选择p而不能q，因此，A能通过 选择p来影响第一项，而不能直接影响第二项。 （1-2q）>0即q<1/2时，A把p选择等于1最好；当 （1-2q）<0即q>1/2时，A把p选择等于0最好；当 （1-2q）=0即q=1/2时，A可以在[0，1]之间随便 选择一个p。这样我们可以得到A的反应函数是， 同样道理我们可以得到B的反应函数。 • 0， 如果q>1/2 1， 如果p>1/2 • p [0,1], 如果q=1/2 q [0,1], 如果p=1/2 • 1, 如果q<1/2 0, 如果p<1/2
纳什均衡的存在性
{ S 1 , S n ; u 1 , 中， un} i 1,)，则该博弈 n
纳什定理：在一个由n个博弈方的博弈G
如果n是有限的，且 都是有限集(对 Si 至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略。
• 证明过程省略，主要根据是布鲁威尔和角谷的不动点定理。
• 纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析 核心概念的根本原因之一。
• 解一:支付最大化
• 流浪汉的期望效用函数为：

L
2 1 0


0 .5
解二:支付等值法
• 政府选择救济策略
1
期望效用 v G 1,
• 政府选择不救济策略
0
期望效用
1 1
3

v G 0 ,
讨论
• 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率 选择纯策略。也就是说，一个参与人选择 不同策略的概率不是由他自己的支付决定 的，而是由他的对手的支付决定的。 • 正是由于这个原因，许多人认为混合策略 纳什均衡是一个难以令人满意的概念。 • 事实上，正是因为它在几个（或全部）策 略之间是无差异的，他的行为才难以预测， 混合策略纳什均衡才会存在。
v L 1, 1 3 v L 0 ,


0 .5
政府和流浪汉的博弈
• • • • • • 如果政府救济的概率小于0.5； 则流浪汉的最优选择是寻找工作； 如果政府救济的概率大于0.5； 则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。 如果政府救济的概率正好等于0.5； 流浪汉的选择无差异。
求解混合策略纳什均衡
1、假定政府采用混合策略：
G ,1
1 的概率选择不救济。
即政府以 的概率选择救济，
2、流浪汉的混合策略为：

LБайду номын сангаас
,1

的概率选择寻找工作，
即流浪汉以
1 的概率选择游闲。
解一:支付最大化 那么，政府的期望效用函数为：
§剪刀、石头、布的游戏
• 因此，秘决在于—— • 自己的策略选择不能预先被对手方知道或猜 测到，在该博弈的多次重复中，博弈方一定 要避免自己的选择具有规律性； • 观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好， 预先猜测对手策略，从而采用针对性策略赢 得这个博弈。
§ 第三章 混合策略纳什均衡
• 纯策略(pure strategies)：如果一个策略规 定参与人在一个给定的信息情况下只选择一 种特定的行动。 • 混合策略(mixed strategies)：如果一个策 略规定参与人在给定的信息情况下，以某种 概率分布随机地选择不同的行动。 • 在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动， 混合策略是不同行动之间的随机选择。
EU
A
p 1 X 1 p 2 X 2 ... p n X n
政府和流浪汉的博弈
• 政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻 找工作，否则，不予帮助；而流浪汉若知道政 府采用救济策略的话，他就不会寻找工作。他 们只有在得不到政府救济时才会寻找工作。他 们获得的支付如图所示：
流浪汉
寻找工作
• 在这个博弈中,检查成本C越高,纳税人逃税的概率 越大;罚款F越高,纳税人逃税的概率越小;应纳税 款越大，纳税人逃税的概率反而越小。 • 应纳税款越大，纳税人逃税的概率反而越小？这 跟我们的假设有关，假定一检查逃税行为就会被 发现；假定检查成本一定，而不是跟应交税额有 关，即应交税额越大，检查成本越高；不考虑纳 税人在应交税额高时贿赂税务人员的积极性越高 的情况。如果放开这些假设，其结果就有可能与 现实更贴近。纳税税款越高，纳税人逃税的概率 越高。
§ 期望支付
• 与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问 题,是局中人支付的不确定性(uncertainty).可用 期望支付(expected payoff)来描述——有个n可 能的取值X1,X2…,Xn ，并且这些取值发生的概率 分别为p1,p2,…,pn，那么我们可以将这个数量指 标的期望值定义为发生概率作为权重的所有可能 取值的加权平均，也就是
这样甲的期望支付是 2 p (1 2 q ) ( 2 q 1) 乙的期望支付是 U B ( p , q ) 1[ pq (1 p )( 1 q )] ( 1)[ p (1 q ) (1 p ) q ] U A ( p , q ) ( 1)[ pq (1 p )( 1 q )] 1[ p (1 q ) (1 p ) q ]
§剪刀、石头、布的游戏
• 我们知道—— • 如果博弈只进行一次，我们无法明确预测博 弈的结果，不管是哪个博弈方，也不管他们 的选择是哪个策略，都不能保证得到较好的 结果。根据我们上一章所学的方法，这个博 弈没有纳什均衡。 • 那么是不是意味着这样的博弈中，你可以随 意选择，结果都一样呢？
§剪刀、石头、布的游戏
A
2， 3
5， 2
B
3， 1
1， 5
对于博弈方1采用的混合策略,博弈方2的支付无差异
pA 3 pB 1 pA 2 pB 5
对于博弈方2采用的混合策略,博弈方1的支付无差异